Stolz定理及其应用

Stolz Theorem and Its Application

摘要: 极限思想是许多科学领域的重要思想之一，在函数求极限中大家经常会运用洛必达法则或者泰勒定理，为了解决某些数列极限问题，本文介绍了求数列极限的一种方法——Stolz定理，并对Stolz定理进行一些讨论。

Abstract: Limit thought is one of the important ideas in many scientific fields. In order to solve some prob-lems of sequence limit, this paper introduces a method of solving sequence limit—Stolz Theorem, and discusses Stolz Theorem.

Stolz定理是处理数列不定式极限的有力工具，一般用于*/∞型的极限(即分母趋于正无穷大的分式极限，分子趋不趋于无穷大无所谓)、0/0型极限(此时要求分子分母都以0为极限)。Stolz定理用于数列，它有函数形式的推广，这两个都可以认为是洛必达法则的离散版本。

定理1 ( $\frac{0}{0}$ 型Stolz定理) 设 $n\to \infty$ 时， $y_n\to 0,x_n\searrow 0$。(严格单调下降趋于0)，若 $\underset{n\to \infty }{\lim }\frac{y_n-y_{n-1}}{x_n-x_{n-1}}=a$，则 $\underset{n\to \infty }{\lim }\frac{y_n}{x_n}=a$ (a为有限数， $+\infty$ 或 $-\infty$ ) [1]。

定理2 ( $\frac{\infty }{\infty }$ 型Stolz定理) 设 $\left\{x_n\right\}$ 严格增加且 $\underset{n\to \infty }{\lim }{x}_n=+\infty$，

若 $\underset{n\to \infty }{\lim }\frac{y_n-y_{n-1}}{x_n-x_{n-1}}=a$，则 $\underset{n\to \infty }{\lim }\frac{y_n}{x_n}=a$ (a为有限数， $+\infty$ 或 $-\infty$ )，( $\left\{y_n\right\}$ 为任一数列)。

例1 设 $x_n=\frac{\ln n}{n}$，求 $\underset{n\to \infty }{\lim }{x}_n$。

分析： $x_n$ 为 $\frac{\infty }{\infty }$ 型未定式，处理此类问题常见的有三种方法：

1˚ 四则运算；2˚ 洛必达法则与归结原则；3˚ Stolz定理。

解法1：由洛必达法则 $\underset{x\to \infty }{\lim }\frac{\ln x}{x}=\underset{x\to \infty }{\lim }\frac{1}{x}=0$，由归结原则 $\underset{n\to \infty }{\lim }{x}_n=0$。

解法2：由Stolz定理

由于 $\underset{n\to \infty }{\lim }\frac{\ln n-\ln \left(n-1\right)}{n-\left(n-1\right)}=\underset{n\to \infty }{\lim }\ln \frac{n}{n-1}=\ln \underset{n\to \infty }{\lim }\frac{n}{n-1}=\ln 1=0$，所以 $\underset{n\to \infty }{\lim }{x}_n=0$

注：1、洛必达法则与Stolz定理的区别：洛必达法则解决连续型的未定式极限；Stolz定理解决离散型的未定式极限。

2、若只有分母严格增加(或减)且趋于 $\infty$，但分子为一般的数列(不一定趋于 $\infty$ )，在这种情况下必须用Stolz定理。

例2 设 $x_n=\frac{a_1+2a_2+\cdots n{a}_n}{n\left(n+1\right)}$，其中 $\underset{n\to \infty }{\lim }{a}_n=a$，a为有限数，或 $+\infty$，求 $\underset{n\to \infty }{\lim }{x}_n$ [2]。

此题只能用Stolz定理。

设 $y_n=a_1+2a_2+\cdots +n{a}_n,z_n=n\left(n+1\right)$

则 $y_n-y_{n-1}=n{a}_n,z_n-z_{n-1}=2n$

由Stolz定理 $\underset{n\to \infty }{\lim }{x}_n=\underset{n\to \infty }{\lim }\frac{n{a}_n}{2n}=\frac{1}{2}\underset{n\to \infty }{\lim }{a}_n=\{\begin{array}{l}\frac{a}{2},a为有限数\\ +\infty ,a为+\infty \end{array}$，Stolz定理与洛必达法则及归结原则的结合。

例3设 $x_n=\frac{1}{\ln n}\left(1+\frac{1}{2}+\cdots +\frac{1}{n}\right)$，求 $\underset{n\to \infty }{\lim }{x}_n$。

设 $y_n=1+\frac{1}{2}+\cdots +\frac{1}{n},z_n=\ln n$

则 $y_n-y_{n-1}=\frac{1}{n},z_n-z_{n-1}=\ln \frac{n}{n-1}$

由Stolz定理 $\underset{n\to \infty }{\lim }{x}_n=\underset{n\to \infty }{\lim }\frac{\frac{1}{n}}{\ln \left(1+\frac{1}{n-1}\right)}(\; 0\; 0\; )$

利用洛必达法则， $\underset{x\to +\infty }{\lim }\frac{\frac{1}{x}}{\ln \left(1+\frac{1}{x-1}\right)}=\underset{x\to +\infty }{\lim }\frac{-\frac{1}{x^2}}{\frac{\frac{-1}{{\left(x-1\right)}^2}}{1+\frac{1}{x-1}}}=1$

由归结原则 $\underset{n\to \infty }{\lim }{x}_n=1$

有时问题经过处理后，方能应用Stolz定理。

例4 设 $\underset{n\to \infty }{\lim }n\left(A_n-A_{n-1}\right)=0$，证 $\underset{n\to \infty }{\lim }\frac{A_1+A_2+\cdots +A_n}{n}$ 存在时， $\underset{n\to \infty }{\lim }{A}_n=\underset{n\to \infty }{\lim }\frac{A_1+A_2+\cdots +A_n}{n}$。

分析：若证 $\underset{n\to \infty }{\lim }{A}_n=\underset{n\to \infty }{\lim }\frac{A_1+A_2+\cdots +A_n}{n}$，只须证，为了利用 $\underset{n\to \infty }{\lim }n\left(A_n-A_{n-1}\right)=0$，

令 $a_1=A_1,a_2=A_2-A_1,\cdots ,a_n=A_n-A_{n-1}$，则 $\underset{n\to \infty }{\lim }n{a}_n=0$

且 $A_n=\left(A_n-A_{n-1}\right)+\left(A_{n-1}-A_{n-2}\right)+\cdots +\left(A_2-A_1\right)+A_1=a_n+a_{n-1}+\cdots +a_1$

于是

$\begin{array}{l}\underset{n\to \infty }{\lim }\left[A_n-\frac{A_1+A_2+\cdots +A_n}{n}\right]\\ =\underset{n\to \infty }{\lim }\left[\left(a_1+a_2+\cdots +a_n\right)-\frac{a_1+\left(a_1+a_2\right)+\left(a_1+a_2+a_3\right)+\cdots +\left(a_1+a_2+\cdots +a_n\right)}{n}\right]\\ =\underset{n\to \infty }{\lim }\frac{a_2+2a_3+\cdots +\left(n-1\right)a_n}{n}\\ =\underset{n\to \infty }{\lim }\frac{\left(n-1\right)a_n}{n-\left(n-1\right)}=\underset{n\to \infty }{\lim }\frac{n-1}{n}\cdot n{a}_n=0\end{array}$

例5 求 $\underset{n\to \infty }{\lim }{\left(\frac{2}{2^2-1}\right)}^{\frac{1}{2^{n-1}}}{\left(\frac{2^2}{2^3-1}\right)}^{\frac{1}{2^{n-2}}}\cdots {\left(\frac{2^{n-1}}{2^n-1}\right)}^{\frac{1}{2}}$

提示：设 $x_n={\left(\frac{2}{2^2-1}\right)}^{\frac{1}{2^{n-1}}}{\left(\frac{2^2}{2^3-1}\right)}^{\frac{1}{2^{n-2}}}\cdots {\left(\frac{2^{n-1}}{2^n-1}\right)}^{\frac{1}{2}}$

$\begin{array}{c}\ln x_n=\frac{1}{2^{n-1}}\ln \left(\frac{2}{2^2-1}\right)+\frac{1}{2^{n-2}}\ln \left(\frac{2^2}{2^3-1}\right)+\cdots +\frac{1}{2}\ln \left(\frac{2^{n-1}}{2^n-1}\right)\\ =\frac{1}{2^{n-1}}\left[\ln \left(\frac{2}{2^2-1}\right)+2\ln \left(\frac{2^2}{2^3-1}\right)+\cdots +2^{n-2}\ln \left(\frac{2^{n-1}}{2^n-1}\right)\right]\end{array}$

应用Stolz定理， $\underset{n\to \infty }{\lim }\ln x_n=\underset{n\to \infty }{\lim }\frac{2^{n-2}\ln \frac{2^{n-1}}{2^n-1}}{2^{n-1}-2^{n-2}}=\underset{n\to \infty }{\lim }\ln \frac{1}{2-\frac{1}{2^{n-1}}}=\ln \frac{1}{2}$，所以 $\underset{n\to \infty }{\lim }{x}_n=\frac{1}{2}$。

另一方面，一定注意分母必须单调。首先，Stolz定理分母不单调的话确实是有反例的。取 $a_n=n,$

$b_n=n+{\left(-1\right)}^n\sqrt{n}$。则易见 $n\to \infty$， $b_n\to +\infty$，同时 $\frac{a_{n+1}-a_n}{b_{n+1}-b_n}\to 0$。然而 $\frac{a_n}{b_n}\to 1\ne 0$。其次，L’Hospital法则其实隐含了单调性的条件。因为其要求 $g^{\prime }\left(x\right)$ 在极限点的某邻域内不等于0，但导函数具有介值性(Darboux定理)，因此 $g^{\prime }\left(x\right)$ 在极限点的某邻域内恒正或恒负，即得 $g\left(x\right)$ 单调。所以这两个定理在这方面仍然是一致的 [3]。