一类非线性四阶边值问题正解的存在性

The Existence of Positive Solutions for a Class of Nonlinear Fourth-Order Boundary Value Problems

摘要: 研究了非线性四阶常微分方程(ordinary differential equation，简称ODE)边值问题其中r是一个正参数，非线性f:[0,1]×[0,∞)×[0,∞)→[0,∞)项为连续函数，且存在常数满足a+b>0，c+d>0，使得当u→0时，f(t,u,p)=au+bp+(|(u,p)|)，当u→∞时，f(t,u,p)=cu+dp+o(|(u,p)|)，通过运用全局分歧理论，证明了该问题正解的存在性。

Abstract: This article studies the boundary value problems of nonlinear fourth-order ordinary differential equations where r is a positive parameter, nonlinearity f:[0,1]×[0,∞)×[0,∞)→[0,∞) is a continuous function, and there exist four constants   satisfying a+b>0,c+d>0, so when u→0, f(t,u,p)=au+bp+(|(u,p)|); when u→∞, f(t,u,p)=cu+dp+o(|(u,p)|). The existence of positive solutions is obtained by using the global bifurcation theorem.

1. 引言

本文研究非线性四阶常微分方程边值问题

$\{\begin{array}{l}{u}^{\left(4\right)}\left(t\right)=rf\left(t,u\left(t\right),u^{\prime }\left(t\right)\right),0<t<1,\hfill \\ u\left(0\right)=u^{\prime }\left(0\right)=u^{″}\left(1\right)=u^{‴}\left(1\right)=0\hfill \end{array}$ (1)

其中r是一个正参数，非线性项 $f:\left[0,1\right]\times \left[0,\infty \right)\times \left[0,\infty \right)\to \left[0,\infty \right)$ 为连续函数。该方程的实际应用背景是平衡状态下的弹性梁，其一端固定而另一端自由。对于该类问题的可解性，许多学者用不同的方法研究过 [1] - [7]。比如，文献 [1] [3] [4] 运用锥上的不动点定理研究了其正解的存在。文献 [2] 通过单调迭代方法获得了其单调正解的存在性。然而，文献 [1] - [7] 虽然都得到了问题(1)解或正解的存在性，但由于所使用的工具的局限性，均无法得到问题(1)正解的全局结构。

2005年，Ma [8] 率先研究了四阶两点边值问题

$\{\begin{array}{l}{u}^{\left(4\right)}\left(t\right)=f\left(t,u\left(t\right),u^{″}\left(t\right)\right),0<t<1,\hfill \\ u\left(0\right)=u^{″}\left(0\right)=u\left(1\right)=u^{″}\left(1\right)=0\hfill \end{array}$ (2)

其中非线性项f满足：

(C1) $f:\left[0,1\right]\times \left[0,\infty \right)\times \left(-\infty ,0\right]\to \left[0,\infty \right)$ 为连续函数，且存在常数 ${\alpha }_1,{\beta }_1,{\alpha }_2,{\beta }_2\in \left[0,\infty \right)$ 满足 ${\alpha }_1+{\beta }_1>0,{\alpha }_2+{\beta }_2>0$，使得

$f\left(t,u,p\right)={\alpha }_{1}u-{\beta }_{1}p+o\left(\left|\left(u,p\right)\right|\right)$，当 $\left|\left(u,p\right)\right|\to 0$ 时

对 $t\in \left[0,1\right]$ 一致成立，及

$f\left(t,u,p\right)={\alpha }_{2}u-{\beta }_{2}p+o\left(\left|\left(u,p\right)\right|\right)$，当 $\left|\left(u,p\right)\right|\to \infty$ 时

对 $t\in \left[0,1\right]$ 一致成立，这里 $\left|\left(u,p\right)\right|:=\sqrt{u^2+p^2}$。

(C2) $f\left(t,u,p\right)>0$ 对 $t\in \left[0,1\right]$， $\left(u,p\right)\in \left(\left[0,\infty \right)\times \left(-\infty ,0\right]\right)\backslash \left\{\left(0,0\right)\right\}$。

(C3) 存在常数 ${\alpha }_0,{\beta }_0\in \left[0,\infty \right)$ 满足 ${\alpha }_0+{\beta }_0>0$，使得

$f\left(t,u,p\right)\ge {\alpha }_{0}u-{\beta }_{0}p,\left(t,u,p\right)\in \left[0,1\right]\times \left[0,\infty \right)\times \left(-\infty ,0\right]$.

设 ${\lambda }_1\left({\alpha }_i,{\beta }_i\right)\left(i=1,2\right)$ 是广义线性特征值问题

$\begin{array}{l}{u}^{\left(4\right)}\left(t\right)=\lambda \left({\alpha }_{i}u\left(t\right)-{\beta }_i{u}^{″}\left(t\right)\right),0<t<1,\\ u\left(0\right)=u^{″}\left(0\right)=u\left(1\right)=u^{″}\left(1\right)=0\end{array}$

的正特征值。

在满足以上假设的条件下，文献 [8] 得到如下结果：

定理A 假设条件(C1)~(C3)成立。若下列条件之一成立：

i) ${\lambda }_1\left({\alpha }_1,{\beta }_1\right)<1<{\lambda }_1\left({\alpha }_2,{\beta }_2\right)$ ；

ii) ${\lambda }_1\left({\alpha }_2,{\beta }_2\right)<1<{\lambda }_1\left({\alpha }_1,{\beta }_1\right)$，

则问题(2)至少存在一个正解。

值得注意的是，文献 [8] 不仅得到了问题(2)正解的存在性，而且运用全局分歧理论得到了问题(2)正解的全局结构。现在自然要问，对于问题(1)，是否也可以通过运用分歧理论，在非线性项f满足一定的条件下，得到问题(1)正解的全局结构呢？受文献 [8] 启发，本文通过运用全局分歧理论，获得了问题(1)正解的全局结构。

本文总假定：

(H1) $f:\left[0,1\right]\times \left[0,\infty \right)\times \left[0,\infty \right)\to \left[0,\infty \right)$ 为连续函数，且存在常数 $a,b,c,d\in \left[0,\infty \right)$ 满足 $a+b>0$， $c+d>0$，使得

$f\left(t,u,p\right)=au+bp+o\left(\left|\left(u,p\right)\right|\right)$，当 $\left|\left(u,p\right)\right|\to 0$ 时

对 $t\in \left[0,1\right]$ 一致成立，及

$f\left(t,u,p\right)=cu+dp+o\left(\left|\left(u,p\right)\right|\right)$，当 $\left|\left(u,p\right)\right|\to \infty$ 时

对 $t\in \left[0,1\right]$ 一致成立，这里 $\left|\left(u,p\right)\right|:=\sqrt{u^2+p^2}$。

(H2) $f\left(t,u,p\right)>0$ 对 $t\in \left[0,1\right]$， $\left(u,p\right)\in \left(\left[0,\infty \right)\times \left[0,\infty \right)\right)\backslash \left\{\left(0,0\right)\right\}$。

(H3) 存在常数 $a_0,b_0$ 满足 $a_0+b_0>0$ 使得 $f\left(t,u,p\right)\ge a_{0}u+b_{0}p$， $\left(t,u,p\right)\in \left[0,1\right]\times \left[0,\infty \right)\times \left[0,\infty \right)$。

2. 预备知识

设 $C\left[0,1\right]$ 为实值连续函数构成的空间，其在范数

${\Vert u\Vert }_C=\underset{t\in \left[0,1\right]}{\max }\left|u\left(t\right)\right|$

下构成Banach空间。

令 $X=\left\{u\in C^3\left[0,1\right]|u\left(0\right)=u^{\prime }\left(0\right)=u^{″}\left(1\right)=u^{‴}\left(1\right)=0\right\}$，其在范数

${\Vert u\Vert }_X=\max \left\{{\Vert u\Vert }_C,{\Vert u^{\prime }\Vert }_C,{\Vert u^{″}\Vert }_C,{\Vert u^{‴}\Vert }_C\right\}$

下构成Banach空间。

设 $\left(E,\Vert \cdot \Vert \right)$ 是一个Banach空间， $K\subset E$ 是E中的一个锥。 $A:\left[0,\infty \right)\times K\to E$ 是一个非线性算子。如果 $A\left(\left[0,\infty \right)\times K\right)\subseteq K$，则称非线性算子A是正的。若A是连续的且A将 $\left[0,\infty \right)\times K$ 中的有界集映为E中的准紧子集，则称非线性算子A是K-全连续的。设 $V:E\to E$ 是一个正线性算子，如果 $A\left(\lambda ,u\right)\ge \lambda V\left(u\right)$ 对 $\left(\lambda ,u\right)\in \left[0,\infty \right)\times K$ 成立，则称V是关于A的线性弱函数。

设B是E上的线性连续算子，令 $r\left(B\right)$ 为B的谱半径，定义集合 $C_K\left(B\right)=\{\lambda \in \left[0,\infty \right)|$ 存在 $x\in K$ 且 $\Vert x\Vert =1$，使得 $x=\lambda Bx\}$。

引理1 [9] 假设

i) K有非空的内部，且 $E=\overline{K-K}$，

ii) $A:\left[0,\infty \right)\times K\to E$ 是K-全连续的正算子，对 $\lambda \in R$， $A\left(\lambda ,0\right)=0$ 且

$A\left(\lambda ,u\right)=\lambda Bu+F\left(\lambda ,u\right)$,

其中 $B:E\to E$ 是线性强正紧算子且 $r\left(B\right)>0$， $F:\left[0,\infty \right)\times K\to E$ 满足当 $\Vert u\Vert \to 0$ 时， $\Vert F\left(t,u\right)\Vert =o\left(\Vert u\Vert \right)$ 对 $\lambda$ 局部一致成立，则集合

$D_K\left(A\right)=\left\{\left(\lambda ,u\right)\in \left[0,\infty \right)\times K|u=A\left(\lambda ,u\right),u\ne 0\right\}\cup \left(r{\left(B\right)}^{-1},0\right)$

存在一个无界连通分支 $\mathcal{C}$ 且 $\left(r{\left(B\right)}^{-1},0\right)\in \mathcal{C}$。更进一步，如果V是A的一个线性弱函数，且存在 $\left(\mu ,y\right)\in \left(0,\infty \right)\times K$，使得 $\Vert y\Vert =1$ 且 $\mu Vy\ge y$，则

$\mathcal{C}\subseteq \left\{D_K\left(A\right)\cap \left(\left[0,\mu \right]\times K\right)\right\}$.

引理2 [9] (Krein-Rutman定理)设E是一个Bannach空间， $K\subset E$ 是一个锥满足 $\overline{K\setminus K}=E$。设 $T\in L\left(E\right)$ 是一个紧的正算子，并且 $r\left(T\right)>0$，则 $r\left(T\right)$ 是T的具有正特征函数的正特征值。

引理3 若 $\phi \in C\left[0,1\right],u\in C^4\left[0,1\right]$，则线性边值问题

$\{\begin{array}{l}{u}^{\left(4\right)}\left(t\right)=\phi \left(t\right),t\in \left(0,1\right),\hfill \\ u\left(0\right)=u^{\prime }\left(0\right)=u^{″}\left(1\right)=u^{‴}\left(1\right)=0\hfill \end{array}$

存在唯一解

$u\left(t\right)={\displaystyle {\int }_0^1{G}_1\left(t,s\right)\phi \left(s\right)\text{d}s}$,

其中

$G_1\left(t,s\right)=\{\begin{array}{l}\frac{1}{6}{s}^2\left(3t-s\right),0\le s\le t\le 1,\hfill \\ \frac{1}{6}{t}^2\left(3s-t\right),0\le t\le s\le 1\hfill \end{array}$

而

$u^{\prime }\left(t\right)={\displaystyle {\int }_0^1{G}_2}\left(t,s\right)\phi \left(s\right)\text{d}s$,

其中

$G_2\left(t,s\right)=\{\begin{array}{l}\frac{1}{2}{s}^2,0\le s\le t\le 1,\hfill \\ ts-\frac{1}{2}{t}^2,0\le t\le s\le 1\hfill \end{array}$

为了研究问题(2)，需要考虑线性特征值问题

$\{\begin{array}{l}{u}^{\left(4\right)}=\lambda \left(\alpha u+\beta u^{\prime }\right),0<t<1,\hfill \\ u\left(0\right)=u^{\prime }\left(0\right)=u^{″}\left(1\right)=u^{‴}\left(1\right)=0\hfill \end{array}$ (3)

其中 $\left(\alpha ,\beta \right)\in \left[0,\infty \right)\times \left[0,\infty \right)$ 均为常数且满足 $\alpha +\beta >0$。

定义1 [9] 如果 $\lambda$ 使得问题(3)有非平凡解，则称 $\lambda$ 是问题(3)的广义特征值。

接下来，定义锥

$P=\left\{u\in X|u\left(t\right)\ge 0,u^{\prime }\left(t\right)\ge 0,t\in \left[0,1\right]\right\}$,

则P是正规的且有非空内部， $X=\overline{P\backslash P}$。

对于线性特征值问题

$\{\begin{array}{l}{u}^{\left(4\right)}=\lambda \left(au+b{u}^{\prime }\right),0<t<1,\hfill \\ u\left(0\right)=u^{\prime }\left(0\right)=u^{″}\left(1\right)=u^{‴}\left(1\right)=0\hfill \end{array}$ (4)

定义算子 $T:P\to C\left[0,1\right]$ 为

$Tu\left(t\right)=\lambda {\displaystyle {\int }_0^1{G}_1}\left(t,s\right)au\left(s\right)\text{d}s+\lambda {\displaystyle {\int }_0^1{G}_2}\left(t,s\right)bu\left(s\right)\text{d}s$.

下证 $T\left(P\backslash \left\{0\right\}\right)\subset \text{int}P$ 且 $T:P\to P$ 是全连续的。

引理 4 $T\left(P\backslash \left\{0\right\}\right)\subset \text{int}P$。

证明 根据锥P的定义 $P\backslash \left\{0\right\}$ 意味着 $u\left(t\right)>0$，由边界条件 $u\left(0\right)=0$ 知，此时 $t\in \left(0,1\right]$，故对任意的 $u\in P\backslash \left\{0\right\}$，

$\left(Tu\right)\left(t\right)=\lambda {\displaystyle {\int }_0^1{G}_1}\left(t,s\right)au\left(s\right)\text{d}s+\lambda {\displaystyle {\int }_0^1{G}_2}\left(t,s\right)bu\left(s\right)\text{d}s>0$.

因此 $Tu\left(t\right)\subset \mathrm{int}P$，即 $T\left(P\backslash \left\{0\right\}\right)\subset \text{int}P$。

引理5 $T:P\to P$ 是全连续的。

证明 对任意的 $t\in \left[0,1\right]$，若存在一列 $u_n\left(t\right)\to u\left(t\right)\left(n\to \infty \right)$ 于P，有

$\begin{array}{c}\underset{n\to \infty }{\lim }\left|T{u}_n\left(t\right)-Tu\left(t\right)\right|=\underset{n\to \infty }{\lim }\lambda |{\displaystyle {\int }_0^1{G}_1}\left(t,s\right)a{u}_n\left(s\right)\text{d}s-{\displaystyle {\int }_0^1{G}_1}\left(t,s\right)au\left(s\right)\text{d}s\\ +{\displaystyle {\int }_0^1{G}_2}\left(t,s\right)b{u}_n\left(s\right)\text{d}s-{\displaystyle {\int }_0^1{G}_2}\left(t,s\right)bu\left(s\right)\text{d}s|\\ \le \underset{n\to \infty }{\lim }\lambda {\displaystyle {\int }_0^1{G}_1}\left(t,s\right)a\left|u_n\left(s\right)-u\left(s\right)\right|\text{d}s+\lambda {\displaystyle {\int }_0^1{G}_2}\left(t,s\right)b\left|u_n\left(s\right)-u\left(s\right)\right|\text{d}s\\ =0\end{array}$

这表明当 $u_n\left(t\right)\to u\left(t\right)\left(n\to \infty \right)$ 时，有 $T{u}_n\left(t\right)\to Tu\left(t\right)$，由Heine定理，T连续且在P中一致有界。

对任意的 $\epsilon >0$，存在 $\delta =\frac{6ϵ}{\lambda {\Vert u\Vert }_C\left(2a+3b\right)}>0$，使得 $\left|t_1-t_2\right|<\delta ,t_1,t_2\in \left[0,1\right]$ 及 $u\in P$ 时，有

$\begin{array}{c}\left|Tu\left(t_1\right)-Tu\left(t_2\right)\right|=\lambda |{\displaystyle {\int }_0^1{G}_1}\left(t_1,s\right)au\left(s\right)\text{d}s-{\displaystyle {\int }_0^1{G}_1}\left(t_2,s\right)au\left(s\right)\text{d}s\\ +{\displaystyle {\int }_0^1{G}_2}\left(t_1,s\right)b{u}_n\left(s\right)\text{d}s-{\displaystyle {\int }_0^1{G}_2}\left(t_2,s\right)bu\left(s\right)\text{d}s|\\ \le \lambda \left|{\displaystyle {\int }_{t_1}^{t_2}{G}_1}\left(t,s\right)au\left(s\right)\text{d}s\right|+\lambda \left|{\displaystyle {\int }_{t_1}^{t_2}{G}_2}\left(t,s\right)bu\left(s\right)\text{d}s\right|\\ \le \lambda {\Vert u\Vert }_C\left|{\displaystyle {\int }_{t_1}^{t_2}{G}_1}\left(t,s\right)\text{d}s\right|+\lambda b{\Vert u\Vert }_C\left|{\displaystyle {\int }_{t_1}^{t_2}{G}_2}\left(t,s\right)\text{d}s\right|\\ \le \lambda a{\Vert u\Vert }_C\cdot \frac{1}{3}\left|t_1-t_2\right|+\lambda b{\Vert u\Vert }_C\cdot \frac{1}{2}\left|t_1-t_2\right|\\ =\frac{\lambda {\Vert u\Vert }_C\left(2a+3b\right)}{6}\left|t_1-t_2\right|<\epsilon \end{array}$

因此T等度连续。由Arzela-Ascoli定理，T全连续。

由引理4，T是强正算子，故T一定是正算子，又由引理5，T是紧算子。结合引理2，T存在一个正特征值 ${\lambda }_1\left(a,b\right)$，且 ${\lambda }_1\left(a,b\right)$ 具有正特征函数 ${\phi }_1\left(t\right)$。同理证得广义特征值问题

$\{\begin{array}{l}{u}^{\left(4\right)}=\lambda \left(cu+d{u}^{\prime }\right),0<t<1,\hfill \\ u\left(0\right)=u^{\prime }\left(0\right)=u^{″}\left(1\right)=u^{‴}\left(1\right)=0\hfill \end{array}$ (5)

存在一个正特征值 ${\lambda }_1\left(c,d\right)$，且 ${\lambda }_1\left(c,d\right)$ 具有正特征函数 ${\varphi }_1\left(t\right)$。

3. 主要结果

定理1 假设(H1)~(H3)成立。若下列条件之一成立：

i) ${\lambda }_1\left(a,b\right)<r<{\lambda }_1\left(c,d\right)$ ；

ii) ${\lambda }_1\left(c,d\right)<r<{\lambda }_1\left(a,b\right)$，

则问题(1)至少存在一个正解。

定义算子 $L:D\left(L\right)\to C\left[0,1\right]$ 为

$Lu=u^{\left(4\right)},u\in D(\; L\; )$

其中 $D\left(L\right)=\left\{u\in C^4\left[0,1\right]|u\left(0\right)=u^{\prime }\left(0\right)=u^{″}\left(1\right)=u^{‴}\left(1\right)=0\right\}$。结合引理5知，算子 $L^{-1}:C\left[0,1\right]\to D\left(L\right)$ 是紧的。

令 $\zeta ,\xi \in C\left(\left[0,1\right]\times \left[0,\infty \right)\times \left[0,\infty \right)\right)$ 使得

$\begin{array}{l}f\left(t,u,p\right)=au+bp+\zeta \left(t,u,p\right),\\ f\left(t,u,p\right)=cu+dp+\xi \left(t,u,p\right)\end{array}$

显然，由(H1)知

$\underset{\left|\left(u,p\right)\right|\to 0}{\lim }\frac{\zeta \left(t,u,p\right)}{\left|\left(u,p\right)\right|}=0$，对 $t\in \left[0,1\right]$ 一致成立，

$\underset{\left|\left(u,p\right)\right|\to \infty }{\lim }\frac{\xi \left(t,u,p\right)}{\left|\left(u,p\right)\right|}=0$，对 $t\in \left[0,1\right]$ 一致成立。

令

$\tilde{\xi }\left(r\right)=\max \left\{\left|\xi \left(t,u,p\right)\right|:0\le \left|\left(u,p\right)\right|\le r\right\}$,

则 $\tilde{\xi }\left(r\right)$ 非减且 $\underset{r\to \infty }{\lim }\frac{\tilde{\xi }\left(r\right)}{r}=0$。

考虑分歧问题

$Lu=\lambda r\left(au+b{u}^{\prime }\right)+\lambda r\zeta \left(t,u,u^{\prime }\right)$ (6)

从平凡解 $u\equiv 0$ 处产生的分歧。由引理3，问题(6)等价于

$u\left(t\right)=\lambda \left[{\displaystyle {\int }_0^1{G}_1}\left(t,s\right)rau\left(s\right)\text{d}s+{\displaystyle {\int }_0^1{G}_2}\left(t,s\right)rbu\left(s\right)\text{d}s\right]+\lambda {\displaystyle {\int }_0^1{G}_1}\left(t,s\right)r\zeta \left(s,u\left(s\right),u^{\prime }\left(s\right)\right)\text{d}s:=A\left(\lambda ,u\right)\left(t\right)$.

定义 $B:X\to X$ 为

$Bu\left(t\right):={\displaystyle {\int }_0^1{G}_1}\left(t,s\right)rau\left(s\right)\text{d}s+{\displaystyle {\int }_0^1{G}_2}\left(t,s\right)rbu\left(s\right)\text{d}s$.

由引理4，B是X上的强正算子，又根据引理5， $B:X\to X$ 全连续。故由文献 [10] (定理3.2)知，

$r\left(B\right)={\left[{\lambda }_1\left(a,b\right)\right]}^{-1}$.

定义 $F:\left[0,\infty \right)\times P\to X$ 为

$F\left(\lambda ,u\right)\left(t\right):=\lambda {\displaystyle {\int }_0^1{G}_1}\left(t,s\right)r\zeta \left(s,u\left(s\right),u^{\prime }\left(s\right)\right)\text{d}s$.

则对任意有界的 $\lambda$，

$\begin{array}{c}{\Vert F\left(\lambda ,u\right)\Vert }_X=\underset{0\le t\le 1}{\max }\{\left|\lambda {\displaystyle {\int }_0^1{G}_1}\left(t,s\right)r\zeta \left(s,u\left(s\right),u^{\prime }\left(s\right)\right)\text{d}s\right|,\left|\lambda {\displaystyle {\int }_0^1{G}_2}\left(t,s\right)r\zeta \left(s,u\left(s\right),u^{\prime }\left(s\right)\right)\text{d}s\right|\begin{array}{c}\\ \underset{}{}\end{array}\\ \left|\lambda {\displaystyle {\int }_0^1\frac{\partial G_2\left(t,s\right)}{\partial t}r\zeta \left(s,u\left(s\right),u^{\prime }\left(s\right)\right)\text{d}s}\right|,\left|\lambda {\displaystyle {\int }_0^1\frac{{\partial }^2{G}_2\left(t,s\right)}{\partial t^2}r\zeta \left(s,u\left(s\right),u^{\prime }\left(s\right)\right)\text{d}s}\right|\}\\ \le C_1{\Vert \zeta \left(t,u\left(t\right),u^{\prime }\left(t\right)\right)\Vert }_C\end{array}$

则

$\underset{{\Vert u\Vert }_X\to 0}{\lim }\frac{{\Vert F\left(\lambda ,u\right)\Vert }_X}{{\Vert u\Vert }_X}\le \underset{{\Vert u\Vert }_X\to 0}{\lim }\frac{C_1{\Vert \zeta \left(t,u,u^{\prime }\right)\Vert }_C}{{\Vert u\Vert }_X}\le \underset{{\Vert u\Vert }_C\to 0}{\lim }\frac{C_1{\Vert \zeta \left(t,u,u^{\prime }\right)\Vert }_C}{{\Vert u\Vert }_C}=0$,

即 ${\Vert F\left(\lambda ,u\right)\Vert }_X=o\left({\Vert u\Vert }_X\right)$ 关于 $\lambda$ 局部一致。

结合条件(H2)，引理1和引理4，若 $\lambda >0$ 且 $\left(\lambda ,u\right)$ 是(6)的一个非平凡解，则 $u\in \mathrm{int}P$ 且存在集合

$\left\{\left(\lambda ,u\right)\in \left(0,\infty \right)\times P:u=A\left(\lambda ,u\right),u\in \mathrm{int}P\right\}\cup \left\{\left({\lambda }_1\left(a,b\right),0\right)\right\}$

的一个无界连通分支 $\mathcal{C}$ 使得 $\left({\lambda }_1\left(a,b\right),0\right)\in \mathcal{C}$。

定理1的证明 显然，问题(6)的任意一个形如 $\left(r,u\right)$ 的解均是问题(1)的解u。将证明在 $R\times X$ 中，连通分支 $\mathcal{C}$ 穿过超平面 $\left\{1\right\}\times X$。为此只需证 $\mathcal{C}$ 连接 $\left({\lambda }_1\left(a,b\right),0\right)$ 到 $\left({\lambda }_1\left(c,d\right),\infty \right)$。令 $\left({\mu }_n,y_n\right)\in \mathcal{C}$ 满足

${\mu }_n+{\Vert y_n\Vert }_X\to \infty$.

注意到，对于任意的 $n\in N$， ${\mu }_n>0$。 因为当 $\lambda =0$ 时，问题(6)仅有平凡解，且 $\mathcal{C}\cap \left(\left\{0\right\}\times X\right)=\varnothing$。

情形1 ${\lambda }_1\left(c,d\right)<r<{\lambda }_1\left(a,b\right)$。

在这种情况下，证明

$\left({\lambda }_1\left(c,d\right),{\lambda }_1\left(a,b\right)\right)\subseteq \left\{\lambda \in R|\exists \left(\lambda ,u\right)\in \mathcal{C}\right\}$.

第一步。证明若存在一个常数 $M>0$ 使得

${\mu }_n\subset \left(0,M\right]$, (7)

则 $\mathcal{C}$ 连接 $\left({\lambda }_1\left(a,b\right),0\right)$ 到 $\left({\lambda }_1\left(c,d\right),\infty \right)$。

由式(7)知， ${\Vert y_n\Vert }_X\to \infty$。下面考虑问题

$L{y}_n={\mu }_n\left(rc{y}_n+rd{y^{\prime }}_n\right)+{\mu }_{n}r\xi \left(t,y_n,{y^{\prime }}_n\right)$,

令 ${\bar{y}}_n=\frac{y_n}{{\Vert y_n\Vert }_X}$，因为在X中是有界的，所以对于 $\bar{y}\in X$，存在 ${\bar{y}}_n\to \bar{y}$ (这里仍用 ${\bar{y}}_n\to \bar{y}$ 代表它的收敛子列)且 ${\Vert \bar{y}\Vert }_X=1$。进一步，由于 $\tilde{\xi }$ 是非减的，于是

$\underset{n\to \infty }{\lim }\frac{\left|\xi \left(y_n\left(t\right)\right)\right|}{{\Vert y_n\Vert }_X}=0$,

注意到

$\frac{\left|\xi \left(y_n\left(t\right)\right)\right|}{{\Vert y_n\Vert }_X}\le \frac{\tilde{\xi }\left(\left|y_n\left(t\right)\right|\right)}{{\Vert y_n\Vert }_X}\le \frac{\tilde{\xi }\left({\Vert y_n\Vert }_C\right)}{{\Vert y_n\Vert }_X}\le \frac{\tilde{\xi }\left({\Vert y_n\Vert }_X\right)}{{\Vert y_n\Vert }_X}$,

因此

$\bar{y}\left(t\right):=\bar{\mu }{\displaystyle {\int }_0^1{G}_1}\left(t,s\right)rc\bar{y}\left(s\right)\text{d}s+\bar{\mu }{\displaystyle {\int }_0^1{G}_2}\left(t,s\right)rd\bar{y}\left(s\right)\text{d}s$,

这里 $\bar{\mu }:=\underset{n\to \infty }{\lim }{\mu }_n$ (这里仍用 ${\bar{\mu }}_n$ 代表它的收敛子列)。因此

$L\bar{y}=\bar{\mu }\left(c\bar{y}+d{\bar{y}}^{\prime }\right)$,

而 $\bar{\mu }={\lambda }_1\left(c,d\right)$，因此 $\mathcal{C}$ 连接 $\left({\lambda }_1\left(a,b\right),0\right)$ 和 $\left({\lambda }_1\left(c,d\right),\infty \right)$。

第二步。将证明确实存在一个常数M，使得对于任意的 $n\in \mathbb{N}$ 有 ${\mu }_n\in \left(0,M\right]$。由引理1，仅需要证明A有一个线性弱函数V且存在 $\left(\mu ,y\right)\in \left(0,\infty \right)\times P$，使得 ${\Vert y\Vert }_X=1$ 且 $\mu Vy\ge y$。

由(H3)，存在常数 $a_0,b_0\in \left[0,\infty \right)$ 满足 $a_0+b_0>0$，使得

$f\left(t,u,p\right)\ge a_{0}u+b_{0}p,\left(t,u,p\right)\in \left[0,1\right]\times \left[0,\infty \right)\times \left[0,\infty \right)$

对于 $u\in X$。令

$Vu\left(t\right):={\displaystyle {\int }_0^1{G}_1}\left(t,s\right)r{a}_{0}u\left(s\right)\text{d}s+{\displaystyle {\int }_0^1{G}_2}\left(t,s\right)r{b}_{0}u\left(s\right)\text{d}s$.

则V是A的一个线性弱函数。进一步，存在 $\left({\lambda }_1\left(a_0,b_0\right),{\psi }_1\left(t\right)\right)\in \left(0,\infty \right)\times P$ 使得 ${\Vert {\psi }_1\left(t\right)\Vert }_X=1$ 且 ${\lambda }_1\left(a_0,b_0\right)V{\psi }_1\left(t\right)={\psi }_1\left(t\right)$。事实上，

$\begin{array}{l}{\lambda }_1\left(a_0,b_0\right)V{\psi }_1\left(t\right)\\ ={\lambda }_1\left(a_0,b_0\right){\displaystyle {\int }_0^1{G}_1}\left(t,s\right)r{a}_0{\psi }_1\left(s\right)\text{d}s+{\lambda }_1\left(a_0,b_0\right){\displaystyle {\int }_0^1{G}_2}\left(t,s\right)r{b}_0{\psi }_1\left(s\right)\text{d}s\\ ={\psi }_1\left(t\right).\end{array}$

因此，由引理1，

$\left|{\mu }_n\right|\le {\lambda }_1\left(a_0,b_0\right)$.

情形2 ${\lambda }_1\left(a,b\right)<r<{\lambda }_1\left(c,d\right)$。

在这种情况下，若存在 $\left({\mu }_n,y_n\right)\in \mathcal{C}$ 使得

$\underset{n\to \infty }{\lim }\left({\mu }_n+{\Vert y_n\Vert }_X\right)=\infty$,

且

$\underset{n\to \infty }{\lim }{\mu }_n=\infty$,

则

$\left({\lambda }_1\left(a,b\right),{\lambda }_1\left(c,d\right)\right)\subseteq \left\{\lambda \in \left(0,\infty \right)|\exists \left(\lambda ,u\right)\in \mathcal{C}\right\}$,

且

$\left(\left\{1\right\}\times X\right)\cap \mathcal{C}\ne \varnothing$.

假设存在 $M>0$，使得对任意 $n\in N$，有

${\mu }_n\in \left(0,M\right]$.

类似于情形1的第一步的证明过程，有

$\left({\mu }_n,y_n\right)\to \left({\lambda }_1\left(c,d\right),\infty \right),n\to \infty$

因此 $\mathcal{C}$ 连接 $\left({\lambda }_1\left(a,b\right),0\right)$ 和 $\left({\lambda }_1\left(c,d\right),\infty \right)$。