双曲空间中的Moser-Trudinger不等式

Moser-Trudinger Inequalities in Hyperbolic Spaces

摘要: 本文利用分割水平集的技巧，借助于非增重排理论和O’Neil’s引理，把Moser-Trudinger不等式推广到双曲空间，所得结果推广和改进了近期的相应结果。

Abstract: In this paper, the Moser-Trudinger inequality is extended to hyperbolic space by using the technique of level set segmentation, non increasing rearrangement theory and O’Neil’s lemma. The results generalize and improve the recent results.

双曲空间 $H^n$ 当 $n\ge 2$ 时是完备的，结合黎曼流形知识，截面曲率是常数-1，即：给定是维数以后，任意两个这样的空间是等距的 [1]，双曲空间 $H^n$ 中有大量的模空空间，但是，最重要的一类模空间是等分空间模，也就是Poincaré模，即双曲空间或者Lorentz模。在涉及到旋转对称的时候，Poincaré球模极其有用，下面，我们利用Poincaré球模讨论问题，给定 $n\ge 2$，我们用 $B^n$ 来表示 $R^n$ 中中心在原点的单位球。双曲空间中的Poincaré球模是单位球 $B^n$ 赋予下面的距离

$g\left(x\right)=\frac{4}{1-{\left|x\right|}^2}|{}^2{\displaystyle \underset{i=1}{\overset{n}{\sum }}d{x}_i^2}$.

与黎曼距离相匹配的体积元是

$\text{d}Vl{o}_g=\frac{2^n}{{\left(1-{\left|x\right|}^2\right)}^2}\text{d}x$.

设 $x\in B^n$，用 $\rho \left(x\right)=d\left(x,0\right)=\ln \frac{1+\left|x\right|}{1-\left|x\right|}$，表示从x到0的测地距离， $r>0$ 时，用 $B_g\left(0,r\right)$ 表示球心在原点 半径为 $r>0$ 的测地开球。仍然用 $\nabla$ 表示 $R^n$ 中Euclidean梯度，同时用 $\langle .,.\rangle$ 表示 $R^n$ 中的标准内积，相对于距离g，在任何切向空间中，双曲梯度 ${\nabla }_g$ 和内积 ${\langle .,.\rangle }_g$ 为如下形式：

${\nabla }_g=\frac{{\left(1-{\left|x\right|}^2\right)}^2}{4}\nabla ,{\langle .,.\rangle }_g=\frac{4}{{\left(1-{\left|x\right|}^2\right)}^2}\langle .,.\rangle$.

为简单起见，对 $H^n$ 里的光滑函数u，我们用 ${\left|{\nabla }_{g}u\right|}_g={\sqrt{\langle {\nabla }_{g}u,{\nabla }_{g}u\rangle }}_g$，因此有如下的关系

${\displaystyle {\int }_{B^n}{\left|{\nabla }_{g}u\right|}_g^n\text{d}{V}_0{l}_g}={\displaystyle {\int }_{B^n}{\left|\nabla u\right|}^n\text{d}x}$. (1.1)

结合(4.1.1)，我们知道到Sobolev空间是 $C_0^{\infty }\left(B^n\right)$ 完备的形式，当定义在Poincaré球模上的空间 $W_0^{1,n}\left(B^n\right)$ 被赋予范数 ${\left({\displaystyle {\int }_{B^n}{\left|\nabla u\right|}^n}\right)}^{\frac{1}{n}}$ 时，我们把它表示为 $W^{1,n}\left(B^n\right)$。 $W_0^{1,n}\left(B^n\right)$ 里径向组成对称的函数构成的子空间我们用 $W_{0,n}^{1,n}\left(B^n\right)$ 表示。

众所周知，双曲空间 $H^n$ 中的对称问题是个很重要的问题。现在，我们来回忆一些双曲空间的重排理论。设 $u:H^n\to R$ 表示下面的函数：

$V_0{l}_g\left(\left\{x\in H^n:\left|u\left(x\right)\right|>t\right\}\right)={\displaystyle {\int }_{\left\{x\in H^n:\left|u\left(x\right)\right|>t\right\}}\text{d}{V}_0{l}_g<\infty },\forall t>0$.

对上面的函数u，它的分布函数用 ${\mu }_u$ 表示，定义为

${\mu }_u=V_0{l}_g\left(\left\{x\in H^n:\left|u\left(x\right)\right|>t\right\}\right),t>0$.

函数 $\left(0,\infty \right)∍t\to {\mu }_u\left(t\right)$ 是非增右连续的。那么u的非增重排函数 $u^{\ast }$ 定义为

$u^{\ast }\left(t\right)=\sup \left\{s>0:{\mu }_u\left(s\right)>t\right\}$.

注意到 $\left(0,\infty \right)∍t\to u^{\ast }\left(t\right)$ 是非增的，现在定义u径向非增重排函数 $u_g^{\#}$ 为

$u_g^{\#}=u^{\ast }\left(V_0{l}_g\left(B_g\left(0,\rho \left(x\right)\right)\right)\right),x\in B^n$. (1.2)

我们再定义一个 $R^n$ 上的函数 $u_e^{\#}$ ：

$u_g^{\#}=u^{\ast }\left({\sigma }_n{\left|x\right|}^n\right),x\in B^n$. (1.3)

这里 ${\sigma }_n$ 表示R中单位球的体积，因为 $u,u_g^{\#},u_e^{\#}$ 都有同样的非增重排函数，对任意的非增函数 $\Phi :\left[0,\infty \right)\to \left[0,\infty \right)$，有

${\displaystyle {\int }_{B^n}\Phi \left(\left|u\right|\right)\text{d}}{V}_0{l}_g={\displaystyle {\int }_{B^n}\Phi \left(u_g^{\#}\right)\text{d}}{V}_0{l}_g={\displaystyle {\int }_{R^n}\Phi \left(u_E^{\#}\right)\text{d}x}={\displaystyle {\int }_0^{\infty }\Phi \left(u^{\ast }\left(t\right)\right)\text{d}t}$. (1.4)

这个不等式是两次变换替换的结果，但是，由Pólya-Szego原则，有

${\displaystyle {\int }_{B^n}{\left|{\nabla }_g{u}_g^{\#}\right|}_g^n\text{d}{V}_0{l}_g}\le {\displaystyle {\int }_{B^n}{\left|{\nabla }_{g}u\right|}_g^n\text{d}{V}_0{l}_g}$.

引理1. 设 $n>2$，对任意的 $0\le \lambda \le {\left(\frac{n-1}{n}\right)}^n,0<\beta <n$，那么对所有的 $u\in C_0^{\infty }\left(B^n\right):{\Vert {\nabla }_{g}u\Vert }_{n,g}^n-\lambda {\Vert u\Vert }_{n,g}^n\le 1$，有

${\displaystyle {\int }_{B^n}\frac{\varphi \left({\alpha }_n\left(1-\frac{\beta }{\alpha }\right){\left|u\right|}^{\frac{n}{n-1}}\right)}{{\rho }^{\beta }J\left(\theta ,\rho \right)}\text{d}Vo{l}_g}<\infty$.

这里， $\rho =\ln \frac{1+\left|x\right|}{1-\left|x\right|},J\left(\theta ,\rho \right)={\left(\frac{\sinh \rho }{\rho }\right)}^{n-1}$。

证明：参考Lam和Lu等人 [2] [3] [4] [5] [6] 使用分割水平集的方法，设 $\Omega \left(u\right)=\left\{x\in B^n,\left|u\left(x\ge 1\right)\right|\right\}$，则有如下不等式

$\begin{array}{c}{\displaystyle {\int }_{B^n}\frac{{\varphi }_n\left({\alpha }_n\left(1-\frac{\beta }{\alpha }\right){\left|u\right|}^{\frac{n}{n-1}}\right)}{\rho {\left(x\right)}^{\beta }J\left(\theta ,\rho \right)}\text{d}V}\le {\displaystyle {\int }_{\Omega \left(u\right)}\frac{\exp \left({\alpha }_n\left(1-\frac{\beta }{\alpha }\right){\left|u\right|}^{\frac{n}{n-1}}\right)}{\rho {\left(x\right)}^{\beta }J\left(\theta ,\rho \right)}\text{d}V}+{\displaystyle {\int }_{\beta \backslash \Omega \left(u\right)}\frac{{\varphi }_n\left({\alpha }_n\left(1-\frac{\beta }{\alpha }\right){\left|u\right|}^{\frac{n}{n-1}}\right)}{\rho {\left(x\right)}^{\beta }J\left(\theta ,\rho \right)}\text{d}V}\\ \le I+II\end{array}$ (1.5)

对于II，我们需要一个简单而又有技巧的工具，简单验证可知，函数 $J\left(\theta ,\rho \right)$ 关于ρ的单调递减的函数，而且 $J\left(\theta ,\rho \right)\ge J\left(\theta ,0\right)=1$，设 $g\left(\rho \right)=\frac{1}{\rho {\left(x\right)}^{\beta }J\left(\theta ,\rho \right)}$，则 $g^{\ast }\left(t\right)={\left(\frac{nt}{{\omega }_n-1}\right)}^{\frac{\beta }{n}},t>0$。因此有

$\begin{array}{c}{\displaystyle {\int }_{\beta \backslash \Omega \left(u\right)}\frac{{\varphi }_n\left({\alpha }_n\left(1-\frac{\beta }{n}\right){\left|u\right|}^{\frac{n}{n-1}}\right)}{\rho {\left(x\right)}^{\beta }J\left(\theta ,\rho \right)}\text{d}V}\underset{˜}{<}{\displaystyle {\int }_{B^n\backslash \Omega \left(u\right)}\frac{{\left|u\right|}^n}{\rho {\left(x\right)}^{\beta }}\text{d}V}\underset{˜}{<}{\displaystyle {\int }_{\left\{\left|u\right|<1\right\}\cap \left\{\rho \le {\Vert u\Vert }_n\right\}}\frac{{\left|u\right|}^n}{\rho {\left(x\right)}^{\beta }}\text{d}V}+{\displaystyle {\int }_{\left\{\left|u\right|<1\right\}\cap \left\{\rho \ge {\Vert u\Vert }_n\right\}}\frac{{\left|u\right|}^n}{\rho {\left(x\right)}^{\beta }}\text{d}V}\\ \underset{˜}{<}{\displaystyle {\int }_{\left\{\left|u\right|<1\right\}\cap \left\{\rho \le {\Vert u\Vert }_n\right\}}\frac{1}{\rho {\left(x\right)}^{\beta }}\text{d}V}+{\displaystyle {\int }_{\left\{\left|u\right|<1\right\}\cap \left\{\rho \ge {\Vert u\Vert }_n\right\}}\frac{{\left|u\right|}^n}{\rho {\left(x\right)}^{\beta }}\text{d}V}\\ \underset{˜}{<}{\displaystyle {\int }_0^{{\Vert u\Vert }_n}\frac{{\sinh }^{3}t}{t^{\beta }}\text{d}t}+\frac{1}{{\Vert u\Vert }_n^{\beta }}{\displaystyle {\int }_{\left\{\left|u\right|<1\right\}\cap \left\{\rho \ge {\Vert u\Vert }_n\right\}}{u}^n}\text{d}V\le C\end{array}$

对于不等式I，由重排理论得

${\displaystyle {\int }_{\Omega \left(u\right)}\frac{\exp ({\alpha }_n\left(1-\frac{\beta }{\alpha }\right){\left|u\right|}^{\frac{n}{n-1}}}{\rho {\left(x\right)}^{\beta }J\left(\theta ,\rho \right)}}$.

类似于 [7] 和 [8]，令 $v=\left({\nabla }_g-{\lambda }^{\frac{1}{n}}\right)u^{\frac{1}{2}}$，那么 ${{\displaystyle {\int }_{B^n}\left|v\right|}}^n\le 1$，把u写成位势形式：

$u=u\ast {\left(\left|{\nabla }_g\right|-{\lambda }^{\frac{1}{n}}\right)}^n=v\ast {\phi }_1$

由O’Neil’s引理 [9] 和变量替换，经过简单计算可得：

$\begin{array}{c}I={\displaystyle {\int }_0^{\left|\Omega \right|}\text{exp}\left(\left(1-\frac{\beta }{n}\right){\alpha }_n{u}^{\ast }{\left(t\right)}^{\frac{n}{n-1}}\right)g^{\ast }\left(t\right)\text{d}t}\\ \le {\displaystyle {\int }_0^{\Omega }\exp \left(\left(1-\frac{\beta }{n}\right){\alpha }_n|\frac{1}{t}{\displaystyle {\int }_0^t{v}^{\ast }\left(s\right)\text{d}s{\displaystyle {\int }_0^t{\phi }_1^{\ast }\left(s\right)\text{d}s+{\displaystyle {\int }_0^{\infty }{v}^{\ast }\left(s\right){\phi }_1^{\ast }\left(s\right)\text{d}s|{}^{\frac{n}{n-1}}}}}\right)g^{\ast }\left(t\right)\text{d}t}\\ \le {\displaystyle {\int }_0^{\Omega }{\displaystyle {\int }_0^{+\infty }\exp \left(\left(1-\frac{\beta }{n}\right){\alpha }_n|\frac{1}{{\Omega }_0{\text{e}}^{-t}}{\displaystyle {\int }_0^{{\Omega }_0{\text{e}}^{-t}}{v}^{\ast }\left(s\right)\text{d}s{\displaystyle {\int }_0^{{\Omega }_0{\text{e}}^{-t}}{\phi }_1^{\ast }\left(s\right)\text{d}s+{\displaystyle {\int }_{{\Omega }_0{\text{e}}^{-t}}^{\infty }{v}^{\ast }\left(s\right){\phi }_1^{\ast }\left(s\right)\text{d}s|{}^{\frac{n}{n-1}}}}}\right)g^{\ast }\left(t\right)\text{d}t}}\\ ={\Omega }_0{\displaystyle {\int }_0^{+\infty }{\text{e}}^{-F\left(t\right)}}\text{d}t\end{array}$

这里

$F\left(t\right)=t-\left(1-\frac{\beta }{\alpha }\right){\alpha }_n|\frac{1}{{\Omega }_0{\text{e}}^{-t}}{\displaystyle {\int }_0^{{\Omega }_0{\text{e}}^{-t}}{v}^{\ast }\left(s\right)\text{d}s}{\displaystyle {\int }_0^{{\Omega }_0{\text{e}}^{-t}}{\phi }_1^{\ast }\left(s\right)\text{d}s}+{\displaystyle {\int }_{{\Omega }_0{\text{e}}^{-t}}^{\infty }{v}^{\ast }\left(s\right){\phi }_1^{\ast }}\left(s\right)\text{d}s|{}^{\frac{n}{n-1}}-\ln g^{\ast }\left({\Omega }_0{\text{e}}^{-t}\right)$

令

$\begin{array}{l}\psi \left(t\right)=\sqrt{{\Omega }_0{\text{e}}^{-t}}{v}^{\ast }\left({\Omega }_0{\text{e}}^{-t}\right),\\ \phi \left(t\right)=\sqrt{{\alpha }_n{\Omega }_0{\text{e}}^{-t}}{\phi }_1^{\ast }\left({\Omega }_0{\text{e}}^{-t}\right)\end{array}$

则 $F\left(t\right)$ 可以表示成如下的形式：

$\begin{array}{c}F\left(t\right)=t-\left(1-\frac{\beta }{n}\right){\left({\text{e}}^t{\displaystyle {\int }_t^{\infty }{\text{e}}^{-\frac{s}{2}}}\psi \left(s\right)\text{d}s{\displaystyle {\int }_t^{\infty }{\text{e}}^{-\frac{s}{2}}\phi \left(s\right)\text{d}s+{\displaystyle {\int }_{-\infty }^t\psi \left(s\right)\phi \left(s\right)\text{d}s}}\right)}^{\frac{n}{n-1}}-\ln g^{\ast }\left({\Omega }_0{\text{e}}^{-t}\right)\\ =t-\left(1-\frac{\beta }{n}\right){\left({\displaystyle {\int }_{-\infty }^{+\infty }a\left(s,t\right)\phi \left(s\right)\text{d}s}\right)}^{\frac{n}{n-1}}-\ln g^{\ast }\left({\Omega }_0{\text{e}}^{-t}\right)\end{array}$

令 $a\left(s,t\right)$ 为如下形式

$a\left(s,t\right)=\{\begin{array}{l}\phi \left(s\right),s<t\hfill \\ {\text{e}}^t\left({\displaystyle {\int }_t^{\infty }{\text{e}}^{-\frac{r}{2}}\phi \left(r\right)\text{d}r}\right){\text{e}}^{-\frac{s}{2}},s>t\hfill \end{array}$

下面我们需要证明 ${\displaystyle {\int }_0^{+\infty }{\text{e}}^{-F\left(t\right)}}\text{d}t<C$。这里的C是 $\phi$ 有关的常数。(从现在开始，我们统一用C表示某个合适的正常数，可能行与行之间是不同的数)。现在，我们需要证明：

1) 存在与 $\phi$ 有关的常数满足 ${\inf }_{t\ge 0}F\left(t\right)\ge -C$ ；

2) 设 $E_{\lambda }=\left\{t\ge 0:F\left(t\right)\le \lambda \right\}$，那么存在依赖于 $\phi$ 的两个常数 $C_1$ 和 $C_2$ 满足

$\left|E_{\lambda }\right|\le C_1\left|\lambda \right|+C_2$.

参考 [7] 中引理5.1的方法可知

${\left({\displaystyle {\int }_{-\infty }^{+\infty }\alpha \left(s,t\right)\psi \left(s\right)\text{d}s}\right)}^{\frac{n}{n-1}}\le t+C$.

这里的C是与 $\phi$ 有关的常数，结合 $g^{\ast }\left(t\right)\le {\left(\frac{nt}{{\omega }_{n-1}}\right)}^{\frac{\beta }{n}}$ 可得

$\begin{array}{c}F\left(t\right)=t-\left(1-\frac{\beta }{n}\right){\left({\displaystyle {\int }_{-\infty }^{+\infty }a\left(s,t\right)\psi \left(s\right)\text{d}s}\right)}^{\frac{n}{n-1}}-\ln g^{\ast }\left({\Omega }_0{\text{e}}^{-t}\right)\\ \ge t-\left(1-\frac{\beta }{n}\right)\left(t+C\right)+\frac{\beta }{n}\left(\ln \frac{n{\Omega }_0}{{\omega }_{n-1}}-t\right)\\ =\left(\frac{\beta }{n}-1\right)+\frac{\beta }{n}\ln \frac{n{\Omega }_0}{{\omega }_{n-1}}\\ =C\end{array}$

1) 得证

下面，我们证明2)。设 $R>0$，不失一般性，假设 $E_{\lambda }\cap \left[R,\infty \right)\ne \varphi$。设 $t_1,t_2\in E_{\lambda }\cap \left[R,\infty \right)\ne \varphi$，并且 $t_1>t_2$。那么，经过计算可得：

$\begin{array}{c}{t}_2-\lambda \le \left(1-\frac{\beta }{n}\right){\left({\displaystyle {\int }_{-\infty }^{+\infty }a\left(s,t\right)\psi \left(s\right)\text{d}s}\right)}^{\frac{n}{n-1}}+\ln g^{\ast }\left({\Omega }_0{\text{e}}^{-t}\right)\\ \le \left(1-\frac{\beta }{n}\right){\left({\displaystyle {\int }_{-\infty }^{+\infty }a\left(s,t\right)\psi \left(s\right)\text{d}s}\right)}^{\frac{n}{n-1}}-\frac{\beta }{n}\left(\ln \frac{n{\Omega }_0}{{\omega }_3}-t_2\right)\end{array}$

因此

$t_2-\lambda \le \left(1-\frac{\beta }{n}\right){\left({\displaystyle {\int }_{-\infty }^{+\infty }a\left(s,t\right)\psi \left(s\right)\text{d}s}\right)}^{\frac{n}{n-1}}-\frac{\beta }{n}\left(\ln \frac{n{\Omega }_0}{{\omega }_3}-t_2\right)$

后续计算完全类似于文献 [10] 的方法，此处我们略去这些计算。

定理1. 设 $n\ge 2,0\le \beta \le n$，则对任意的 $0\le \lambda \le {\left(\frac{n-1}{n}\right)}^n$，

$\underset{u\in W^{1,n}\left(H^n\right),{\Vert {\nabla }_{g}u\Vert }_{n,g}^n-\lambda {\Vert u\Vert }_{n,g}^n\le 1}{\sup }{\displaystyle {\int }_{B^n}\frac{{\varphi }_n\left({\alpha }_n\left(1-\frac{\beta }{n}\right){\left|u\right|}^{\frac{n}{n-1}}\right)}{{\rho }^{\beta }}\text{d}{V}_0}{l}_g<\infty$ (1.6)

成立，而且，当 $\alpha >{\alpha }_n$ 时，上式取不到上确界。

证明：由 [11] 可知

$\frac{1}{{\rho }^{\beta }}\le 1+\frac{1}{{\rho }^{\beta }J\left(\theta ,\rho \right)}\cdot \underset{\theta \in R^{n-1},\rho \in \left[0,1\right]}{J}\left(\theta ,\rho \right)\le \left(1+\frac{1}{{\rho }^{\beta }J\left(\theta ,\rho \right)}\right)C$.

则

$\begin{array}{l}{\displaystyle {\int }_{B^n}\frac{{\varphi }_n\left({\alpha }_n\left(1-\frac{\beta }{n}\right){\left|u\right|}^{\frac{n}{n-1}}\right)}{{\rho }^{\beta }}\text{d}{V}_0{l}_g}\\ \le {\displaystyle {\int }_{B^n}\frac{{\varphi }_n\left({\alpha }_n\left(1-\frac{\beta }{n}\right){\left|u_g^{\#}\left(x\right)\right|}^{\frac{n}{n-1}}\right)}{{\rho }^{\beta }}\text{d}{V}_0{l}_g}\\ \le c{\displaystyle {\int }_{B^n}\frac{{\varphi }_n\left({\alpha }_n\left(1-\frac{\beta }{n}\right){\left|u_g^{\#}\right|}^{\frac{n}{n-1}}\right)}{{\rho }^{\beta }}\text{d}{V}_0{l}_g}+C{\displaystyle {\int }_{B^n}{\varphi }_n\left({\alpha }_n\left(1-\frac{\beta }{n}\right){\left|u_g^{\#}\right|}^{\frac{n}{n-1}}\right)\text{d}{V}_0{l}_g}\\ =C\left(I+II\right)\end{array}$

由引理1可得 $I\le C$，由 [12] 中定理1可得 $II\le C$。

注意到，定理(1)中的 $\lambda$ 达不到 ${\left(\frac{n-1}{n}\right)}^n$，一个很自然的问题是什么条件下 $\lambda$ 可以取到 ${\left(\frac{n-1}{n}\right)}^n$，下面的定理2给出了回答。

定理2：设 $n\ge 2$， $0<\beta <n$，则当 $\alpha <{\alpha }_n$ 时

$\underset{u\in W^{1,n}\left(H^n\right),{\Vert {\nabla }_{g}u\Vert }_{n,g}^n-\frac{n-1}{n}{\Vert u\Vert }_{n,g}^n\le 1}{\sup }{\displaystyle {\int }_{B^n}\frac{{\varphi }_n\left(\alpha \left(1-\frac{\beta }{n}\right){\left|u\right|}^{\frac{n}{n-1}}\right)}{{\rho }^{\beta }}\text{d}{V}_0{l}_g}\le C\left({\Vert u\Vert }_{n,g}^{n-\beta }+{\Vert u\Vert }_{n,g}^n\right)$ (1.7)

成立。

证明：

$\begin{array}{l}{\displaystyle {\int }_{B^n}\frac{{\varphi }_n\left(\alpha \left(1-\frac{\beta }{n}\right){\left|u\right|}^{\frac{n}{n-1}}\right)}{{\left(1+\left|u\right|\right)}^{\frac{n}{n-1}}{\rho }^{\beta }}\text{d}{V}_0{l}_g}\\ \le C{\displaystyle {\int }_{B^n}\frac{{\varphi }_n\left(\alpha \left(1-\frac{\beta }{n}\right){\left|u\right|}^{\frac{n}{n-1}}\right)}{{\left(1+\left|u\right|\right)}^{\frac{n}{n-1}}{\rho }^{\beta }J\left(\theta ,\rho \right)}\text{d}}{V}_0{l}_g+C{\displaystyle {\int }_{B^n}\frac{{\varphi }_n\left(\alpha \left(1-\frac{\beta }{n}\right){\left|u\right|}^{\frac{n}{n-1}}\right)}{{\left(1+\left|u\right|\right)}^{\frac{n}{n-1}}}\text{d}}{V}_0{l}_g\\ =C\left(I_1+I_2\right)\end{array}$

由 [13] 中Adachi-Tabaka不等式可知，如果 $u\in W^{1,n}\left(B^n\right),{\Vert {\nabla }_{g}u\Vert }_{n,g}^n-{\left(\frac{n-1}{n}\right)}^n{\Vert u\Vert }_{n,g}^n\le 1$，当 $\alpha <{\alpha }_n$ 时有

$\begin{array}{c}{I}_2={\displaystyle {\int }_{B^n}\frac{\varphi \left(\alpha \left(1-\frac{\beta }{n}\right){\left|u\right|}^{\frac{n}{n-1}}\right)}{{\left(1+\left|u\right|\right)}^{\frac{n}{n-1}}}\text{d}{V}_0{l}_g}\\ \le {\displaystyle {\int }_{B^n}\frac{\varphi \left(\alpha {\left|u\right|}^{\frac{n}{n-1}}\right)}{{\left(1+\left|u\right|\right)}^{\frac{n}{n-1}}}\text{d}{V}_0{l}_g}\\ \le {\Vert u\Vert }_{n,g}^n\end{array}$

$J\left(\theta ,\rho \right)={\left(\frac{\sinh \rho }{\rho }\right)}^{n-1}$，令 $g\left(\rho \right)=\frac{1}{{\rho }^{\beta }J\left(\theta ,\rho \right)}$ 那么 $g^{\ast }\left(t\right)={\left(\frac{nt}{{\omega }_{n-1}}\right)}^{-\frac{\beta }{n}}$，再令 $h\left(x\right)=\frac{1}{{\left|x\right|}^{\beta }}$，那么 $h^{\ast }\left(t\right)={\left(\frac{nt}{{\omega }_{n-1}}\right)}^{-\frac{\beta }{n}}$，由1.4和 [14] 可得当 $\alpha \le {\alpha }_n$ 时

$\begin{array}{c}{I}_1\le {\displaystyle {\int }_{R^n}\frac{{\varphi }_n\left(\alpha \left(1-\frac{\beta }{n}\right)u_e^{\#\frac{n}{n-1}}\right)}{{\left(1+\left|u_e^{\#}\right|\right)}^{\frac{n}{n-1}}{\left|x\right|}^{\beta }}\text{d}x}\\ \le {\displaystyle {\int }_{R^n}\frac{{\varphi }_n\left(\alpha \left(1-\frac{\beta }{n}\right)u_e{}^{\#\frac{n}{n-1}}\right)}{{\left(1+\left|u_e^{\#}\right|\right)}^{\frac{n}{n-1}\left(1-\frac{\beta }{n}\right)}{\left|x\right|}^{\beta }}\text{d}x}\\ \le C{\Vert u_e^{\#}\Vert }_n^{n-\beta }\\ \le C{\Vert u\Vert }_{n,g}^{n-\beta }\end{array}$

因此，

${\displaystyle {\int }_{B^n}\frac{{\varphi }_n\left(\alpha \left(1-\frac{\beta }{n}\right){\left|u\right|}^{\frac{n}{n-1}}\right)}{{\left(1+\left|u\right|\right)}^{\frac{n}{n-1}}{\rho }^{\beta }}\text{d}{V}_0{l}_g}\le C\left({\Vert u\Vert }_{n,g}^{n-\beta }+{\Vert u\Vert }_{n,g}^n\right)$

即：

$\underset{u\in W^{1.n}\left(H^n\right),{\Vert {\nabla }_{g}u\Vert }_{n,g}^n-{\left(\frac{n-1}{n}\right)}^n{\Vert u\Vert }_{n,g}^n\le 1}{\sup }\frac{1}{{\Vert u\Vert }_{n,g}^{n-\beta }+{\Vert u\Vert }_{n,g}^n}{\displaystyle {\int }_{B^n}\frac{{\varphi }_n\left(\alpha \left(1-\frac{\beta }{n}\right){\left|u\right|}^{\frac{n}{n-1}}\right)}{{\left(1+\left|u\right|\right)}^{\frac{n}{n-1}}{\rho }^{\beta }}}<\infty$

我们注意到：当 $\lambda =0,\beta =0$ 时，定理1包含Moser-Trudinger不等式。(1.4)作为特殊情况之一；当 $\beta =0$ 时，定理1是 [12] 中定理1.1改进的形式，而且，根据(1.4)中常数的最佳性质，可以知道(1.7)中 ${\alpha }_n\left(1-\frac{\beta }{n}\right)$ 也是最佳的。在断点情况，即当 $\lambda ={\left(\frac{n-1}{n}\right)}^n$ 时，(1.7)中的上确界是取不到，此情形下， [14] [15] 把Hardy-Moser-Trudinger不等式从 [16] 的二维空间推广到了任意维数空间。

NOTES

^*通讯作者。