含Hardy-Sobolev临界指数的分数阶Kirchhoff型方程多重解的存在性

Existence of Multiple Solutions for Fractional Kirchhoff Equations with Hardy-Sobolev Critical Exponents

摘要: 本文主要研究了一类Kirchhoff型临界分数阶椭圆方程：

Abstract: 其中和q∈(1,2)为常数，且为ℝ³上的Hardy-Sobolev指数。对f(x)提供合适的假设后，利用Nehari流形和纤维映射法证明方程多重解的存在性。 In this paper, we study a class of critical fractional elliptic problems of Kirchhoff type： where and q∈(1,2) are constants, and is the Hardy-Sobolev exponent in ℝ³. For a suitable function f(x), we use Nehari manifold and fibering maps to prove the existence of multiple solutions.

1. 引言

分数阶Laplace算子最早由Liouville在1832年提出，但是之后的近百年里，关于分数阶Laplace算子的研究几乎一直处于停滞状态。直到二十世纪七十年代，关于它的研究现状才得以改善，在理论和应用上都取得了长足的发展，作为一类非局部算子，分数阶Laplace算子与整数阶Laplace算子相比不仅有本质区别也有共同之处，例如：基本解、Possion核、Harnack不等式、极值原理等。其中，含有Hardy项类型的问题也受到许多学者的重视，并得到了大量重要的结论，见文献 [1] [2] [3]。

文 [2] 研究了如下带有Hardy项的临界分数阶Laplace方程：

${\left(-\Delta \right)}^{s}u-\mu \frac{u}{{\left|x\right|}^{2s}}=u^{2_s^{*}-1},u\in {\stackrel{\dot{}}{H}}^s\left({ℝ}^N\right),$

其中 $N>2s$， $0<s<1$， $2_s^{*}=\frac{2N}{N-2s}$， $0<\mu <{\Lambda }_{N,s}$ 且 ${\Lambda }_{N,s}$ 是Hardy-Sobolev不等式的最佳嵌入常数。文 [2] 运用了约束极小方法和Lagrange乘子技巧得到了该方程正解的存在性。

文 [3] 研究了如下带有Hardy-Sobolev临界指数的椭圆方程：

$\left[a+b{\left({\displaystyle {\int }_{{ℝ}^3}{\left|\nabla u\right|}^2-\mu \frac{u^2}{{\left|x\right|}^2}\text{d}x}\right)}^{\frac{2-\alpha }{2}}\right]\left(-\Delta u-\mu \frac{u}{{\left|x\right|}^2}\right)=\frac{{\left|u\right|}^{2^{*}\left(\alpha \right)-2}u}{{\left|x\right|}^{\alpha }}+\lambda \frac{f\left(x\right){\left|u\right|}^{q-2}u}{{\left|x\right|}^{\beta }},$

其中 $a,b>0,\mu \in \left[0,1/4\right),\alpha ,\beta \in \left[0,2\right)$ 和 $q\in \left(1,2\right)$ 是常数，且 $2^{*}\left(\alpha \right)=6-2\alpha$ 为 ${ℝ}^3$ 上的Hardy-Sobolev指数。文 [3] 运用了Nehari流形和纤维映射方法证明方程多重解的存在性。

结合 [2] 中带Hardy项的临界分数阶Laplace方程的结果与 [3] 中带Kirchhoff项整数阶Laplace方程的结果，我们运用了Nehari流形、集中紧性原理和纤维映射方法证明了一类Kirchhoff型临界分数阶椭圆该方程正解的存在性和多重解的存在性。

本文主要研究的一类Kirchhoff型临界分数阶椭圆方程为：

$\begin{array}{l}\left[a+b{\left({\displaystyle {\int }_{{ℝ}^3}{\displaystyle {\int }_{{ℝ}^3}\frac{{\left(u\left(x\right)-u\left(y\right)\right)}^2}{{\left|x-y\right|}^{3+2s}}\text{d}x\text{d}y}}-{\displaystyle {\int }_{{ℝ}^3}\mu \frac{u^2}{{\left|x\right|}^{2s}}\text{d}x}\right)}^{\frac{s}{3-2s}}\right]\left[{\left(-\Delta \right)}^{s}u-\mu \frac{u}{{\left|x\right|}^{2s}}\right]\\ ={\left|u\right|}^{2_s^{*}-2}u+\lambda f\left(x\right){\left|u\right|}^{q-2}u,\end{array}$ (1.1)

其中 $a,b>0,\frac{3}{4}<s<1,\mu \in \left[0,2^{2s}{\Gamma }^2\left(\frac{3+2s}{4}\right)/{\Gamma }^2\left(\frac{3-2s}{4}\right)\right)$ 和 $q\in \left(1,2\right)$ 为常数，且 $2_s^{*}=\frac{6}{3-2s}$ 为 ${ℝ}^3$ 上的Hardy-Sobolev指数。

本文的主要创新点和难点在于临界指标下 ${\left(PS\right)}_c$ 序列的紧性证明，为此我们需要运用集中紧性原理并且精细估计收敛的泛函能量水平的阈值。据我们所知很少有文章提及问题(1.1)，因此本文的结果是对Kirchhoff型临界分数阶椭圆方程已有结论的扩展和补充。

假设 $f\left(x\right)$ 满足下列条件：

(F) $0\lneqq f\left(x\right)\in L^{\infty }\left({ℝ}^3\right)$ 且存在 $R_0>0$ 使得 $suppf\in B_{R_0}\left(0\right)$。

本文主要结论如下：

定理1.1：假设(F)成立，且 $\frac{3}{4}<s<1,\mu \in \left[0,2^{2s}{\Gamma }^2\left(\frac{3+2s}{4}\right)/{\Gamma }^2\left(\frac{3-2s}{4}\right)\right)$， $q\in \left(1,2\right)$，则对任意 $a,b>0$，我们有

1) 当 $\lambda \in \left(0,{\Lambda }_{*}\right)$ 时，问题(1.1)存在至少一个正解；

2) 当 $\lambda \in \left(0,{\Lambda }_{**}\right)$ 时，问题(1.1)存在至少两个正解；

其中 ${\Lambda }_{*}$ 和 ${\Lambda }_{**}$ 在第二部分给出。

2. Nehari流形和纤维映射

2.1. 预备知识和一些记号

定义 $L^P\left({ℝ}^3\right)\left(1\le p\le +\infty \right)$ 是具有标准范数 ${\left|u\right|}_p$ 的一般Lebesgue空间，记 ${\stackrel{\dot{}}{H}}^s\left({ℝ}^3\right)$ 是 $C_c^{\infty }\left({ℝ}^3\right)$ 关于 ${\Vert \cdot \Vert }_{\stackrel{\dot{}}{H}\left({ℝ}^3\right)}$ 范数的完备化空间，其中：

$\begin{array}{l}{\Vert u\Vert }_{{\stackrel{\dot{}}{H}}^s\left({ℝ}^3\right)}={\left({\displaystyle {\int }_{{ℝ}^3}{\displaystyle {\int }_{{ℝ}^3}\frac{{\left(u\left(x\right)-u\left(y\right)\right)}^2}{{\left|x-y\right|}^{3+2s}}\text{d}x\text{d}y}}\right)}^{\frac{1}{2}},\\ {\left(u,v\right)}_{{\stackrel{\dot{}}{H}}^s\left({ℝ}^3\right)}={\displaystyle {\int }_{{ℝ}^3}{\displaystyle {\int }_{{ℝ}^3}\frac{\left(u\left(x\right)-u\left(y\right)\right)\left(v\left(x\right)-v\left(y\right)\right)}{{\left|x-y\right|}^{3+2s}}\text{d}x\text{d}y}}.\end{array}$

通过分数阶Hardy不等式 [4]：

${\Lambda }_{N,S}{\displaystyle {\int }_{{ℝ}^3}\frac{u^2\left(x\right)}{{\left|x\right|}^{2s}}\text{d}x}\le \frac{C_{N,s}}{2}{\displaystyle {\int }_{{ℝ}^3}{\displaystyle {\int }_{{ℝ}^3}\frac{{\left(u\left(x\right)-u\left(y\right)\right)}^2}{{\left|x-y\right|}^{N+2s}}\text{d}x\text{d}y}}$，其中 ${\Lambda }_{N,S}=2^{2s}{\Gamma }^2\left(\frac{N+2s}{4}\right)/{\Gamma }^2\left(\frac{N-2s}{4}\right)$,

我们推出对任意 $\mu \in \left[0,2^{2s}{\Gamma }^2\left(\frac{3+2s}{4}\right)/{\Gamma }^2\left(\frac{3-2s}{4}\right)\right)$， ${\stackrel{\dot{}}{H}}^S\left({ℝ}^3\right)$ 中内积和范数为：

$\left(u,v\right)={\displaystyle {\int }_{{ℝ}^3}{\displaystyle {\int }_{{ℝ}^3}\frac{\left(u\left(x\right)-u\left(y\right)\right)\left(v\left(x\right)-v\left(y\right)\right)}{{\left|x-y\right|}^{3+2s}}\text{d}x\text{d}y}}-{\displaystyle {\int }_{{ℝ}^3}\mu \frac{uv}{{\left|x\right|}^{2s}}\text{d}x},$

$\Vert u\Vert ={\left({\displaystyle {\int }_{{ℝ}^3}{\displaystyle {\int }_{{ℝ}^3}\frac{{\left(u\left(x\right)-u\left(y\right)\right)}^2}{{\left|x-y\right|}^{3+2s}}\text{d}x\text{d}y}}-{\displaystyle {\int }_{{ℝ}^3}\mu \frac{u^2}{{\left|x\right|}^{2s}}\text{d}x}\right)}^{\frac{1}{2}}.$

对任意 $\mu \in \left[0,2^{2s}{\Gamma }^2\left(\frac{3+2s}{4}\right)/{\Gamma }^2\left(\frac{3-2s}{4}\right)\right)$ 和 $\frac{3}{4}<s<1$，我们可以定义

$S_{\mu ,s}=\inf \left\{{\displaystyle {\int }_{{ℝ}^3}{\displaystyle {\int }_{{ℝ}^3}\frac{{\left(u\left(x\right)-u\left(y\right)\right)}^2}{{\left|x-y\right|}^{3+2s}}\text{d}x\text{d}y}}-{\displaystyle {\int }_{{ℝ}^3}\mu \frac{u^2}{{\left|x\right|}^{2s}}\text{d}x}:u\in {\stackrel{\dot{}}{H}}^s\left({ℝ}^3\right)和{\displaystyle {\int }_{{ℝ}^3}{\left|u\right|}^{2_s^{*}}\text{d}x}=1\right\},$ (2.1)

且存在正函数 $U\in {\stackrel{\dot{}}{H}}^s\left({ℝ}^3\right)$ 取到 $S_{\mu ,S}$，并且满足：

${\displaystyle {\int }_{{ℝ}^3}{\displaystyle {\int }_{{ℝ}^3}\frac{{\left(U\left(x\right)-U\left(y\right)\right)}^2}{{\left|x-y\right|}^{3+2s}}\text{d}x\text{d}y}}-{\displaystyle {\int }_{{ℝ}^3}\mu \frac{U^2}{{\left|x\right|}^{2s}}\text{d}x}={\displaystyle {\int }_{{ℝ}^3}{U}^{2_S^{*}}\text{d}x}=S_{\mu ,S}^{\frac{3}{2s}}.$ (2.2)

因此，本文主要研究问题(1.1)多重解的存在性，且(1.1)的对应泛函为：

$J\left(u\right)=\frac{a}{2}{\Vert u\Vert }^2+\frac{3-2s}{6-2s}b{\Vert u\Vert }^{\frac{6-2s}{3-2s}}-\frac{1}{2_s^{*}}{\displaystyle {\int }_{{ℝ}^3}{u}^{2_s^{*}}\text{d}x}-\frac{\lambda }{q}{\displaystyle {\int }_{{ℝ}^3}f\left(x\right){\left|u\right|}^q\text{d}x}.$

相似于 [5] 中的证明，我们得到 $J\left(u\right)$ 被定义在 ${\stackrel{\dot{}}{H}}^s\left({ℝ}^3\right)$ 上并且 $J\left(u\right)$ 是 $C^1$ 泛函。更进一步，因为(1.1)的任何解都是 $J\left(u\right)$ 的临界点。因此，我们通过求泛函 $J\left(u\right)$ 的临界点来找(1.1)的解。

因为 $suppf\in B_{R_0}\left(0\right)$，通过Hölder不等式和(2.1)，可得

$\begin{array}{c}{\displaystyle {\int }_{{ℝ}^3}f\left(x\right){\left|u\right|}^q\text{d}x}\le {\left|f\right|}_{\infty }{\left({\displaystyle {\int }_{B_{R_0}\left(0\right)}1\text{d}x}\right)}^{\frac{2_s^{*}-q}{2_s^{*}}}{\left({\displaystyle {\int }_{B_{R_0}\left(0\right)}{\left|u\right|}^{2_s^{*}}\text{d}x}\right)}^{\frac{q}{2_s^{*}}}\\ \triangleq {\left|f\right|}_{\infty }{\left|B_{R_0}\left(0\right)\right|}^{\frac{2_s^{*}-q}{2_s^{*}}}{\left({\displaystyle {\int }_{B_{R_0}\left(0\right)}{\left|u\right|}^{2_s^{*}}\text{d}x}\right)}^{\frac{q}{2_s^{*}}}\\ \triangleq {\left|f\right|}_{\infty }{C}_{R_0,s,q}{\left({\displaystyle {\int }_{B_{R_0}\left(0\right)}{\left|u\right|}^{2_s^{*}}\text{d}x}\right)}^{\frac{q}{2_s^{*}}}\triangleq {\left|f\right|}_{\infty }{C}_{R_0,s,q}{S}_{\mu ,s}^{-\frac{q}{2}}{\Vert u\Vert }^q.\end{array}$ (2.3)

为了方便，我们令

${\lambda }_1\triangleq \frac{4s\sqrt{2ab}{S}_{\mu ,s}^{\frac{q}{2}}}{\left(3-2s\right)\left(2_s^{*}-q\right){\left|f^{+}\right|}_{\infty }{C}_{R_0,s,q}}{\left[\frac{2\sqrt{ab\left(2-q\right)\left(\frac{6-2s}{3-2s}-q\right)}{S}_{\mu ,s}^{\frac{2_s^{*}}{2}}}{2_s^{*}-q}\right]}^{\frac{3s}{3-2s}\left(\frac{6-3s}{3-2s}-q\right)}>0,$

${\lambda }_2\triangleq \frac{a\left(2_s^{*}-2\right)S_{\mu ,s}^{\frac{q}{2}}}{\left(2_s^{*}-q\right){\left|f^{+}\right|}_{\infty }{C}_{R_0,s,q}}{\left[\frac{a\left(2-q\right)S_{\mu ,s}^{\frac{2_s^{*}}{2}}}{2_s^{*}-q}\right]}^{\frac{3-2s}{4s}\left(2-q\right)}>0,$

${\lambda }_3\triangleq \frac{1}{2}{\left(a{S}_{\mu ,s}\right)}^{\frac{3\left(2-q\right)}{4s}}{\left(\frac{s}{3C_0}\right)}^{\frac{2-q}{2}}>0,{\lambda }_4\triangleq {\left(\frac{t_1{\displaystyle {\int }_{{ℝ}_3}f\left(x\right){\left|U\right|}^q\text{d}x}}{C_{0}q}\right)}^{\frac{2-q}{q}}>0,$

${\Lambda }_1\triangleq \max \left\{{\lambda }_1,{\lambda }_2\right\},{\Lambda }_2\triangleq \max \left\{q{\lambda }_1/\sqrt{2\frac{6-2s}{3-2s}},\frac{q{\lambda }_2}{2}\right\},$

${\Lambda }_{*}\triangleq \max \left\{{\Lambda }_1,{\lambda }_3,{\lambda }_4\right\},{\Lambda }_{**}\triangleq \max \left\{{\Lambda }_2,{\lambda }_3,{\lambda }_4\right\}.$

2.2. 预备引理

因为 $J\left(u\right)$ 在 ${\stackrel{\dot{}}{H}}^s\left({ℝ}^3\right)$ 上没有下界，所以我们首先研究Nehari流形。定义：

$\mathcal{N}=\left\{u\in {\stackrel{\dot{}}{H}}^s\left({ℝ}^3\right)\backslash \left\{0\right\}:\langle J^{\prime }\left(u\right),u\rangle =0\right\},$

则(1.1)的任何非平凡解都属于 $\mathcal{N}$。明显地， $u\in \mathcal{N}$，当且仅当下式成立，

$a{\Vert u\Vert }^2+b{\Vert u\Vert }^{\frac{6-2s}{3-2s}}-{\displaystyle {\int }_{{ℝ}^3}{\left|u\right|}^{2_s^{*}}\text{d}x}-\lambda {\displaystyle {\int }_{{ℝ}^3}f\left(x\right){\left|u\right|}^q\text{d}x}=0且u\ne 0.$

引理2.1泛函 $J\left(u\right)$ 在 $\mathcal{N}$ 上是强制的并且有下界。

证明：对任意 $u\in \mathcal{N}$，因为 $s\in \left(\frac{3}{4},1\right)$ 和 $q\in \left(1,2\right)$，我们得到

$J\left(u\right)=J\left(u\right)-\frac{1}{2_s^{*}}\langle J^{\prime }\left(u\right),u\rangle \ge \frac{as}{3}{\Vert u\Vert }^2-\left(\frac{1}{q}-\frac{1}{2_s^{*}}\right){\left|f\right|}_{\infty }{C}_{R_0,s,q}{S}_{\mu ,s}^{-\frac{q}{2}}{\Vert u\Vert }^q,$

这就得出 $J\left(u\right)$ 在 $\mathcal{N}$ 上是强制的并且有下界。证毕！

对于任意 $t>0$，Nehari流形 $\mathcal{N}$ 与纤维映射 ${\phi }_u\left(t\right)=J\left(tu\right)$ 密切相关。众所周知，上述映射是由Drabek和Pohozaev [6] 提出，并且被Brown和Zhang [7] (或Chen等 [8] )进一步讨论了。对于任意 $u\in {\stackrel{\dot{}}{H}}^s\left({ℝ}^3\right)$ 我们有

${\phi }_u\left(t\right)=\frac{a}{2}{t}^2{\Vert u\Vert }^2+\frac{3-2s}{6-2s}b{t}^{\frac{6-2s}{3-2s}}{\Vert u\Vert }^{\frac{6-2s}{3-2s}}-\frac{t^{2_s^{*}}}{2_s^{*}}{\displaystyle {\int }_{{ℝ}^3}{\left|u\right|}^{2_s^{*}}\text{d}x}-\frac{\lambda }{q}{t}^q{\displaystyle {\int }_{{ℝ}^3}f\left(x\right){\left|u\right|}^q\text{d}x},$

${{\phi }^{\prime }}_u\left(t\right)=at{\Vert u\Vert }^2+b{t}^{\frac{3}{3-2s}}{\Vert u\Vert }^{\frac{6-2s}{3-2s}}-t^{2_s^{*}-1}{\displaystyle {\int }_{{ℝ}^3}{\left|u\right|}^{2_s^{*}}\text{d}x}-\lambda t^{q-1}{\displaystyle {\int }_{{ℝ}^3}f\left(x\right){\left|u\right|}^q\text{d}x},$

${{\phi }^{″}}_u\left(t\right)=a{\Vert u\Vert }^2+\frac{3b}{3-2s}{t}^{\frac{2s}{3-2s}}{\Vert u\Vert }^{\frac{6-2s}{3-2s}}-\left(2_s^{*}-1\right)t^{2_s^{*}-2}{\displaystyle {\int }_{{ℝ}^3}{\left|u\right|}^{2_s^{*}}\text{d}x}-\lambda \left(q-1\right)t^{q-2}{\displaystyle {\int }_{{ℝ}^3}f\left(x\right){\left|u\right|}^q\text{d}x}.$

对于任意 $u\in {\stackrel{\dot{}}{H}}^s\left({ℝ}^3\right)\backslash \left\{0\right\}$ 和 $t>0$，可得

$t{{\phi }^{\prime }}_u\left(t\right)=a{t}^2{\Vert u\Vert }^2+b{t}^{\frac{6-2s}{3-2s}}{\Vert u\Vert }^{\frac{6-2s}{3-2s}}-t^{2_s^{*}}{\displaystyle {\int }_{{ℝ}^3}{\left|u\right|}^{2_s^{*}}\text{d}x}-\lambda t^q{\displaystyle {\int }_{{ℝ}^3}f\left(x\right){\left|u\right|}^q\text{d}x},$

即当且仅当 $tu\in \mathcal{N}$，有 ${{\phi }^{\prime }}_u\left(t\right)=0$。特别地，当且仅当 $u\in \mathcal{N}$ 时，有 ${{\phi }^{\prime }}_u\left(1\right)=0$

相似于Brown和Zhang [7] 的方法，我们将 $\mathcal{N}$ 分为三个部分：

$\begin{array}{l}{\mathcal{N}}^{+}=\left\{u\in \mathcal{N}:{{\phi }^{″}}_u\left(t\right)>0\right\},\\ {\mathcal{N}}^0=\left\{u\in \mathcal{N}:{{\phi }^{″}}_u\left(t\right)=0\right\},\\ {\mathcal{N}}^{-}=\left\{u\in \mathcal{N}:{{\phi }^{″}}_u\left(t\right)<0\right\}.\end{array}$

因此，对于任意 $u\in \mathcal{N}$，可得

${{\phi }^{″}}_u\left(1\right)=a{\Vert u\Vert }^2+\frac{3b}{3-2s}{\Vert u\Vert }^{\frac{6-2s}{3-2s}}-\left(2_s^{*}-1\right){\displaystyle {\int }_{{ℝ}^3}{\left|u\right|}^{2_s^{*}}\text{d}x}-\lambda \left(q-1\right){\displaystyle {\int }_{{ℝ}^3}f\left(x\right){\left|u\right|}^q\text{d}x}$

$=a\left(2-q\right){\Vert u\Vert }^2+b\left(\frac{6-2s}{3-2s}-q\right){\Vert u\Vert }^{\frac{6-2s}{3-2s}}-\left(2_s^{*}-q\right){\displaystyle {\int }_{{ℝ}^3}{\left|u\right|}^{2_s^{*}}\text{d}x}$ (2.4)

$=\frac{4as}{2s-3}{\Vert u\Vert }^2+\frac{2bs}{2s-3}{\Vert u\Vert }^{\frac{6-2s}{3-2s}}+\left(2_s^{*}-q\right)\lambda {\displaystyle {\int }_{{ℝ}^3}f\left(x\right){\left|u\right|}^q\text{d}x}.$ (2.5)

这与Brow和Zhang ( [7]，定理2.3)的论证相似，我们可以得到以下引理。

引理2.2假设 $u\in {\stackrel{\dot{}}{H}}^s\left({ℝ}^3\right)$ 是 $J\left(u\right)$ 在 $\mathcal{N}$ 上的局部极小点且 $u\notin {\mathcal{N}}^0$，则在 ${\left({\stackrel{\dot{}}{H}}^s\left({ℝ}^3\right)\right)}^{*}$ 内有 $J^{\prime }\left(u\right)=0$。

受上述引理启发，我们将在 ${\mathcal{N}}^0=\varnothing$ 成立下进行研究。

引理2.3假设 $0<\lambda <{\Lambda }_1\triangleq \max \left\{{\lambda }_1,{\lambda }_2\right\}$，则 ${\mathcal{N}}^0=\varnothing$。

证明：对任意 $u\in {\mathcal{N}}^0$，由(2.4)和(2.5)可知

$\begin{array}{c}2\sqrt{ab\left(2-q\right)\left(\frac{6-2s}{3-2s}-q\right)}{\Vert u\Vert }^{\frac{6-3s}{3-2s}}\le a\left(2-q\right){\Vert u\Vert }^2+b\left(\frac{6-2s}{3-2s}-q\right){\Vert u\Vert }^{\frac{6-2s}{3-2s}}\\ =\left(2_s^{*}-q\right){\displaystyle {\int }_{{ℝ}^3}{\left|u\right|}^{2_s^{*}}\text{d}x}\\ \le \left(2_s^{*}-q\right)S_{\mu ,s}^{-\frac{2_s^{*}}{2}}{\Vert u\Vert }^{2_s^{*}},\end{array}$

且由(2.3)可知

$\begin{array}{c}\frac{4s}{3-2s}\sqrt{2ab}{\Vert u\Vert }^{\frac{6-3s}{3-2s}}\le \frac{4as}{3-2s}{\Vert u\Vert }^2+b\frac{2bs}{3-2s}{\Vert u\Vert }^{\frac{6-2s}{3-2s}}\\ =\left(2_s^{*}-q\right)\lambda {\displaystyle {\int }_{{ℝ}^3}f\left(x\right){\left|u\right|}^q\text{d}x}\\ \le \left(2_s^{*}-q\right)\lambda {\left|f\right|}_{\infty }{C}_{R_0,s,q}{S}_{\mu ,s}^{-\frac{q}{2}}{\Vert u\Vert }^q,\end{array}$

这意味着

${\left[\frac{2\sqrt{ab\left(2-q\right)\left(\frac{6-2s}{3-2s}-q\right)}{S}_{\mu ,s}^{\frac{2_s^{*}}{2}}}{2_s^{*}-q}\right]}^{\frac{3s}{3-2s}}\le \Vert u\Vert \le {\left[\frac{\left(2_s^{*}-q\right)\lambda {\left|f\right|}_{\infty }{C}_{R_0,s,q}}{\frac{4s}{3-2s}\sqrt{2ab}{S}_{\mu ,s}^{\frac{q}{2}}}\right]}^{\frac{3-2s}{6-3s-q\left(3-2s\right)}}.$ (2.6)

另一方面，由(2.4)和(2.5)还可以得到

$\begin{array}{c}a\left(2-q\right){\Vert u\Vert }^2\le a\left(2-q\right){\Vert u\Vert }^2+b\left(\frac{6-2s}{3-2s}-q\right){\Vert u\Vert }^{\frac{6-2s}{3-2s}}\\ =\left(2_s^{*}-q\right){\displaystyle {\int }_{{ℝ}^3}{\left|u\right|}^{2_s^{*}}\text{d}x}\\ \le \left(2_s^{*}-q\right)S_{\mu ,s}^{-\frac{2_s^{*}}{2}}{\Vert u\Vert }^{2_s^{*}},\end{array}$

且由(2.3)还可知

$\begin{array}{c}\frac{4as}{3-2s}{\Vert u\Vert }^2\le \frac{4as}{3-2s}{\Vert u\Vert }^2+\frac{2bs}{3-2s}{\Vert u\Vert }^{\frac{6-2s}{3-2s}}\\ =\left(2_s^{*}-q\right)\lambda {\displaystyle {\int }_{{ℝ}^3}f\left(x\right){\left|u\right|}^q\text{d}x}\\ \le \left(2_s^{*}-q\right)\lambda {\left|f\right|}_{\infty }{C}_{R_0,s,q}{S}_{\mu ,s}^{-\frac{q}{2}}{\Vert u\Vert }^q,\end{array}$

这意味着

${\left[\frac{a\left(2-q\right)S_{\mu ,s}^{\frac{2_s^{*}}{2}}}{2_s^{*}-q}\right]}^{\frac{3-2s}{4s}}\le \Vert u\Vert \le {\left[\frac{\left(2_s^{*}-q\right)\lambda {\left|f\right|}_{\infty }{C}_{R_0,s,q}}{a\frac{4s}{3-2s}{S}_{\mu ,s}^{\frac{q}{2}}}\right]}^{\frac{1}{2-q}}.$ (2.7)

结合(2.6)和(2.7)，得到 $\lambda >{\Lambda }_1\triangleq \max \left\{{\lambda }_1,{\lambda }_2\right\}$，显然矛盾。因此对任意 $0<\lambda <{\Lambda }_1$，都有 ${\mathcal{N}}^0=\varnothing$。

为了寻找(1.1)的解，我们还需要证明 ${\mathcal{N}}^{\pm }$ 非空。

引理2.4：假设(F)成立且 $0<\lambda <{\Lambda }_1$，那么对任意 $u\in {\stackrel{\dot{}}{H}}^s\left({ℝ}^3\right)\backslash \left\{0\right\}$，存在 $t_0>0$ 和唯一的 $t^{+}$ 和 $t^{-}$ ( $0<t^{+}<t_0<t^{-}$ )使得 $t^{\pm }u\in {\mathcal{N}}^{\pm }$， $J\left(t^{+}u\right)=\underset{0\le t\le t_0}{\inf }J\left(tu\right)$ 和 $J\left(t^{-}u\right)=\underset{t\ge t_0}{\sup }J\left(tu\right)$。

证明：证明过程与( [8] Lemma 4.2]类似，故这里省略。

从引理2.3可知对任意 $0<\lambda <{\Lambda }_1$，都有 $\mathcal{N}={\mathcal{N}}^{+}\cup {\mathcal{N}}^{-}$。由引理2.4可得 ${\mathcal{N}}^{\pm }\ne \varnothing$ 且由引理2.1我们可以定义 $m=\underset{u\in \mathcal{N}}{\inf }J\left(u\right)$， $m^{+}=\underset{u\in {\mathcal{N}}^{+}}{\inf }J\left(u\right)$， $m^{-}=\underset{u\in {\mathcal{N}}^{-}}{\inf }J\left(u\right)$。

引理2.5：在定理1.1的假设下，我们有

1) 若 $0<\lambda <{\Lambda }_1=\max \left\{{\lambda }_1,{\lambda }_2\right\}$，则 $m^{+}<0$ ；

2) 若 $0<\lambda <{\Lambda }_2\triangleq \max \left\{q{\lambda }_1/\sqrt{2\frac{6-2s}{3-2s}},\frac{q{\lambda }_2}{2}\right\}$，则存在与b无关的 $d_0$ 使得 $m^{-}>d_0$。特别地， $m^{+}=m<0<m^{-}$。

证明：1) 对任意 $u\in {\mathcal{N}}^{+}$，由(2.4)可得

$a\left(2-q\right){\Vert u\Vert }^2+b\left(\frac{6-2s}{3-2s}-q\right){\Vert u\Vert }^{\frac{6-2s}{3-2s}}>\left(2_s^{*}-q\right){\displaystyle {\int }_{{ℝ}^3}{\left|u\right|}^{2_s^{*}}\text{d}x}$,

我们可以得到

$\begin{array}{c}J\left(u\right)=-\frac{a\left(2-q\right)}{2q}{\Vert u\Vert }^2-\frac{b\left[6-2s-q\left(3-2s\right)\right]}{q\left(6-2s\right)}{\Vert u\Vert }^{\frac{6-2s}{3-2s}}+\frac{2_s^{*}-q}{2_s^{*}q}{\displaystyle {\int }_{{ℝ}^3}{\left|u\right|}^{2_s^{*}}\text{d}x}\\ <\frac{a\left(2-q\right)\left(2-2_s^{*}\right)}{2q{2}_s^{*}}{\Vert u\Vert }^2-\frac{2bs\left[6-2s-q\left(3-2s\right)\right]}{q{2}_s^{*}\left(6-2s\right)\left(3-2s\right)}{\Vert u\Vert }^{\frac{6-2s}{3-2s}}<0,\end{array}$

所以 $m^{+}<0$。

2) 我们分两种情形进行讨论。

情形1： $0<\lambda <q{\lambda }_1/\sqrt{2\frac{6-2s}{3-2s}}$

由(2.6)可知，对任意 $u\in {\mathcal{N}}^{-}$，我们有

$\Vert u\Vert >{\left[\frac{2\sqrt{ab\left(2-q\right)\left(\frac{6-2s}{3-2s}-q\right)}{S}_{\mu ,s}^{\frac{2_s^{*}}{2}}}{2_s^{*}-q}\right]}^{\frac{3s}{3-2s}}.$ (2.8)

则对任意 $u\in {\mathcal{N}}^{-}\subset \mathcal{N}$ 和(2.3)可得

$\begin{array}{c}J\left(u\right)=\frac{a\left(2_s^{*}-2\right)}{2\cdot 2_s^{*}}{\Vert u\Vert }^2+\frac{s}{\left(3-s\right)2_s^{*}}b{\Vert u\Vert }^{\frac{6-2s}{3-2s}}-\frac{\lambda \left(2_s^{*}-q\right)}{q{2}_s^{*}}{\displaystyle {\int }_{{ℝ}^3}f\left(x\right){\left|u\right|}^q\text{d}x}\\ \ge {\Vert u\Vert }^q\left[\frac{2\sqrt{ab\left(2_s^{*}-2\right)s}}{2_s^{*}\sqrt{6-2s}}{\Vert u\Vert }^{\frac{6-3s}{3-2s}-q}-\frac{\lambda \left(2_s^{*}-q\right)}{q{2}_s^{*}}{\left|f\right|}_{\infty }{C}_{R_0,s,q}{S}_{\mu ,s}^{-\frac{q}{2}}\right].\end{array}$ (2.9)

结合(2.8)和(2.9)，可得若 $0<\lambda <q{\lambda }_1/\sqrt{2\frac{6-2s}{3-2s}}$，存在与b无关的 $d_0$ 使得 $m^{-}>d_0$。

情形2： $0<\lambda <q{\lambda }_2/2$

由(2.7)可知，对任意 $u\in {\mathcal{N}}^{-}$，我们有

$\Vert u\Vert >{\left[\frac{a\left(2-q\right)S_{\mu ,s}^{\frac{2_s^{*}}{2}}}{2_s^{*}-q}\right]}^{\frac{3-2s}{4s}}.$ (2.10)

则对任意 $u\in {\mathcal{N}}^{-}\subset \mathcal{N}$ 和(2.3)可得

$\begin{array}{c}J\left(u\right)=\frac{a\left(2_s^{*}-2\right)}{2\cdot 2_s^{*}}{\Vert u\Vert }^2+\frac{s}{\left(3-s\right)2_s^{*}}b{\Vert u\Vert }^{\frac{6-2s}{3-2s}}-\frac{\lambda \left(2_s^{*}-q\right)}{q{2}_s^{*}}{\displaystyle {\int }_{{ℝ}^3}f\left(x\right){\left|u\right|}^q\text{d}x}\\ \ge {\Vert u\Vert }^q\left[\frac{a\left(2_s^{*}-2\right)}{2\cdot 2_s^{*}}{\Vert u\Vert }^{2-q}-\frac{\lambda \left(2_s^{*}-q\right)}{q{2}_s^{*}}{\left|f\right|}_{\infty }{C}_{R_0,s,q}{S}_{\mu ,s}^{-\frac{q}{2}}\right].\end{array}$ (2.11)

结合(2.10)和(2.11)，可得若 $0<\lambda <q{\lambda }_2/2$，存在与b无关的 $d_0$ 使得 $m^{-}>d_0$。

3. 定理1.1的证明

利用Ekeland变分原理 [9] 和( [8]，引理5.2)，我们得到如下结果。

引理3.1：在定理1.1的假设下，我们有

1) 若 $0<\lambda <{\Lambda }_1$，则 $J\left(u\right)$ 有 ${\left(PS\right)}_m$ 序列 $\left\{u_n\right\}\subset \mathcal{N}$ ；

2) 若 $0<\lambda <{\Lambda }_2$，则 $J\left(u\right)$ 有 ${\left(PS\right)}_{m^{-}}$ 序列 $\left\{u_n\right\}\subset {\mathcal{N}}^{-}$。

下面引理给出了 $J\left(u\right)$ 的 ${\left(PS\right)}_c$ 条件成立的区间。

引理3.2：若 $\lambda \in \left(0,{\Lambda }_{*}\right)$，当 $c<c_{\mu ,s}^{*}-C_0{\lambda }^{2/\left(2-q\right)}$， $J\left(u\right)$ 的任何 ${\left(PS\right)}_c$ 序列都包含一个强收敛的子序列，其中

$\begin{array}{l}{c}_{\mu ,s}^{*}=\frac{as}{3}{S}_{\mu ,s}{\left(\frac{b{S}_{\mu ,s}^{\frac{3-s}{3-2s}}+\sqrt{b^2{S}_{\mu ,s}^{\frac{6-2s}{3-2s}}+4a{S}_{\mu ,s}}}{2}\right)}^{\frac{3-2s}{s}}\\ +\frac{bs\left(3-2s\right)}{3\left(6-2s\right)}{S}_{\mu ,s}^{\frac{3-s}{3-2s}}{\left(\frac{b{S}_{\mu ,s}^{\frac{3-s}{3-2s}}+\sqrt{b^2{S}_{\mu ,s}^{\frac{6-2s}{3-2s}}+4a{S}_{\mu ,s}}}{2}\right)}^{\frac{3-s}{s}},\end{array}$ (3.1)

$C_0$ 由引理3.3给出的正常数。

证明：设 $\left\{u_n\right\}\subset {\stackrel{\dot{}}{H}}^s\left({ℝ}^3\right)$ 是 $J\left(u\right)$ 的一个 ${\left(PS\right)}_c$ 序列。因为 $q\in \left(1,2\right)$ 和

$\begin{array}{c}c+1+o\left(1\right)\Vert u_n\Vert \ge J\left(u_n\right)-\frac{3-2s}{6-2s}\langle J^{\prime }\left(u_n\right),u_n\rangle \\ \ge \frac{as}{6-2s}{\Vert u_n\Vert }^2-\frac{6-2s-q\left(3-2s\right)}{\left(6-2s\right)q}\lambda {\left|f\right|}_{\infty }{C}_{R_0,s,q}{S}_{\mu ,s}^{-\frac{q}{2}}{\Vert u_n\Vert }^q,\end{array}$

因此 $\left\{u_n\right\}$ 在 ${\stackrel{\dot{}}{H}}^s\left({ℝ}^3\right)$ 上有界。因此存在子序列仍记为 $\left\{u_n\right\}$ 和 $u\in {\stackrel{\dot{}}{H}}^s\left({ℝ}^3\right)$，使得当 $r\in \left[1,2_s^{*}\right)$ 时在 ${\stackrel{\dot{}}{H}}^s\left({ℝ}^3\right)$ 内 $u_n\rightharpoonup u$，在 $L_{loc}^r\left({ℝ}^3\right)$ 内 $u_n\to u$，在 ${ℝ}^3$ 内 $u_n$ 几乎处处收敛到u，且

${\left|D_s{u}_n\left(x\right)\right|}^2={\displaystyle {\int }_{{ℝ}^3}\frac{{\left|u_n\left(x\right)-u_n\left(y\right)\right|}^2}{{\left|x-y\right|}^{3+2s}}\text{d}y.}$

由集中紧性原理 [10] [11] 可知，存在一个可数集合 $\Gamma$，一组不同的点 $\left\{x_j\right\}\subset {ℝ}^3/\left\{0\right\}$，非负实数 ${\mu }_{x_j}$， $v_{x_j}$ ( $j\in \Gamma$ )和非负实数 ${\mu }_0$， ${\gamma }_0$ 和 ${\nu }_0$ 使得

$\begin{array}{l}{\left|D_s{u}_n\right|}^2\rightharpoonup \text{d}\tilde{\mu }\ge {\left|D_{s}u\right|}^2+{\displaystyle \underset{j\in \Gamma }{\sum }{\mu }_{x_j}{\delta }_{x_j}}+{\mu }_0{\delta }_0,\\ u_n^2{\left|x\right|}^{-2}\rightharpoonup \text{d}\gamma =u^2{\left|x\right|}^{-2}+{\gamma }_0{\delta }_0,\\ {\left|u_n\right|}^{2_s^{*}}\rightharpoonup \text{d}\nu ={\left|u\right|}^{2_s^{*}}+{\displaystyle \underset{j\in \Gamma }{\sum }{\nu }_{x_j}{\delta }_{x_j}}+{\nu }_0{\delta }_0,\end{array}$

其中 ${\delta }_x$ 是 $x\in {ℝ}^3$ 处的Dirac测度。不失一般性，我们只考虑在奇点 $0\in {ℝ}^3$ 处集中的可能性。因此，对任意 $\epsilon >0$，我们令 $x_j\notin B_{\epsilon }\left(0\right)$ ( $j\in \Gamma$ )并选择一个光滑的分段函数 ${\phi }^{\epsilon }$， ${\phi }^{\epsilon }$ 且满足这样 $0\le {\phi }^{\epsilon }\le 1$，当 $x\in B_{\epsilon }^c\left(0\right)$ 时 ${\phi }^{\epsilon }\equiv 0$，当 $x\in B_{\epsilon /2}\left(0\right)$ 时 ${\phi }^{\epsilon }\equiv 1$ 以及 $\left|D_s{\phi }^{\epsilon }\right|\le 4/\epsilon$。则

$\underset{\epsilon \to 0}{\lim }\underset{n\to \infty }{\lim }{\displaystyle {\int }_{{ℝ}^3}{\displaystyle {\int }_{{ℝ}^3}\frac{{\left|u_n\left(x\right)-u_n\left(y\right)\right|}^2}{{\left|x-y\right|}^{3+2s}}{\phi }^{\epsilon }\text{d}y\text{d}x}}=\underset{\epsilon \to 0}{\lim }{\displaystyle {\int }_{{ℝ}^3}{\phi }^{\epsilon }\text{d}\tilde{\mu }}\ge {\mu }_0,$

$\underset{\epsilon \to 0}{\lim }\underset{n\to \infty }{\lim }{\displaystyle {\int }_{{ℝ}^3}{u}_n^2{\left|x\right|}^{-2}{\phi }^{\epsilon }\text{d}x}=\underset{\epsilon \to 0}{\lim }{\displaystyle {\int }_{{ℝ}^3}{\phi }^{\epsilon }\text{d}\gamma }={\gamma }_0,$

$\underset{\epsilon \to 0}{\lim }\underset{n\to \infty }{\lim }{\displaystyle {\int }_{{ℝ}^3}{u}_n^{2_s^{*}}{\phi }^{\epsilon }\text{d}x}=\underset{\epsilon \to 0}{\lim }{\displaystyle {\int }_{{ℝ}^3}{\phi }^{\epsilon }\text{d}\nu }={\nu }_0,$ (3.2)

$\underset{\epsilon \to 0}{\lim }\underset{n\to \infty }{\lim }{\displaystyle {\int }_{{ℝ}^3}f\left(x\right){\left|u_n\right|}^q{\phi }^{\epsilon }\text{d}x}=0,$

$\underset{\epsilon \to 0}{\lim }\underset{n\to \infty }{\lim }{\displaystyle {\int }_{{ℝ}^3}{u}_n\left(x\right)}{\displaystyle {\int }_{{ℝ}^3}\frac{\left(u_n\left(x\right)-u_n\left(y\right)\right)\left({\phi }^{\epsilon }\left(x\right)-{\phi }^{\epsilon }\left(y\right)\right)}{{\left|x-y\right|}^{3+2s}}\text{d}y\text{d}x}=0.$

因为 $\left\{u_n\right\}$ 是有界的，由(3.2)知

$\begin{array}{l}0=\underset{\epsilon \to 0}{\lim }\underset{n\to \infty }{\lim }\langle J^{\prime }\left(u_n\right),u_n{\phi }^{\epsilon }\rangle \\ =\underset{\epsilon \to 0}{\lim }\underset{n\to \infty }{\lim }\{\left(a+b{\Vert u_n\Vert }^{\frac{2s}{3-2s}}\right)({\displaystyle {\int }_{{ℝ}^3}{\displaystyle {\int }_{{ℝ}^3}\frac{{\left|u_n\left(x\right)-u_n\left(y\right)\right|}^2}{{\left|x-y\right|}^{3+2s}}{\phi }^{\epsilon }\text{d}y\text{d}x}}+{\displaystyle {\int }_{{ℝ}^3}{u}_n\left(x\right)}{\displaystyle {\int }_{{ℝ}^3}\frac{\left(u_n\left(x\right)-u_n\left(y\right)\right)\left({\phi }^{\epsilon }\left(x\right)-{\phi }^{\epsilon }\left(y\right)\right)}{{\left|x-y\right|}^{3+2s}}\text{d}y\text{d}x}\\ \begin{array}{c}\\ \stackrel{}{}\end{array}-{\displaystyle {\int }_{{ℝ}^3}{u}_n^2{\left|x\right|}^{-2}{\phi }^{\epsilon }\text{d}x})-{\displaystyle {\int }_{{ℝ}^3}{\left|u_n\right|}^{2_s^{*}}{\phi }^{\epsilon }\text{d}x}-\lambda {\displaystyle {\int }_{{ℝ}^3}f\left(x\right){\left|u_n\right|}^q{\phi }^{\epsilon }\text{d}x}\}\\ \ge a\left({\mu }_0-\mu {\gamma }_0\right)+b{\left({\mu }_0-\mu {\gamma }_0\right)}^{\frac{3-s}{3-2s}}-{\nu }_0.\end{array}$

由(2.1)，即 $S_{\mu ,s}^{2_s^{*}/2}{\nu }_0\le {\left({\mu }_0-\mu {\gamma }_0\right)}^{2_s^{*}/2}$，可得

$S_{\mu ,s}^{-3/\left(3-2s\right)}{\left({\mu }_0-\mu {\gamma }_0\right)}^{2s/\left(3-2s\right)}-b{\left({\mu }_0-\mu {\gamma }_0\right)}^{s/\left(3-2s\right)}-a\ge 0,$

也就是说，

$\left({\mu }_0-\mu {\gamma }_0\right)\ge S_{\mu ,s}{\left(\frac{b{S}_{\mu ,s}^{\frac{3-s}{3-2s}}+\sqrt{b^2{S}_{\mu ,s}^{\frac{6-2s}{3-2s}}+4a{S}_{\mu ,s}}}{2}\right)}^{\frac{3-2s}{s}},$

因此，我们有

$\begin{array}{c}c+o_n\left(1\right)=J\left(u_n\right)-\frac{3-2s}{6-2s}\langle J^{\prime }\left(u_n\right),u_n\rangle \\ =\frac{as}{6-2s}{\Vert u_n\Vert }^2+\frac{s\left(3-2s\right)}{3\left(6-2s\right)}{\displaystyle {\int }_{{ℝ}^3}{u}_n^{2_s^{*}}\text{d}x}-\lambda \frac{6-2s-q\left(3-2s\right)}{q\left(6-2s\right)}{\displaystyle {\int }_{{ℝ}^3}f\left(x\right){\left|u_n\right|}^q\text{d}x}\\ \ge \frac{as}{6-2s}\left({\mu }_0-\mu {\gamma }_0+{\Vert u\Vert }^2\right)+\frac{s\left(3-2s\right)}{3\left(6-2s\right)}{\nu }_0-\lambda \frac{6-2s-q\left(3-2s\right)}{q\left(6-2s\right)}{\left|f\right|}_{\infty }{C}_{R_0,s,q}{S}_{\mu ,s}^{-\frac{q}{2}}{\Vert u\Vert }^q\\ \ge \frac{as}{6-2s}\left({\mu }_0-\mu {\gamma }_0\right)+\frac{s\left(3-2s\right)}{3\left(6-2s\right)}\left[a\left({\mu }_0-\mu {\gamma }_0\right)+b{\left({\mu }_0-\mu {\gamma }_0\right)}^{\frac{3-s}{3-2s}}\right]-C_0{\lambda }^{\frac{2}{2-q}}\\ =\frac{as}{3}\left({\mu }_0-\mu {\gamma }_0\right)+\frac{bs\left(3-2s\right)}{3\left(6-2s\right)}{\left({\mu }_0-\mu {\gamma }_0\right)}^{\frac{3-s}{3-2s}}-C_0{\lambda }^{\frac{2}{2-q}}\ge C_{\mu ,s}^{*}-C_0{\lambda }^{\frac{2}{2-q}},\end{array}$

这矛盾于我们的假设。因此我们有 ${\displaystyle {\int }_{{ℝ}^3}{\left|u_n\right|}^{2_s^{*}}\text{d}x}\to {\displaystyle {\int }_{{ℝ}^3}{\left|u\right|}^{2_s^{*}}\text{d}x}$，结合(2.3)可得

${\displaystyle {\int }_{{ℝ}^3}f\left(x\right){\left|u_n\right|}^q\text{d}x}\to {\displaystyle {\int }_{{ℝ}^3}f\left(x\right){\left|u\right|}^q\text{d}x}.$

因此，

$\begin{array}{c}o\left(1\right)=\langle J^{\prime }\left(u_n\right)-J^{\prime }\left(u\right),u_n-u\rangle \\ =\left(a+b{\Vert u_n\Vert }^{\frac{2s}{3-2s}}\right)\left(u_n,u_n-u\right)-\left(a+b{\Vert u\Vert }^{\frac{2s}{3-2s}}\right)\left(u,u_n-u\right)+o\left(1\right)\\ =\left(a+b{\Vert u_n\Vert }^{\frac{2s}{3-2s}}\right)\left(u_n-u,u_n-u\right)+b\left({\Vert u_n\Vert }^{\frac{2s}{3-2s}}-{\Vert u\Vert }^{\frac{2s}{3-2s}}\right)\left(u,u_n-u\right)+o\left(1\right)\\ \ge a{\Vert u_n-u\Vert }^2+o\left(1\right),\end{array}$

故在 ${\stackrel{\dot{}}{H}}^s\left({ℝ}^3\right)$ 内 $u_n\to u$。证毕！

为了应用引理3.2，我们需要以下结果

引理3.3：在定理1.1的假设下，对任意 $\lambda \in \left(0,{\Lambda }_{*}\right)$ 我们有

$\underset{t\ge 0}{\sup }J\left(tu\right)<c_{\mu ,s}^{*}-C_0{\lambda }^{\frac{2}{2-q}},C_0=\frac{as\left(2-q\right)}{q\left(3-s\right)}{\left[\frac{\left[6-2s-q\left(3-2s\right)\right]{\left|f\right|}_{\infty }{C}_{R_0,s,q}}{2as{S}_{\mu ,s}^{\frac{q}{2}}}\right]}^{\frac{2}{2-q}}.$

特别地，对任意 $\lambda \in \left(0,{\Lambda }_{*}\right)$，都有 $m^{-}<C_{\mu ,s}^{*}-C_0{\lambda }^{\frac{2}{2-q}}$。

证明：由(3.1)可知，对任意 $\lambda \in \left(0,{\lambda }_3\right)$ 都有 $c_{\mu ,s}^{*}-C_0{\lambda }^{\frac{2}{2-q}}>0$。我们定义

$\begin{array}{c}g\left(t\right)=\frac{a}{2}{t}^2{\Vert U\Vert }^2+\frac{3-2s}{6-2s}b{t}^{\frac{6-2s}{3-2s}}{\Vert U\Vert }^{\frac{6-2s}{3-2s}}-\frac{t^{2_s^{*}}}{2_s^{*}}{\displaystyle {\int }_{{ℝ}^3}{\left|U\right|}^{2_s^{*}}\text{d}x}\\ \triangleq C_1{t}^2+C_2{t}^{\frac{6-2s}{3-2s}}-C_3{t}^{2_s^{*}},t\ge 0.\end{array}$

根据(2.2)可知， $C_1=\frac{a}{2}{S}_{\mu ,s}^{\frac{3}{2s}}$， $C_2=b\frac{3-2s}{6-2s}{S}_{\mu ,s}^{\frac{3\left(3-s\right)}{2s\left(3-2s\right)}}$， $C_3=\frac{1}{2_s^{*}}{S}_{\mu ,s}^{\frac{3}{2s}}$。

通过一些基本的计算，我们得到

$g^{\prime }\left(t\right)=2C_{1}t+\frac{6-2s}{3-2s}{C}_2{t}^{\frac{3}{3-2s}}-2_s^{*}{C}_3{t}^{\frac{3+2s}{3-2s}},t\ge 0.$

当 $g^{\prime }\left(t\right)=0$ 时，它有唯一解，该解为

$\tilde{t}=S_{\mu ,s}^{-\frac{3-2s}{4s}}{\left(\frac{b{S}_{\mu ,s}^{\frac{3-s}{3-2s}}+\sqrt{b^2{S}_{\mu ,s}^{\frac{6-2s}{3-2s}}+4a{S}_{\mu ,s}}}{2}\right)}^{\frac{3-2s}{2s}}.$

因此，可得

$\begin{array}{c}\underset{t\ge 0}{\max }g\left(t\right)=g\left(\tilde{t}\right)=C_1{\tilde{t}}^2+C_2{\tilde{t}}^{\frac{6-2s}{3-2s}}-\frac{2C_1{\tilde{t}}^2+\frac{6-2s}{3-2s}{C}_2{\tilde{t}}^{\frac{6-2s}{3-2s}}}{2_s^{*}}\\ =\frac{2s}{3}{C}_1{\tilde{t}}^2+\frac{s}{3}{C}_2{\tilde{t}}^{\frac{6-2s}{3-2s}}=c_{\mu ,s}^{*},\end{array}$

也就是说对任意 $t\ge 0$，都有

$J\left(tU\right)=g\left(t\right)-\frac{t^q}{q}\lambda {\displaystyle {\int }_{{ℝ}^3}f\left(x\right){\left|U\right|}^q\text{d}x}\le c_{\mu ,s}^{*}-\frac{t^q}{q}\lambda {\displaystyle {\int }_{{ℝ}^3}f\left(x\right){\left|U\right|}^q\text{d}x}.$ (3.3)

因为 $J\left(0\right)=0$，则存在仅依赖于 ${\lambda }_3$ 的 $t_1\in \left(0,1\right)$ 使得对任意 $\lambda \in \left(0,{\lambda }_3\right)$ 都有

$\underset{0\le t\le t_1}{\max }J\left(tU\right)<c_{\mu ,s}^{*}-C_0{\lambda }^{\frac{2}{2-q}}.$

另一方面，由(3.3)可知， $\underset{t\ge t_1}{\max }J\left(tU\right)\le c_{\mu ,s}^{*}-\frac{t_1{}^q}{q}\lambda {\displaystyle {\int }_{{ℝ}^3}f\left(x\right){\left|U\right|}^q\text{d}x}$，即对任意 $\lambda \in \left(0,{\lambda }_4\right)$，都有 $\underset{t>t_1}{\max }J\left(tU\right)<c_{\mu ,s}^{*}-C_0{\lambda }^{\frac{2}{2-q}}$。

综上所述，对任意 $\lambda \in \left(0,{\Lambda }_{*}\right)$，都有 $\underset{t\ge 0}{\max }J\left(tU\right)<c_{\mu ,s}^{*}-C_0{\lambda }^{\frac{2}{2-q}}$。

因为 $U\in {\stackrel{\dot{}}{H}}^s\left({ℝ}^3\right)\backslash \left\{0\right\}$，由引理2.4可知存在唯一的 $t_U^{\pm }$ 使得 $t_U^{\pm }U\in {\mathcal{N}}^{\pm }$。因此我们得到 $m^{-}\le J\left(t_U^{-}U\right)\le \underset{t\ge 0}{\max }J\left(tU\right)$。证毕！

命题3.4：在定理1.1的假设下，对任意 $\lambda \in \left(0,{\Lambda }_{*}\right)$，则存在 $u_{\lambda }\in {\stackrel{\dot{}}{H}}^s\left({ℝ}^3\right)$ 使得

1) $u_{\lambda }$ 是(1.1)的正解且 $J\left(u_{\lambda }\right)=m=m^{+}$ ；

2) 当 $\lambda \to 0^{+}$ 时， $\Vert u_{\lambda }\Vert \to 0$。

证明：1) 由Ekland变分原理知，m的任意极小化序列 $\left\{u_n\right\}\in \mathcal{N}$ 能转化为 $J\left(u\right)$ 的 ${\left(PS\right)}_m$ 序列，也就是说，当 $n\to \infty$，

$J\left(u_n\right)\to m+o\left(1\right)$ 和 $J^{\prime }\left(u_n\right)\to o\left(1\right)$。

由引理2.1可知， $\left\{u_n\right\}$ 在 ${\stackrel{\dot{}}{H}}^s\left({ℝ}^3\right)$ 内有界。则存在子序列 $u_{\lambda }\in {\stackrel{\dot{}}{H}}^s\left({ℝ}^3\right)$ 使得在 ${\stackrel{\dot{}}{H}}^s\left({ℝ}^3\right)$ 内 $u_n\rightharpoonup u_{\lambda }$。根据m和 $m^{\pm }$ 的定义可得 $m\le m^{\pm }$。因此由引理3.2和引理3.3可知，在 ${\stackrel{\dot{}}{H}}^s\left({ℝ}^3\right)$ 内 $u_n\to u_{\lambda }$，故 $J\left(u_{\lambda }\right)=m$， $J^{\prime }\left(u_{\lambda }\right)=0$。又因为 $m\le m^{\pm }<0$，所以由引理2.2可得 $u_{\lambda }$ 是(1.1)的一个非平凡解。由于 $J\left(u\right)$ 的对称性可知， $J\left(\left|u_{\lambda }\right|\right)=J\left(u_{\lambda }\right)=m$， $J^{\prime }\left(\left|u_{\lambda }\right|\right)=J^{\prime }\left(u_{\lambda }\right)=0$。利用Harnack’s不等式 [12] 可得，在 ${ℝ}^3$ 内 $u_{\lambda }\left(x\right)>0$，所以 $u_{\lambda }$ 是(1.1)的一个正解。我们现在可以断定 $u_{\lambda }\in {\mathcal{N}}^{+}$。通过反证法，引理2.3假定 $u_{\lambda }\in {\mathcal{N}}^{-}$。由引理2.4知存在唯一的 $t_{\lambda }^{+}$ 和 $t_{\lambda }^{-}$ 且 $0<t_{\lambda }^{+}<t_{\lambda }^{-}\equiv 1$ 使得 $t_{\lambda }^{\pm }{u}_{\lambda }\in {\mathcal{N}}^{\pm }$。根据( [8]，引理4.2]中相同方法，可知 ${\phi }_{u_{\lambda }}\left(t\right)=J\left(t{u}_{\lambda }\right)$ 在 $\left(t_{\lambda }^{+},t_{\lambda }^{-}\right)$ 上严格递增，因此

$m^{+}\le J\left(t_{\lambda }^{+}{u}_{\lambda }\right)<J\left(t_{\lambda }^{-}{u}_{\lambda }\right)=J\left(u_{\lambda }\right)=m\le m^{+},$

矛盾！因此，我们可得 $u_{\lambda }\in {\mathcal{N}}^{+}$，这意味着 $m^{+}\le J\left(u_{\lambda }\right)=m\le m^{+}$。(i)证毕。

2) 因为 $u_{\lambda }\in {\mathcal{N}}^{+}$，由(2.6)和(2.7)可得，

$\Vert u_{\lambda }\Vert <\min \left\{{\left[\frac{\left(2_s^{*}-q\right)\lambda {\left|f\right|}_{\infty }{C}_{R_0,s,q}}{\frac{4s}{3-2s}\sqrt{2ab}{S}_{\mu ,s}^{\frac{q}{2}}}\right]}^{\frac{3-2s}{6-3s-q\left(3-2s\right)}},{\left[\frac{\left(2_s^{*}-q\right)\lambda {\left|f\right|}_{\infty }{C}_{R_0,s,q}}{a\frac{4s}{3-2s}{S}_{\mu ,s}^{\frac{q}{2}}}\right]}^{\frac{1}{2-q}}\right\}$,

这意味着当 $\lambda \to 0^{+}$， $\Vert u_{\lambda }\Vert \to 0$。证毕！

接下来，我们证明 ${\mathcal{N}}^{-}$ 上 $J\left(u\right)$ 存在局部极小点。

命题3.5：在定理1.1的假设下，对任意 $\lambda \in \left(0,{\Lambda }_{**}\right)$，则存在 $U_{\lambda }\in {\stackrel{\dot{}}{H}}^s\left({ℝ}^3\right)$ 使得

1) $J\left(U_{\lambda }\right)=m^{-}$ ；

2) $U_{\lambda }$ 是(1.1)的一个正解。

证明：1) 根据命题3.1(2)可知，存在 $J\left(u\right)$ 的一个 ${\left(PS\right)}_{m^{-}}$ 序列，使得当 $n\to \infty$， $J\left(u_n\right)\to m^{-}+o\left(1\right)$ 和 $J^{\prime }\left(u_n\right)\to o\left(1\right)$。由引理2.1可知， $\left\{u_n\right\}$ 在 ${\stackrel{\dot{}}{H}}^s\left({ℝ}^3\right)$ 内有界。则存在元素 $U_{\lambda }\in {\stackrel{\dot{}}{H}}^s\left({ℝ}^3\right)$ 使得在 ${\stackrel{\dot{}}{H}}^s\left({ℝ}^3\right)$ 内 $u_n\rightharpoonup U_{\lambda }$。因此由引理3.2和引理3.3可知，在 ${\stackrel{\dot{}}{H}}^s\left({ℝ}^3\right)$ 内 $u_n\to U_{\lambda }$，故 $J\left(U_{\lambda }\right)=m^{-}$， $J^{\prime }\left(U_{\lambda }\right)=0$。所以由引理2.2和引理2.5(2)可得 $U_{\lambda }$ 是(1.1)的一个非平凡解。类似于命题3.4，可知 $U_{\lambda }$ 是正解。证毕！

最后，我们给出定理1.1的证明。

定理1.1证明：定理1.1的1)是命题3.4的一个推论。如果 $\lambda \in \left(0,{\Lambda }_{**}\right)$，由命题3.4和3.5，我们可以得到(1.1)存在两个正解 $u_{\lambda }\in {\mathcal{N}}^{+}$ 和 $U_{\lambda }\in {\mathcal{N}}^{-}$。根据 ${\mathcal{N}}^{\pm }$ 的定义可知 ${\mathcal{N}}^{+}\cap {\mathcal{N}}^{-}=\varnothing$，所以 $u_{\lambda }$ 和 $U_{\lambda }$ 是(1.1)的两个不同正解。