非均匀复变函数的留数理论

The Theory of Residue for Heterogeneous Complex Variables Functions

摘要: 本文利用非均匀的洛朗级数理论给出了非均匀复变函数留数的定义，获得了非均匀复变函数留数定理，利用非均匀洛朗展式获得n阶极点处非均匀留数的计算公式，利用非均匀留数定理给出非均匀复数的幅角原理。

Abstract: In this paper, we give the definition of heterogeneous residue theory by heterogeneous Laurent series. Using heterogeneous Laurent series, we obtain the formula of heterogeneous residues with n-order pole. In the end, we extend argument principle by using the heterogeneous residues theorem.

1. 引言

作者在文献 [1] [2] 推广了复变函数理论，建立了非均匀复变函数理论，给出了非均匀拉普拉斯方程与非均匀Cauchy-Riemann方程组的关系，获得了非均匀Cauchy积分定理，Cauchy积分公式。随后在文献 [3] 中建立了非均匀解析函数的级数理论，获得了泰勒级数展开定理，并在此基础上在文献 [4] 中建立了非均匀双边幂级数的级数理论，给出了非均匀解析函数的孤立奇点分类。本文在此在文献 [3] [4] 基础上建立非均匀留数的定义以及一些基本的计算留数的方法，从而把文献 [5] - [11] 中的复变函数理论进一步推广到非均匀复变函数中。为进一步建立非均匀函数的理论与复变函数理论的关系提供坚实的基础。

2. 预备知识

2.1 非均匀复数的定义

考虑到复数在各个领域的广泛应用，我们对复数单位做进一步推广，定义非均匀复数，细节见文献 [1]。

定义集合 $C_K=\left\{z|z=a+jb\right\}$，其中 $a,b$ 为实数R， $j^2=-k,k\ge 0$.

在 $C_K$ 中引入数乘

$z=a+jb,z\in C_K,m\in R,mz=ma+jmb,$

在 $C_K$ 中引入加法

$z_1=a_1+j{b}_1,z_2=a_2+j{b}_2,z_1\in C_K,z_2\in C_K,$

$z_1+z_2=\left(a_1+a_2\right)+j\left(b_1+b_2\right).$

定理2.1 [1] 在上面的数乘、加法和乘法运算下， $C_K$ 为R上的一个域，称为非均匀复数域。

2.2. 非均匀复变函数的微分

非均匀复变函数的定义，导数和解析性等概念，类似于复变函数的情况，具体见文献 [1]。

定义2.2 设g：从 $C_K$ 到 $C_K$ 的映射，则称 $g\left(z\right)$ 为 $C_K$ 上的非均匀复函数。

定义2.3 设函数 $w=g\left(z\right)$ 在点的邻域内或者包含 $z_0$ 的区域D内有定义，考虑比值

$\frac{\Delta w}{\Delta z}=\frac{g\left(z\right)-g\left(z_0\right)}{z-z_0}=\frac{g\left(z_0+\Delta z\right)-g\left(z_0\right)}{\Delta z}\left(\Delta z\ne 0\right)$

如果当z按照任意方式趋于 $z_0$ 时，即当 $\Delta z$ 按照任意方式趋于0时，比值 $\Delta w/\Delta z$ 的极限都存在，且其值有限，则称此极限为函数 $g\left(z\right)$ 在 $z_0$ 的导数，并记为 $g^{\prime }\left(z_0\right)$，即

$g^{\prime }\left(z_0\right)=\underset{\Delta z\to 0}{\lim }\frac{\Delta w}{\Delta z}=\underset{\Delta z\to 0}{\lim }\frac{g\left(z\right)-g\left(z_0\right)}{z-z_0},$

这时称函数 $g\left(z\right)$ 于点 $z_0$ 可导。

ZHO定义2.4 如果函数 $w=g\left(z\right)$ 在区域D内可微，则称 $g\left(z\right)$ 为区域D内的解析函数，或称函数 $g\left(z\right)$ 在区域D内解析。函数在某点解析，是指在该点的某一个邻域内是解析的：函数在某个闭域解析，是指在包含该闭域的某区域内解析。

2.3. 非均匀复变函数的积分

非均匀复变函数的积分见文献 [2]。

定义2.5 设非均匀复数域 $Z_k$ 上的有向曲线C：

$z=z\left(t\right)\left(\alpha \le t\le \beta \right)$

以 $a=z\left(\alpha \right)$ 为起点， $b=z\left(\beta \right)$ 为终点， $g\left(z\right)$ 沿C有定义，顺着C从a到b的方向在C上取分点： $a=z_0,z_1,\cdots ,z_{n-1},z_n=b$，这样可以将曲线C划分为n个弧段，在从 $z_{t-1}$ 到 $z_t$ 的每一个弧段上任取一点 ${\xi }_t$，那么

$S_n={\displaystyle \underset{t=1}{\overset{n}{\sum }}g\left({\xi }_t\right)\Delta z_t},\Delta z_t=z_t-z_{t-1}$

当分点增多时，弧段逐渐加细，如果和数 $S_n$ 极限存在且为S，则称 $g\left(z\right)$ 沿C(从a到b)可积，S为其上的积分，记号为 ${\displaystyle {\int }_{C}g\left(z\right)\text{d}z}$，其中C为积分路径。

定理2.6 [2] 设函数 $g\left(z\right)$ 在非均匀复数域 $C_K$ 上的单连通区域D内解析， $C_j$ 为D内任一条周线，则有， ${\displaystyle {\int }_{C_j}g\left(z\right)\text{d}z=0}$。

定理2.7 [2] 设区域D的边界是非均匀复数域 $C_K$ 上周线(复周线) $C_j$，函数 $g\left(z\right)$ 在D内解析，在 $\bar{D}=D+C_j$ 上连续，则有

$g\left(z\right)=\frac{1}{2\pi i}{\displaystyle {\int }_{C_j}\frac{g\left(\xi \right)}{\xi -z}\text{d}\xi }\left(z\in D\right)$

2.4. 非均匀幂级数

非均匀的幂级数主要参考文献 [3]。

定理2.8 [3] 非均匀幂级数 ${\displaystyle \underset{n=0}{\overset{\infty }{\sum }}{c}_n{\left(z-a\right)}^n}$ 在其收敛椭圆域 $T:{\left|z-a\right|}_k<R$ 内绝对且内闭一致收敛到解析函数 $g\left(z\right)$，即

$g\left(z\right)={\displaystyle \underset{n=0}{\overset{\infty }{\sum }}{c}_n{\left(z-a\right)}^n}$

而且在T内，幂级数(2.1)可以逐项求导，即

$\begin{array}{c}{g}^{\left(p\right)}\left(z\right)=c_{p}p\text{!}+c_{p+1}\left(p+1\right)P\left(p-1\right)\cdots 2\left(z-a\right)+\cdots \\ +c_{n}n\left(n-1\right)\cdots \left(n-p+1\right){\left(z-a\right)}^p+\cdots \end{array}$

同时(2.1)和(2.2)的收敛椭圆半径R相同，其中的系数 $c_p$ 满足关系

$c_p=\frac{g^{\left(p\right)}\left(a\right)}{p!}\left(p=0,1,2,\cdots \right)$

定理2.9 [3]：设函数 $g\left(z\right)$ 是区域D内的非均匀解析函数， $a\in D$，则只要椭圆 $T:{\left|z-a\right|}_k<R$ 且 $T\subset D$ 内，则 $g\left(z\right)$ 在T内能展开成非均匀幂级数：

$g\left(z\right)={\displaystyle \underset{n=0}{\overset{\infty }{\sum }}{c}_n{\left(z-a\right)}^n},$

其中系数

$c_p=\frac{g^{\left(p\right)}\left(a\right)}{p!}=\frac{1}{2\pi i}{\displaystyle \underset{T_{\rho }}{\int }\frac{g\left(\xi \right)\text{d}\xi }{{\left(\xi -a\right)}^{n+1}}}\left(p=0,1,2,\cdots \right),\left(T_{\rho }={\left|\xi -a\right|}_k=\rho ,\rho <R\right)$

且展开是唯一的。

2.5. 非均匀复级数洛朗级数的展开和孤立奇点的分类

本节主要罗列洛朗级数的展开和孤立奇点的分类的一些结果，见文献 [4]。

设 $\cdots ,c_{-n},\cdots ,c_0,c_1,\cdots ,c_n,\cdots$ 和a是非均匀复常数，我们称下面的级数

$\cdots +c_{-n}{\left(z-a\right)}^{-n}+\cdots +c_{-1}{\left(z-a\right)}^{-1}+c_0+c_1\left(z-a\right)+\cdots +c_n{\left(z-a\right)}^n+\cdots$

为非均匀双边幂级数，简记为 ${\displaystyle \underset{n=-\infty }{\overset{+\infty }{\sum }}{c}_n{\left(z-a\right)}^n}$。

定理2.10 [4] 若(3.2)式收敛椭圆半径为R，且 $r<R$，则非均匀双边幂级数(3.1)在椭圆环 $r<{\left|z-a\right|}_k<R$ 内绝对收敛且内闭一致收敛到解析函数 $g\left(z\right)$。

定理2.11 [4] 若非均匀函数 $g\left(z\right)$ 在椭圆环 $H:r<{\left|z-a\right|}_k<R$ 内非均匀解析函数，则 $g\left(z\right)$ 在H内一定能展开成双边幂级数： ${\displaystyle \underset{n=-\infty }{\overset{+\infty }{\sum }}{c}_n{\left(z-a\right)}^n}$

其中系数

$c_n=\frac{1}{2\pi i}{\displaystyle \underset{T_{\rho }}{\int }\frac{g\left(\xi \right)\text{d}\xi }{{\left(\xi -a\right)}^{n+1}}}\left(n=0,\pm 1,\pm 2,\cdots \right),\left(T_{\rho }={\left|\xi -a\right|}_k=\rho ,r<\rho <R\right)$

且展开是唯一的。

定义2.12 [4] 若非均匀解析函数 $g\left(z\right)$ 在点a不是非均匀解析函数，但a的任何邻域都有 $g\left(z\right)$ 的非均匀解析点，则称a为 $g\left(z\right)$ 的非均匀奇点。设函数非均匀函数 $g\left(z\right)$ 在a点的去心椭圆域 $\stackrel{\circ }{U}\left(a\right)=\left\{Z|0<{\left|Z-a\right|}_k<r\right\}$ 内解析且a为非均匀奇点，则称a为 $g\left(z\right)$ 的非均匀孤立奇点。

由定理2.11， $g\left(z\right)$ 在 $\stackrel{\circ }{U}\left(a\right)=\left\{Z|0<{\left|Z-a\right|}_k<r\right\}$ 内展开成幂级数形式 ${\displaystyle \underset{n=-\infty }{\overset{+\infty }{\sum }}{c}_n{\left(z-a\right)}^n}$。

定义2.13 [4] 设a为 $g\left(z\right)$ 的非均匀孤立奇点。

1) 若 $g\left(z\right)$ 在a的主要部分为零，则称a为 $g\left(z\right)$ 的非均匀可去奇点。

2) 若 $g\left(z\right)$ 的主要部分为有限项：

$\frac{c_{-m}}{{\left(z-a\right)}^m}+\frac{c_{-m+1}}{{\left(z-a\right)}^{m-1}}+\cdots +\frac{c_{-1}}{z-a}$

且 $c_{-m}\ne 0$，则称a为 $g\left(z\right)$ 的m阶非均匀极点，若 $m=1$ 则称a为非均匀单极点。

(3)若 $g\left(z\right)$ 在a的主要部分为无限项，则称a为 $g\left(z\right)$ 的非均匀本质奇点。

在文献 [4] 中，作者给出三类非均匀奇点的等价性刻画。

定理2.14 [4] 设a为 $g\left(z\right)$ 的非均匀可去奇点，则下面三条都可以作为非均匀可去奇点的定义

1) $g\left(z\right)$ 在a的主要部分为零。

2) $\underset{z\to a}{\lim }g\left(z\right)=b\left(\ne \infty \right)$。

3) $g\left(z\right)$ 在a的某邻域内有界。

定理2.15 [4] 设a为 $g\left(z\right)$ 的m阶非均匀极点，则下面三条都可以作为m阶非均匀极点的定义

1) $g\left(z\right)$ 在a的主要部分为

$\frac{c_{-m}}{{\left(z-a\right)}^m}+\frac{c_{-m+1}}{{\left(z-a\right)}^{m-1}}+\cdots +\frac{c_{-1}}{z-a}$，且 $c_{-m}\ne 0$

2) $g\left(z\right)$ 在a的邻域内可以表示为，

$g\left(z\right)=\frac{\omega \left(z\right)}{{\left(z-a\right)}^m}$

且 $\omega \left(z\right)\left(\omega \left(a\right)\ne 0\right)$ 为a的邻域内的非均匀解析函数。

3) $f\left(z\right)=\frac{1}{g\left(z\right)}$ 以点a为m阶零点。 $m=1$ 时，称为非均匀简单极点(simple pole)。

由定理2.15 (3)，我们有，

定理2.16 [4] 设a为 $g\left(z\right)$ 的非均匀极点的充要条件是 $\underset{z\to a}{\lim }g\left(z\right)=\infty$。

定理2.17 [4] 设a为 $g\left(z\right)$ 的非均匀本质奇点等价于下面的结论：

1) $g\left(z\right)$ 关于a点展开的主要部分有无穷项。

2) $\underset{z\to a}{\lim }g\left(z\right)\ne \{\begin{array}{c}\infty \\ b\end{array}$，即极限不存在。

3) $f\left(z\right)=\frac{1}{g\left(z\right)}$ 以点a为非均匀本质奇点。

下面利用非均匀本质奇点分类推广Weierstrass稠密性定理

定理2.18 (Weierstrass定理)若a为非均匀函数 $g\left(z\right)$ 的非均匀本质奇点，任给 $\delta >0$，则对任意有限非均匀复数A以及正数 $\epsilon >0$，在 $0<{\left|z-a\right|}_k<\delta$ 内有一点z，使得 ${\left|g\left(z\right)-A\right|}_k<\epsilon$ 成立，即 $g\left(z\right)$ 在非均匀本质奇点的领域内的取值在C上是稠密的。

证明：假设存在非均匀复数A及 $\epsilon >0$，在 $0<{\left|z-a\right|}_k<\delta$ 内 ${\left|g\left(z\right)-A\right|}_k>\epsilon$。于是，令

$f\left(z\right)=\frac{g\left(z\right)-A}{z-a}.$

$f\left(z\right)$ 在 $0<{\left|z-a\right|}_k<\delta$ 上解析，此时，a为 $f\left(z\right)$ 的非均匀极点，由其定义

$f\left(z\right)=\frac{c_{-m}}{{\left(z-a\right)}^m}+\cdots +\frac{c_{-1}}{z-a}+c_0+c_1\left(z-a\right)+\cdots ,$

于是，

$g\left(z\right)=\frac{c_{-m}}{{\left(z-a\right)}^{m-1}}+\cdots +\frac{c_{-2}}{z-a}+\left(A+c_{-1}\right)+c_0\left(z-a\right)+\cdots .$

由于m是给定的，所以a不是非均匀函数 $g\left(z\right)$ 的非均匀本质奇点，这与定理的条件矛盾。

2.6. 无穷远点的非均匀孤立奇点

若非均匀解析函数 $g\left(z\right)$ 只有一个非均匀孤立奇点 $z=\infty$。令 $\zeta =\frac{1}{z}$， $g\left(z\right)$ 的非均匀孤立奇点 $z=\infty$ 的性质转化到 $f\left(\zeta \right)=g\left(z\right)=g\left(\frac{1}{\zeta }\right)$ 在 $\zeta =0$ 的性质。

设 $f\left(\zeta \right)$ 在 $\xi =0$ 的非均匀洛朗级数展开为：

$f\left(\zeta \right)=\underset{-\infty }{\overset{\infty }{{\displaystyle \sum }}}{c}_{-n}{\zeta }^n=\underset{n=0}{\overset{\infty }{{\displaystyle \sum }}}{c}_{-n}{\zeta }^n+\underset{n=1}{\overset{\infty }{{\displaystyle \sum }}}{c}_n{\zeta }^{-n}=\phi \left(\zeta \right)+\psi \left(\zeta \right).$

$\psi \left(\zeta \right)$ 均匀解析函数 $f\left(\zeta \right)$ 主要部分， $\phi \left(\zeta \right)$ 是其解析部分。

下面利用 $f\left(\zeta \right)$ 在 $\xi =0$ 的非均匀洛朗级数展开给出非均匀解析函数 $g\left(z\right)$ 在 $z=\infty$ 的分类定义：

定义2.19 若 $\xi =0$ 为 $f\left(\zeta \right)$ 非均匀可去奇点，则称 $z=\infty$ 为 $g\left(z\right)$ 的非均匀可去奇点；若 $\xi =0$ 为 $f\left(\zeta \right)$ 的非均匀m阶极点，则称 $z=\infty$ 为 $g\left(z\right)$ 的非均匀m阶极点；若 $\xi =0$ 为 $f\left(\zeta \right)$ 非均匀本质奇点，则称 $z=\infty$ 为 $g\left(z\right)$ 的非均匀本质奇点。

利用文献 [3] 和定义2.19，在 $z=\infty$ 处有如下的三类非均匀奇点的等价性刻画：

定理2.20 设 $\infty$ 为 $g\left(z\right)$ 的非均匀可去奇点，则下面三条与非均匀可去奇点等价

1) $g\left(z\right)$ 在 $\infty$ 的主要部分为零。

2) $\underset{z\to \infty }{\lim }g\left(z\right)=b\left(\ne \infty \right)$。

3) $g\left(z\right)$ 在 $\infty$ 的某邻域内有界。

定理2.21 设 $\infty$ 为 $g\left(z\right)$ 的m阶非均匀极点，则下面三条都与m阶非均匀极点等价

1) $g\left(z\right)$ 在 $\infty$ 的主要部分为

$b_{1}z+b_2{z}^2+\cdots +b_m{z}^m\left(b_m\ne 0\right),$

2) $g\left(z\right)$ 在 $\infty$ 的邻域内可以表示为，

$g\left(z\right)=\omega \left(z\right)z^m$

且 $\omega \left(z\right)\left(\omega \left(\infty \right)\ne 0\right)$ 为 $\infty$ 的邻域内的非均匀解析函数。

3) $f\left(z\right)=\frac{1}{g\left(z\right)}$ 以点 $\infty$ 为m阶零点。 $m=1$ 时，称为非均匀单极点。

定理2.22 设 $\infty$ 为 $g\left(z\right)$ 的非均匀极点的充要条件是 $\underset{z\to \infty }{\lim }g\left(z\right)=\infty$。

定理2.23 设 $\infty$ 为 $g\left(z\right)$ 的非均匀本质奇点，则下面条件与非均匀本质奇点等价：

1) $g\left(z\right)$ 关于 $\infty$ 点展开的主要部分有无穷项。

2) $\underset{z\to \infty }{\lim }g\left(z\right)\ne \{\begin{array}{c}b\\ \infty \end{array}$，即极限不存在。

3) $f\left(z\right)=\frac{1}{g\left(z\right)}$ 以点 $\infty$ 为非均匀本质奇点。

3. 非均匀留数及留数定理

3.1. 非均匀留数的定义

设非均匀复变函数 $g\left(z\right)$ 在一周线l围成的区域内只有一个非均匀孤立奇点 $z_0$， $g\left(z\right)$ 在以 $z_0$ 为圆心而半径趋于零的圆环域上展开的非均匀洛朗级数表示

$g\left(z\right)=\underset{k=-\infty }{\overset{\infty }{{\displaystyle \sum }}}{a}_k{\left(z-z_0\right)}^k.$

在非均匀洛朗级数的周线l内任取一个足够小的包含 $z_0$ 的回路 $l_0$，由非均匀柯西积分定理，则有

${\displaystyle {\int }_{l}g\left(z\right)\text{d}z}={\displaystyle {\int }_{l_0}g\left(z\right)\text{d}z}$

于是有，

${\displaystyle {\int }_{l}g\left(z\right)\text{d}z}={\displaystyle \underset{k=-\infty }{\overset{\infty }{\sum }}{a}_k{\displaystyle {\int }_{l_0}{\left(z-z_0\right)}^k\text{d}z}}$

因此，

${\displaystyle {\int }_{l}g\left(z\right)\text{d}z}=2\pi j{a}_{-1}$

当l包围着 $g\left(z\right)$ 的n个非均匀孤立奇点时，作回路 $l_1,l_2,\cdots ,l_n$ 分别包围这n个非均匀孤立奇点，由柯西积分定理

${\displaystyle {\int }_{l}g\left(z\right)\text{d}z}={\displaystyle {\int }_{l_1}g\left(z\right)\text{d}z}+{\displaystyle {\int }_{l_2}g\left(z\right)\text{d}z}+\cdots +{\displaystyle {\int }_{l_n}g\left(z\right)\text{d}z}.$

于是，可以得到非均匀复变函数的留数的定义。

定义3.1 设非均匀复变函数 $g\left(z\right)$ 以有限点a为孤立奇点，即 $g\left(z\right)$ 在点a的某去心邻域 $0<{\left|z-a\right|}_k<R$ 内非均匀解析，则称积分

$\frac{\sqrt{k}}{2\pi j}\underset{\text{Γ}}{{\displaystyle \int }}g\left(z\right)\text{d}z\left(\text{Γ}:{\left|z-a\right|}_k=\rho ,0<\rho <R\right)$

为 $g\left(z\right)$ 在点a的非均匀留数，记为 $\underset{z=a}{Res}g\left(z\right)$。其中， $j^2=-k,k>0$。

由非均匀柯西积分定理知道，当 $0<\rho <R$ 时，非均匀留数的值与 $\rho$ 无关，利用非均匀洛朗系数公式，有

$\underset{z=a}{Res}g\left(z\right)=c_{-1},$

这里 $c_{-1}$ 是 $g\left(z\right)$ 在 $z=a$ 处的非均匀洛朗展式中1/z这一项的系数。

定理3.2 若非均匀复变函数 $g\left(z\right)$ 在复周线C所围的区域D内有限个非均匀孤立奇点 $a_1,a_2,\cdots ,a_n$，且在复周线围成的闭域 $\bar{D}=D+C$ 上除 $a_1,a_2,\cdots ,a_n$ 外连续，则

$\frac{\sqrt{k}}{2\pi j}\underset{C}{{\displaystyle \int }}g\left(z\right)\text{d}z=\underset{k=1}{\overset{n}{{\displaystyle \sum }}}\underset{z=a_k}{Res}g(\; z\; )$

证：以 $a_k$ 为心，充分小的正数 ${\rho }_k$ 为半径作圆周 ${\text{Γ}}_k:{\left|z-a_k\right|}_k={\rho }_k\left(k=1,2,\cdots ,n\right)$，使这些圆周及其内部均含于D，并且彼此相交。由复周线的非均匀柯西积分定理有

$\underset{C}{{\displaystyle \int }}g\left(z\right)\text{d}z=\underset{k=1}{\overset{n}{{\displaystyle \sum }}}\underset{{\text{Γ}}_k}{{\displaystyle \int }}g\left(z\right)\text{d}z$

由非均匀留数的定义，有

$\frac{\sqrt{k}}{2\pi j}\underset{{\text{Γ}}_k}{{\displaystyle \int }}g\left(z\right)\text{d}z=\underset{z=a_k}{Res}g(\; z\; )$

对任意 $z=a_k$ 都满足上式，使复周线C包围的n个小周线恰好包围n个非均匀孤立奇点，对其求和即得所求

$\frac{\sqrt{k}}{2\pi j}\underset{C}{{\displaystyle \int }}g\left(z\right)\text{d}z=\underset{k=1}{\overset{n}{{\displaystyle \sum }}}\underset{z=a_k}{Res}g\left(z\right).$

3.2. 函数在无穷远点的非均匀留数

定义3.3 设 $\infty$ 为非均匀复变函数 $g\left(z\right)$ 的一个非均匀孤立奇点，即 $g\left(z\right)$ 是整函数，则称

$\frac{\sqrt{k}}{2\pi j}\underset{{\text{Γ}}^{-}}{{\displaystyle \int }}g\left(z\right)\text{d}z\left(\text{Γ}:{\left|z\right|}_k=\rho >r\right)$

为 $g\left(z\right)$ 在点 $\infty$ 的非均匀留数，记为 $\underset{z=\infty }{Res}g\left(z\right)$,这里 ${\text{Γ}}^{-}$ 是指顺时针方向。

设 $g\left(z\right)$ 在 $0\le r<{\left|z\right|}_k<+\infty$ 内的洛朗展式为

$g\left(z\right)=\cdots +\frac{c_{-n}}{z^n}+\cdots +\frac{c_{-1}}{z}+c_0+c_{1}z+\cdots +c_n{z}^n+\cdots ,$

逐项积分

$\underset{z=\infty }{Res}g\left(z\right)=\frac{\sqrt{k}}{2\pi j}\underset{{\text{Γ}}^{-}}{{\displaystyle \int }}g\left(z\right)\text{d}z=-c_{-1},$

因此，可以通过求解 $g\left(z\right)$ 在零点的非均匀留数计算其在 $\infty$ 点的非均匀留数。

定理3.4 若非均匀复变函数 $g\left(z\right)$ 在扩充复平面上存在有限个孤立奇点，则 $g\left(z\right)$ 在扩充复平面各点的非均匀留数和为零。

证：取复周线 $\text{Γ}$ 使其包围复平面上的有限个孤立奇点

$\frac{\sqrt{k}}{2\pi j}\underset{\text{Γ}}{{\displaystyle \int }}g\left(z\right)\text{d}z=\underset{k=1}{\overset{n}{{\displaystyle \sum }}}\underset{z=a_k}{Res}g(\; z\; )$

两边除以 $\text{2}\pi j/\sqrt{k}$，复周线 $\text{Γ}$ 反向就有

$\underset{k=1}{\overset{n}{{\displaystyle \sum }}}\underset{z=a_k}{Res}g\left(z\right)+\underset{z=\infty }{Res}g\left(z\right)=0$

3.3. 非均匀留数的求法

定理3.5 设a为 $g\left(z\right)$ 的n阶非均匀极点， $g\left(z\right)=\phi \left(z\right)/{\left(z-a\right)}^n$，其中 $\phi \left(z\right)$ 在点a非均匀解析， $\phi \left(z\right)\ne 0$，则

$\underset{z=a}{Res}g\left(z\right)=\frac{{\phi }^{\left(n-1\right)}\left(a\right)}{\left(n-1\right)!}.$

这里符号 ${\phi }^{\left(0\right)}\left(a\right)$ 代表 $\phi \left(a\right)$，且有 ${\phi }^{\left(n-1\right)}\left(a\right)=\underset{z\to a}{\lim }{\phi }^{\left(n-1\right)}\left(z\right)$。

证：由非均匀留数的定义，有

$\underset{z=a}{Res}g\left(z\right)=\frac{\sqrt{k}}{2\pi j}\underset{\text{Γ}}{{\displaystyle \int }}\frac{\phi \left(z\right)}{{\left(z-a\right)}^n}\text{d}z=\frac{{\phi }^{\left(n-1\right)}\left(a\right)}{\left(n-1\right)!}.$

推论3.6 设a为 $g\left(z\right)$ 的一阶非均匀极点，

$\phi \left(z\right)=\left(z-a\right)g(\; z\; )$

则

$\underset{z=a}{Res}g\left(z\right)=\phi \left(a\right).$

推论3.7 设a为 $g\left(z\right)$ 的二阶非均匀极点，

$\phi \left(z\right)={\left(z-a\right)}^{2}g(\; z\; )$

则

$\underset{z=a}{Res}g\left(z\right)={\phi }^{\prime }(\; a\; )$

定理3.8 设a为 $g\left(z\right)=\frac{\phi \left(z\right)}{\varphi \left(z\right)}$ 的一阶非均匀极点(只要 $\phi \left(z\right)$ 及 $\varphi \left(z\right)$ 在点a解析，且 $\phi \left(a\right)\ne 0$, $\varphi \left(a\right)=0$, ${\varphi }^{\prime }\left(a\right)\ne 0$ )，则 $\underset{z=a}{Res}g\left(z\right)=\phi \left(a\right)/{\varphi }^{\prime }\left(a\right)$。

证：因a为 $g\left(z\right)=\phi \left(z\right)/{\varphi }^{\prime }\left(z\right)$ 的一阶极点，故

$\underset{z=a}{Res}g\left(z\right)=\underset{z\to a}{\lim }\frac{\phi \left(a\right)}{\varphi \left(a\right)}\left(z-a\right)=\underset{z\to a}{\lim }\frac{\phi \left(z\right)}{\frac{\varphi \left(z\right)-\varphi \left(a\right)}{z-a}}=\frac{\phi \left(a\right)}{{\varphi }^{\prime }(\; a\; )}$

例3. 1计算非均匀积分

$\underset{\left|z\right|=2}{{\displaystyle \int }}\frac{\text{1}}{z^{\text{2}}\left(z-1\right)}\text{d}z$

解：被积函数 $f\left(z\right)=\text{1}/z^{\text{2}}\left(z-1\right)$ 在圆周 $\left|z\right|=2$ 的内部只有两阶极点 $z=0$ 及一阶极点 $z=1$。

由推论3.6

$\underset{z=\text{1}}{Res}f\left(z\right)={\frac{\text{1}}{z^{\text{2}}}|}_{z=1}=\text{1};$

由推论3.7

$\underset{z=0}{Res}f\left(z\right)={{\left(\frac{1}{z-\text{1}}\right)}^{\prime }|}_{z=\text{0}}=-{\frac{\text{1}}{{\left(z-1\right)}^2}|}_{z=0}=-1;$

故由非均匀留数定理得

$\underset{\left|z\right|=2}{{\displaystyle \int }}\frac{\text{1}}{z^{\text{2}}\left(z-1\right)}\text{d}z=\frac{2\pi j}{\sqrt{k}}\left(-1+1\right)=0$

例3. 2计算非均匀积分

$\underset{\left|z\right|=n\text{+1}}{{\displaystyle \int }}\frac{z^{\frac{n\left(n+1\right)}{2}-1}}{\left(1+z\right)\left(1+z^2\right)\cdots \left(1+z^n\right)}\text{d}z,n\ge 1$

解：被积函数 $g\left(z\right)$ 有 $n\left(n+1\right)/\text{2}$ 个极点在积分区域的内部，由第二留数定理，

$\underset{\left|z\right|=n\text{+1}}{{\displaystyle \int }}\frac{z^{\frac{n\left(n+1\right)}{2}-1}}{\left(1+z\right)\left(1+z^2\right)\cdots \left(1+z^n\right)}\text{d}z=-\frac{\text{2}\pi j}{\sqrt{k}}\underset{z=\infty }{Res}g(\; z\; )$

利用在无穷远处洛朗展开，可以知道，无穷远远处的留数为-1，因此积分为 $\text{2}\pi j/\sqrt{k}$。

4. 非均匀复平面上的幅角原理

幅角原理又称柯西幅角原理，幅角原理可以快速地计算出方程在复数域内孤立零点或孤立奇点的个数。接下来，我们将其推广到非均匀复平面上。

引理4.1 设 $g\left(z\right)$ 是非均匀复平面上的亚纯函数，若a是 $g\left(z\right)$ 的p阶零点或q阶极点，则 $g^{\prime }\left(z\right)/g\left(z\right)$ 是 $z=a$ 的一阶极点。

证明：若a是 $g\left(z\right)$ 的p阶零点，则 $g\left(z\right)={\left(z-a\right)}^{p}f\left(z\right)$， $f\left(z\right)\left(f\left(a\right)\ne 0\right)$ 在定义域上解析。

而

$g^{\prime }\left(z\right)=p{\left(z-a\right)}^{p-1}f\left(z\right)+{\left(z-a\right)}^p{f}^{\prime }\left(z\right),$

故，

$\frac{f^{\prime }\left(z\right)}{f\left(z\right)}=\frac{p{\left(z-a\right)}^{p-1}f\left(z\right)+{\left(z-a\right)}^p{f}^{\prime }\left(z\right)}{{\left(z-a\right)}^{p}f\left(z\right)}=\frac{p}{z-a}+\frac{f^{\prime }\left(z\right)}{f\left(z\right)},$

又因为 $f\left(z\right)\left(f\left(a\right)\ne 0\right)$ 在定义域上解析，所以 $g^{\prime }\left(z\right)/g\left(z\right)$ 是 $z=a$ 的一阶极点。

当a是 $g\left(z\right)$ 的q阶极点时证明方法类似。

定理4.2 (幅角原理)若 $g\left(z\right)$ 是定义在简单周线 $\partial D$ 所围区域D的非均匀亚纯函数，并且在 $\partial D$ 上不存在 $g\left(z\right)$ 的零点，则

$\frac{\sqrt{k}}{2\pi j}{\displaystyle {\int }_{\partial D}\frac{g^{\prime }\left(z\right)}{g\left(z\right)}\text{d}z}=P-Q.$

其中，P为区域DQ内 $g\left(z\right)$ 零点的个数，Q为D内 $g\left(z\right)$ 极点的个数。

证明：由于 $g\left(z\right)$ 在D内除了各极点外都是解析的，不妨设 $a_i,b_j$ 分别是 $f\left(z\right)$ 在定义域上的零点和极点，根据引理4.1及一阶极点的计算公式，有 $\underset{z=a_i}{Res}\frac{f^{\prime }\left(z\right)}{f\left(z\right)}=p_i$， $\underset{z=b_j}{Res}\frac{f^{\prime }\left(z\right)}{f\left(z\right)}=-q_j$。

所以，由非均匀留数定理

有

$\frac{\sqrt{k}}{2\pi j}{\displaystyle {\int }_D\frac{f^{\prime }\left(z\right)}{f\left(z\right)}\text{d}z={\displaystyle \underset{a_i=1}{\overset{k_1}{\sum }}{p}_i}}-{\displaystyle \underset{b_j=1}{\overset{k_2}{\sum }}{q}_j}.$

令 ${\displaystyle \underset{a_i=1}{\overset{k_1}{\sum }}{p}_i}=P,-{\displaystyle \underset{b_j=1}{\overset{k_2}{\sum }}{q}_j=-Q}$，就得到结论。

现在设h是从简单周线C到周线 $\Gamma$ 上非均匀复平面的映射，且h在C上不存在零点，原点不在 $\Gamma$ 内。令 $c_0$ 为C上一点，由h从 $c_0$ 在 $\Gamma$ 上的像为 ${\tau }_0$。当 $c_0$ 移动到 $c_k$，对应地， $\Gamma$ 上的 ${\tau }_0$ 随之移动到 ${\tau }_k$。假定点 ${\tau }_0$ 处的幅角主值为 ${\theta }_0$，当 $c_0$ 沿同一方向绕C一周回到 $c_0$ 时， ${\tau }_0$ 也绕 $\Gamma$ 一周移动到 ${\tau }_k$，设此时 ${\tau }_k$ 处的幅角主值为 ${\theta }_k$。映射h保证了 ${\theta }_k-{\theta }_0=N,N\in \mathbb{Z}$。并且， $\frac{N}{2\pi }=M\in \mathbb{Z}$，M表示点 ${\tau }_k$ 在沿着 $\Gamma$ 运动过程中围绕原点的圈数。

定理4.3 (幅角原理)若 $g\left(z\right)$ 是定义在简单周线 $\partial D$ 所围区域D的非均匀亚纯函数，并且在 $\partial D$ 上不存在 $g\left(z\right)$ 的零点，则 $M=P-Q$，其中，P为D内 $g\left(z\right)$ 零点的个数，Q为D内 $g\left(z\right)$ 极点的个数。

证明：于是，只要证明 $2\pi jM=\sqrt{k}{\displaystyle {\int }_{\partial D}\frac{g^{\prime }\left(z\right)}{g\left(z\right)}\text{d}z}$，然后由定理4.2.1便可得到该结论。

首先，令 $z=z\left(t\right)$，将 ${\tau }_k$ 表示成指数形式，就有 $\tau =\rho \left(t\right){\text{e}}^{j\phi \left(t\right)}$，也就是……再由复合函数求导可得，

$g^{\prime }\left[z\left(t\right)\right]z^{\prime }\left(t\right)={\rho }^{\prime }\left(t\right){\text{e}}^{j\phi \left(t\right)}+j\rho \left(t\right){\text{e}}^{j\phi \left(t\right)}{\phi }^{\prime }\left(t\right).$

所以，

${\displaystyle {\int }_{\partial D}\frac{g^{\prime }\left(z\right)}{g\left(z\right)}\text{d}z={\displaystyle {\int }_a^b\frac{{\rho }^{\prime }\left(t\right)}{\rho \left(t\right)}\text{d}t+j{\displaystyle {\int }_a^b{\phi }^{\prime }\left(t\right)\text{d}t}}},$

因为

$\rho \left(b\right)=\rho \left(a\right),\phi \left(b\right)-\phi \left(a\right)=\frac{2\pi M}{\sqrt{k}},$

就可以得到结论 ${\displaystyle {\int }_D\frac{g^{\prime }\left(z\right)}{g\left(z\right)}\text{d}z=\frac{2\pi jM}{\sqrt{k}}}$。

致谢

作者对审稿人提出的中肯意见表示感谢！本课题的研究得到中国计量大学23届大学生科研计划项目(2020x23078)，2020年中国计量大学大学生开放实验项目(XL2020082)和2020年校级一流本科课程建设项目(200113)的资助。