关于Z_2p^m广义分圆类的一个注记

A Note on the Generalized Cyclotomic Classes of Z_2p^m

摘要: 分圆类是有限域里经典理论，广泛应用于构造差集、设计编码等众多领域。广义分圆类是有限域上分圆类的推广。本文给出一个Z_2p^m广义分圆类的性质，并猜测利用若干特定组合，可以构造出Z_2p^m上的差集偶。

Abstract: The cyclotomic class is a classic theory in finite fields, which is widely used in many fields such as constructing difference sets and encoding design. The generalized cyclotomic class is a generalization of the cyclotomic class on a finite field. This paper gives one property of cyclotomic classes of Z_2p^m, and proposes two conjectures about the existence of some difference set pairs consisting of a number of specific combinations of cyclotomic classes.

1. 引言

理想序列偶主要被广泛地应用于信息通讯系统、导航、编码以及密码学等众多领域 [1]。然而，直接进行序列偶的构造，其难度颇大。因此，众多学者利用差集、几乎差集、差集偶、几乎差集偶 [2] [3] [4] [5] 等一些工具去构造序列偶。在组合设计理论中，经典分圆类是通常会被应用到差集、几乎差集、差集偶、几乎差集偶的构造中。经典分圆类的一个重要推广是广义分圆类。Whiteman [6]、Ding和Helleseth [7]、Fan和Ge [8]、Zeng等 [9] 给出了各种广义分圆类。Yi和Xie [10] 给出了周期为 $2p^m$ 的广义分圆序列的定义。本文对环 $Z_{2p^m}$ 的广义分圆类，给出若干分圆类的性质，并给出两个猜想。

2. 差集偶的概念

定义 [1] 设 $Z_{2p^m}=\left\{0,1,\cdots ,2p^m-1\right\}$ 是模 $2p^m$ 的剩余类环， $U,V$ 是 $Z_{2p^m}$ 的两个子集， $\left|U\right|=k$， $\left|V\right|=k^{\prime }$， $\left|U\cap V\right|=e$。若对 $Z_{2p^m}$ 中的任意非零元r，方程 $x-y\equiv r\left(\mathrm{mod}2p^m\right)$ 恰有 $\lambda$ 个解对 $\left(x,y\right)\in \left(U,V\right)$，其中 $x\in U$， $y\in V$，则称 $\left(U,V\right)$ 是 $Z_{2p^m}$ 上的一个 $\left(2p^m,k,k^{\prime },e,\lambda \right)$ 差集偶。

3. 基于 $Z_{2p^m}$ 的广义分圆类构造差集偶

以下介绍 $Z_{2p^m}$ 广义分圆类 [7]。

记奇素数 $p=ef+1$，f是一个偶数。g是模 $p^m$ 的原根，则g或 $g+p^m$ 是奇数，且是模 $2p^j\left(1\le j\le m\right)$ 的一个公共原根。下面用g来表示这个公共原根，且不妨假设g为奇数 [11]。对于任意的j，令 $d_j=\frac{\varphi \left(p^j\right)}{e}=p^{j-1}f$，其中， $\varphi (\cdot )$ 是欧拉函数。

对于 $i\in Z$， $s=p^j$ 或 $s=2p^j$ 定义

$D_i^{\left(s\right)}:=\left\{g^{i+d_{j}t}\left(\mathrm{mod}s\right):0\le t<e\right\}=g^i{D}_0^{\left(s\right)}.$

由定义可知 $D_i^{\left(s\right)}$ 只取决于同余类 $i\left(\mathrm{mod}{d}_j\right)$，若 $n\left(\mathrm{mod}s\right)\in D_i^{\left(s\right)}$，则 $n\in D_i^{\left(s\right)}$。

对于 $\left(s,a\right)=\left(p^j,p^{m-j}\right)$， $\left(p^j,2p^{m-j}\right)$ 或者 $\left(2p^j,p^{m-j}\right)$ 定义

$a{D}_i^{\left(s\right)}:=\left\{a{g}^{i+d_{j}t}\left(\mathrm{mod}as\right):0\le t<e\right\}$

对于 $p^j$ 的 $d_j$ 阶广义分圆类，可知 $Z_{p_j}^{*}$ 中 $\left\{D_0^{\left(p_j\right)},D_1^{\left(p_j\right)},\cdots ,D_{d_j-1}^{\left(p_j\right)}\right\}$ 构成。从而有

$Z_{p^m}={\displaystyle {\cup }_{j=1}^m{\displaystyle {\cup }_{i=0}^{d_j-1}{p}^{m-j}{D}_i^{\left(p^j\right)}}}\cup \left\{0\right\}$，

$Z_{2p^m}={\displaystyle {\cup }_{j=1}^m{\displaystyle {\cup }_{i=0}^{d_j-1}{p}^{m-j}\left(2D_i^{\left(p^j\right)}\cup D_i^{\left(2p^j\right)}\right)}}\cup \left\{0,p^m\right\}$。

引理1 设 $k\in D_i^{\left(2p^j\right)},1\le k<p^j-1$。若 $k$ 为奇数，则 $k\in D_i^{\left(2p^j\right)}$ ；若k为偶数，则 $k+p^j\in D_i^{\left(2p^j\right)}$。

证：因为 $k\in D_i^{\left(2p^j\right)}$，所以存在 $0\le t_0<e$，使得 $g^{i+d_j{t}_0}\equiv k\left(\mathrm{mod}{p}^j\right)$。

若k为奇数，因g是奇数，故 $g^{i+d_j{t}_0}-k$ 为偶数，因此 $2|\left(g^{i+d_j{t}_0}-k\right)$，又 $p^j|\left(g^{i+d_j{t}_0}-k\right)$，所以 $2p^j|\left(g^{i+d_j{t}_0}-k\right)$， $g^{i+d_j{t}_0}\equiv k\left(\mathrm{mod}2p^j\right)$，即 $k\in D_i^{\left(2p^j\right)}$。

若 $k$ 为偶数， $g^{i+d_j{t}_0}-k-p^j$ 为偶数，因此 $2|\left(g^{i+d_j{t}_0}-k-p^j\right)$。显然 $p^j|\left(g^{i+d_j{t}_0}-k-p^j\right)$，所以 $2p^j|\left(g^{i+d_j{t}_0}-k-p^j\right)$， $g^{i+d_j{t}_0}\equiv \left(k+p^j\right)\left(\mathrm{mod}2p^j\right)$，即 $k+p^j\in D_i^{\left(2p^j\right)}$。

定理1 记 $C_0^{\left(p^j\right)}={\displaystyle {\cup }_{k=0}^{d_j/2-1}{D}_{2k}^{\left(p^j\right)}}$， $C_1^{\left(p^j\right)}={\displaystyle {\cup }_{k=0}^{d_j/2-1}{D}_{2k+1}^{\left(p^j\right)}}$。设 $s\in \left(C_1^{\left(p^j\right)}-C_0^{\left(p^j\right)}\right)\subset Z_{p^j}$ 且 $1\le s\le p^j-1$。

1) 若s为偶数，则 $s\in \left(C_1^{\left(2p^j\right)}-C_0^{\left(2p^j\right)}\right)$，其中 $C_0^{\left(2p^j\right)}={\displaystyle {\cup }_{k=0}^{d_j/2-1}{D}_{2k}^{\left(2p^j\right)}}$， $C_1^{\left(2p^j\right)}={\displaystyle {\cup }_{k=0}^{d_j/2-1}{D}_{2k+1}^{\left(2p^j\right)}}$ ；

2) 若s为奇数，则 $s+p^j\in \left(C_1^{\left(2p^j\right)}-C_0^{\left(2p^j\right)}\right)$。

证：设 $x\in C_1^{\left(p^j\right)}$， $y\in C_0^{\left(p^j\right)}$， $1\le x,y\le p^j-1$，其中 $x,y$ 分奇偶共四种情况，我们仅以x为偶数y为奇数或偶数这两种情况进行证明，其余两种情况类似。

设x为偶数，y为偶数。由引理1， $x+p^j\in C_1^{\left(2p^j\right)}$， $y+p^j\in C_0^{\left(2p^j\right)}$。若 $x>y$，则 $1\le x-y=s\le p^j-1$ 为偶数，且 $s\in C_1^{\left(p^j\right)}-C_0^{\left(p^j\right)}$，此时，

$1\le \left(x+p^j\right)-\left(y+p^j\right)=x-y=s\le p^j-1\le 2p^j-1\in C_1^{\left(2p^j\right)}-C_0^{\left(2p^j\right)}$。

若 $x<y$，则 $1-p^j\le x-y\le -1$ 为偶数，令 $s=x-y+p^j$，则 $1\le s\le p^j-1$ 为奇数，且 $s\in C_1^{\left(p^j\right)}-C_0^{\left(p^j\right)}$， $1-p^j\le x+p^j-\left(y+p^j\right)=x-y\le -1$，此时，

$p^j\le x-y+2p^j\le -1+2p^j\in C_1^{\left(2p^j\right)}-C_0^{\left(2p^j\right)}$， $x-y=s+p^j$。

设 $x$ 为偶数，y为奇数。若 $x>y$，则 $1\le x-y\le p^j-1$，令 $x-y=s$，则 $s$ 为奇数，且 $s\in C_1^{\left(p^j\right)}-C_0^{\left(p^j\right)}$，此时， $1+p^j\le x+p^j-y=s+p^j\le 2p^j-1\in C_1^{\left(2p^j\right)}-C_0^{\left(2p^j\right)}$。若 $x<y$，则 $1-p^j\le x-y\le -1$，令 $s=x-y+p^j$，则 $1\le s\le p^j-1$ 为偶数，而 $1\le x+p^j-y=s\le p^j-1\le 2p^j-1\in C_1^{\left(2p^j\right)}-C_0^{\left(2p^j\right)}$。证毕。

Ding和Helleseth [7] 给出了 $Z_{p^m}$ 上的分圆数，刻画了可逆元素在分圆类的差的集合中出现的次数。这里给出更加详细的刻画。记 $\Delta \left(A,A\right)$ 是一个多重集， $\Delta \left(A,A\right)=\left\{x-y,x\in A,y\in A\right\}$，则有如下结论：

定理2 若 $p\equiv 1\left(\mathrm{mod}4\right)$，则

$\Delta \left(C_0^{\left(p^j\right)},C_0^{\left(p^j\right)}\right)=\frac{p^{j-1}\left(p-5\right)}{4}{C}_0^{\left(p^j\right)}\cup \frac{p^{j-1}\left(p-1\right)}{4}{C}_1^{\left(p^j\right)}\cup \frac{p^{j-1}\left(p-1\right)}{2}{Z}_{p^j}\backslash Z_{p^j}^{*}$ ；

若 $p\equiv 3\left(\mathrm{mod}4\right)$，则

$\Delta \left(C_0^{\left(p^j\right)},C_0^{\left(p^j\right)}\right)=\frac{p^{j-1}\left(p-3\right)}{4}{C}_0^{\left(p^j\right)}\cup \frac{p^{j-1}\left(p-3\right)}{4}{C}_1^{\left(p^j\right)}\cup \frac{p^{j-1}\left(p-1\right)}{2}{Z}_{p^j}\backslash Z_{p^j}^{*}$ ；

证：根据文献 [7]， $\left|\left(C_0^{p^j}+\tau \right)\cap C_0^{\left(p^j\right)}\right|=p^{j-1}\left|\left(C_0^{\left(p\right)}+{\tau }_p\right)\cap C_0^{\left(p\right)}\right|$，其中， ${\tau }_p\equiv \tau \left(\mathrm{mod}p\right)$。若 $\tau \in C_0^{\left(p^j\right)}$，即 $\tau \equiv g^{2k}\left(\mathrm{mod}{p}^j\right)$，则 ${\tau }_p\equiv \tau \equiv g^{2k}\left(\mathrm{mod}p\right)$，因此 ${\tau }_p\in C_0^{\left(p\right)}$。此时， $\left|C_0^{\left(p^j\right)}+\tau \cap C_0^{\left(p^j\right)}\right|=p^{j-1}\left[{\left(1,1\right)}_2\right]$。若 $\tau$ 是不可逆元，则 ${\tau }_p\equiv 0\left(\mathrm{mod}p\right)$，此时 $\left|C_0^{\left(p^j\right)}+\tau \cap C_0^{\left(p^j\right)}\right|=p^{j-1}\cdot \left|C_0^{\left(p\right)}\right|=p^{j-1}\cdot \frac{p-1}{2}\cdot \frac{p-1}{2}$ 为奇数，因此，

$\Delta \left(C_0^{\left(p^j\right)},C_0^{\left(p^j\right)}\right)=p^{j-1}\left[{\left(0,0\right)}^{\left(p\right)}\right]C_0^{\left(p^j\right)}\cup p^{j-1}\left[{\left(1,1\right)}^{\left(p\right)}\right]C_1^{\left(p^j\right)}\cup \frac{p^{j-1}\left(p-1\right)}{2}\left(Z_{p^j}-Z_{p^j}^{*}\right)$，

而根据文献 [7]， $p\equiv 1\left(\mathrm{mod}4\right)$， ${\left(0,0\right)}^{\left(p\right)}=\frac{p-5}{4}$， ${\left(1,1\right)}^{\left(p\right)}=\frac{p-1}{4}$ ；当 $p\equiv 3\left(\mathrm{mod}4\right)$， ${\left(0,0\right)}^{\left(p\right)}={\left(1,1\right)}^{\left(p\right)}=\frac{p-3}{4}$。代入即可得证。

环上的广义分圆类常用来构造差集、差族等。对于环 $Z_{2p^m}$ 上的广义分圆类，通过数值实验，我们给出如下两个猜测：

猜想1 $U={\displaystyle {\cup }_{j=1}^m{\displaystyle {\cup }_{i=0}^{d_j/2-1}{p}^{m-j}}}\left(2D_{2i}^{\left(p^j\right)}\cup D_{2i+1}^{\left(2p^j\right)}\right),V={\displaystyle {\cup }_{j=1}^m{\displaystyle {\cup }_{i=0}^{d_j/2-1}{p}^{m-j}\left(2D_{2i}^{\left(p^j\right)}\cup D_{2i}^{\left(2p^j\right)}\right)\cup \left\{p^m\right\}}}$ 构成参数为 $\left(2p^m,p^m-1,p^m,\frac{p^m-1}{2},\frac{p^m-1}{2}\right)$ 的差集偶。

例1 当 $e=1,f=2,m=1,p=3,p^m=3,2p^m=6$ 时， $d_1=2$。此时

$U=\left\{2,5\right\}$， $V=\left\{2,1,3\right\}$。

经验证， $\left(U,V\right)$ 是环 $Z_6$ 上一个参数为 $\left(6,2,3,1,1\right)$ 的差集偶。

例2 当 $e=1,f=2,m=3,p=3,p^m=27,2p^m=54$ 时， $d_1=2,d_2=6,d_3=18$。此时

$U=\left\{18,6,24,42,2,8,32,20,26,50,38,44,14,45,33,51,15,29,35,5,47,53,23,11,17,41\right\}$，

$V=\left\{18,6,24,42,2,8,32,20,26,50,38,44,14,9,3,39,21,1,31,43,37,13,25,19,49,7,27\right\}$。

经验证， $\left(U,V\right)$ 是环 $Z_{54}$ 上一个参数为 $\left(54,26,27,13,13\right)$ 的差集偶。

例3 当 $e=2,f=2,m=2,p=5,p^m=25,2p^m=50$ 时， $d_1=2,d_2=10$。根据猜想1可得到

$U=\left\{10,40,2,48,8,42,32,18,28,22,12,38,35,15,27,23,33,17,7,43,3,47,37,13\right\}$

$V=\left\{10,40,2,48,8,42,32,18,28,22,12,38,5,45,1,49,29,21,41,9,39,11,31,19,25\right\}$

经验证， $\left(U,V\right)$ 是环 $Z_{50}$ 上一个参数为 $\left(50,24,25,12,12\right)$ 的差集偶。

例4 当 $e=6,f=2,m=1,p=13,p^m=13,2p^m=26$ 时， $d_1=2$。此时

$U=\left\{2,8,6,24,18,20,15,21,19,11,5,7\right\}$，

$V=\left\{2,8,6,24,18,20,1,17,3,25,9,23,13\right\}$。

经验证， $\left(U,V\right)$ 是环 $Z_{26}$ 上一个参数为 $\left(26,12,13,6,6\right)$ 的差集偶。

猜想2 $U={\displaystyle {\cup }_{j=1}^m{\displaystyle {\cup }_{i=0}^{d_j/2-1}{p}^{m-j}}}\left(2D_{2i}^{\left(p^j\right)}\cup D_{2i+1}^{\left(2p^j\right)}\right),V={\displaystyle {\cup }_{j=1}^m{\displaystyle {\cup }_{i=0}^{d_j/2-1}{p}^{m-j}\left(2D_{2i}^{\left(p^j\right)}\cup D_{2i}^{\left(2p^j\right)}\right)\cup \left\{0\right\}}}$ 构成参数为 $\left(2p^m,p^m-1,p^m,\frac{p^m-1}{2},\frac{p^m-1}{2}\right)$ 的差集偶。

例5 当 $e=5,f=2,m=1,p=11,p^m=11,2p^m=22$ 时， $d_1=2$。此时

$U=\left\{13,19,21,7,17,2,8,10,18,6\right\}$，

$V=\left\{1,15,5,9,3,2,8,10,18,6,0\right\}$。

经验证， $\left(U,V\right)$ 是环 $Z_{22}$ 上一个参数为 $\left(22,10,11,5,5\right)$ 的差集偶。

例6 当 $e=2,f=2,m=1,p=5,p^m=5,2p^m=10$ 时， $d_1=2$。根据猜想2可得到

$U=\left\{2,8,7,3\right\}$， $V=\left\{2,8,1,9,0\right\}$。

经验证， $\left(U,V\right)$ 是环 $Z_{10}$ 上一个参数为 $\left(10,4,5,2,2\right)$ 的差集偶。

例7 当 $e=9,f=2,m=1,p=19,p^m=19,2p^m=38$ 时， $d_1=2$。根据猜想2可得到

$U=\left\{2,8,32,14,18,34,22,12,10,21,27,13,33,37,15,3,31,29\right\}$，

$V=\left\{2,8,32,14,18,34,22,12,10,1,23,35,7,9,17,11,25,5,0\right\}$。

经验证， $\left(U,V\right)$ 是环 $Z_{38}$ 上一个参数为 $\left(38,18,19,9,9\right)$ 的差集偶。

基金项目

辽宁省教育厅一般项目[LQ2020020]。