von Neumann代数上保持绝对连续和奇异的映射

Maps Preserving Absolute Continuity and Singularity on a von Neumann Algebra

摘要: 设A是无限维复Hilbert空间上的一个von Neumann代数。A⁺为所有正算子的锥。本文证明了一个双射φ:A⁺→A⁺在两个方向上都保持绝对连续，则其在两个方向上也保持奇异。并证明了这个双射φ可以由有界、可逆、线性或共轭线性的算子来刻画。

Abstract: Let A be a von Neumann algebra on an infinite dimensional, complex Hilbert space. A⁺ stands for the cone of all positive operators. In this paper, we obtain that bijective maps φ:A⁺→A⁺ that preserves absolute continuity in both directions are also preserve singularity in both directions. Moreover, we show that these maps φ can be characterized by invertible, linear or conjugate linear operators.

1. 引言

从一个代数到另一个代数的线性映射，若其保持了代数里边某些元素特性不变，则称它是一个线性保持映射。关于线性保持问题最早的论文可以追溯到1897年，此后算子空间上的线性保持问题一直受到了众多学者的广泛关注 [1] [2] [3] [4]。而其中一类算子代数von Neumann代数上的线性保持问题，国内外许多学者对其进行了研究与探索并已取得许多成果。例如：2013年齐霄霏和侯晋川在文献 [5] 中刻画了von Neumann代数上的强斜交换线性保持映射；2013年杜宁在文献 [6] 中刻画了von Neumann代数上保持自Jordan积和半^*-Jordan积的映射；2016年费秀海和张建华在文献 [7] 中刻画了von Neumann代数上保持投影的映射；2018年C. Li，F. Zhao，Q. Chen在文献 [8] 中刻画了在von Neumann代数上保乘积 $X*Y+Y*X$ 的映射。

受以上文献的启发，本文我们将主要研究von Neumann代数上保持绝对连续和奇异的映射。映射保持绝对连续和奇异性的相关内容在文献 [9] [10] [11] 中有学者进行过研究。我们将说明若von Neumann代数上的双射 $\phi$ 在两个方向上都保持绝对连续，则其在两个方向上也保持奇异。并且借助有界、可逆、线性或共轭线性的算子将这个双射 $\phi$ 完全刻画。下面先介绍一些概念并固定一些符号。

设 $\mathcal{H}$ 是一个无限维的复Hilbert空间，用 $\langle \cdot ,\cdot \rangle$ 表示它上面的内积， $B\left(\mathcal{H}\right)$ 表示 $\mathcal{H}$ 上所有有界线性算子的全体。令 $\mathcal{A}$ 是 $B\left(\mathcal{H}\right)$ 上的一个 $C^{\ast }$ -子代数，若 $\mathcal{A}$ 包含恒等算子且具有前对偶，即存在一个Banach空间 $\mathcal{Y}$ 使得 $\mathcal{Y}$ 的对偶空间为 $\mathcal{A}$，则称 $\mathcal{A}$ 为von Neumann代数。若 $A^{*}=A$，( $A\in \mathcal{A}$ )，则称 $\mathcal{A}$ 为自伴算子。若A是自伴的且对任意的 $x\in \mathcal{H}$ 有 $\langle Ax,x\rangle \ge 0$ 成立，则称 $\mathcal{A}$ 为正算子。并用 ${\mathcal{A}}^{\text{+}}$ 表示所有正算子的锥。设 $\mathcal{A}$ 是一个von Neumann代数， $a\in \mathcal{A}$ 称为 $\mathcal{A}$ 的一秩元，如果a的值域投影 $R_a$ 是 $\mathcal{A}$ 中的一个极小投影 [12]。

对任意 $A,B\in \mathcal{A}$ 若 $B-A\in {\mathcal{A}}^{+}$ 称为偏序，记作： $A\le B$。

定义1.1：(1) 任意 $A,B\in {\mathcal{A}}^{\text{+}}$，如果满足 $C\le A$ 且 $C\le B$ 的 $C\in {\mathcal{A}}^{\text{+}}$ 只能是零算子，则称A和B是奇异的，记作： $A\perp B$。

(2) 若存在一个正算子序列 $\left\{A_n\right\}$ 和一个非负实数序列 $\left\{{\alpha }_n\right\}$，满足 $A_n\uparrow A$ 且 $A_n\le {\alpha }_{n}B$，这里 $A_n\uparrow A$ 是指 $\left\{A_n\right\}$ 单调递增且 $\left\{A_n\right\}$ 强收敛于A，则称A是B-绝对连续的，记作： $A\ll B$。

下面给出一个双射在两个方向上保持绝对连续性和奇异性的定义：

定义1.2：(1) 称双射 $\phi :{\mathcal{A}}^{\text{+}}\to {\mathcal{A}}^{\text{+}}$ 在两个方向上保持绝对连续，如果对于任意 $A,B\in {\mathcal{A}}^{\text{+}}$ 有， $A\ll B\iff \phi \left(A\right)\ll \phi \left(B\right)$。

(2) 称双射 $\phi :{\mathcal{A}}^{\text{+}}\to {\mathcal{A}}^{\text{+}}$ 在两个方向上保持奇异，如果对于任意的 $A,B\in {\mathcal{A}}^{\text{+}}$ 有， $A\perp B\iff \phi \left(A\right)\perp \phi \left(B\right)$。

2. 主要定理及其证明

引理2.1 ( [13]，引理4)对有界算子S和T，下列条件等价：

(i) $ran\left(S\right)\subseteq ran\left(T\right)$；

(ii) 存在 $\alpha \ge \text{0}$ 使得 $S{S}^{\ast }\le \alpha T{T}^{\ast }$。

定理2.1 令 $A,B\in {\mathcal{A}}^{+}$，则 $A\ll B$ 当且仅当 $ranA\subseteq ranB$。

证明 当 $A,B\in {\mathcal{A}}^{+}$， $ran\left(A\right)\subseteq ran\left(B\right)$ 时，有 $ran{A}^{1/2}$ 和 $ran{B}^{1/2}$ 均有意义，此时我们有 $ran{A}^{1/2}\subseteq ran{B}^{1/2}$。由引理2.1知，存在 $\alpha \ge \text{0}$，使得 $A\le \alpha B$ (这比A是B-绝对连续条件更强)。因此我们有A是B-绝对连续的。

反之，若A是B-绝对连续的，则由绝对连续的定义我们有，存在一个正算子序列 $\left\{A_n\right\}$ 和一个非负实数序列 $\left\{{\alpha }_n\right\}$，满足 $A_n\uparrow A$ 且 $A_n\le {\alpha }_{n}B$，即 $A\le {\alpha }_{n}B$。由引理2.1可知 $ran\left(A\right)\subseteq ran\left(B\right)$。 □

定理2.2 令 $A,B\in {\mathcal{A}}^{+}$，则 $A\perp B$ 当且仅当 $ran{A}^{1/2}\cap ran{B}^{1/2}=\left\{0\right\}$。

证明 对任意的 $A,B\in {\mathcal{A}}^{+}$，令 $ran{A}^{1/2}\cap ran{B}^{1/2}=\left\{0\right\}$，则显然有 $A\perp B$。

反之，若 $A\perp B$，定义

$\left[A\right]B=\underset{n\to \infty }{\lim }\left(nA\right):B$

表示正算子A和B的平行和，正算子序列 ${\left\{\left(nA\right):B\right\}}_n$ 是单调递增的，以B为上界，记作： $A:B$。

由文献( [13]，引理4)我们有

$ran{A}^{1/2}\cap ran{B}^{1/2}=ran\left[{\left(A:B\right)}^{1/2}\right]$

等价于 $0\le A:B\le A,B$。因此 $A\perp B$ 可以推出 $ran{A}^{1/2}\cap ran{B}^{1/2}=\left\{0\right\}$。□

引理2.2 ( [13]，定理5)若 $A,B\in {\mathcal{A}}^{+}$，则 $A\ll B$ 当且仅当在 $\mathcal{H}$ 中稠密。

定理2.3 令 $A\in {\mathcal{A}}^{+}$，A的值域 $ranA$ 是闭的当且仅当 $ran{A}^{1/2}$ 闭。

证明 对任意 $A\in {\mathcal{A}}^{+}$，则显然有

$ranA\subset ran{A}^{1/2}\subset \overline{ran{A}^{1/2}}=\overline{ranA}$

因此，若 $ranA$ 是闭的，则 $ran{A}^{1/2}$ 也是闭的。

反之，若 $ran{A}^{1/2}$ 是闭的，我们有

$ranA=A\left(H\right)=A^{1/2}\left(A^{1/2}\left(H\right)\right)=A^{1/2}\left(\overline{ran{A}^{1/2}}\right)=A^{1/2}\left({\left(ker{A}^{1/2}\right)}^{\perp }\right)=ran{A}^{1/2}$

即 $ranA=ran{A}^{1/2}$。故 $ranA$ 是闭的。

由这个定理可知，对任意的 $A\in {\mathcal{A}}^{+}$，若 $ranA$ 和 $ran{A}^{1/2}$ 是闭的，则 $ranA=ran{A}^{1/2}$。 □

下面我们给出von Neumann代数上的一个双射 $\phi$ 在两个方向上保持绝对连续和奇异的等价刻画。

定理2.4 设 $\mathcal{A}$ 是无限维复Hilbert空间上的一个von Neumann代数。 ${\mathcal{A}}^{\text{+}}$ 为von Neumann代数上的一个正锥。若 $\phi :{\mathcal{A}}^{\text{+}}\to {\mathcal{A}}^{\text{+}}$ 是一个双射，则下列四个叙述等价：

(i) $\phi$ 在两个方向上保持绝对连续；

(ii) $\phi$ 在两个方向是保持奇异；

(iii) 存在一个有界、可逆、线性或共轭线性算子 $T:\mathcal{A}\to \mathcal{A}$，使得对所有的 $A\in {\mathcal{A}}^{+}$ 有

$ran\phi {\left(A\right)}^{1/2}=ranT{A}^{1/2}$

(iv) 存在一个有界、可逆、线性或共轭线性算子 $T:\mathcal{A}\to \mathcal{A}$ 和一族可逆正算子 $\left\{Z_A:A\in {\mathcal{A}}^{+}\right\}$，使得对所有的 $A\in {\mathcal{A}}^{+}$ 有

$\phi \left(A\right)={\left(TA{T}^{\ast }\right)}^{1/2}{Z}_A{\left(TA{T}^{\ast }\right)}^{1/2}$

证明 (i) Þ (ii)：因为对所有的正算子B来说，0是 ${\mathcal{A}}^{\text{+}}$ 上唯一B-绝对连续的元。所以由(i)可知 $\phi \left(0\right)=0$。现假设 $\phi$ 满足(i)但不满足(ii)，则存在 $A,B\in {\mathcal{A}}^{+}$ 使得 $A\perp B$ 但 $\phi \left(A\right)$ 与 $\phi \left(B\right)$ 不垂直。特别地，在von Neumann代数中我们可以找到一个极小投影R，满足 $R\le \phi \left(A\right),R\le \phi \left(B\right)$，因此

$R\ll \phi \left(A\right)$ 且 $R\ll \phi (\; B\; )$

又存在非零的秩一元 $a\in \mathcal{A}$，使得 $R=\phi \left(a\right)$，从而 $a\ll A$ 且 $a\ll B$。但这表明 $a\in ran{A}^{1/2}\cap ran{B}^{1/2}$，因此A与B不垂直，这与假设相矛盾。

(ii) Þ (iii)：对任意 $A,B,C\in {\mathcal{A}}^{+}$，假设 $A\perp C$ 且 $B\perp C$，则由定理2.2知，

$ran{A}^{1/2}\cap ran{C}^{1/2}=\left\{0\right\}\iff ran{\left(\phi \left(A\right)\right)}^{1/2}\cap ran{\left(\phi \left(C\right)\right)}^{1/2}=\left\{0\right\}$

$ran{B}^{1/2}\cap ran{C}^{1/2}=\left\{0\right\}\iff ran{\left(\phi \left(B\right)\right)}^{1/2}\cap ran{\left(\phi \left(C\right)\right)}^{1/2}=\left\{0\right\}$

对任意的 $A\in {\mathcal{A}}^{+}$，定义

$A^{\perp }=\left\{C\in {\mathcal{A}}^{+}:C\perp A\right\}$

我们有

$A^{\perp }=B^{\perp }\iff ran{A}^{1/2}=ran{B}^{1/2}\iff ran{\left(\phi \left(A\right)\right)}^{1/2}=ran{\left(\phi \left(B\right)\right)}^{1/2}$

其中 $A,B\in {\mathcal{A}}^{+}$。

我们定义一个新的映射：

$\psi :La{t}_{op}\left(\mathcal{H}\right)\to La{t}_{op}(\; H\; )$

$\psi \left(ran{A}^{1/2}\right)=ran\phi {\left(A\right)}^{1/2}$

其中， $La{t}_{op}\mathcal{H}:=\left\{\mathcal{M}\subseteq \mathcal{H}:\exists S\in \mathcal{A},ranS=\mathcal{M}\right\}=\left\{ran{A}^{1/2}:A\in {\mathcal{A}}^{+}\right\}$。

显然 $\psi$ 有定义且是一个双射，由

$ran{A}^{1/2}\cap ran{B}^{1/2}=\left\{0\right\}$ 和 $ran{A}^{1/2}=ran{B}^{1/2}\iff ran{\left(\phi \left(A\right)\right)}^{1/2}=ran{\left(\phi \left(B\right)\right)}^{1/2}$

我们可知 $\psi$ 在这两个方向上保零交。即

$\mathcal{M}\cap \mathcal{N}=\left\{0\right\}\iff \psi \left(\mathcal{M}\right)\cap \psi \left(\mathcal{N}\right)=\left\{0\right\}$

其中 $\mathcal{M},\mathcal{N}\in La{t}_{op}\left(\mathcal{H}\right)$。

接下来我们进一步看映射 $\psi$，易知

$\mathcal{M}\subseteq \mathcal{N}\iff \left\{\mathcal{K}\in La{t}_{op}\left(\mathcal{H}\right):\mathcal{K}\cap \mathcal{N}=\left\{0\right\}\right\}\subseteq \left\{\mathcal{K}\in La{t}_{op}\left(\mathcal{H}\right):\mathcal{K}\cap \mathcal{M}=\left\{0\right\}\right\}$

因此 $\psi$ 在两个方向上保包含关系：

$\mathcal{M}\subseteq \mathcal{N}\iff \psi \left(\mathcal{M}\right)\subseteq \psi (\; N\; )$

其中 $\mathcal{M},\mathcal{N}\in La{t}_{op}\left(\mathcal{H}\right)$。

事实上，由以上两式我们有 $\psi \left(\left\{0\right\}\right)=\left\{0\right\}$ 且 $\psi \left(\left\{\mathcal{H}\right\}\right)=\left\{\mathcal{H}\right\}$。注意到

$dim\mathcal{M}=1\iff \left\{\mathcal{N}\in La{t}_{op}\left(\mathcal{H}\right):\mathcal{N}\subseteq \mathcal{M}\right\}=\left\{\left\{0\right\},\mathcal{M}\right\}$

对任意正整数n，令 $La{t}_n\left(\mathcal{H}\right):=\left\{\mathcal{M}\in La{t}_{op}\left(\mathcal{H}\right):dim\mathcal{M}=n\right\}$，则当 $\psi$ 限制到 $\psi {|}_{La{t}_1\left(\mathcal{H}\right)}$ 时是 $La{t}_1\left(\mathcal{H}\right)$ 到自身的一个双射。类似地，我们有：

$dim\mathcal{M}=2\iff \left\{\mathcal{N}:\mathcal{N}⊊\mathcal{M}\right\}\subseteq La{t}_1\left(\mathcal{H}\right)\cup \left\{\left\{0\right\}\right\}$

从而， $\psi {|}_{Lat2\left(\mathcal{H}\right)}:La{t}_2\left(\mathcal{H}\right)\to La{t}_2\left(\mathcal{H}\right)$ 也是一个双射。由以上结论我们可得 $\psi {|}_{La{t}_1\left(\mathcal{H}\right)}$ 是一个射影，且 $\psi$ 可以将任何三个共面元素映成共面元素。因此应用射影几何的基本定理可以得到：存在一个半线性映射 $T:\mathcal{A}\to \mathcal{A}$ 使得

$\psi \left(\mathcal{M}\right)=T(\; M\; )$

其中 $\mathcal{M}\in \psi {|}_{La{t}_1\left(\mathcal{H}\right)}$。

接下来我们考虑 $\psi$ 作用到更一般的 $\mathcal{M}\in La{t}_{op}\left(\mathcal{H}\right)\setminus \left\{0\right\}$。通过上边的性质，对任意的 $\mathcal{N}\in La{t}_1\left(\mathcal{H}\right)$ 和 $\mathcal{N}\in La{t}_{op}\left(\mathcal{H}\right)$，我们有

$\mathcal{M}\subseteq \mathcal{N}\iff \psi \left(\mathcal{M}\right)\subseteq \psi (\; N\; )$

和

$\mathcal{M}\cap \mathcal{N}=\left\{0\right\}\iff \psi \left(\mathcal{M}\right)\cap \psi \left(\mathcal{N}\right)=\left\{0\right\}$

因此，对所有的 $\mathcal{M}\in La{t}_{op}\left(\mathcal{H}\right)\setminus \left\{0\right\}$ 我们有

$\begin{array}{c}\psi \left(\mathcal{M}\right)=\underset{T\left(\mathcal{N}\right)\subset \psi \left(\mathcal{M}\right),T\left(\mathcal{N}\right)\in La{t}_1\left(\mathcal{H}\right)}{\cup }T\left(\mathcal{M}\right)\\ =\underset{\mathcal{M}\subset \mathcal{N},\mathcal{N}\in La{t}_1\left(\mathcal{H}\right)}{\cup }T\left(\mathcal{N}\right)\\ \text{=}T\left(\underset{\mathcal{M}\subset \mathcal{N},\mathcal{N}\in La{t}_1\left(\mathcal{H}\right)}{\cup }\mathcal{N}\right)\\ =T(\; M\; )\end{array}$

进而，通过 $\psi$ 和T的定义我们有对任意的 $\mathcal{M}\in La{t}_{op}\left(\mathcal{H}\right)$，

$\phi \left[{\mathcal{R}}_{1/2}\left(\mathcal{M}\right)\right]={\mathcal{R}}_{1/2}\left(T(\; M\; )\right)$

接下来我们的主要任务就是证明半线性映射T是有界的、线性或共轭线性的。由于T和 $T^{-1}$ 将一余维线性流形映射为一余维线性流形。此外， $\mathcal{H}$ 的有限余维子空间是一个算子值域当且仅当它是闭的，因此我们推断定T将 $La{t}_1\left(\mathcal{H}\right)$ 映射到 $La{t}_1\left(\mathcal{H}\right)$ 上。由于 $\mathcal{H}$ 是无限维的，我们可以使用文献 [14] 的引理2及其推论，得出T是线性或共轭线性的。

最后，为了证明T是有界的，只需证明对于每一个有界线性泛函 $y^{\ast }$ $\left(y^{\ast }\in {\mathcal{A}}^{+}\right)$ 使得 $Ker{x}^{\ast }=Ker\left(y^{\ast }\circ T\right)$，这意味着存在 $\lambda$ 使得 $y^{\ast }\circ T=\lambda x^{\ast }$，因此 $y^{\ast }\circ T$ 是有界的。用类似的方法我们可以证明T是共轭线性的。

(iii) Þ (iv)：首先，假设T是线性的。由于对任意的 $S\in \mathcal{A}$， $ranS=ran{\left(S{S}^{\ast }\right)}^{1/2}$，因此可得

$ran\phi {\left(A\right)}^{1/2}=ranT{A}^{1/2}=ran{\left(TA{T}^{\ast }\right)}^{1/2}$

其中 $A\in {\mathcal{A}}^{+}$。

从而，由( [15]，推论1)知，存在一个可逆算子 $X_A\in \mathcal{A}$，使得 $\phi {\left(A\right)}^{1/2}={\left(TA{T}^{\ast }\right)}^{1/2}{X}_A$。进而，令 $Z_A=X_A{X}_A^{\ast }$，则(iv)成立。

假设现在T是共轭线性的，考虑任意一个反酉算子 $U:\mathcal{A}\to \mathcal{A}$，则

$ran\phi {\left(A\right)}^{1/2}=ranT{A}^{1/2}=ranT{A}^{1/2}U=ran{\left(TA{T}^{\ast }\right)}^{1/2}$

其中 $\forall A\in {\mathcal{A}}^{+}$。

(iv) Þ (i)：由于对任意的 $S\in \mathcal{A}$， $ranS=ran{\left(S{S}^{\ast }\right)}^{1/2}$，故对任意的 $A\in {\mathcal{A}}^{+}$，我们有

$ran\phi {\left(A\right)}^{1/2}=ran{\left(TA{T}^{\ast }\right)}^{1/2}{Z}^{1/2}=ran{\left(TA{T}^{\ast }\right)}^{1/2}=ranT{A}^{1/2}=ranT{A}^{1/2}{T}^{\ast }$

因此由文献( [15]，推论4)可知，存在一个可逆算子 $Y_A\in \mathcal{A}$ 使得

$\phi {\left(A\right)}^{1/2}=T{A}^{1/2}{T}^{\ast }{Y}_A$

记

${\mathcal{D}}_{A,B}=\left\{x\in \mathcal{A}:A^{1/2}x\in ran{B}^{1/2}\right\}$

其中 $A,B\in {\mathcal{A}}^{+}$。

通过计算我们有：

${\mathcal{D}}_{\phi \left(A\right),\phi \left(B\right)}={\left(T^{\ast }{Y}_A\right)}^{-1}\left({\mathcal{D}}_{A,B}\right)$

由此可知 ${\mathcal{D}}_{A,B}$ 稠当且仅当 ${\mathcal{D}}_{\phi \left(A\right),\phi \left(B\right)}$ 是稠的。进而由引理2.2可知(i)成立。□

如果 $\mathcal{H}$ 是有限维的Hilbert空间，那么上面的定理2.4的证明将会更简单。然而，我们需要指出的是在有限维情形下，此时T没有必要是线性或者共轭线性的。下面我们给出具体的定理：

定理2.5 设 $\mathcal{H}$ 是有限维复Hilbert空间且 $2<dim\mathcal{H}<\infty$， $\mathcal{A}$ 是 $\mathcal{H}$ 上的一个von Neumann代数。 ${\mathcal{A}}^{\text{+}}$ 为von Neumann代数上的一个正锥。若 $\phi :{\mathcal{A}}^{\text{+}}\to {\mathcal{A}}^{\text{+}}$ 是一个双射，则下列叙述等价：

(i) $\phi$ 在两个方向上保持绝对连续；

(ii) $\phi$ 在两个方向是保持奇异；

(iii) 存在一个半线性双射 $T:\mathcal{A}\to \mathcal{A}$ 使得对任意的 $A\in {\mathcal{A}}^{+}$

$ran\phi \left(A\right)=ranTA$。

最后需要注意的是定理2.5中不包含 $dim\mathcal{H}=2$ 的情形，因此此时我们不能再应用射影几何的基本定理。

致谢

本文作者衷心感谢审稿人和读者的意见和建议。

基金项目

国家自然科学基金资助项目(11801397)；国家留学基金管理委员会资助项目(202006935001)。