一类Finsler子流形的研究

The Study of a Class of Finsler Submanifolds

摘要: 本文主要利用一个自然恒等式并且考虑一类特殊(α,β)-流形 且φ(0)=1，其中ã是Riemann度量，是一个1-形式。旨在利用自然恒等式研究一类特殊(α,β)-流形在一定条件下不存在闭的可定向的BH-极小子流形和闭的可定向的HT-极小曲面。

Abstract: In this paper, we mainly use a natural identity and consider a class of special manifolds with an  (α,β)-metric in which ã is the Riemannian metric, and is a one-form. We aim to study a class of special manifolds by using the natural identity. Under certain conditions, there are no closed orientable BH-minimal submanifolds and closed orientable HT-minimal surfaces.

1. 引言

1972年，M. Matsumoto [1] 推广了Randers度量的概念，得到了 $\left(\alpha ,\beta \right)$ -度量。 $\left(\alpha ,\beta \right)$ -度量

$F=\alpha \varphi \left(\beta /\alpha \right)$ 是由Riemann度量 $\alpha =\sqrt{a_{ij}\left(x\right)y^i{y}^j}$ 和1-形式 $\beta =b_i\left(x\right)y^i$ 构成的一类重要的Finsler度量，其中 $\varphi \left(s\right)$ 是定义在开区间 $\left(-b_0,b_0\right)$ 上的光滑正函数，并满足 $\varphi \left(0\right)=1$ 使得 $F$ 为正定的Finsler度量。不难看出，这类 $\left(\alpha ,\beta \right)$ -度量包含了所有的Riemann度量( $\varphi =1$ 或者 $\beta =0$ )，这是Finsler几何中一类重要的度量，它们已经被应用到物理、生物等学科 [2] [3]。因此，人们对这类特殊的度量进行了深入研究。当 $\varphi =1+s$ 时， $\left(\alpha ,\beta \right)$ -度量 $F=\alpha +\beta$ 称为Randers [4] 度量，它是最简单Finsler度量，著名的Funk度量就是射影平

坦且旗曲率为 $K=-\frac{1}{4}$ 的Randers度量；当 $\varphi \left(s\right)={\left(1+s\right)}^2$，那么 $F=\frac{{\left(\alpha +\beta \right)}^2}{\alpha }$ 称为Square度量，它是由L. Berwald [5] 构造的二次平方度量，其旗曲率为 $K=0$。而当 $\varphi \left(s\right)=\frac{1}{1-s}$，那么 $F=\frac{{\alpha }^2}{\alpha -\beta }$ 称为Matsumoto

度量。它是由日本数学家M.Matsumoto在研究山路的斜坡问题时抽象出来的度量，其中 $\alpha$ 是地球引力， $\beta$ 是高度。

近年来，受到Riemann子流形研究的影响，Finsler子流形的研究越来越受到人们的重视。1998年，在没有借助任何联络的情况下，文献 [6] 研究了在Busemann-Hausdorff-体积形式下Finsler子流形几何。之后，文献 [7] 考虑了Minkowski Randers空间的(超)曲面，得到了极小曲面的Bernstein型定理。2006年，文献 [8] 和文献 [9] 提出了另一种集中于Holmes-Thompson测度的方法，引入了法曲率以及Holmes- Thompson平均曲率的概念并给出了具体的表达式。而文献 [10] 首次引入了体积比函数

${\Phi }_b\left(t\right):=2{\sigma }^{\prime }\left(t\right)\left(b^2-t\right)+\sigma \left(t\right),t\in \left[0,b^2\right]$

目的是为了简化平均曲率公式并使它们适用于Busemann-Hausdorff测度和Holmes-Thompson测度下 $\left(\alpha ,\beta \right)$ -空间中的浸入曲面。

本文考虑一般 $\left(\alpha ,\beta \right)$ -流形 $\left({\tilde{M}}^{n+p},\tilde{F}\right)$，其中 $\tilde{F}=\tilde{\alpha }\varphi \left({\Vert \tilde{\beta }\Vert }_{\tilde{\alpha }}^2,\tilde{\beta }/\tilde{\alpha }\right)$， $\tilde{\alpha }$ 是一个Riemann度量， $\tilde{\beta }$ 是1-

阶微分形式， $b:={\Vert \tilde{\beta }\Vert }_{\tilde{\alpha }}^2$ 是 $\tilde{\beta }$ 在度量 $\tilde{\alpha }$ 的长度， $\varphi \left(b,s\right)$ 在条件 $\left|s\right|\le b<b_0$ 下是一个2-变量光滑正函数，且满足式(8)使得 $\tilde{F}$ 是正定的Finsler度量。我们将引用文献 [11] 中一个涉及了 $\sigma$ -平均曲率向量和一个向量场切分量相关的散度项的自然恒等式(定理1.3)。选择一类特殊的 $\left(\alpha ,\beta \right)$ -度量

$F=\alpha \varphi \left(s\right),s=\frac{\beta }{\alpha }$

其中 $\varphi$ 是定义在某区间 $\left(-b_0,b_0\right)$ 上的光滑正函数且 $\varphi \left(0\right)=1$。本文旨在利用自然恒等式研究在Busemann-Hausdorff测度和Holmes-Thompson测度下一类特殊 $\left(\alpha ,\beta \right)$ -流形在一定条件下不存在闭的可定向的极小子流形和极小曲面。

2. 预备知识

本节主要介绍后面所用到的一些概念和记号。在整个文章中，也使用Einstein求和约定。简称Busemann-Hausdorff体积形式为BH-体积形式，Holmes-Thompson体积形式为HT-体积形式。

定义1 用 ${\mathcal{L}}_{\tilde{X}}$ 表示 $\tilde{M}$ 上的一个Lie导数算子。因为 ${\mathcal{L}}_{\tilde{X}}\tilde{g}$ 是一个对称协变(0,2)-张量，所以可以定义一个(1,1)-张量(仍然用 ${\mathcal{L}}_{\tilde{X}}\tilde{g}$ 表示)。对任意 $\tilde{M}$ 上的向量场 $\tilde{Y}$ 和 $\tilde{Z}$，我们有

${\langle \left({\mathcal{L}}_{\tilde{X}}\tilde{g}\right)\left(\tilde{Y}\right),\tilde{Z}\rangle }_{\tilde{g}}:=\left({\mathcal{L}}_{\tilde{X}}\tilde{g}\right)\left(\tilde{Y},\tilde{Z}\right)={\langle {\tilde{\nabla }}_{\tilde{Y}}\tilde{X},\tilde{Z}\rangle }_{\tilde{g}}+{\langle {\tilde{\nabla }}_{\tilde{Z}}\tilde{X},\tilde{Y}\rangle }_{\tilde{g}}$ (1)

定义2 如果对 $\tilde{M}$ 上的一个光滑函数 $c$，使得 ${\mathcal{L}}_{\tilde{X}}\tilde{g}=2c\tilde{g}$，即

$\left({\mathcal{L}}_{\tilde{X}}\tilde{g}\right)\left(\tilde{Y},\tilde{Z}\right)={\langle {\tilde{\nabla }}_{\tilde{Y}}\tilde{X},\tilde{Z}\rangle }_{\tilde{g}}+{\langle {\tilde{\nabla }}_{\tilde{Z}}\tilde{X},\tilde{Y}\rangle }_{\tilde{g}}=2c{\langle \tilde{Y},\tilde{Z}\rangle }_{\tilde{g}}$ (2)

其中 $\tilde{Y}$ 和 $\tilde{Z}$ 是 $\tilde{M}$ 上的任意两个向量场，那么向量场 $\tilde{X}$ 称为 $\left(\tilde{M},\tilde{g}\right)$ 的共形向量场。特别地，如果 $c=0$，则 $\tilde{X}$ 称为Killing向量场。

3. 一个自然恒等式

在文献 [11] 中，通过运用子流形的理论知识进行大量计算，自然引入了体积比函数

$\Phi \left(p,b,t\right):=2{\sigma }_t\left(p,b,t\right)\left(b-t\right)+\sigma \left(p,b,t\right)$ (3)

这样的一个函数是在计算过程中自然出现的，目的是为了简化 $\sigma$ -平均曲率向量和自然恒等式。其中 $\sigma =\sigma \left(p,b,t\right)$ 是一个任意3-变量光滑正函数，在没有特别提醒的情况下，我们用 ${\sigma }_t:={\sigma }_t\left(p,b,t\right)$ 表示 $\sigma$ 关于 $t$ 的偏导数，那么 ${\sigma }_b,{\sigma }_{pt},{\sigma }_{bt}$ 和 ${\sigma }_{tt}$ 等也是表示关于 $p,b,t$ 求偏导数。对于任意的向量场 $\tilde{X}$，用 ${\tilde{X}}^{\perp }$ 表示其法向分支。

引理1 [11] 设 $\left({\tilde{M}}^{n+p},\tilde{g}\right)$ 是一个 $n+p$ 维的Riemann流形且具有向量场 $\tilde{X}$， $M^n$ 是 $\tilde{M}$ 的一个子流形，用 $\tilde{\nabla }$ 表示度量 $\tilde{g}$ 的一个Levi-Civita联络，取 $\tilde{M}$ 一个局部正交标架 $\left({\epsilon }_i,{\epsilon }_{\alpha }\right)$，使得 $\left({\epsilon }_i\right)$ 与 $M$ 相切。则对 $M$ 上的切向量 $X={\tilde{X}}^{\text{T}}$，总有

$\begin{array}{l}di{v}_M\left(\Phi X\right)=n{\langle {\stackrel{\to }{H}}_{\sigma },\tilde{X}\rangle }_{\tilde{g}}+{\sigma }_p\tilde{X}\left(f\right)+\left({\sigma }_b+{\sigma }_t\right)\tilde{X}\left({\Vert \tilde{X}\Vert }_{\tilde{g}}^2\right)\\ +\sigma \left[di{v}_{\tilde{M}}\tilde{X}-{\displaystyle \underset{\alpha =n+1}{\overset{n+p}{\sum }}{\langle {\tilde{\nabla }}_{{\epsilon }_{\alpha }}\tilde{X},{\epsilon }_{\alpha }\rangle }_{\tilde{g}}}\right]-2{\sigma }_t{\langle {\tilde{\nabla }}_{{\tilde{X}}^{\perp }}\tilde{X},{\tilde{X}}^{\perp }\rangle }_{\tilde{g}}.\end{array}$ (4)

其中 $\sigma$ 和 $\Phi$ 是由式(3)给出， $f:\tilde{M}\to R$ 是一个任意的光滑函数， $di{v}_M$ 是关于流形 $M$ 在诱导度量 $g$ 下的散度算子， ${\stackrel{\to }{H}}_{\sigma }$ 称为流形 $M$ 的 $\sigma$ -平均曲率向量，即

$\begin{array}{l}n{\stackrel{\to }{H}}_{\sigma }:=n\stackrel{\to }{H}\sigma +2n{\langle \stackrel{\to }{H},\tilde{X}\rangle }_{\tilde{g}}{\sigma }_t{\tilde{X}}^{\perp }-2\left[2{\sigma }_{tt}{\langle {\nabla }_X^{\perp }{\tilde{X}}^{\perp },{\tilde{X}}^{\perp }\rangle }_{\tilde{g}}{\tilde{X}}^{\perp }-{\sigma }_t{\nabla }_X^{\perp }{\tilde{X}}^{\perp }\right]\\ +2{\sigma }_{pt}X\left(f\right){\tilde{X}}^{\perp }-{\sigma }_p{\nabla }^{\perp }f-{\sigma }_b{\nabla }^{\perp }\left({\Vert \tilde{X}\Vert }_{\tilde{g}}^2\right)-2{\sigma }_t\left[{\left[\left({\mathcal{L}}_{\tilde{X}}\tilde{g}\right)\left(X\right)\right]}^{\perp }-{\left({\tilde{\nabla }}_X\tilde{X}\right)}^{\perp }\right]\\ +2\left({\sigma }_{bt}+{\sigma }_{tt}\right)X\left({\Vert \tilde{X}\Vert }_{\tilde{g}}^2\right){\tilde{X}}^{\perp }+2{\sigma }_t\left[di{v}_{\tilde{M}}\tilde{X}-{\displaystyle {\sum }_{\alpha =n+1}^{n+p}{\langle {\tilde{\nabla }}_{{\epsilon }_{\alpha }}\tilde{X},{\epsilon }_{\alpha }\rangle }_{\tilde{g}}}\right]{\tilde{X}}^{\perp }.\end{array}$ (5)

其中 $\stackrel{\to }{h}\left({\epsilon }_i,{\epsilon }_i\right)$ 称为流形 $M$ 的第二基本形式， $\stackrel{\to }{H}=\frac{1}{n}{\displaystyle {\sum }_{i=1}^n\stackrel{\to }{h}\left({\epsilon }_i,{\epsilon }_i\right)}$ 表示 $M$ 在流形 $\left(\tilde{M},\tilde{g}\right)$ 的Riemann平均曲率向量， ${\mathcal{L}}_{\tilde{X}}$ 由式(1)给出。 ${\nabla }^{\perp }f:={\left(\tilde{\nabla }f\right)}^{\perp }$， ${\nabla }^{\perp }\left({\Vert \tilde{X}\Vert }_{\tilde{g}}^2\right)$ 是梯度向量场 $\tilde{\nabla }f$， $\tilde{\nabla }{\Vert \tilde{X}\Vert }_{\tilde{g}}^2$ 的法向分支。

注记1 假设引理1中同样的条件。特别地，如果 $\sigma =\sigma \left(b,t\right)$，那么 ${\sigma }_p=0$，则式(4)可以简化为

$\begin{array}{l}di{v}_M\left(\Phi X\right)=n{\langle {\stackrel{\to }{H}}_{\sigma },\tilde{X}\rangle }_{\tilde{g}}+\left({\sigma }_b+{\sigma }_t\right)\tilde{X}\left({\Vert \tilde{X}\Vert }_{\tilde{g}}^2\right)\\ +\sigma di{v}_{\tilde{M}}\tilde{X}-\sigma {\displaystyle \underset{\alpha =n+1}{\overset{n+p}{\sum }}{\langle {\tilde{\nabla }}_{{\epsilon }_{\alpha }}\tilde{X},{\epsilon }_{\alpha }\rangle }_{\tilde{g}}}-2{\sigma }_t{\langle {\tilde{\nabla }}_{{\tilde{X}}^{\perp }}\tilde{X},{\tilde{X}}^{\perp }\rangle }_{\tilde{g}}.\end{array}$

进一步来说，若 $\sigma =\sigma \left(b,t\right)$ 且 $\tilde{X}$ 是共形向量场(2)，则 $\tilde{X}\left({\Vert \tilde{X}\Vert }_{\tilde{g}}^2\right)=2{\langle {\tilde{\nabla }}_{\tilde{X}}\tilde{X},\tilde{X}\rangle }_{\tilde{g}}=2c{\Vert \tilde{X}\Vert }_{\tilde{g}}^2$， $di{v}_{\tilde{M}}\tilde{X}={\displaystyle \underset{\alpha =1}{\overset{n+p}{\sum }}{\langle {\tilde{\nabla }}_{{\epsilon }_{\alpha }}\tilde{X},{\epsilon }_{\alpha }\rangle }_{\tilde{g}}=\left(n+p\right)}c$， ${\langle {\tilde{\nabla }}_{{\tilde{X}}^{\perp }}\tilde{X},{\tilde{X}}^{\perp }\rangle }_{\tilde{g}}=c{\Vert {\tilde{X}}^{\perp }\Vert }_{\tilde{g}}^2=c\left({\Vert \tilde{X}\Vert }_{\tilde{g}}^2-{\Vert X\Vert }_{\tilde{g}}^2\right)$。在这里令 $b={\Vert \tilde{X}\Vert }_{\tilde{g}}^2,t={\Vert X\Vert }_{\tilde{g}}^2$，我们有

$\begin{array}{l}di{v}_M\left(\Phi X\right)=n{\langle {\stackrel{\to }{H}}_{\sigma },\tilde{X}\rangle }_{\tilde{g}}+c\left[2\left({\sigma }_b+{\sigma }_t\right)b+n\sigma -2{\sigma }_t\left(b-t\right)\right]\\ =n{\langle {\stackrel{\to }{H}}_{\sigma },\tilde{X}\rangle }_{\tilde{g}}+c\left[2\left(b{\sigma }_b+t{\sigma }_t\right)+n\sigma \right].\end{array}$ (6)

因此就得到了一个自然恒等式(6)，它是涉及了一个 $\sigma$ -平均曲率向量和一个向量场切分量相关的散度项，我们将在第5节给出其具体的应用。

4. 一般 $\left(\alpha ,\beta \right)$ -度量体积元

一般 $\left(\alpha ,\beta \right)$ -度量中的Finsler度量是近十年来重要的研究内容。我们知道，赋予Finsler度量 $F$ 的 $n$ 维微分流形 $M$ 称为Finsler流形 $\left(M,F\right)$。其中光滑流形 $M$ 上的一个Finsler度量 $F$ 是定义在切从 $TM$ 上的连续函数 $F:TM\to \left[0,+\infty \right)$，它满足以下条件：i) $F$ 在 $TM\backslash \left\{0\right\}$ 上是光滑的；ii) 对于任意的实数 $\lambda$ 和

$\left(x,y\right)\in TM$， $F\left(x,\lambda y\right)=\lambda F\left(x,y\right)$ ；iii) 定义在 $TM\backslash \left\{0\right\}$ 的基本张量 $g^F:=g_{ij}^{F}d{x}^i\otimes d{x}^j$ 是正定的，其中在

$TM$ 上的一个局部坐标系下 $\left(x^i,y^i\right)$， $g_{ij}^F:=\frac{1}{2}\left(\frac{{\partial }^2{F}^2}{\partial y^i\partial y^j}\right)$。而在Finsler度量中，那里有一系列更广泛的度

量称为一般 $\left(\alpha ,\beta \right)$ -度量，它是由文献 [12] 提出的。

设 $\left(M,F\right)$ 是一般 $\left(\alpha ,\beta \right)$ -流形且具有一般 $\left(\alpha ,\beta \right)$ -度量，若对任意 $x\in M$， $s:=\beta /\alpha$，则有

$F=\alpha \varphi \left(x,s\right)$ (7)

其中 $\alpha =\sqrt{a_{ij}\left(x\right)y^i{y}^j}$ 是一个Riemann度量， $\beta =b_i\left(x\right)y^i$ 是一个1-次微分形式且 ${\Vert \beta \Vert }_{\alpha }<b_0$。 $\varphi \left(b,s\right)$ 是一个2-变量光滑正函数(参看文献 [12] 命题3.3)满足：

$\varphi -s{\varphi }_s>0,\varphi -s{\varphi }_s+\left(b^2-s^2\right){\varphi }_{ss}>0$ (8)

$n\ge 3$ 或者

$\varphi -s{\varphi }_s+\left(b^2-s^2\right){\varphi }_{ss}>0$

当 $n=2$，其中 $b$ 和 $s$ 是任意实数且满足 $\left|s\right|\le b<b_0$。

在文献 [13] 中，一般 $\left(\alpha ,\beta \right)$ -流形 $\left(M,F\right)$ 的Busemann-Hausdorff测度和Holmes-Thompson测度已经被计算出来，它的证明方法类似于文献 [14] 和文献 [15]。对任意 $x\in M$ 和一个实数 $t\ge 0$，我们定义

$\sigma \left(x,t\right):=\{\begin{array}{l}\frac{\sqrt{\pi }\Gamma \left(\frac{n-1}{2}\right)}{\Gamma \left(\frac{n}{2}\right)}{\left[{\displaystyle {\int }_0^{\pi }\frac{{\sin }^{n-2}\theta }{\varphi {\left(x,t^{\frac{1}{2}}\cos \theta \right)}^n}\text{d}\theta }\right]}^{-1}BH-情况,\\ \frac{\Gamma \left(\frac{n}{2}\right)}{\sqrt{\pi }\Gamma \left(\frac{n-1}{2}\right)}{\displaystyle {\int }_0^{\pi }Q\left(x,t^{\frac{1}{2}}\cos \theta \right){\sin }^{n-2}\theta \text{d}\theta HT-情况.}\end{array}$ (9)

其中

$Q\left(x,s\right):=\varphi {\left(\varphi -s{\varphi }_s\right)}^{n-2}\left[\varphi -s{\varphi }_s+\left(t-s^2\right){\varphi }_{ss}\right],s=t^{{}^{\frac{1}{2}}}\cos \theta$。

$\Gamma \left(t\right)={\displaystyle {\int }_0^{\infty }{x}^{t-1}{\text{e}}^{-x}\text{d}x}$ 是一个Euler函数且满足递推公式 $\Gamma \left(t+1\right)=t\Gamma \left(t\right)$， $\Gamma \left(1\right)=1$， $\Gamma \left(1/2\right)=\sqrt{\pi }$。

引理2 [13] 对于具有度量(7)的一般 $\left(\alpha ,\beta \right)$ -流形 $\left(M^n,F\right)$，关于在度量 $F$ 下的BH-体积形式和HT-体积形式为 $\text{d}{V}_F\left(x\right)=\sigma \left(x,{\Vert \beta \Vert }_{\alpha }^2\right)\text{d}{V}_{\alpha }$，其中 $x\in M$， $\sigma$ 是由式(9)给出。

在本节中，我们考虑一个一般 $\left(\alpha ,\beta \right)$ -流形中定向等距浸入的子流形 $f:M^n\to \left({\tilde{M}}^{n+p},\tilde{F}\right)$，其中

$\tilde{F}=\tilde{\alpha }\varphi \left({\Vert \tilde{\beta }\Vert }_{\tilde{\alpha }}^2,\tilde{\beta }/\tilde{\alpha }\right)$。那么在流形 $M$ 上的诱导度量 $F:=f^{\ast }\tilde{F}$ $\tilde{F}=\tilde{\alpha }\varphi \left({\Vert \tilde{\beta }\Vert }_{\tilde{\alpha }}^2,\tilde{\beta }/\tilde{\alpha }\right)$ 是一个一般 $\left(\alpha ,\beta \right)$ -度量 $F=\alpha \varphi \left({\Vert \tilde{\beta }\Vert }_{\tilde{\alpha }}^2,\beta /\alpha \right)$，其中 $\alpha :=f^{\ast }\tilde{\alpha }$ 是诱导的Riemann度量， $\beta :=f^{\ast }\tilde{\beta }$ 是诱导的1-形式。 ${\Vert \tilde{\beta }\Vert }_{\tilde{\alpha }}^2$ 可以看作

是限制在 $M$ 上的函数，而流形 $M$ 上 ${\Vert \tilde{\beta }\Vert }_{\tilde{\alpha }}^2$ 一般是不等同于 ${\Vert \beta \Vert }_{\alpha }^2$ 且具有如下关系:

${\Vert \tilde{\beta }\Vert }_{\tilde{\alpha }}^2\text{=}{\Vert \beta \Vert }_{\alpha }^2\text{+}{\displaystyle \underset{\alpha =n+1}{\overset{n+p}{\sum }}{\langle {\tilde{\beta }}^{\#},e_{\alpha }\rangle }_{\tilde{\alpha }}^2}$,

其中 $\left\{e_{n+1},\cdots ,e_{n+p}\right\}$ 是关于法从在度量 $\tilde{\alpha }$ 下的单位正交标架。通过引理2可以知道， $\left(M,F\right)$ 的BH-体积形式和HT-体积形式具有形式

$\text{d}{V}_F\left(x\right)=\sigma \left({\Vert \tilde{\beta }\Vert }_{\tilde{\alpha }}^2,{\Vert \beta \Vert }_{\alpha }^2\right)\text{d}{V}_{\alpha },x\in M$

那么根据式(9)，函数 $\sigma$ 可以为

$\sigma \left(b,t\right)=\{\begin{array}{l}\frac{\sqrt{\pi }\Gamma \left(\frac{n-1}{2}\right)}{\Gamma \left(\frac{n}{2}\right)}{\left[{\displaystyle {\int }_0^{\pi }\frac{{\sin }^{n-2}\theta }{\varphi {\left(b,t^{\frac{1}{2}}\cos \theta \right)}^n}\text{d}\theta }\right]}^{-1}BH-情况,\\ \frac{\Gamma \left(\frac{n}{2}\right)}{\sqrt{\pi }\Gamma \left(\frac{n-1}{2}\right)}{\displaystyle {\int }_0^{\pi }Q\left(b,t,t^{\frac{1}{2}}\cos \theta \right){\sin }^{n-2}\theta \text{d}\theta HT-情况.}\end{array}$ (10)

其中

$Q\left(b,t,s\right):=\varphi {\left(\varphi -s{\varphi }_s\right)}^{n-2}\left[\varphi -s{\varphi }_s+\left(t-s^2\right){\varphi }_{ss}\right],s=t^{{}^{\frac{1}{2}}}\cos \theta$ (11)

且 $b:={\Vert \tilde{\beta }\Vert }_{\tilde{\alpha }}^2$， $t:={\Vert \beta \Vert }_{\alpha }^2$。因为 $\varphi =\varphi \left(b,s\right)$，所以 $Q$ 是一个关于变量 $\left(b,t,s\right)$ 函数。

5. Busemann-Hausdorff和Holmes-Thompson测度下的子流形

在Finsler几何中，BH-体积形式和HT-体积形式是两个重要的体积形式。根据式(10)，对任意维度的一般 $\left(\alpha ,\beta \right)$ -流形，函数 $\sigma$ 均不能表示为初等函数，但我们仍然可以对它进行研究。因此在本小节，我们将深入研究一类特殊 $\left(\alpha ,\beta \right)$ -流形在BH-测度和HT-测度下的极小子流形和极小曲面的不存在性。

在文献 [11] 中，通过观察式(6)的最后一项，作者计算了式(10)中HT-情况下的 $2\left(b{\sigma }_b+t{\sigma }_t\right)+n\sigma$，即

$2\left(b{\sigma }_b+t{\sigma }_t\right)+n\sigma =\frac{\Gamma \left(\frac{n}{2}\right)}{\sqrt{\pi }\Gamma \left(\frac{n-1}{2}\right)}{\displaystyle {\int }_0^{\pi }\left[2\left(b{Q}_b+t{Q}_t\right)+nQ\right]}{\sin }^{n-2}\theta \text{d}\theta$ (12)

其中

$\begin{array}{c}2\left(b{Q}_b+t{Q}_t\right)+nQ=\left(2b{\varphi }_b+s{\varphi }_s+n\varphi \right){\left(\varphi -s{\varphi }_s\right)}^{n-2}\left(\varphi -s{\varphi }_s+\left(t-s^2\right){\varphi }_{ss}\right)\\ +\left(n-2\right)\varphi {\left(\varphi -s{\varphi }_s\right)}^{n-3}\left(2b\left({\varphi }_b-s{\varphi }_{sb}\right)-s^2{\varphi }_{ss}\right)\left(\varphi -s{\varphi }_s+\left(t-s^2\right){\varphi }_{ss}\right)\\ +\varphi {\left(\varphi -s{\varphi }_s\right)}^{n-2}\left[2b\left({\varphi }_b-s{\varphi }_{sb}\right)+\left(2b{\varphi }_{ssb}+s{\varphi }_{sss}\right)\left(t-s^2\right)+{\varphi }_{ss}\left(2t-3s^2\right)\right],\end{array}$ (13)

且 $b:={\Vert \tilde{\beta }\Vert }_{\tilde{\alpha }}^2$， $t:={\Vert \beta \Vert }_{\alpha }^2$。因为 $s=t^{{}^{\frac{1}{2}}}\cos \theta$，所以式(11)中函数 $Q$ 可以看作是关于 $\left(b,t\right)$ 的函数。当给定函数 $\varphi =\varphi \left(b,s\right)$ 且 $\varphi$ 满足式(8)后，那么通过一个技术上的计算就可以判断出 $2\left(b{Q}_b+t{Q}_t\right)+nQ$ 值的正负(在这里利用了 $b\ge t\ge s^2$ 关系)，因此作者证明了投影平坦Finsler流形 $\left({{\rm B}}^{n+P}\left(r_{\mu }\right),{\tilde{F}}_{\mu }\right)$ 中不存在HT-极小子流形(参看定理5.6)。下面我们首先对在BH-情况下的 $2\left(b{\sigma }_b+t{\sigma }_t\right)+n\sigma$ 进行一个技术上的计算。

引理3 对任意两变量的函数 $\varphi =\varphi \left(b,s\right)$ 且满足式(8)，其中 $s=t^{{}^{\frac{1}{2}}}\cos \theta$，我们有

$2\left(b{\sigma }_b+t{\sigma }_t\right)+n\sigma =\frac{\sqrt{\pi }\Gamma \left(\frac{n-1}{2}\right)}{\Gamma \left(\frac{n}{2}\right)}{\left[{\displaystyle {\int }_0^{\pi }{\varphi }^{-n}{\sin }^{n-2}\theta \text{d}\theta }\right]}^{-2}{\displaystyle {\int }_0^{\pi }2n{\varphi }^{-n-1}\left(b{\varphi }_b+t{\varphi }_t+\frac{1}{2}\varphi \right)}{\sin }^{n-2}\theta \text{d}\theta$ (14)

证明：根据式(10)中BH-情况我们计算:

${\sigma }_b=\frac{\sqrt{\pi }\Gamma \left(\frac{n-1}{2}\right)}{\Gamma \left(\frac{n}{2}\right)}{\left[{\displaystyle {\int }_0^{\pi }{\varphi }^{-n}{\sin }^{n-2}\theta \text{d}\theta }\right]}^{-2}{\displaystyle {\int }_0^{\pi }n{\varphi }^{-n-1}}{\varphi }_b{\sin }^{n-2}\theta \text{d}\theta$

从而有

$2b{\sigma }_b=\frac{\sqrt{\pi }\Gamma \left(\frac{n-1}{2}\right)}{\Gamma \left(\frac{n}{2}\right)}{\left[{\displaystyle {\int }_0^{\pi }{\varphi }^{-n}{\sin }^{n-2}\theta \text{d}\theta }\right]}^{-2}{\displaystyle {\int }_0^{\pi }2n{\varphi }^{-n-1}}b{\varphi }_b{\sin }^{n-2}\theta \text{d}\theta$ (15)

同理

$2t{\sigma }_t=\frac{\sqrt{\pi }\Gamma \left(\frac{n-1}{2}\right)}{\Gamma \left(\frac{n}{2}\right)}{\left[{\displaystyle {\int }_0^{\pi }{\varphi }^{-n}{\sin }^{n-2}\theta \text{d}\theta }\right]}^{-2}{\displaystyle {\int }_0^{\pi }2n{\varphi }^{-n-1}}t{\varphi }_t{\sin }^{n-2}\theta \text{d}\theta$ (16)

注意

$\sigma \left(b,s\right)=\frac{\sqrt{\pi }\Gamma \left(\frac{n-1}{2}\right)}{\Gamma \left(\frac{n}{2}\right)}{\left[{\displaystyle {\int }_0^{\pi }\frac{{\sin }^{n-2}\theta }{\varphi {\left(b,s\right)}^n}\text{d}\theta }\right]}^{-1}$,

即

$\begin{array}{l}n\sigma =n\frac{\sqrt{\pi }\Gamma \left(\frac{n-1}{2}\right)}{\Gamma \left(\frac{n}{2}\right)}{\left[{\displaystyle {\int }_0^{\pi }\frac{{\sin }^{n-2}\theta }{\varphi {\left(b,s\right)}^n}\text{d}\theta }\right]}^{-1}\\ =\frac{\sqrt{\pi }\Gamma \left(\frac{n-1}{2}\right)}{\Gamma \left(\frac{n}{2}\right)}{\left[{\displaystyle {\int }_0^{\pi }{\varphi }^{-n}{\sin }^{n-2}\theta \text{d}\theta }\right]}^{-2}{\displaystyle {\int }_0^{\pi }n{\varphi }^{-n}{\sin }^{n-2}\theta \text{d}\theta }.\end{array}$ (17)

依据式(15)，(16)和(17)，我们有

$2\left(b{\sigma }_b+t{\sigma }_t\right)+n\sigma =\frac{\sqrt{\pi }\Gamma \left(\frac{n-1}{2}\right)}{\Gamma \left(\frac{n}{2}\right)}{\left[{\displaystyle {\int }_0^{\pi }{\varphi }^{-n}{\sin }^{n-2}\theta \text{d}\theta }\right]}^{-2}{\displaystyle {\int }_0^{\pi }2n{\varphi }^{-n-1}\left(b{\varphi }_b+t{\varphi }_t+\frac{1}{2}\varphi \right)}{\sin }^{n-2}\theta \text{d}\theta$

故得到了式(14)。下面将引理1应用于一般 $\left(\alpha ,\beta \right)$ -流形中的子流形，得到以下命题。

命题1 设 $M^n$ 是一个等距浸入到一般 $\left(\alpha ,\beta \right)$ -流形 $\left({\tilde{M}}^{n+p},\tilde{F}\right)$ 的子流形，其中 $\tilde{F}=\tilde{\alpha }\varphi \left({\Vert \tilde{\beta }\Vert }_{\tilde{\alpha }}^2,\tilde{\beta }/\tilde{\alpha }\right)$。如果 $\tilde{\beta }$ 是共形向量场(2)， $\tilde{\beta }$ 是关于 $\tilde{\alpha }$ 的共形1-形式且共形因子 $c\ne 0$，那么在BH-测度和HT-测度下我们有

$di{v}_M\left(\Phi {\beta }^{\#}\right)=n{\langle {\stackrel{\to }{H}}_{\sigma },{\tilde{\beta }}^{\#}\rangle }_{\tilde{\alpha }}+c\left[2\left(b{\sigma }_b+t{\sigma }_t\right)+n\sigma \right]$ (18)

其中 $b={\Vert \tilde{\beta }\Vert }_{\tilde{\alpha }}^2$， $t={\Vert \beta \Vert }_{\alpha }^2$， $\sigma$ 由式(10)给出， $\Phi$ 由式(3)定义， ${\stackrel{\to }{H}}_{\sigma }$ 称为流形 $M$ 的 $\sigma$ -平均曲率向量(5)，最后一项由式(12)，(13)和(14)给出。

现在考虑一类特殊的 $\left(\alpha ,\beta \right)$ -度量(Randers度量，Square度量和Matsumoto度量)，其中度量 $\tilde{F}=\tilde{\alpha }\varphi \left(s\right)$， $s=\tilde{\beta }/\tilde{\alpha }$ 且 $\varphi \left(0\right)=1$。文献 [16] 已经详细计算了这类度量在满足式(8)的条件下是Finsler度量。下面依据式(18)研究这类特殊 $\left(\alpha ,\beta \right)$ -流形 $\left(\tilde{M},\tilde{F}\right)$ 在一定条件下不存在闭的可定向的BH-极小子流形和闭的可定向的HT-极小曲面(这里 $\varphi$ 与 $b$ 无关，故 ${\varphi }_b=0$ )。

定理1 设 $\left(\tilde{M},\tilde{F}\right)$ 是一个Finsler流形，其中 $\tilde{F}=\tilde{\alpha }\varphi \left(s\right)=\tilde{\alpha }+\tilde{\beta }$， $\tilde{\beta }$ 是关于 $\tilde{\alpha }$ 的共形1-形式且共形因

子 $c\ne 0$。则在 $0\le b<\frac{1}{2}$ 的条件下，Finsler流形 $\left(\tilde{M},\tilde{F}\right)$ 中不存在闭的可定向的BH-极小子流形，其中 $b$ 表

示 $\tilde{\beta }$ 在Riemann度量 $\tilde{\alpha }$ 下的长度。

证明：对任意的 $x\in \tilde{M}$，给定 $\tilde{\beta }$ 在Riemann度量 $\tilde{\alpha }$ 下的长度 $b:={\Vert {\tilde{\beta }}_x\Vert }_{\tilde{\alpha }}<1$，依据式(8)我们有

$\varphi -s{\varphi }_s=1,\varphi -s{\varphi }_s+\left(b^2-s^2\right){\varphi }_{ss}=1$

所以 $\tilde{F}$ 在条件 $\left|s\right|\le b<1$ 下是正定的Finsler度量。由式(14)可以有(这里 $s=t^{{}^{\frac{1}{2}}}\cos \theta$ ):

$t{\varphi }_t=\frac{1}{2}s,t{\varphi }_t+\frac{1}{2}\varphi =\frac{1}{2}\left(1+2s\right)$

当给定条件 $\left|s\right|\le b<\frac{1}{2}$， $\varphi >0$ 时，则有

$2n{\varphi }^{-n-1}\left(b{\varphi }_b+t{\varphi }_t+\frac{1}{2}\varphi \right)=2n{\varphi }^{-n-1}\left(t{\varphi }_t+\frac{1}{2}\varphi \right)=n{\varphi }^{-n-1}\left(2s+1\right)>0$

那么根据命题1，若存在一个闭的可定向的子流形 $M$，则当 $c>0$ 且 ${\stackrel{\to }{H}}_{\sigma }=0$ 时，流形 $M$ 上的积分(18)

会出现一个矛盾，所以Finsler流形 $\left(\tilde{M},\tilde{F}\right)$ 在条件 $0\le b<\frac{1}{2}$ 下不存在闭的可定向的BH-极小子流形。

注记2 依据定理1的证明过程。设 $\left(\tilde{M},\tilde{F}\right)$ 是一个Finsler流形，其中 $\tilde{F}=\frac{{\left(\tilde{\alpha }+\tilde{\beta }\right)}^2}{\tilde{\alpha }}$， $\tilde{\beta }$ 是关于 $\tilde{\alpha }$ 的

共形1-形式且共形因子 $c\ne 0$。则对任意的 $x\in \tilde{M}$， $\tilde{\beta }$ 在Riemann度量 $\tilde{\alpha }$ 下的长度 ${\Vert {\tilde{\beta }}_x\Vert }_{\tilde{\alpha }}<1$，对所有 $\left|s\right|\le b<1$，我们有

$\begin{array}{l}\varphi -s{\varphi }_s+\left(b^2-s^2\right){\varphi }_{ss}={\left(1+s\right)}^2-2s\left(1+s\right)+2\left(b^2-s^2\right)\\ =1+2b^2-3s^2\ge 1-b^2>0,\end{array}$

所以 $\tilde{F}$ 在条件 $\left|s\right|\le b<1$ 下是正定的Finsler度量。当给定条件 $\left|s\right|\le b<\frac{1}{3}$， $\varphi >0$ 时，由式(14)可以有

$\begin{array}{l}2n{\varphi }^{-n-1}\left(t{\varphi }_t+\frac{1}{2}\varphi \right)=2n{\varphi }^{-n-1}\left[\left(1+s\right)s+\frac{1}{2}{\left(1+s\right)}^2\right]\\ =n\left(3s^2+4s+1\right){\varphi }^{-n-1}\\ =n\left(s+1\right)\left(3s+1\right){\varphi }^{-n-1}>0.\end{array}$

那么由命题1，当 $c>0$ 且 ${\stackrel{\to }{H}}_{\sigma }=0$ 时，对式(18)进行积分会出现一个矛盾，所以Finsler流形 $\left(\tilde{M},\tilde{F}\right)$ 在

条件 $0\le b<\frac{1}{3}$ 下不存在闭的可定向的BH-极小子流形。

注记3 同注记2的讨论方法一样。给定 $\varphi \left(s\right)=\frac{1}{1-s}$，则 $\tilde{F}=\frac{{\tilde{\alpha }}^2}{\tilde{\alpha }-\tilde{\beta }}$，其中 $\tilde{\beta }$ 是关于 $\tilde{\alpha }$ 的共形1-形式且共形因子 $c\ne 0$。对任意的 $x\in \tilde{M}$， $\tilde{\beta }$ 在Riemann度量 $\tilde{\alpha }$ 下的长度 ${\Vert {\tilde{\beta }}_x\Vert }_{\tilde{\alpha }}<1$，依据式(8)易证明度量 $\tilde{F}$ 在条件 $\left|s\right|\le b<\frac{1}{2}$ 下是正定的Finsler度量。当给定条件 $\left|s\right|\le b<\frac{1}{2}$， $\varphi >0$ 时，根据式(14)我们有

$\begin{array}{l}2n{\varphi }^{-n-1}\left(t{\varphi }_t+\frac{1}{2}\varphi \right)=2n{\varphi }^{-n-1}\left[\frac{s}{2{\left(1-s\right)}^2}+\frac{1}{2\left(1-s\right)}\right]\\ =2n{\varphi }^{-n-1}\frac{1}{2{\left(1-s\right)}^2}\\ =n{\varphi }^{-n+1}>0.\end{array}$

从而根据命题1，当 $c>0$ 且 ${\stackrel{\to }{H}}_{\sigma }=0$ 时，对式(18)进行积分会出现一个矛盾，所以在条件 $0\le b<\frac{1}{2}$ 下，

Finsler流形 $\left(\tilde{M},\tilde{F}\right)$ 不存在闭的可定向的BH-极小子流形。

现在来观察等式(13)，因为 $\varphi =\varphi \left(s\right)$ 与 $b$ 无关且 ${\varphi }_b\text{=}{\varphi }_{sb}={\varphi }_{ssb}=0$，所以式(13)右边的第二项是一个负值。在这种情况下给定函数 $\varphi =\varphi \left(s\right)$，则 $2\left(b{Q}_b+t{Q}_t\right)+nQ$ 的计算将会变得复杂。因此为了简便计算，我们将这类特殊 $\left(\alpha ,\beta \right)$ -流形限制在 $n=2$ (曲面情况)进行讨论，那么式(13)可以简化为

$\begin{array}{c}2\left[\left(b{Q}_b+t{Q}_t\right)+Q\right]=\left(s{\varphi }_s+2\varphi \right)\left(\varphi -s{\varphi }_s+\left(t-s^2\right){\varphi }_{ss}\right)\\ +\varphi \left[s{\varphi }_{sss}\left(t-s^2\right)+{\varphi }_{ss}\left(2t-3s^2\right)\right].\end{array}$ (19)

接下来根据式(19)，我们继续探讨这类特殊 $\left(\alpha ,\beta \right)$ -流形在Holmes-Thompson测度下极小曲面的不存在性。

定理2 设 $\left(\tilde{M},\tilde{F}\right)$ 是一个Finsler流形，其中 $\tilde{F}=\frac{{\left(\tilde{\alpha }+\tilde{\beta }\right)}^2}{\tilde{\alpha }}$， $\tilde{\beta }$ 是关于 $\tilde{\alpha }$ 的共形1-形式且共形因子 $c\ne 0$。则在 $0\le b<\frac{\sqrt{13}-1}{6}$ 的条件下，Finsler流形 $\left(\tilde{M},\tilde{F}\right)$ 不存在闭的可定向的HT-极小曲面，其中 $b$ 表

示 $\tilde{\beta }$ 在Riemann度量 $\tilde{\alpha }$ 下的长度。

证明：对任意的 $x\in \tilde{M}$， $\tilde{\beta }$ 在Riemann度量 $\tilde{\alpha }$ 下的长度 ${\Vert {\tilde{\beta }}_x\Vert }_{\tilde{\alpha }}<1$，易得到 $\tilde{F}$ 在条件 $\left|s\right|\le b<1$ 下是正定的Finsler度量。由式(19)我们有

$\varphi ={\left(1+s\right)}^2,{\varphi }_s=2\left(1+s\right),{\varphi }_{ss}=2,{\varphi }_{sss}=0$

从而有

$s{\varphi }_s+2\varphi =2\left(s+1\right)\left(2s+1\right)$

$\varphi -s{\varphi }_s+\left(t-s^2\right){\varphi }_{ss}=1+2t-3s^2$

在这里 $b,t,s=t^{{}^{\frac{1}{2}}}\cos \theta$ 的关系是 $b\ge t\ge s^2$。当给定条件 $\left|s\right|\le b<\frac{\sqrt{13}-1}{6}$ 时，我们有

$\begin{array}{c}2\left[\left(b{Q}_b+t{Q}_t\right)+Q\right]=2\left(s+1\right)\left(2s+1\right)\left(1+2t-3s^2\right)+2{\left(1+s\right)}^2\left(2t-3s^2\right)\\ =2\left(s+1\right)\left(-9s^3-6s^2+2s+6ts+4t+1\right)\\ =2\left(s+1\right)\left[\left(6s+4\right)\left(t-s^2\right)-3s^3-2s^2+2s+1\right]\\ =2\left(s+1\right)\left[\left(6s+4\right)\left(t-s^2\right)+\left(s+1\right)\left(-3s^2+s+1\right)\right]\\ \ge 2{\left(s+1\right)}^2\left(-3s^2+s+1\right)>0.\end{array}$

那么依据命题1，当 $c>0$ 且 ${\stackrel{\to }{H}}_{\sigma }=0$ 时，若存在一个闭的可定向的极小曲面，则对式(18)进行积分会

出现一个矛盾，所以Finsler流形 $\left(\tilde{M},\tilde{F}\right)$ 在条件 $0\le b<\frac{\sqrt{13}-1}{6}$ 下不存在闭的可定向的HT-极小曲面。

注记4 给定 $\varphi \left(s\right)=1+s$，则 $\tilde{F}=\tilde{\alpha }+\tilde{\beta }$，其中 $\tilde{\beta }$ 是关于 $\tilde{\alpha }$ 的共形1-形式且共形因子 $c\ne 0$。对任意的 $x\in \tilde{M}$， $\tilde{\beta }$ 在Riemann度量 $\tilde{\alpha }$ 下的长度 ${\Vert {\tilde{\beta }}_x\Vert }_{\tilde{\alpha }}<1$，那么度量 $\tilde{F}$ 在条件 $\left|s\right|\le b<1$ 下是正定的Finsler度量。因为 $\varphi -s{\varphi }_s=1,{\varphi }_{ss}={\varphi }_{sss}=0$，所以式(13)可以化简为式(19)的一般情况。因此我们讨论 $n=2$ 是一种特殊的

情况，当限制 $\left|s\right|\le b<\frac{n}{n+1}$，根据式(13)计算可得

$2\left(b{Q}_b+t{Q}_t\right)+nQ=\left(s{\varphi }_s+n\varphi \right)=\left(n+1\right)s+n>0$

那么依据命题1，当 $c>0$ 且 ${\stackrel{\to }{H}}_{\sigma }=0$ 时，对式(18)进行积分会出现一个矛盾，所以Finsler流形 $\left(\tilde{M},\tilde{F}\right)$

在条件 $0\le b<\frac{n}{n+1}$ 下不存在闭的可定向的HT-极小子流形。

注记5 依据定理2的证明过程。设 $\left(\tilde{M},\tilde{F}\right)$ 是一个Finsler流形，其中 $\tilde{F}=\frac{{\tilde{\alpha }}^2}{\tilde{\alpha }-\tilde{\beta }}$， $\tilde{\beta }$ 是关于 $\tilde{\alpha }$ 的共形1-形式且共形因子 $c\ne 0$。则依据式(8)易证明度量 $\tilde{F}$ 在条件 $\left|s\right|\le b<\frac{1}{2}$ 下是正定的Finsler度量，那么根据式(19)可得

$s{\varphi }_s+2\varphi =\frac{2-s}{{\left(1-s\right)}^2},\varphi -s{\varphi }_s+\left(t-s^2\right){\varphi }_{ss}=\frac{1-3s+2t}{{\left(1-s\right)}^3}$,

$s{\varphi }_{sss}\left(t-s^2\right)+{\varphi }_{ss}\left(2t-3s^2\right)=\frac{\left(2s+4\right)\left(t-s^2\right)-2s^2\left(1-s\right)}{{\left(1-s\right)}^4}$.

当给定条件 $\left|s\right|\le b<\frac{2}{5}$， $\varphi >0$ 且 $b\ge t\ge s^2$ 时，我们有

$\begin{array}{l}2\left[\left(b{Q}_b+t{Q}_t\right)+Q\right]=\frac{\left(2-s\right)\left(1-3s+2t\right)}{{\left(1-s\right)}^5}+\frac{\left(2s+4\right)\left(t-s^2\right)-2s^2\left(1-s\right)}{{\left(1-s\right)}^5}\\ =\left[\left(2-s\right)\left(1-3s+2t\right)+\left(2s+4\right)\left(t-s^2\right)-2s^2\left(1-s\right)\right]{\varphi }^5\\ =\left(-3s^2-7s+2+8t\right){\varphi }^5\\ =\left[5s^2-7s+2+8\left(t-s^2\right)\right]{\varphi }^5\ge \left(s-1\right)\left(5s-2\right){\varphi }^5>0.\end{array}$

那么依据命题1，当 $c>0$ 且 ${\stackrel{\to }{H}}_{\sigma }=0$ 时，对式(18)进行积分会出现一个矛盾，所以在条件 $0\le b<\frac{2}{5}$ 下，

Finsler流形 $\left(\tilde{M},\tilde{F}\right)$ 中不存在闭的可定向的HT-极小曲面。

基金项目

论文由西南交通大学基础培育项目《黎曼–芬斯勒几何若干问题研究》资助(No. 2682021ZTPY042)。