高等代数中根子空间分解定理的一个推广

A Generalization of the Theorem of Roots Subspace Decomposition in Higher Algebra

摘要: 本文给出了高等代数中根子空间分解定理的一个推广及其在矩阵的秩问题中的应用。

Abstract: We give a generalization of the theorem of roots subspace decomposition in Higher Algebra and its application in the rank problem of matrix in this paper.

1. 引言

设V是数域P上n维线性空间， $L\left(V\right)$ 是V的所有线性变换构成的线性空间， $\epsilon$ 为V的恒等变换， $P^n$ 是数域P上所有n维列向量构成的线性空间， $P^{n\times n}$ 是数域P上所有n阶矩阵构成的线性空间，E为n阶单位矩阵， $P\left[\lambda \right]$ 为数域P上文字 $\lambda$ 的一元多项式环。对 $M\in P^{n\times n}$， $r\left(M\right)$ 表示矩阵M的秩，对 $A\in L\left(V\right)$， $\ker A=\left\{\xi \in V|A\xi =0\right\}$ 表示线性变换A的核。

一个线性空间在什么条件下能分解为其不变子空间的直和是线性空间的研究中很有意义的问题，在矩阵论中有重要的应用。例如，文献 [1] 证明了：在对称变换、反对称变换、正交变换、规范变换下，欧氏空间可分解为两两正交的1维和2维循环子空间的直和，从而得到欧氏空间的这些变换的正交相似标准型。文献 [2] 给出了下面线性空间的根子空间分解定理：

定理12 设线性变换A的特征多项式为 $f\left(\lambda \right)$，它可分解成一次因式的乘积

$f\left(\lambda \right)={\left(\lambda -{\lambda }_1\right)}^{r_1}{\left(\lambda -{\lambda }_2\right)}^{r_2}\cdots {\left(\lambda -{\lambda }_s\right)}^{r_s}$,

则V可分解成不变子空间的直和

$V=V_1\oplus V_2\oplus \cdots \oplus V_s$

其中 $V_i=\left\{\xi \in V|{\left(A-{\lambda }_i\epsilon \right)}^{r_i}\xi =0\right\}$， $i=1,2,\cdots ,s$。

在文献 [2] 中，定理12的证明分四步完成，过程相对复杂，文献 [3] 简化了定理12的证明并做了推广，得到了只要当 $f\left(A\right)=0$ 时定理12即可成立。本文采用完全不同于文献 [2] [3] 的证明方法，给出定理12的一个更一般的推广，得到下面的定理1，同时给出定理1在矩阵的秩问题中的应用。

定理1 设V是数域P上的n维线性空间， $A\in L\left(V\right)$， $f\left(\lambda \right),f_1\left(\lambda \right),f_2\left(\lambda \right),\cdots ,f_s\left(\lambda \right)\in P\left[\lambda \right]$，且 $f\left(\lambda \right)=f_1\left(\lambda \right)f_2\left(\lambda \right)\cdots f_s\left(\lambda \right)$，令 $W=\ker f\left(A\right)$， $W_i=\ker f_i\left(A\right)$， $i=1,\cdots ,s$。若 $f_1\left(\lambda \right),f_2\left(\lambda \right),\cdots ,f_s\left(\lambda \right)$ 两两互素，则有直和分解 $W=W_1\oplus W_2\oplus \cdots \oplus W_s$。

2. 定理1的证明

证 因为 $Af\left(A\right)=f\left(A\right)A$， $A{f}_i\left(A\right)=f_i\left(A\right)A$， $i=1,2,\cdots ,s$，所以 $W,W_i$ 是V的A不变子空间。

若 $\alpha \in W_i$， $i=1,2,\cdots ,s$，则 $f_i\left(A\right)\alpha =0$，于是

$f\left(A\right)\alpha =f_1\left(A\right)\cdots f_s\left(A\right)\alpha =f_1\left(A\right)\cdots f_{i-1}\left(A\right)f_{i+1}\left(A\right)\cdots f_s\left(A\right)f_i\left(A\right)\alpha =0$,

因此 $\alpha \in W$，即 $W_i$ 是W的子空间。

下面对s用数学归纳法证明结论成立。

当 $s=2$ 时，由 $\left(f_1\left(\lambda \right),f_2\left(\lambda \right)\right)=1$ 得存在 $u\left(\lambda \right),v\left(\lambda \right)\in P\left[\lambda \right]$ 使得

$u\left(\lambda \right)f_1\left(\lambda \right)+v\left(\lambda \right)f_2\left(\lambda \right)=1$.

故

$u\left(A\right)f_1\left(A\right)+v\left(A\right)f_2\left(A\right)=\epsilon$.

于是对任意 $\alpha \in W$，有

$\alpha =u\left(A\right)f_1\left(A\right)\alpha +v\left(A\right)f_2\left(A\right)\alpha$ (1)

令 ${\alpha }_1=v\left(A\right)f_2\left(A\right)\alpha$， ${\alpha }_2=u\left(A\right)f_1\left(A\right)\alpha$，则 $\alpha ={\alpha }_1+{\alpha }_2$。由 $\alpha \in W$ 得 $f\left(A\right)\alpha =0$。于是 $f_1\left(A\right){\alpha }_1=f_1\left(A\right)v\left(A\right)f_2\left(A\right)\alpha =v\left(A\right)f_1\left(A\right)f_2\left(A\right)\alpha =v\left(A\right)f\left(A\right)\alpha =0$，故 ${\alpha }_1\in W_1$。同理可得 ${\alpha }_2\in W_2$。于是 $W=W_1+W_2$。

任取 $\alpha \in W_1\cap W_2$，则 $f_1\left(A\right)\alpha =f_2\left(A\right)\alpha =0$，于是由(1)式可得 $\alpha =0$，即 $W_1\cap W_2=\left\{0\right\}$，因此 $W=W_1\oplus W_2$。

假定结论对 $s-1$ 的情形成立，则对s的情形，令 $g\left(\lambda \right)=f_1\left(\lambda \right)\cdots f_{s-1}\left(\lambda \right)$，于是 $f\left(\lambda \right)=g\left(\lambda \right)f_s\left(\lambda \right)$，且由 $f_1\left(\lambda \right),f_2\left(\lambda \right),\cdots ,f_s\left(\lambda \right)$ 两两互素可知 $g\left(\lambda \right)$ 与 $f_s\left(\lambda \right)$ 互素。令 $U=\ker g\left(A\right)$，则由归纳假设可得

$U=W_1\oplus W_2\oplus \cdots \oplus W_{s-1}$.

另一方面，由 $s=2$ 的情形可得 $W=U\oplus W_s$。于是 $W=W_1\oplus W_2\oplus \cdots \oplus W_s$。

显然，若 $f\left(\lambda \right)$ 有标准分解式 $f\left(\lambda \right)={\left(\lambda -{\lambda }_1\right)}^{r_1}{\left(\lambda -{\lambda }_2\right)}^{r_2}\cdots {\left(\lambda -{\lambda }_s\right)}^{r_s}$，则当 $f\left(A\right)=0$ 时， $W=V$，特别地，当 $f\left(\lambda \right)$ 是A的特征多项式时， $W_i$ 是A的属于特征值 ${\lambda }_i$ 的根子空间，因此定理1是定理12及文献 [3] 中相应结果的推广，且证明更简洁一些。

3. 定理1的应用

从矩阵的观点可以得到定理1的等价形式。

定理2 设 $M\in P^{n\times n}$， $f\left(\lambda \right),f_1\left(\lambda \right),f_2\left(\lambda \right),\cdots ,f_s\left(\lambda \right)\in P\left[\lambda \right]$，满足 $f\left(\lambda \right)=f_1\left(\lambda \right)f_2\left(\lambda \right)\cdots f_s\left(\lambda \right)$，且 $f_1\left(\lambda \right),f_2\left(\lambda \right),\cdots ,f_s\left(\lambda \right)$ 两两互素，则

$U=U_1\oplus U_2\oplus \cdots \oplus U_s$,

其中 $U=\left\{x\in P^n|f\left(M\right)x=0\right\}$， $U_i=\left\{x\in P^n|f_i\left(M\right)x=0\right\}$， $i=1,\cdots ,s$。

证 令V是数域P上的n维线性空间，由 $L\left(V\right)$ 与 $P^{n\times n}$ 同构可得有 $A\in L\left(V\right)$ 使得A与M对应。沿用定理1中的记号，由V与 $P^n$ 同构可得W与U同构， $W_i$ 与 $U_i$ 同构，于是由定理1得定理2成立。

推论1 设 $M\in P^{n\times n}$， $f\left(\lambda \right),f_1\left(\lambda \right),f_2\left(\lambda \right),\cdots ,f_s\left(\lambda \right)\in P\left[\lambda \right]$，满足 $f\left(\lambda \right)=f_1\left(\lambda \right)f_2\left(\lambda \right)\cdots f_s\left(\lambda \right)$，且 $f_1\left(\lambda \right),f_2\left(\lambda \right),\cdots ,f_s\left(\lambda \right)$ 两两互素，则

$r\left(f_1\left(M\right)\right)+r\left(f_2\left(M\right)\right)+\cdots +r\left(f_s\left(M\right)\right)-r\left(f\left(M\right)\right)=n\left(s-1\right)$.

特别地， $f\left(M\right)=0$ 的充分必要条件是 $r\left(f_1\left(M\right)\right)+r\left(f_2\left(M\right)\right)+\cdots +r\left(f_s\left(M\right)\right)=n\left(s-1\right)$。

证 令 $U=\left\{x\in P^n|f\left(M\right)x=0\right\}$， $U_i=\left\{x\in P^n|f_i\left(M\right)x=0\right\}$， $i=1,\cdots ,s$。由定理2得

$U=U_1\oplus U_2\oplus \cdots \oplus U_s$,

于是

$\dim U=\dim U_1+\dim U_2+\cdots +\dim U_s$.

因为 $\dim U=n-r\left(f\left(M\right)\right)$， $\dim U_i=n-r\left(f_i\left(M\right)\right)$， $i=1,\cdots ,s$，所以

$n-r\left(f\left(M\right)\right)=n-r\left(f_1\left(M\right)\right)+n-r\left(f_2\left(M\right)\right)+\cdots +n-r\left(f_s\left(M\right)\right)$.

故

$r\left(f_1\left(M\right)\right)+r\left(f_2\left(M\right)\right)+\cdots +r\left(f_s\left(M\right)\right)-r\left(f\left(M\right)\right)=n\left(s-1\right)$.

显然， $f\left(M\right)=0$ 当且仅当 $r\left(f\left(M\right)\right)=0$， $r\left(f\left(M\right)\right)=0$ 当且仅当

$r\left(f_1\left(M\right)\right)+r\left(f_2\left(M\right)\right)+\cdots +r\left(f_s\left(M\right)\right)=n\left(s-1\right)$.

故 $f\left(M\right)=0$ 的充分必要条件是 $r\left(f_1\left(M\right)\right)+r\left(f_2\left(M\right)\right)+\cdots +r\left(f_s\left(M\right)\right)=n\left(s-1\right)$。

例1 设M是n阶矩阵，证明：

1) $M^2=E$ 的充分必要条件是 $r\left(M+E\right)+r\left(M-E\right)=n$。

2) $M^2=M$ 的充分必要条件是 $r\left(M\right)+r\left(M-E\right)=n$。

证 只需证明(1)，证明(2)的方法是类似的。

因为 $M^2-E=\left(M+E\right)\left(M-E\right)$，所以令 $f\left(\lambda \right)={\lambda }^2-1$， $f_1\left(\lambda \right)=\lambda -1$， $f_2\left(\lambda \right)=\lambda +1$，则 $f\left(\lambda \right)=f_1\left(\lambda \right)f_2\left(\lambda \right)$，且 $f_1\left(\lambda \right),f_2\left(\lambda \right)$ 互素，于是由推论1可得 $M^2=E$，即 $M^2-E=0$ 的充分必要条件是 $r\left(M+E\right)+r\left(M-E\right)=n$。

需要指出的是，文献 [2] 的第四章补充题第3题和第4题只要求证明例1中(1)和(2)的必要性，这里说明了充分性也成立。

基金项目

2020湖南省普通高等学校教学改革研究项目(HNJG-2020-0276)。