复射影空间中B型实超曲面上Sasaki磁场下轨道

Trajectories for Sasakian Magnetic Fields on Real Hypersurfaces of Type B in Complex Projective Space

摘要: 研究流形上的曲线对认识流形有重要的作用，而曲线的指标是描述曲线的有力工具。本文计算了复射影空间中B型实超曲面上Sasaki磁场下二阶相切的轨道的外在测地曲率和外在复挠率。

Abstract: The study of curves on manifolds plays an important role in the considering of manifolds, and the index of curves is a powerful tool for describing curves. In this paper, we calculate the extrinsic geodesic curvature and extrinsic complex torsion of extrinsic tangentially of order two trajectories for Sasakian magnetic fields on real hypersurfaces of type B in complex projective space.

1. 引言

静磁场是3维欧氏空间中散度等于零的向量值函数 $\mathbb{B}=\left(B_1,B_2,B_3\right)$ [1]。单位质量的带单位电荷的带电粒子在静磁场中做常速度运动，是因为该带电粒子在静磁场中受到的洛伦兹力为 $v\times \mathbb{B}={\Omega }_{\mathbb{B}}v$，其中v是带电粒子的速度，而 ${\Omega }_{\mathbb{B}}$ 是一个反对称矩阵 $\left(\begin{array}{ccc}0& B_3& -B_2\\ -B_3& 0& B_1\\ B_2& -B_1& 0\end{array}\right)$。利用反对称矩阵 ${\Omega }_{\mathbb{B}}$ 在3维欧氏空间中引进了2-形式 $B\left(u,v\right)$ 的定义，即 $B\left(u,v\right)=\langle u,{\Omega }_{\mathbb{B}}v\rangle$ [1]。另一方面，2-形式 $B=B_1\text{d}{x}_2\wedge \text{d}{x}_3+B_2\text{d}{x}_3\wedge \text{d}{x}_1+B_3\text{d}{x}_1\wedge \text{d}{x}_2$，对该2-形式 $B\left(u,v\right)$ 进行一次微分得 $\text{d}B=\left(\frac{\partial B_1}{\partial x_1}+\frac{\partial B_2}{\partial x_2}+\frac{\partial B_3}{\partial x_3}\right)\text{d}{x}_1\wedge \text{d}{x}_2\wedge \text{d}{x}_3$。当 $\text{d}B=0$ 时，2-形式 $B\left(u,v\right)$ 是闭的，从而散度等于零的问题等价于该2-形式 $B\left(u,v\right)$ 是闭的。T. Adachi把欧式空间中静磁场的概念推广到Kähler流形上引进了Kähler磁场的定义 [2]，推广到非平坦复流形中的实超曲面上引进了Sasaki磁场的定义 [3]。

非平坦复空间 $C{M}^n$ 包括复射影空间 $C{P}^n$ 和复双曲空间 $C{H}^n$。实超曲面是n维非平坦复空间 $C{M}^n$ 中的实 $\left(\text{2}n-1\right)$ 维子流形。实超曲面M上有近切触度量结构 $\left(\varphi ,\xi ,\eta ,\langle ,\rangle \right)$，该结构由张量 $\varphi \left(v\right)=Jv-\eta \left(v\right)N$ 、向量场 $\xi =-JN$ 、1-形式 $\eta \left(v\right)=\langle v,\xi \rangle$ 和Kähler流形上的度量 $\langle ,\rangle$ 所决定，其中N是非平坦复空间 $C{M}^n$ 中的实超曲面M上的单位法向量，v是实超曲面M的切空间 $T_{p}M$ 上的向量。Kimura把复射影空间 $C{P}^n$ 中的Hopf齐性实超曲面M分为A₁型、A₂型、B型、C型、D型和E型 [4]。

本文的内容是在复射影空间 $C{P}^n\left(c\right)$ 中B型实超曲面上开展的，复射影空间 $C{P}^n\left(c\right)$ 中B型实超曲面是绕全实全测地 $R{P}^n\left(c/4\right)$ 的半径为r的管 $R\left(r\right)$，其中 $0<r<\pi /\left(2\sqrt{c}\right)$，B型实超曲面也可以理解成半径为 $\pi /\left(2\sqrt{c}\right)-r$ 的绕复超二次曲面 $C{Q}^{n-1}$ 的管 [4]。 $C{P}^n\left(4\right)$ 中绕全实全测地 $R{P}^n\left(1\right)$ 的管 $R\left(r\right)$ $\left(0<r<\pi /4\right)$ 是B型实超曲面，在 $S^{2n+1}$ 中的等距映射下它被表示为 ${\varpi }^{-1}\left(R\left(r\right)\right)=\left\{\left(z_0,\cdots ,z_n\right)\in C^{n+1}|{\left|z_0\right|}^2+\cdots +{\left|z_n\right|}^2=1,\left|z_0^2+\cdots +z_n^2\right|=\cos 2r\right\}$。复射影空间 $C{P}^n\left(c\right)$ 中B型实超曲面有三个主曲率，分别是对应与 $\xi$ 垂直方向的主曲率 ${\lambda }_1=-\frac{\sqrt{c}}{2}\cot \frac{\sqrt{c}}{2}r$ 和 ${\lambda }_2=\frac{\sqrt{c}}{2}\tan \frac{\sqrt{c}}{2}r$，对应于 $\xi$ 方向的主曲率为 $\delta =\sqrt{c}\tan \sqrt{c}r$ [4]。

在非平坦复空间 $C{M}^n$ 中的实超曲面M上，定义2-形式 $F_{\varphi }\left(u,v\right)=\langle u,\varphi \left(v\right)\rangle$，其中 $u,v\in T_{p}M$。2-形式 $F_{\varphi }\left(u,v\right)=\langle u,\varphi \left(v\right)\rangle$ 是闭的，2-形式 $F_{\varphi }\left(u,v\right)=\langle u,\varphi \left(v\right)\rangle$ 的常数倍 $F_{\kappa }=\kappa F_{\varphi }\left(\kappa \in R\right)$ 称为Sasaki磁场 [3]。单位质量的带单位电荷的带电粒子在Sasaki磁场下的运动轨迹是满足等式 ${\nabla }_{\stackrel{\dot{}}{\gamma }}\stackrel{\dot{}}{\gamma }=\kappa \varphi \stackrel{\dot{}}{\gamma }$ 的弧长参数化的光滑曲线，被称为Sasaki磁场下轨道。当 $\kappa =0$，带电粒子的运动轨迹是测地线。当 $\kappa \ne 0$，带电粒子的运动轨迹的形状是多样的，通常对特殊的形状进行研究。

对于轨道的研究，一种方法就是通过等距映射把轨道放到其外围空间进行考虑。设M是实超曲面， $\tilde{M}$ 是其外围流形， $l:M\to \tilde{M}$ 是等距浸入映射。当等距浸入映射l把M上的光滑曲线 $\gamma$ 映射到M的外围空间 $\tilde{M}$ 上时，称曲线 $l\circ \gamma$ 为曲线 $\gamma$ 的外在形状。通常考虑曲线的特殊的外在形状，如测地线、圆等。实超曲面M上由弧长参数化的光滑曲线如果满足 ${\tilde{\nabla }}_{\stackrel{\dot{}}{\gamma }}{\tilde{\nabla }}_{\stackrel{\dot{}}{\gamma }}\stackrel{\dot{}}{\gamma }\left(t_0\right)+{\Vert {\tilde{\nabla }}_{\stackrel{\dot{}}{\gamma }}\stackrel{\dot{}}{\gamma }\Vert }^2\stackrel{\dot{}}{\gamma }\left(t_0\right)=0$，则称曲线的外在形状是圆 [5]。2017年包图雅和T. Adachi研究了复射影空间中A₁型实超曲面上Sasaki磁场下的外在圆轨道，进而给出了A₁型实超曲面的特征 [6]。

在此基础上，包图雅和T. Adachi弱化条件，考虑更一般的情况，在2016年研究了Kähler流形中实超曲面上Sasaki磁场下轨道二阶相切的条件，并由此给出了Kähler流形中的实超曲面的特征 [5]，在2018年利用二阶相切的Sasaki磁场下的轨道研究了复双曲空间中B型实超曲面的特征 [7]。当 ${\tilde{\nabla }}_{\stackrel{\dot{}}{\gamma }}{\tilde{\nabla }}_{\stackrel{\dot{}}{\gamma }}\stackrel{\dot{}}{\gamma }\left(t_0\right)+{\Vert {\tilde{\nabla }}_{\stackrel{\dot{}}{\gamma }}\stackrel{\dot{}}{\gamma }\Vert }^2\stackrel{\dot{}}{\gamma }\left(t_0\right)$ 没有与M相切的分量，称曲线的外在形状是二阶相切 [5]。

通过对实超曲面上曲线的外在形状上的指标进行分析，例如测地曲率和复挠率，可以得到实超曲面的特征。实超曲面M上弧长参数化的光滑曲线 $\gamma$ 的外在测地曲率k被定义为 $k=\Vert {\tilde{\nabla }}_{\stackrel{\dot{}}{\gamma }}\stackrel{\dot{}}{\gamma }\Vert$，其外在复挠率 $\tau$ 被定义为 $\tau =\langle \stackrel{\dot{}}{\gamma },J{\tilde{\nabla }}_{\stackrel{\dot{}}{\gamma }}\stackrel{\dot{}}{\gamma }\rangle /k$。本文在文献 [5] 的基础上，利用高斯公式 ${\tilde{\nabla }}_{X}Y={\nabla }_{X}Y+\langle A_{M}X,Y\rangle N$ 和魏因加尔吞公式 ${\tilde{\nabla }}_{X}N=-A_{M}X$ 计算了复射影空间中B型实超曲面上Sasaki磁场下二阶相切的轨道的外在测地曲率和外在复挠率。

2. 主要结果

引理 [5] 设 $\gamma$ 是Kähler流形 $\tilde{M}$ 中Hopf实超曲面M上Sasaki磁场 $F_{\kappa }$ 下的轨道。

1) 当构造挠率 ${\rho }_{\gamma }\left(t_0\right)=\pm 1$，那么 $\gamma$ 的外在形状是二阶相切的，这时 $k\left(t_0\right)=\left|\delta \right|$。

2) 当构造挠率 ${\rho }_{\gamma }\left(t_0\right)\ne \pm 1$，并且 $\stackrel{\dot{}}{\gamma }\left(t_0\right)-{\rho }_{\gamma }\left(t_0\right){\xi }_{\gamma \left(t_0\right)}$ 是主曲率向量，那么 $\gamma$ 的外在形状是二阶相切当且仅当下面条件中的一个成立：

i) $\lambda -\kappa {\rho }_{\gamma }\left(t_0\right)+\left(\delta -\lambda \right){\rho }_{\gamma }^2\left(t_0\right)=0$，

ii) $\kappa +\left(\delta -\lambda \right){\rho }_{\gamma }\left(t_0\right)=0$，

这里 $\lambda$ 表示 $\stackrel{\dot{}}{\gamma }\left(t_0\right)-{\rho }_{\gamma }\left(t_0\right){\xi }_{\gamma \left(t_0\right)}$ 的主曲率。对应i)情形的测地曲率 $k\left(t_0\right)=\left|\kappa \right|$，对应ii)情形的测地曲率和复挠率满足：

$k^2\left(t_0\right)={\kappa }^2-2\kappa \lambda {\rho }_{\gamma }\left(t_0\right)+{\lambda }^2$ (2.1)

和 $k\left(t_0\right)\tau \left(t_0\right)=\kappa \left(2{\rho }_{\gamma }^2\left(t_0\right)-1\right)-\lambda {\rho }_{\gamma }\left(t_0\right).$ (2.2)

3) 当测地曲率 $k\left(t_0\right)\ne \left|\kappa \right|$，如果 $\stackrel{\dot{}}{\gamma }\left(t_0\right)-{\rho }_{\gamma }\left(t_0\right){\xi }_{\gamma \left(t_0\right)}$ 不是主曲率向量，那么 $\gamma$ 的外在形状不是二阶相切。

引理中条件1)下和条件2)中i)下的外在形状为二阶相切的轨道的外在测地曲率和外在复挠率无需再计算，但对于条件2)中ii)下的外在形状为二阶相切的轨道的外在测地曲率和外在复挠率虽然有公式可代入，但对于不同的非平坦复空间中的不同的实超曲面有不同的值和不同的关系，利用外在测地曲率和外在复挠率的关系找出对应实超曲面的特征是比较有意思的研究。下面具体计算复射影空间 $C{P}^n\left(c\right)$ 中B型实超曲面对应条件2)中ii)情形的外在测地曲率和外在复挠率。

定理 设 $\gamma$ 是复射影空间 $C{P}^n\left(c\right)$ 中B型实超曲面上Sasaki磁场下二阶相切轨道，当 $\stackrel{\dot{}}{\gamma }\left(t_0\right)-{\rho }_{\gamma }\left(t_0\right){\xi }_{\gamma \left(t_0\right)}$ 是主曲率向量，并且 $\gamma$ 满足 ${\rho }_{\gamma }\left(t_0\right)\ne \pm 1$ 、 $\kappa +\left(\delta -{\lambda }_i\right){\rho }_{\gamma }\left(t_0\right)=0\left(i=1,2\right)$，这时 $\gamma$ 的外在测地曲率k和外在复挠率 $\tau$ 如下：

1) 当 $\delta =-{\lambda }_i\left(i=1,2\right)$ 时， $k_{{\lambda }_1}\left(t_0\right)=k_{{\lambda }_2}\left(t_0\right)=\frac{\sqrt{5c}}{2}$， ${\tau }_{{\lambda }_1}\left(t_0\right)=-{\tau }_{{\lambda }_2}\left(t_0\right)=\left(3-4{\rho }_{\gamma }^2\left(t_0\right)\right){\rho }_{\gamma }\left(t_0\right)$ ；

2) 当 $\delta \ne -{\lambda }_i\left(i=1,2\right)$ 时，有

i) $k_{{\lambda }_1}^2\left(t_0\right){\tau }_{{\lambda }_1}^2\left(t_0\right)=\frac{4\left(4k_{{\lambda }_1}^2\left(t_0\right)-c{u}^2\right){\left[\text{2}{k}_{{\lambda }_1}^2\left(t_0\right){\left(u^2-1\right)}^2-c{u}^2\left(u^2+3\right)\right]}^2}{c^2{u}^4\left(3+u^2\right){\left(5-u^2\right)}^3}$，

ii) $k_{{\lambda }_2}^2\left(t_0\right){\tau }_{{\lambda }_2}^2\left(t_0\right)=\frac{4u^2\left(4k_{{\lambda }_2}^2\left(t_0\right)u^2-c\right){\left[2k_{{\lambda }_2}^2\left(t_0\right){\left(u^2-1\right)}^2-c\left(3u^2+1\right)\right]}^2}{c^2\left(3u^2+1\right){\left(5u^2-1\right)}^3}$。

其中 $k_{{\lambda }_i}\left(t_0\right)$ 和 ${\tau }_{{\lambda }_i}\left(t_0\right)$ 是对应于主曲率 ${\lambda }_i\left(i=1,2\right)$ 的测地曲率和复挠率。

证明 令 $\cot \frac{\sqrt{c}}{2}r=u$，则对于复射影空间 $C{P}^n\left(c\right)$ 中B型实超曲面对应与 $\xi$ 垂直方向的主曲率 ${\lambda }_1=-\frac{\sqrt{c}}{2}\cot \frac{\sqrt{c}}{2}r=-\frac{u\sqrt{c}}{2}$ 和 ${\lambda }_2=\frac{\sqrt{c}}{2}\tan \frac{\sqrt{c}}{2}r=\frac{\sqrt{c}}{2u}$，对应于 $\xi$ 方向的主曲率 $\delta =\sqrt{c}\tan \sqrt{c}r=\frac{2u\sqrt{c}}{u^2-1}$。

1) 如果 $\stackrel{\dot{}}{\gamma }\left(t_0\right)-{\rho }_{\gamma }\left(t_0\right){\xi }_{\gamma \left(t_0\right)}$ 的主曲率是 ${\lambda }_i\left(i=1,2\right)$，当 $\kappa +\left(\delta -{\lambda }_i\right){\rho }_{\gamma }\left(t_0\right)=0\left(i=1,2\right)$，即 $\kappa =\left({\lambda }_i-\delta \right){\rho }_{\gamma }\left(t_0\right)\left(i=1,2\right)$ 时，考虑(2.1)式。

当 ${\kappa }^2-2\kappa {\lambda }_1{\rho }_{\gamma }\left(t_0\right)=0$，即 $\delta =-{\lambda }_1$ 时，有 $u=\sqrt{5}$，代入到(2.1)式，得到 $k_{{\lambda }_1}\left(t_0\right)=-{\lambda }_1=\frac{\sqrt{5c}}{2}$，

当 ${\kappa }^2-2\kappa {\lambda }_2{\rho }_{\gamma }\left(t_0\right)=0$，即 $\delta =-{\lambda }_2$ 时，有 $u=\frac{\sqrt{5}}{5}$，代入到(2.1)式，得到 $k_{{\lambda }_2}\left(t_0\right)={\lambda }_2=\frac{\sqrt{5c}}{2}$，

即 $k_{{\lambda }_1}\left(t_0\right)=k_{{\lambda }_2}\left(t_0\right)=\frac{\sqrt{5c}}{2}$。

下面计算复挠率，将 $\kappa =2{\lambda }_1{\rho }_{\gamma }\left(t_0\right)$ 和 $k_{{\lambda }_1}\left(t_0\right)=-{\lambda }_1$ 代入到(2.2)式，得到 ${\tau }_{{\lambda }_1}\left(t_0\right)=\left(3-4{\rho }_{\gamma }^2\left(t_0\right)\right){\rho }_{\gamma }\left(t_0\right)$，将 $\kappa =2{\lambda }_2{\rho }_{\gamma }\left(t_0\right)$ 和 $k_{{\lambda }_2}={\lambda }_2$ 代入到(2.2)式，得到 ${\tau }_{{\lambda }_2}\left(t_0\right)=\left(-3+4{\rho }_{\gamma }^2\left(t_0\right)\right){\rho }_{\gamma }\left(t_0\right)$，即 ${\tau }_{{\lambda }_1}\left(t_0\right)=-{\tau }_{{\lambda }_2}\left(t_0\right)=\left(3-4{\rho }_{\gamma }^2\left(t_0\right)\right){\rho }_{\gamma }\left(t_0\right)$。

2) i) 当 ${\kappa }^2-2\kappa {\lambda }_1{\rho }_{\gamma }\left(t_0\right)\ne 0$，即 $\delta \ne -{\lambda }_1$ 时，将 $\kappa =\left({\lambda }_1-\delta \right){\rho }_{\gamma }\left(t_0\right)$ 代入到(2.1)式，得到 $k_{{\lambda }_1}^2\left(t_0\right)=\left({\delta }^2-{\lambda }_1^2\right){\rho }_{\gamma }^2\left(t_0\right)+{\lambda }_1^2$，所以 ${\rho }_{\gamma }^2\left(t_0\right)=\frac{k_{{\lambda }_1}^2\left(t_0\right)-{\lambda }_1^2}{{\delta }^2-{\lambda }_1^2}$，把 ${\lambda }_1=-\frac{u\sqrt{c}}{2}$ 和 $\delta =\frac{2u\sqrt{c}}{u^2-1}$ 代入到 ${\rho }_{\gamma }^2\left(t_0\right)$ 中，得到 ${\rho }_{\gamma }^2\left(t_0\right)=\frac{\left(4k_{{\lambda }_1}^2\left(t_0\right)-c{u}^2\right){\left(u^2-1\right)}^2}{c{u}^2\left(3+u^2\right)\left(5-u^2\right)}$。

对(2.2)式两边平方，并把 $\kappa =\left({\lambda }_1-\delta \right){\rho }_{\gamma }\left(t_0\right)$ 和 ${\rho }_{\gamma }^2\left(t_0\right)=\frac{\left(4k_{{\lambda }_1}^2\left(t_0\right)-c{u}^2\right){\left(u^2-1\right)}^2}{c{u}^2\left(3+u^2\right)\left(5-u^2\right)}$ 代入得到：

$\begin{array}{l}{k}_{{\lambda }_1}^2\left(t_0\right){\tau }_{{\lambda }_1}^2\left(t_0\right)={\left(\kappa \left(2{\rho }_{\gamma }^2\left(t_0\right)-1\right)-{\lambda }_1{\rho }_{\gamma }\left(t_0\right)\right)}^2\\ ={\left({\lambda }_1-\delta \right)}^2{\rho }_{\gamma }^2\left(t_0\right){\left(2{\rho }_{\gamma }^2\left(t_0\right)-1\right)}^2-2\left({\lambda }_1-\delta \right){\lambda }_1{\rho }_{\gamma }^2\left(t_0\right)\left(2{\rho }_{\gamma }^2\left(t_0\right)-1\right)+{\lambda }_1^2{\rho }_{\gamma }^2\left(t_0\right)\\ ={\rho }_{\gamma }^2\left(t_0\right)\left[{\left({\lambda }_1-\delta \right)}^2{\left(2{\rho }_{\gamma }^2\left(t_0\right)-1\right)}^2-2\left({\lambda }_1-\delta \right){\lambda }_1\left(2{\rho }_{\gamma }^2\left(t_0\right)-1\right)+{\lambda }_1^2\right]\\ =\frac{\left(4k_{{\lambda }_1}^2\left(t_0\right)-c{u}^2\right){\left(u^2-1\right)}^2}{c{u}^2\left(3+u^2\right)\left(5-u^2\right)}{\left[\frac{u\sqrt{c}\left(3+u^2\right)}{2\left(1-u^2\right)}\left(\frac{2\left(4k_{{\lambda }_1}^2\left(t_0\right)-c{u}^2\right){\left(u^2-1\right)}^2-c{u}^2\left(3+u^2\right)\left(5-u^2\right)}{c{u}^2\left(3+u^2\right)\left(5-u^2\right)}\right)+\frac{u\sqrt{c}}{2}\right]}^2\\ =\frac{4\left(4k_{{\lambda }_1}^2\left(t_0\right)-c{u}^2\right){\left[2k_{{\lambda }_1}^2\left(t_0\right){\left(u^2-1\right)}^2-c{u}^2\left(u^2+3\right)\right]}^2}{c^2{u}^4\left(3+u^2\right){\left(5-u^2\right)}^3}.\end{array}$

ii) 如果 $\stackrel{\dot{}}{\gamma }\left(t_0\right)-{\rho }_{\gamma }\left(t_0\right){\xi }_{\gamma \left(t_0\right)}$ 的主曲率是 ${\lambda }_2=\frac{\sqrt{c}}{2u}$，当 $\kappa +\left(\delta -{\lambda }_2\right){\rho }_{\gamma }\left(t_0\right)=0$，即 $\kappa =\left({\lambda }_2-\delta \right){\rho }_{\gamma }\left(t_0\right)$ 时，考虑(2.1)式。

当 ${\kappa }^2-2\kappa {\lambda }_2{\rho }_{\gamma }\left(t_0\right)\ne 0$，即 $\delta \ne -{\lambda }_2$ 时，将 $\kappa =\left({\lambda }_2-\delta \right){\rho }_{\gamma }\left(t_0\right)$ 代入到(2.1)式，得到 $k_{{\lambda }_2}^2\left(t_0\right)=\left({\delta }^2-{\lambda }_2^2\right){\rho }_{\gamma }^2\left(t_0\right)+{\lambda }_2^2$，所以 ${\rho }_{\gamma }^2\left(t_0\right)=\frac{k_{{\lambda }_2}^2\left(t_0\right)-{\lambda }_2^2}{{\delta }^2-{\lambda }_2^2}$，把 ${\lambda }_2=\frac{\sqrt{c}}{2u}$ 和 $\delta =\frac{2u\sqrt{c}}{u^2-1}$ 代入到 ${\rho }_{\gamma }^2\left(t_0\right)$ 中，得到 ${\rho }_{\gamma }^2\left(t_0\right)=\frac{\left(4k_{{\lambda }_2}^2\left(t_0\right)u^2-c\right){\left(u^2-1\right)}^2}{c\left(5u^2-1\right)\left(3u^2+1\right)}$。

对(2.2)式两边平方，并把 $\kappa =\left({\lambda }_2-\delta \right){\rho }_{\gamma }\left(t_0\right)$ 和 ${\rho }_{\gamma }^2\left(t_0\right)=\frac{\left(4k_{{\lambda }_2}^2\left(t_0\right)u^2-c\right){\left(u^2-1\right)}^2}{c\left(5u^2-1\right)\left(3u^2+1\right)}$ 代入得到：

$\begin{array}{l}{k}_{{\lambda }_2}^2\left(t_0\right){\tau }_{{\lambda }_2}^2\left(t_0\right)={\left(\kappa \left(2{\rho }_{\gamma }^2\left(t_0\right)-1\right)-{\lambda }_2{\rho }_{\gamma }\left(t_0\right)\right)}^2\\ ={\left({\lambda }_2-\delta \right)}^2{\rho }_{\gamma }^2\left(t_0\right){\left(2{\rho }_{\gamma }^2\left(t_0\right)-1\right)}^2-2\left({\lambda }_2-\delta \right){\lambda }_2{\rho }_{\gamma }^2\left(t_0\right)\left(2{\rho }_{\gamma }^2\left(t_0\right)-1\right)+{\lambda }_2^2{\rho }_{\gamma }^2\left(t_0\right)\\ ={\rho }_{\gamma }^2\left(t_0\right)\left[{\left({\lambda }_2-\delta \right)}^2{\left(2{\rho }_{\gamma }^2\left(t_0\right)-1\right)}^2-2\left({\lambda }_2-\delta \right){\lambda }_2\left(2{\rho }_{\gamma }^2\left(t_0\right)-1\right)+{\lambda }_2^2\right]\\ =\frac{\left(4k_{{\lambda }_2}^2\left(t_0\right)u^2-c\right){\left(u^2-1\right)}^2}{c\left(3u^2+1\right)\left(5u^2-1\right)}{\left[\left(\frac{\sqrt{c}}{2u}-\frac{2u\sqrt{c}}{\left(1-u^2\right)}\right)\left(\frac{2\left(4k_{{\lambda }_2}^2\left(t_0\right)u^2-c\right){\left(u^2-1\right)}^2-c\left(3u^2+1\right)\left(5u^2-1\right)}{c\left(3u^2+1\right)\left(5u^2-1\right)}\right)-\frac{\sqrt{c}}{2u}\right]}^2\\ =\frac{4u^2\left(4k_{{\lambda }_2}^2\left(t_0\right)u^2-c\right){\left[2k_{{\lambda }_2}^2\left(t_0\right){\left(u^2-1\right)}^2-c\left(3u^2+1\right)\right]}^2}{c^2\left(3u^2+1\right){\left(5u^2-1\right)}^3}.\end{array}$

致谢

感谢2020年内蒙古自治区研究生科研创新项目等基金项目的资助，感谢阅读本文和对本文提出建议的人。

基金项目

2020年内蒙古自治区研究生科研创新项目(SZ2020141)；内蒙古自治区高等学校青年科技英才支持计划(NJYT-19-A09)；内蒙古自然科学基金(2018MS01011)；国家自然科学基金(11661062)。