Markov分支过程的调和矩

Harmonic Moments for the Supercritical Markov Branching Processes

摘要: 假设{Z(t);t≥0}是上临界的Markov分支过程，本文主要研究了该过程调和矩的收敛速率，研究发现，该收敛速度存在相变，并且该相变取决于mr+b₁ > 0，mr+b₁=0或mr+b₁ < 0；作为应用，本文还进一步讨论了Z(t+s)/Z(t)的大偏差速率。

Abstract: Suppose that {Z(t);t≥0} be a supercritical Markov branching process. The paper mainly studies the convergence rate of the harmonic moment of the process. We find that there is a phase transition for convergence rates, which depends on mr+b₁ > 0, =0 or < 0. As an application, the large deviation rate Z(t+s)/Z(t) is discussed in this paper.

1. 引言

假设 $\left\{Z\left(t\right);t\ge 0\right\}$ 是上临界的连续时间Markov过程，其分支速率为 $\left\{b_k;k\ge 0\right\}$，即系统中每个粒子的寿命均服从均值为 ${\displaystyle \underset{k\ne 1}{\sum }{b}_k}$ 的指数分布，并且以 $-b_k/b_1\left(k\ne 1\right)$ 的概率产生k个后代。定义该过程相应的Q-矩阵， $Q=\left(q_{jk};j,k\in {\text{Z}}_{+}\right)$，其中

$q_{jk}=\{\begin{array}{l}j{b}_{k-j+1},j\ge 1,k\ge j-1,\\ 0,其他,\end{array}$ (1.1)

其中 $b_k$ 满足 $b_k\ge 0\left(k\ne 1\right)$， $0<-b_1={\displaystyle \underset{k\ne 1}{\sum }{b}_k<\infty }$。 $Z\left(t\right)$ 的转移概率函数为

$P\left(t\right)=\left(p_{ij}\left(t\right);i,j\in {\text{Z}}_{+}\right)$,

若初始状态 $Z\left(0\right)=1$，其概率母函数可以表示为 $F\left(u,t\right)={\displaystyle \underset{j=0}{\overset{\infty }{\sum }}{p}_{1j}\left(t\right)u^j}$，并且母函数 $F\left(u,t\right)$ 满足如下的泛函方程：

$F\left(u,t+\tau \right)=F\left(F\left(u,t\right),\tau \right),F\left(u,0\right)=u$ (1.2)

和基本分支性

${\displaystyle \underset{j=0}{\overset{\infty }{\sum }}{p}_{ij}\left(t\right)u^j}={\left(F\left(u,t\right)\right)}^i$, (1.3)

简单起见，总是记 ${\left(F\left(u,t\right)\right)}^i=F_i\left(u,t\right)$。

本文总是假设 $m:={\displaystyle \underset{k=1}{\overset{\infty }{\sum }}k{b}_k}<\infty$， $b_0=0$，这一假设表明该Markov过程是上临界的。对于这样一个过程，存在正则化序列 $\left\{C\left(t\right);t\ge 0\right\}$ 满足 $\underset{t\to \infty }{\lim }C\left(t+s\right)/C\left(t\right)={\text{e}}^{ms}$ 使得

$W\left(t\right):=\frac{Z\left(t\right)}{C\left(t\right)}\stackrel{a.s.}{\to }W$, $t\to \infty$, (1.4)

其中W为非退化的随机变量。在某种意义上，正则函数 $C\left(t\right)$ 描述了 $Z\left(t\right)$ 的平均增长速度。并且可以取 $C\left(t\right)=E\left(Z\left(t\right)\right)={\text{e}}^{mt}$，当且仅当 $L\log L$ -矩条件成立。对于上临界的Markov分支过程，在非爆炸的条件下，当 $t\to \infty$ 时，系统的粒子数目 $Z\left(t\right)$ 总是会趋于无穷，而总粒子数目的调和矩 $\tau \left(t,r\right):=E{\left(Z\left(t\right)\right)}^{-r}$ (其中 $r>0$ )都将趋于零。而本文试图在 $L\log L$ -矩条件假设下，借助正则函数 $C\left(t\right)$，研究 $\tau \left(t,r\right)$ 的衰退速率。

在分支过程中心极限定理以及大偏差的研究中，调和矩扮演着重要角色。此前对调和矩的研究主要集中在离散时间的分支过程。Heyde和Brown [1] 得到了 ${\tau }_n\left(2^{-1}\right)$ 的收敛速度；Nagaev [2] 证明了 ${\tau }_n\left(1\right)=O\left(q^n\right)$。之后Pakes [3] 详细阐述了 $p_{1}m\ne 1$ 时， ${\tau }_n\left(1\right)$ 的渐近行为。Ney和Vidyashanka [4] 展示了 ${\tau }_n\left(r\right)$ 完整的收敛过程，并且指出在收敛过程存在着相变，该相变取决于 $p_1{m}^r>1$， $p_1{m}^r=1$ 和 $p_1{m}^r<1$。Sun和Zhang [5] 将Ney和Vidyashankar [4] 的结论推广到带移民的Galton-Waston过程。此外，文献 [6]， [7]， [8] 给出了大偏差的与局部极限理论的相关研究。

本文将Ney和Vidyashankar [4] 的结果推广到连续时间情形，主要研究 $\tau \left(t,r\right):=E{\left(Z\left(t\right)\right)}^{-r}$ 的渐近行为，结论见定理3.1。假设 $m:={\displaystyle \underset{k=1}{\overset{\infty }{\sum }}k{b}_k}<\infty$， $b_0=0$， $E\left(Z_1\log Z_1\right)<\infty$，本文详细刻画了 $\tau \left(t,r\right):=E{\left(Z\left(t\right)\right)}^{-r}$ 的收敛速度， $mr+b_1>0$， $mr+b_1=0$ 或 $mr+b_1<0$ 的不同条件导致收敛过程存在相变，这一结果与 [4] 中一致。本文主要定理的证明将 $\tau \left(t,r\right)$ 分解为三个部分并分析每个部分的渐近行为，见引理4.2，4.3和4.4。与离散时间不同的是，我们提出了一种新的区间划分方法得到相关结论，同时概率母函数 $F\left(u,t\right)$ 的有趣性质为分析提供了有力的帮助。此外，我们还将定理3.1应用于大偏差 $Z\left(t+s\right)/Z\left(t\right)$ 的讨论，并给出了相关的结论。

本文的其余部分结构如下：文章第二节介绍了一些预备知识和引理；第三节阐述了主要定理；最后一节提供了主要定理的详细证明。

2. 预备知识

除了上一节中提到的内容外，还需要更多地讨论非退化随机变量W。根据Athreya和Ney [9]，当且仅当 $L\log L$ -矩条件成立时， $E\left(W\right)=1$。如果 $E\left(Z_1\log Z_1\right)<\infty$，W存在连续密度函数 $w\left(x\right)$， $w\left(x\right)$ 在 $\left(0,\infty \right)$ 上有定义。因此，下述全局极限定理成立

$\underset{t\to \infty }{\lim }P\left(Z\left(t\right)>x{\text{e}}^{mt}\right)={\displaystyle {\int }_x^{\infty }w\left(a\right)\text{d}a}$, $x>0$. (2.1)

定义 $W\left(t\right)$ 的拉普拉斯变换 ${\varphi }_t\left(u\right)=E\left({\text{e}}^{-uW\left(t\right)}\right)$，则 ${\varphi }_t\left(u\right)$ 满足泛函方程

$\varphi \left({\text{e}}^{mt}u\right)=F\left(\varphi \left(u\right),t\right)$. (2.2)

为了便于讨论，我们给出了本文开头提到的分支速率函数 $b_j$ 的初步结果，这在后续的讨论具有重要意义。将 $\left\{b_j;j\ge 0\right\}$ 的概率母函数记为 $B\left(v\right):={\displaystyle \underset{j=1}{\overset{\infty }{\sum }}{b}_j{v}^j}$。

命题2.1 对任意 $j\ge 1$，极限 $\underset{t\to \infty }{\lim }{\text{e}}^{b_{1}t}{p}_{1j}\left(t\right)=q_j$ 存在且 $q_j\le q_1=1$。此外，若 $Q\left(0\right)=0$， $Q^{\prime }\left(0\right)=1$， $Q\left(1\right)=\infty$， $B\left(v\right)$ 满足如下的泛函方程

$B\left(v\right)Q^{\prime }\left(v\right)=b_{1}Q\left(v\right)$, $0\le v<1$, (2.3)

且 $Q\left(v\right)$ 有如下的幂级数展开式 $Q\left(v\right)={\displaystyle \underset{j=1}{\overset{\infty }{\sum }}{q}_j{v}^j}$， $0\le v<1$。

3. 主要结果

为了便于后续分析，我们首先分析调和矩函数 $\tau \left(t,r\right)$。对于任意非负随机变量Y，均有下式成立

$Y^{-r}=\frac{1}{\Gamma \left(r\right)}{\displaystyle {\int }_0^{\infty }{\text{e}}^{-vY}{v}^{r-1}\text{d}v}$,

其中 $\Gamma \left(r\right)$ 表示伽马函数。由假设知， $Z\left(t\right)>0$，因此，令 $Y=Z\left(t\right)$，等号左右两边同时取期望，根据Tonelli定理，可得

$\begin{array}{c}\tau \left(t,r\right)=E{\left(Z\left(t\right)\right)}^{-r}\\ =\frac{1}{\Gamma \left(r\right)}{\displaystyle {\int }_0^{\infty }E\left({\text{e}}^{-vZ\left(t\right)}\right)v^{r-1}\text{d}v}\\ =\frac{1}{\Gamma \left(r\right)}{\displaystyle {\int }_0^{\infty }F\left(t,{\text{e}}^{-v}\right)v^{r-1}\text{d}v}\\ :=\frac{1}{\Gamma \left(r\right)}I\left(t,r\right).\end{array}$

下面是本文的主要定理。

定理3.1 定义 $q:=mr+b_1$，记

$H\left(t,r\right)=\{\begin{array}{l}{\text{e}}^{b_{1}t},q>0,\\ {\text{e}}^{b_{1}t}{\left({\text{e}}^{b_1\tau }{C}_{\tau }^{-r}\text{d}\tau \right)}^{-1},q=0,\\ c_t^r,q<0,\end{array}$

则

$\underset{t\to \infty }{\text{lim}}H\left(t,r\right)E{\left(Z\left(t\right)\right)}^{-r}=\{\begin{array}{l}\frac{1}{\Gamma \left(r\right)}{\displaystyle {\int }_0^{\infty }Q\left({\text{e}}^{-v}\right)v^{r-1}\text{d}v},q>0,\\ \frac{1}{h\Gamma \left(r\right)}{\displaystyle {\int }_1^{{\text{e}}^{mh}}Q\left(\varphi \left(v\right)\right)v^{r-1}\text{d}v},q=0,\\ \frac{1}{\Gamma \left(r\right)}{\displaystyle {\int }_1^{{\text{e}}^{mh}}\varphi \left(v\right)v^{r-1}\text{d}v},q<0,\end{array}$ (3.1)

其中 $\varphi$ 和Q的定义如(2.2)式和(2.3)式。

运用定理3.1，进一步得到了 $Z\left(t+s\right)/Z\left(s\right)$ 的大偏差速率。

定理3.2 对于任意的 $\epsilon >0$，定义

$\psi \left(s,j,\epsilon \right):=P\left(\left|{\bar{Z}}_j\left(s\right)-{\text{e}}^{ms}\right|>\epsilon \right)$, (3.2)

其中 ${\bar{Z}}_j\left(s\right)=\frac{1}{j}{\displaystyle \underset{i=1}{\overset{j}{\sum }}{Z}_i\left(s\right)}$， $Z_i\left(s\right)$ 为独立同分布的随机变量。若存在 $r>0$ 且 $K\left(\epsilon ,r\right)>0$ 使得对一切 $j\ge 1$，有 $\psi \left(s,j,\epsilon \right)<K\left(\epsilon ,r\right)j^{-r}$ 成立，则

$\underset{t\to \infty }{\lim \sup }H\left(t,r\right)P\left(\left|\frac{Z\left(t+s\right)}{Z\left(t\right)}-{\text{e}}^{ms}\right|>\epsilon \right)\le K\left(\epsilon ,r\right)D_1$, (3.3)

其中 $D_1$ 为正常数。此外，对任意 $j\ge 1$，若 $\psi \left(s,j,\epsilon \right)<K\left(\epsilon ,r\right)j^{-r}$，则

$\underset{t\to \infty }{\lim \inf }H\left(t,r\right)P\left(\left|\frac{Z\left(t+s\right)}{Z\left(t\right)}-{\text{e}}^{ms}\right|>\epsilon \right)\ge K\left(\epsilon ,r\right)D_2$, (3.4)

其中 $D_2$ 为正常数。

推论3.3 若存在某个 $r\ge 1$， $\delta >0$，使得 $E\left(Z{\left(1\right)}^{2r+\delta }\right)<\infty$，则(3.3)式仍成立。根据Sun和Zhang [5]，可得

$A_r:=\underset{j}{\sup }E\left(\sqrt{j}{\left|{\bar{Z}}_j\left(s\right)-{\text{e}}^{ms}\right|}^{2r}\right)<\infty$.

由马尔可夫不等式，

$\psi \left(s,j,\epsilon \right):=P\left(\left|{\bar{Z}}_j\left(s\right)-{\text{e}}^{ms}\right|>\epsilon \right)\le \frac{E\left(\sqrt{j}{\left|{\bar{Z}}_j\left(s\right)-{\text{e}}^{ms}\right|}^{2r}\right)}{j^r{\epsilon }^{2r}}\le K\left(\epsilon ,r\right)j^{-r}$,

再由定理3.2，结论得证。

4. 证明

为了方便分析，证明首先将 $I\left(t,r\right)$ 分解为以下三部分，

$I\left(t,r\right)=\left({\displaystyle {\int }_0^{c_t^{-1}}}+{\displaystyle {\int }_{c_t^{-1}}^1}+{\displaystyle {\int }_1^{\infty }}\right)F\left({\text{e}}^{-v},t\right)v^{r-1}\text{d}v:=M_1\left(t\right)+M_2\left(t\right)+M_3\left(t\right)$,

其中 $c_t={\text{e}}^{mt}$，当 $t=0$ 时， $c_t=1$。

引理4.1 对任意 $x>0$， ${\displaystyle {\int }_x^{\infty }Q\left({\text{e}}^{-v}\right)v^{r-1}\text{d}v}<\infty$。

证明 作变量替换 $u={\text{e}}^{-v}$，上式等价于 ${\displaystyle {\int }_0^{{\text{e}}^{-x}}\frac{Q\left(u\right)}{u}\left(-\log u\right)u^{r-1}\text{d}u}$。

由(2.3)， $\underset{t\to \infty }{\lim }\frac{Q\left(u\right)}{u}=Q^{\prime }\left(u\right)=1$。因此，当 $0<u<1$ 时，存在常数C使得 $\frac{Q\left(u\right)}{u}<C<\infty$。令 $v=-\log u$，可得

${\displaystyle {\int }_0^{{\text{e}}^{-x}}\frac{Q\left(u\right)}{u}\left(-\log u\right)u^{r-1}\text{d}u}\le C{\displaystyle {\int }_0^{{\text{e}}^{-x}}\left(-\log u\right)u^{r-1}\text{d}u}\le C{\displaystyle {\int }_x^{\infty }{\text{e}}^{-v}{v}^{r-1}}\text{d}v<\infty$.

引理4.2 ( $M_1\left(t\right)$ 的渐近行为) (a). 若 $q\ge 0$，则 $\underset{t\to \infty }{\lim }H\left(t,r\right)M_1\left(t\right)=0$。

(b). 若 $q<0$，则 $\underset{t\to \infty }{\lim }H\left(t,r\right)M_1\left(t\right)={\displaystyle {\int }_0^1\varphi \left(u\right)u^{r-1}\text{d}u}$，

证明 作变量替换 $u={\text{e}}^{-mt}v$，再令 $t\to \infty$，我们得到

$c_t^r{M}_1\left(t\right)={\displaystyle {\int }_0^1{\varphi }_t\left(u\right)u^{r-1}\text{d}u}\to {\displaystyle {\int }_0^1\varphi \left(u\right)u^{r-1}\text{d}u}$,

其中 ${\varphi }_t$ 为 $W\left(t\right)$ 的拉普拉斯变换。当 $q>0$ 时，

$\begin{array}{c}\underset{t\to \infty }{\lim }H\left(t,r\right)M_1\left(t\right)=\underset{t\to \infty }{\lim }{\text{e}}^{-b_{1}t}{c}_t^{-r}\cdot {\displaystyle {\int }_0^1{\varphi }_t\left(u\right)u^{r-1}\text{d}u}\\ =\underset{t\to \infty }{\lim }{\text{e}}^{-\left(b_1+mr\right)t}\cdot {\displaystyle {\int }_0^1{\varphi }_t\left(u\right)u^{r-1}\text{d}u}=0.\end{array}$

对于 $q=0$，

$\begin{array}{c}\underset{t\to \infty }{\lim }H\left(t,r\right)M_1\left(t\right)=\underset{t\to \infty }{\lim }{\text{e}}^{-b_{1}t}{c}_t^{-r}\cdot {\left({\displaystyle {\int }_0^t{\text{e}}^{-b_1\tau }{c}_{\tau }^{-r}}\text{d}\tau \right)}^{-1}\cdot {\displaystyle {\int }_0^t{\varphi }_t\left(u\right)u^{r-1}\text{d}u}\\ =\underset{t\to \infty }{\lim }{\text{e}}^{-\left(b_1+mr\right)t}\cdot {\left({\displaystyle {\int }_0^t{\text{e}}^{-b_1\tau }{c}_{\tau }^{-r}}\text{d}\tau \right)}^{-1}\cdot {\displaystyle {\int }_0^t{\varphi }_t\left(u\right)u^{r-1}\text{d}u}=0.\end{array}$

(b). 当 $q<0$， $H\left(t,r\right)=c_t^r$，由(4.1)式知结论显然成立。

引理4.3 ( $M_2\left(t\right)$ 的渐近行为)

$\underset{t\to \infty }{\text{lim}}H\left(t,r\right)M_2\left(t\right)=\{\begin{array}{l}{\displaystyle {\int }_0^{\infty }Q\left({\text{e}}^{-v}\right)v^{r-1}\text{d}v},q>0,\\ \frac{1}{h}{\displaystyle {\int }_1^{{\text{e}}^{mh}}Q\left(\varphi \left(v\right)\right)v^{r-1}\text{d}v},q=0,\\ {\displaystyle {\int }_1^{\infty }\varphi \left(v\right)v^{r-1}\text{d}v},q<0.\end{array}$

证明 基于Athreya和Ney [9] 的研究，我们知道在一定的条件下 $\left\{Z\left(t\right);t\ge 0\right\}$ 等价于Galton-Waston过程，即对任意 $h>0$，令 $t=nh$，过程 $\left\{Z\left(nh\right);n=0,1,2,\cdots \right\}$ 实际上是Galton-Waston过程。因此我们有

$M_2\left(t\right)={\displaystyle {\int }_{{\text{e}}^{mnh}}^{1}F\left(nh,{\text{e}}^{-v}\right)v^{r-1}\text{d}v}={\displaystyle \underset{k=1}{\overset{n}{\sum }}{\displaystyle {\int }_{c_{kh}^{-1}}^{c_{\left(k-1\right)h}^{-1}}F\left(nh,{\text{e}}^{-v}\right)v^{r-1}\text{d}v}}$,

对上式进行换元 $u=c_{kh}v$，可得

$M_2\left(t\right)={\displaystyle \underset{k=1}{\overset{n}{\sum }}{\displaystyle {\int }_1^{{\text{e}}^{mh}}F\left(nh,{\text{e}}^{-u{c}_{kh}^{-1}}\right)c_{kh}^{-r}{u}^{r-1}\text{d}u}}={\displaystyle \underset{k=1}{\overset{n}{\sum }}{\displaystyle {\int }_1^{{\text{e}}^{mh}}F\left(\left(n-k\right)h,{\varphi }_{kh}\left(u\right)\right)c_{kh}^{-r}{u}^{r-1}\text{d}u}}$.

对于 $mr+b_1>0$，我们有

${\text{e}}^{-b_{1}t}{M}_2\left(t\right)={\displaystyle \underset{k=1}{\overset{n}{\sum }}{\text{e}}^{-\left(mr+b_1\right)kh}{\displaystyle {\int }_1^{{\text{e}}^{mh}}\frac{F\left(nh,{\varphi }_{kh}\left(u\right)\right)}{{\text{e}}^{\left(n-k\right)b_{1}h}}{u}^{r-1}\text{d}u}}$. (4.2)

考虑Q和 $F\left(u,t\right)$ 的性质，上式中被积部分的分式可以简写为

$\frac{F\left(nh,{\varphi }_{kh}\left(u\right)\right)}{{\text{e}}^{\left(n-k\right)b_{1}h}}:=Q_{n-k}\left({\varphi }_{kh}\left(u\right)\right)\uparrow Q\left({\varphi }_{kh}\left(u\right)\right)$,

那么立即得到

${\text{e}}^{-b_{1}t}{M}_2\left(t\right)={\displaystyle \underset{k=1}{\overset{n}{\sum }}{\text{e}}^{-\left(mr+b_1\right)kh}{\displaystyle {\int }_1^{{\text{e}}^{mh}}{Q}_{\left(n-k\right)h}\left({\varphi }_{kh}\left(u\right)\right)u^{r-1}\text{d}u}}$ (4.3)

$\uparrow {\displaystyle \underset{k=1}{\overset{n}{\sum }}{\text{e}}^{-\left(mr+b_1\right)kh}{\displaystyle {\int }_1^{{\text{e}}^{mh}}Q\left({\varphi }_{kh}\left(u\right)\right)u^{r-1}\text{d}u}}$. (4.4)

根据Ney et al. [4]，对 $u\in \left[1,{\text{e}}^{mh}\right]$，不难发现，存在常数b使得

$\sup {\displaystyle {\int }_1^{{\text{e}}^{mh}}Q\left({\varphi }_{kh}\left(u\right)\right)u^{r-1}\text{d}u}\le \sup {\displaystyle {\int }_1^{{\text{e}}^{mh}}Q\left(b\right)u^{r-1}\text{d}u}$.

又因对任意固定的h， ${\displaystyle \underset{k=1}{\overset{n}{\sum }}{\text{e}}^{-\left(mr+b_1\right)kh}}$ 收敛，故(4.2)式有界。

现在对做u变量逆变换 $v=u{c}_{kh}^{-1}$，利用 $Q\left(F\left(s,u\right)\right)={\text{e}}^{b_{1}s}Q\left(u\right)$，类似于Athreya和Ney [9] 的方法，(4.4)式可以表示为

$\begin{array}{c}{\displaystyle \underset{k=1}{\overset{n}{\sum }}\frac{{\displaystyle {\int }_{c_{kh}^{-1}}^{c_{\left(k-1\right)h}^{-1}}Q\left({\varphi }_{kh}\left(v\right)\right)v^{r-1}\text{d}v}}{{\text{e}}^{\left(mr+b_1\right)kh}}}={\displaystyle \underset{k=1}{\overset{n}{\sum }}\frac{{\displaystyle {\int }_{c_{kh}^{-1}}^{c_{\left(k-1\right)h}^{-1}}Q\left(F\left(kh,{\text{e}}^{-v}\right)\right)v^{r-1}\text{d}v}}{{\text{e}}^{b_{1}kh}}}\\ ={\displaystyle \underset{k=1}{\overset{n}{\sum }}{\displaystyle {\int }_{c_{kh}^{-1}}^{c_{\left(k-1\right)h}^{-1}}Q\left({\text{e}}^{-v}\right)v^{r-1}\text{d}v}}\\ ={\displaystyle {\int }_{{\text{e}}^{-mnh}}^{1}Q\left({\text{e}}^{-v}\right)v^{r-1}\text{d}v}.\end{array}$

因 $t=nh$ 的假设，我们有 $\underset{t\to \infty }{\lim }{\text{e}}^{-b_{1}t}{M}_2\left(t\right)={\displaystyle {\int }_0^{1}Q\left({\text{e}}^{-v}\right)v^{r-1}\text{d}v}$。考虑到Q和 $F\left(u,t\right)$ 的性质，因此有

$Q_t\left(v\right)=\frac{F\left(v,t\right)}{{\text{e}}^{b_{1}t}}$, $0\le v<1$,

且 $\underset{t\to \infty }{\lim }{Q}_t\left(v\right)=Q\left(v\right)$ 成立。

对于 $q>0$，

$\underset{t\to \infty }{\text{lim}}H\left(t,r\right)M_2\left(t\right)=\underset{t\to \infty }{\text{lim}}{\displaystyle {\int }_{c_t^{-1}}^1{Q}_t\left({\text{e}}^{-v}\right)v^{r-1}\text{d}v}={\displaystyle {\int }_0^{1}Q\left({\text{e}}^{-v}\right)v^{r-1}\text{d}v}$,

结合引理4.1，立即得上式右端有界。再分析 $q=0$ 的情况，先给出以下记号，

${\displaystyle {\int }_1^{{\text{e}}^{mh}}{Q}_{nh}\left({\varphi }_{kh}\left(u\right)\right)u^{r-1}\text{d}u}=y\left(nh,kh\right)$

由(4.3)和(4.3)式，可以发现

$y\left(nh,kh\right)\uparrow y\left(kh\right):={\displaystyle {\int }_1^{{\text{e}}^{mh}}Q\left({\varphi }_{kh}\left(u\right)\right)u^{r-1}\text{d}u}$.

接下来处理 $H\left(t,r\right)M_2\left(t\right)$。根据(4.2)式，可以写出

$H\left(t,r\right)M_2\left(t\right)=\frac{{\displaystyle \underset{k=1}{\overset{n}{\sum }}{\text{e}}^{-\left(mr+b_1\right)kh}y\left(\left(n-k\right)h,kh\right)}}{{\displaystyle {\int }_0^t{\text{e}}^{-b_1\tau }{c}_{\tau }^{-r}\text{d}\tau }}$,

对分子部分做恒等变换，

${\displaystyle \underset{k=1}{\overset{n}{\sum }}{\text{e}}^{-\left(mr+b_1\right)kh}y\left(\left(n-k\right)h,kh\right)}={\displaystyle \underset{k=1}{\overset{n}{\sum }}{\text{e}}^{-\left(mr+b_1\right)kh}\left(y\left(\left(n-k\right)h,kh\right)-y\left(kh\right)\right)}+{\displaystyle \underset{k=1}{\overset{n}{\sum }}{\text{e}}^{-\left(mr+b_1\right)kh}y\left(kh\right)}$,

利用引理4.1中的结论，易得上式的第一项收敛到0，根据控制收敛定理，立即证得

$\begin{array}{c}\underset{t\to \infty }{\lim }H\left(t,r\right)M_2\left(t\right)=\underset{t\to \infty }{\lim }{\displaystyle \underset{k=1}{\overset{n}{\sum }}{\text{e}}^{-\left(mr+b_1\right)kh}}{\left({\displaystyle {\int }_0^t{\text{e}}^{-b_1\tau }{c}_{\tau }^{-r}\text{d}\tau }\right)}^{-1}{\displaystyle {\int }_1^{{\text{e}}^{mh}}Q\left({\varphi }_{kh}\left(u\right)\right)u^{r-1}\text{d}u}\\ =\frac{1}{h}{\displaystyle {\int }_1^{{\text{e}}^{mh}}Q\left(\varphi \left(u\right)\right)u^{r-1}\text{d}u}.\end{array}$

我们使用同样的方法处理当 $q<0$ 时的 $H\left(t,r\right)M_2\left(t\right)$。写出 $H\left(t,r\right)M_2\left(t\right)$ 的表达式，令 $t=nh$，

$H\left(t,r\right)M_2\left(t\right)=c_t^r{\displaystyle {\int }_{{\text{e}}^{-mt}}^{1}F\left(t,{\text{e}}^{-v}\right)v^{r-1}\text{d}v}=c_{nh}^r{\displaystyle \underset{k=1}{\overset{n}{\sum }}{\displaystyle {\int }_{c_{kh}^{-1}}^{c_{\left(k-1\right)h}^{-1}}F\left(nh,{\text{e}}^{-v}\right)v^{r-1}\text{d}v}}$.

作变量替换 $u=v{c}_{kh}$ 后，上式等价于

$\begin{array}{c}H\left(t,r\right)M_2\left(t\right)={\displaystyle \underset{k=1}{\overset{n}{\sum }}\frac{c_{nh}^r}{c_{kh}^r}{\displaystyle {\int }_1^{{\text{e}}^{mh}}F\left(nh,{\text{e}}^{-u{c}_{kh}^{-1}}\right)u^{r-1}\text{d}u}}\\ ={\displaystyle \underset{j=1}{\overset{\infty }{\sum }}{c}_{jh}^r{\displaystyle {\int }_1^{{\text{e}}^{mh}}F\left(jh,F\left(\left(n-j\right)h,{\text{e}}^{-u{c}_{kh}^{-1}}\right)\right)u^{r-1}\text{d}u}}\\ ={\displaystyle \underset{j=1}{\overset{\infty }{\sum }}{c}_{jh}^r{\displaystyle {\int }_1^{{\text{e}}^{mh}}F\left(jh,{\varphi }_{\left(n-j\right)h}\left(u\right)\right)u^{r-1}\text{d}u}}\uparrow {\displaystyle \underset{j=1}{\overset{\infty }{\sum }}{c}_{jh}^r{\displaystyle {\int }_1^{{\text{e}}^{mh}}F\left(jh,\varphi \left(u\right)\right)u^{r-1}\text{d}u}}.\end{array}$

当 $t\to \infty$ 时，最后一步成立.再利用 [10] 中的泛函方程 $\varphi \left({\text{e}}^{mt}s\right)=F\left(t,\varphi \left(s\right)\right)$，

我们得到

${\displaystyle \underset{j=1}{\overset{\infty }{\sum }}{c}_{jh}^r{\displaystyle {\int }_1^{{\text{e}}^{mh}}F\left(jh,\varphi \left(u\right)\right)u^{r-1}\text{d}u}}={\displaystyle \underset{j=1}{\overset{\infty }{\sum }}{c}_{jh}^r{\displaystyle {\int }_1^{{\text{e}}^{mh}}\varphi \left({\text{e}}^{mjh}u\right)u^{r-1}\text{d}u}}$,

其中 $\varphi \left(s\right)=E\left({\text{e}}^{-sW}|Z_0=1\right)$。最后，通过取 $v=c_{jh}v$ 可以得到 $H\left(t,r\right)M_2\left(t\right)={\displaystyle {\int }_1^{\infty }\varphi \left(v\right)v^{r-1}\text{d}v}$。由利用夹逼定理，当 $q>0$ 时，结论得证。

引理4.4 ( $M_3\left(t\right)$ 的渐近行为) (a)若 $q>0$，则 $\underset{t\to \infty }{\lim }H\left(t,r\right)M_3\left(t\right)={\displaystyle {\int }_{c_t^{-1}}^{\infty }Q\left({\text{e}}^{-v}\right)v^{r-1}\text{d}v}$。

(b) 若 $q\le 0$，则 $\underset{t\to \infty }{\lim }H\left(t,r\right)M_3\left(t\right)=0$。

证明 (a)当 $q>0$，由Q性质

$\underset{t\to \infty }{\text{lim}}H\left(t,r\right)M_3\left(t\right)=\underset{t\to \infty }{\text{lim}}{\displaystyle {\int }_1^{\infty }{Q}_t\left({\text{e}}^{-v}\right)v^{r-1}\text{d}v}={\displaystyle {\int }_1^{\infty }Q\left({\text{e}}^{-v}\right)v^{r-1}\text{d}v}$.

(b) 当 $q=0$， $\underset{t\to \infty }{\lim }H\left(t,r\right)M_3\left(t\right)=\frac{{\displaystyle {\int }_1^{\infty }{Q}_t\left({\text{e}}^{-v}\right)v^{r-1}\text{d}v}}{{\text{e}}^{-b_{1}t}{c}_{\tau }^{-r}\text{d}\tau }=0$。

当 $q<0$，

$H\left(t,r\right)M_3\left(t\right)={\text{e}}^{\left(mr+b_1\right)t}{\displaystyle {\int }_1^{\infty }{Q}_t\left({\text{e}}^{-v}\right)v^{r-1}\text{d}v}\to 0$, $t\to \infty$.

结合引理4.2~4.4，定理3.1得证。

现在证明定理3.2.根据条件概率公式，可把(3.3)式的目标概率分解为

$\begin{array}{c}P\left(\left|\frac{Z\left(t+s\right)}{Z\left(t\right)}-{\text{e}}^{ms}\right|>\epsilon \right)={\displaystyle \underset{j=1}{\overset{\infty }{\sum }}P\left(\left|\frac{Z\left(t+s\right)}{j}-{\text{e}}^{ms}\right|>\epsilon |Z\left(t\right)=j\right)P\left(Z\left(t\right)=j\right)}\\ ={\displaystyle \underset{j=1}{\overset{\infty }{\sum }}P\left(Z\left(t\right)=j\right)\psi \left(s,j,\epsilon \right)j^{-r}}\\ \le K\left(\epsilon ,r\right)j^{-r}.\end{array}$

应用定理3.1的结论，(3.3)式得证，同理可得(3.4)式。

基金项目

这项工作得到国家自然科学基金(1191392)的大力支持。

NOTES

^*通讯作者。