Morita环上的Gorenstein内射模

Gorenstein-Injective Modules over Morita Rings

摘要: 设是Morita环，其中A和B是环，N是(A,B)-双模，M是(B,A)-双模，并且Δ_(φ,ψ)是Artin代数。本文主要研究了Morita环Δ_(φ,ψ)上的Gorenstein内射模与代数A和代数B的关系。给出了函子H_A和函子H_B保持Gorenstein内射模的等价条件。设(X,Y,f,g)是Morita环Δ_(φ,ψ)上的一个Gorenstein内射模，本文也证明了在一定条件下_AX和Y_B也是Gorenstein内射模。

Abstract: Let be a Morita ring, where A and B are rings, N is (A,B)-bimodule, M is (B,A)-bimodule, and Δ_(φ,ψ) is an Artin algebra. In this paper we investigate the relations between the Gorenstein injective modules over a Morita ring Δ_(φ,ψ) and algebras A and B. The equivalent conditions for functors H_A and H_B to preserve Gorenstein injective modules are given. Let (X,Y,f,g) be a Gorenstein injective module on Morita ring Δ_(φ,ψ). It is also proved that _AX and Y_B are Gorenstein injective modules under certain conditions.

1. 引言

H. Bass在其著作中介绍了Morita环的概念，这种环包含很多的代数例子。1969年，Auslander等人在文献 [1] 中引入了双边Noether环上的Gorenstein维数为零的模。2000年，Jenda等人在文献 [2] 中对于一个任意环R，研究了Gorenstein投射(内射、平坦)模及其维数。随后很多作者对Gorenstein投射(内射、平坦)模做了进一步的探索和推广，证明了它们的很多性质与投射(内射、平坦)模的性质类似。

本文讨论了Morita环上Gorenstein内射模与代数A和代数B之间的关系，定理3.2和定理3.6介绍了函子 $H_A$ 和函子 $H_B$ 保持Gorenstein内射模的等价条件。对于一个Morita环上的Gorenstein内射模 $\left(X,Y,f,g\right)$，定理3.7给出了使 ${}_{A}X$ 和 $Y_B$ 成为Gorenstein内射左A-模和左B-模的条件。

2. 预备知识

本文中，环是具有单位元的结合环，模均是有限生成模。

设A是一个Artin代数，记 $A-mod$ 为有限生成左A-模范畴。用 $A-inj\left(A-proj\right)$ 表示内射(投射)左A-模，用 $A-Ginj\left(A-Gproj\right)$ 表示Gorenstein内射(投射)左A-模，用 $pd\left(M\right)\left(id\left(M\right)\right)$ 表示M的投射(内射)维数。

设A，B是环， ${}_{A}N{}_B$ 是 $\left(A,B\right)$ -双模， ${}_{B}M{}_A$ 是 $\left(B,A\right)$ -双模，模同态 $\phi :M\underset{A}{\otimes }N\to B$，模同态 $\psi :N\underset{B}{\otimes }M\to A$。记 $\text{Moritacontext}\wp =\left(A,N,M,B,\phi ,\psi \right)$，设 ${\Delta }_{\left(\phi ,\psi \right)}\left(\wp \right)=\left(\begin{array}{cc}A& {}_{A}N{}_B\\ {}_{B}M{}_A& B\end{array}\right)$， ${\Delta }_{\left(\phi ,\psi \right)}$ 中的加法按分量计算，乘法为

$\left(\begin{array}{cc}a& n\\ m& b\end{array}\right)\cdot \left(\begin{array}{cc}{a}^{\prime }& n^{\prime }\\ m^{\prime }& b^{\prime }\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}a{a}^{\prime }+\psi \left(n\otimes m^{\prime }\right)& a{n}^{\prime }+n{b}^{\prime }\\ m{a}^{\prime }+b{m}^{\prime }& b{b}^{\prime }+\phi \left(m\otimes n^{\prime }\right)\end{array}\right)$

为了使 ${\Delta }_{\left(\phi ,\psi \right)}$ 作成一个结合环，规定 $\phi \left(m\otimes n\right)m^{\prime }=m\psi \left(n\otimes m^{\prime }\right)$， $n\phi \left(m\otimes n^{\prime }\right)=\psi \left(n\otimes m\right)n^{\prime }$， $\forall m,m^{\prime }\in M$， $\forall n,n^{\prime }\in N$，则 ${\Delta }_{\left(\phi ,\psi \right)}$ 关于普通矩阵的加法和上述定义的乘法作成一个环，文献 [3] 中称之为Morita环。

在文献 [3] 和文献 [4] 中已经对 ${\Delta }_{\left(\phi ,\psi \right)}$ 环上的模进行了刻画。为了叙述方便，引入范畴 $\wp \left({\Delta }_{\left(\phi ,\psi \right)}\right)$，它中的对象是四元组 $\left(X,Y,f,g\right)$，其中 $X\in A-mod$， $Y\in B-mod$， $f\in Ho{m}_B\left(M\underset{A}{\otimes }X,Y\right)$， $g\in Ho{m}_A\left(N\underset{B}{\otimes }Y,X\right)$ 并且满足如下交换图

态射 $N\underset{B}{\otimes }M\underset{A}{\otimes }X\stackrel{\psi \otimes Id}{\to }A\underset{A}{\otimes }X$ 和态射 $A\underset{A}{\otimes }X\stackrel{\cong }{\to }X$ 的合成记为 ${\psi }_X$，态射和态射 $B\underset{B}{\otimes }Y\stackrel{\cong }{\to }Y$ 的合成记为 ${\phi }_Y$。

设函子 $G:\wp \left({\Delta }_{\left(\phi ,\psi \right)}\right)\to {\Delta }_{\left(\phi ,\psi \right)}-mod$，对于任意的 $\left(X,Y,f,g\right)\in \wp \left(\Delta {}_{\left(\phi ,\psi \right)}\right)$， $G\left(X,Y,f,g\right)=X\oplus Y$，其中是 $X\oplus Y$ 是一个Abel群，对 $\forall a\in A$， $b\in B$， $n\in N$， $m\in M$， $x\in X$， $y\in Y$， ${\Delta }_{\left(\phi ,\psi \right)}$ -模的结构如下

$\left(\begin{array}{cc}a& n\\ m& b\end{array}\right)\cdot \left(x,y\right)=\left(ax+g\left(n\otimes y\right),by+f\left(m\otimes x\right)\right)$.

设 $\left(a,b\right):\left(X,Y,f,g\right)\to \left(X^{\prime },Y^{\prime },f^{\prime },g^{\prime }\right)$ 为 $\wp \left({\Delta }_{\phi ,\psi }\right)$ 中的任意一个态射，定义

$G\left(a,b\right)=\left(\begin{array}{cc}a& 0\\ 0& b\end{array}\right)=X\oplus Y$，

由文献 [4] 可知 $\wp \left({\Delta }_{\left(\phi ,\psi \right)}\right)$ 与 ${\Delta }_{\left(\phi ,\psi \right)}-mod$ 等价，因此可用 $\wp \left({\Delta }_{\left(\phi ,\psi \right)}\right)$ 中的对象 $\left(X,Y,f,g\right)$ 代替 ${\Delta }_{\left(\phi ,\psi \right)}$ -模。由文献 [5] 得一个Morita环 ${\Delta }_{\left(\phi ,\psi \right)}$ 可以作为Artin代数的等价条件是存在交换环R，并且是Artin环，使得代数A与代数B均是Artin R-代数，M和N是有限生成R-模，并且R在M和N上都起中心作用。

设Morita环 ${\Delta }_{\left(\phi ,\psi \right)}=\left(\begin{array}{cc}A& {}_{A}N{}_B\\ {}_{B}M{}_A& B\end{array}\right)$，则根据文献 [6] 有：

1) 范畴 ${\Delta }_{\left(\phi ,\psi \right)}-mod$ 中的序列 $0\to \left(X_1,Y_1,f_1,g_1\right)\to \left(X_2,Y_2,f_2,g_2\right)\to \left(X_3,Y_3,f_3,g_3\right)\to 0$ 正合 $\iff$ 范畴 $A-mod$ 中的序列 $0\to X_1\to X_2\to X_3\to 0$ 正合且范畴 $B-mod$ 中的序列 $0\to Y_1\to Y_2\to Y_3\to 0$ 正合。

2) 设 $\left(a,b\right):\left(X,Y,f,g\right)\to \left(X^{\prime },Y^{\prime },f^{\prime },g^{\prime }\right)$ 是范畴 ${\Delta }_{\left(\phi ,\psi \right)}-mod$ 中的一个态射，同态 $c:Kera\to X$，同态 $d:Kerb\to Y$，则有 $Ker\left(a,b\right)=\left(Kera,Kerb,h,j\right)$，h和j由以下交换图诱导得出

3) 设 $\left(a,b\right):\left(X,Y,f,g\right)\to \left(X^{\prime },Y^{\prime },f^{\prime },g^{\prime }\right)$ 是范畴 ${\Delta }_{\left(\phi ,\psi \right)}-mod$ 中的一个态射，同态 $c^{\prime }:X^{\prime }\to Cokera$，同态 $d^{\prime }:Y^{\prime }\to Cokerb$，则有 $Coker\left(a,b\right)=\left(Cokera,Cokerb,h^{\prime },g^{\prime }\right)$， $h^{\prime }$ 和 $j^{\prime }$ 由以下交换图诱导得出

根据文献 [5]，考虑如下几个函子：

对任意 $X\in A-mod$ 和A-同态 $a:X\to X^{\prime }$，函子 $T_A:A-mod\to {\Delta }_{\left(\phi ,\psi \right)}-mod$ 定义为

$T_A\left(X\right):=\left(X,M\underset{A}{\otimes }X,I{d}_{M\underset{A}{\otimes }X},{\psi }_X\right)$， $T_A\left(a\right):=\left(a,I{d}_M\otimes a\right)$.

对任意 $Y\in B-mod$ 和B-同态 $b:Y\to Y^{\prime }$，函子 $T_B:B-mod\to {\Delta }_{\left(\phi ,\psi \right)}-mod$ 定义为

$T_B\left(Y\right):=\left(N\underset{B}{\otimes }Y,Y,{\phi }_Y,I{d}_{N\underset{B}{\otimes Y}}\right)$， $T_B\left(b\right):=\left(I{d}_N\otimes b,b\right)$.

对任意 $\left(X,Y,f,g\right)\in {\Delta }_{\left(\phi ,\psi \right)}-mod$ 和 ${\Delta }_{\left(\phi ,\psi \right)}$ -态射 $\left(a,b\right):\left(X,Y,f,g\right)\to \left(X^{\prime },Y^{\prime },f^{\prime },g^{\prime }\right)$，函子 $U_A:{\Delta }_{\left(\phi ,\psi \right)}-mod\to A-mod$ 定义为 $U_A\left(X,Y,f,g\right):=X$， $U_A\left(a,b\right):=a$。

对任意 $\left(X,Y,f,g\right)\in {\Delta }_{\left(\phi ,\psi \right)}-mod$ 和 ${\Delta }_{\left(\phi ,\psi \right)}$ -态射 $\left(a,b\right):\left(X,Y,f,g\right)\to \left(X^{\prime },Y^{\prime },f^{\prime },g^{\prime }\right)$，函子 $U_B:{\Delta }_{\left(\phi ,\psi \right)}-mod\to B-mod$ 定义为 $U_B\left(X,Y,f,g\right):=Y$， $U_B\left(a,b\right):=b$。

对于每个 $X\in A-mod$，记 ${{\epsilon }^{\prime }}_X:N\underset{B}{\otimes }Ho{m}_A\left(N,X\right)\to X$ 为由involution给出的A-同态，构造B-同态 ${{\delta }^{\prime }}_{M\underset{A}{\otimes X}}:M\underset{A}{\otimes }X\to Ho{m}_A\left(N,N\underset{B}{\otimes }M\underset{A}{\otimes }X\right)$，它将 $m\underset{A}{\otimes }x$ 作用到 $Ho{m}_A\left(N,N\underset{B}{\otimes }M\underset{A}{\otimes }X\right)$ 中，对任意 $X\in A-mod$ 和A-同态 $a:X\to X^{\prime }$，函子 $H_A:A-mod\to {\Delta }_{\left(\phi ,\psi \right)}-mod$ 定义为

$H_A\left(X\right):=\left(X,Ho{m}_A\left(N,X\right),Ho{m}_A\left(N,{\psi }_X\right)\circ {{\delta }^{\prime }}_{M\underset{A}{\otimes }X},{{\epsilon }^{\prime }}_X\right)$， $H_A\left(a\right):=\left(a,Ho{m}_A\left(N,a\right)\right)$.

对于每个 $Y\in B-mod$，记 ${\epsilon }_Y:M\underset{A}{\otimes }Ho{m}_B\left(M,Y\right)\to Y$ 为由involution给出的B-同态，构造A-同态 ${\delta }_{N\underset{B}{\otimes }Y}:N\underset{B}{\otimes }Y\to Ho{m}_B\left(M,M\underset{A}{\otimes }N\underset{B}{\otimes }Y\right)$，它将 $n\underset{B}{\otimes }y$ 作用到 $Ho{m}_B\left(M,M\underset{A}{\otimes }N\underset{B}{\otimes }Y\right)$ 中，对任意 $Y\in B-mod$ 和B-同态 $b:Y\to Y^{\prime }$，函子 $H_B:B-mod\to {\Delta }_{\left(\phi ,\psi \right)}-mod$ 定义为

$H_B\left(Y\right):=\left(Ho{m}_B\left(M,Y\right),Y,{\epsilon }_Y,Ho{m}_A\left(M,{\phi }_Y\right)\circ {\delta }_{N\underset{B}{\otimes }Y}\right)$， $H_B\left(b\right):=\left(Ho{m}_B\left(M,b\right),b\right)$.

下面命题是对以上几个函子的进一步刻画。

命题2.1 [5] 设Morita环 ${\Delta }_{\left(\phi ,\psi \right)}=\left(\begin{array}{cc}A& {}_{A}N{}_B\\ {}_{B}M{}_A& B\end{array}\right)$，并且 ${\Delta }_{\left(\phi ,\psi \right)}$ 是Artin代数，则

1) 函子 $T_A$， $T_B$， $H_A$ 和 $H_B$ 都是满忠实的；

2) 对子 $\left(T_A,U_A\right)$， $\left(T_B,U_B\right)$， $\left(U_A,H_A\right)$， $\left(U_B,H_B\right)$ 均为函子的伴随对；

3) 函子 $U_A$ 和 $U_B$ 均为正合函子。

下面命题刻画了不可分解投射 ${\Delta }_{\left(\phi ,\psi \right)}$ -模和不可分解内射 ${\Delta }_{\left(\phi ,\psi \right)}$ -模。

命题2.2 [5] 设Morita环 ${\Delta }_{\left(\phi ,\psi \right)}=\left(\begin{array}{cc}A& {}_{A}N{}_B\\ {}_{B}M{}_A& B\end{array}\right)$，并且 ${\Delta }_{\left(\phi ,\psi \right)}$ 是Artin代数，则

1) 不可分解投射 ${\Delta }_{\left(\phi ,\psi \right)}$ -模恰是

$T_A\left(P\right)=\left(P,M\underset{A}{\otimes }P,I{d}_{M\underset{B}{\otimes }P},{\psi }_P\right)$，

或

$T_B\left(Q\right)=\left(N\underset{B}{\otimes }Q,Q,{\phi }_Q,I{d}_{N\underset{B}{\otimes }Q}\right)$，

对 $\forall P\in A-Proj$，且P不可分解， $\forall Q\in B-Proj$，且Q不可分解。

2) 不可分解内射 ${\Delta }_{\left(\phi ,\psi \right)}$ -模恰是

$H_A\left(I\right)=\left(I,Ho{m}_A\left(N,I\right),Ho{m}_A\left(N,{\psi }_I\right)\circ {{\delta }^{\prime }}_{M\underset{A}{\otimes }I},{{\epsilon }^{\prime }}_I\right)$，

或

$H_B\left(J\right)=\left(Ho{m}_B\left(M,J\right),J,{\epsilon }_J,Ho{m}_B\left(M,{\phi }_J\right)\circ {\delta }_{N\underset{B}{\otimes }J}\right)$，

对 $\forall I\in A-Inj$ 且I不可分解， $\forall J\in B-Inj$ 且J不可分解。

定理2.3 [7] 设Morita环 ${\Delta }_{\left(\phi ,\psi \right)}=\left(\begin{array}{cc}A& {}_{A}N{}_B\\ {}_{B}M{}_A& B\end{array}\right)$ 是一个Gorenstein代数。

1) 若 $M_A$， ${}_{A}N$ 的投射维数有限，则A是Gorenstein代数；

2) 若 $N_B$， ${}_{B}M$ 的投射维数有限，则B是Gorenstein代数。

3. 主要结果

引理3.1 设A是一个Artin代数， ${}_{A}N{}_B$ 是一个 $\left(A,B\right)$ -双模，并且 $pd{}_{A}N<\infty$， $I^{•}:=\cdots \to I^{n-1}\to I^n\to I^{n+1}\to \cdots$ 是内射左A-模的正合复形，则 $Ho{m}_A\left(N,I^{•}\right)$ 正合。

证明 设 ${}_{A}N$ 的一个投射分解为 $0\to P_n\to \cdots \to P_0\to {}_{A}N\to 0$。因为每个 $I^i$ 是左A-内射的，所以有正合复形 $0\to Ho{m}_A\left(P_n,I^{•}\right)\to \cdots \to Ho{m}_A\left(P_0,I^{•}\right)\to Ho{m}_A\left({}_{A}N,I^{•}\right)\to 0$。又由于 $\forall P_i\in A-proj$，所以对 $\forall i\in Z$，有 $Ho{m}_A\left(P_i,I^{•}\right)$ 正合，因此 $Ho{m}_A\left({}_{A}N,I^{•}\right)$ 正合。

定理3.2 设 ${\Delta }_{\left(\phi ,\psi \right)}=\left(\begin{array}{cc}A& {}_{A}N{}_B\\ {}_{B}M{}_A& B\end{array}\right)$ 是Gorenstein代数。

1) 设 $pd{}_{A}N<\infty$。若 ${}_{A}I\in Ginj$，则 $H_A\left(I\right)=\left(I,Ho{m}_A\left(N,I\right),Ho{m}_A\left(N,{\psi }_I\right)\circ {{\delta }^{\prime }}_{M\underset{A}{\otimes }I},{{\epsilon }^{\prime }}_I\right)\in {\Delta }_{\left(\phi ,\psi \right)}-Ginj$ ；

2) 设 $pd{M}_B<\infty$。若 ${}_{B}J\in Ginj$，则 $H_B\left(J\right)=\left(Ho{m}_B\left(M,J\right),J,{\epsilon }_J,Ho{m}_B\left(M,{\phi }_J\right)\circ {\delta }_{N\underset{B}{\otimes }J}\right)\in {\Delta }_{\left(\phi ,\psi \right)}-Ginj$。

证明 1) 因为 ${}_{A}I\in Ginj$，所以存在 ${}_{A}I$ 的完全内射分解 $I^{•}:=\cdots \to I^{-1}\to I^0\to I^1\to \cdots$，使得 ${}_{A}I\cong Ker\left(I^0\to I^1\right)$。又因为 $pd{}_{A}N<\infty$，所以由引理3.1知 $Ho{m}_A\left(N,I^{•}\right)$ 正合。因此有内射 ${\Delta }_{\left(\phi ,\psi \right)}$ -模的正合列 $H_A\left(I^{•}\right):=\cdots \to H_A\left(I^{-1}\right)\to H_A\left(I^0\right)\to H_A\left(I^1\right)\to \cdots$，使得

$H_A\left(I\right)=\left(I,Ho{m}_A\left(N,I\right),Ho{m}_A\left(N,{\psi }_I\right)\circ {{\delta }^{\prime }}_{M\underset{A}{\otimes }I},{{\epsilon }^{\prime }}_I\right)\cong Ker\left(H_A\left(I^0\right)\to H_A\left(I^1\right)\right)$.

又因为 ${\Delta }_{\left(\phi ,\psi \right)}$ 是Gorenstein代数，所以对任意的内射 ${\Delta }_{\left(\phi ,\psi \right)}$ -模 $\left(X^{\prime },Y^{\prime },f^{\prime },g^{\prime }\right)$，它的投射维数有限。因此可由引理3.1知 $Ho{m}_{{\Delta }_{\left(\phi ,\psi \right)}}\left(\left(X^{\prime },Y^{\prime },f^{\prime },g^{\prime }\right),H_A\left(I^{•}\right)\right)$ 正合，即 $H_A\left(I^{•}\right)$ 是一个完全内射分解，故 $H_A\left(I^{•}\right)=\left(I,Ho{m}_A\left(N,I\right),Ho{m}_A\left(N,{\psi }_I\right)\circ {{\delta }^{\prime }}_{M\underset{A}{\otimes }I},{{\epsilon }^{\prime }}_I\right)\in {\Delta }_{\left(\phi ,\psi \right)}-Ginj$。

2) 与1)的证明类似。

注记3.2 [7] Artin代数A是一个Gorenstein代数 $\iff$ 对 $\forall M\in A-proj$，有 $id\left({}_{A}M\right)<\infty$，并且对 $\forall N\in A-inj$，有 $Pd\left({}_{A}N\right)<\infty$。

定义3.3 [8] 称一个内射左R-模的正合复形 $I^{•}:=\cdots \to I^{-1}\to I^0\to I^1\to \cdots$ 是完全正合的，如果对 $\forall I\in R-Inj$， $\cdots \to Ho{m}_R\left(I,I^{-1}\right)\to Ho{m}_R\left(I,I^0\right)\to Ho{m}_R\left(I,I^1\right)\to \cdots$ 正合。

命题3.4 设Morita环 ${\Delta }_{\left(\phi ,\psi \right)}=\left(\begin{array}{cc}A& {}_{A}N{}_{{}_B}\\ {}_{B}M{}_A& B\end{array}\right)$，并且 ${\Delta }_{\left(\phi ,\psi \right)}$ 是Artin代数。

1) 设函子 $Ho{m}_A\left(N,-\right)$ 将内射左A-模的正合复形作用成左B-模的正合复形，并且 $M_A$ 是投射的，则复形 $I^{•}$ 完全正合当且仅当复形 $H_A\left(I^{•}\right)$ 完全正合。

2) 设函子 $Ho{m}_B\left(M,-\right)$ 将内射左B-模的正合复形作用成左A-模的正合复形，并且 $N_B$ 是投射的，则复形 $I^{•}$ 完全正合当且仅当复形 $H_B\left(I^{•}\right)$ 完全正合。

证明 1) $\Rightarrow$ )设完全正合复形 $I^{•}:=\cdots \to I^{-1}\to I^0\to I^1\to \cdots$， $\forall I^i\in A-Inj$， $\forall i\in Z$，则有 $Ho{m}_A\left(N,I^{•}\right)$ 正合。因此 $H_A\left(I^{•}\right):=\cdots \to H_A\left(I^{-1}\right)\to H_A\left(I^0\right)\to H_A\left(I^1\right)\to \cdots$ 正合。又因为 $\left(U_A,H_A\right)$ 是伴随对，并且 $U_A$ 正合，所以 $H_A$ 保持内射对象，从而每个 $H_A\left(I^i\right)\in {\Delta }_{\left(\phi ,\psi \right)}-inj$。下证对任意 $\left(X,Y,f,g\right)\in {\Delta }_{\left(\phi ,\psi \right)}-inj$， $Ho{m}_{{\Delta }_{\left(\phi ,\psi \right)}}\left(\left(X,Y,f,g\right),H_A\left(I^{•}\right)\right)$ 正合。事实上，根据命题2.2(2)，只需证明复形 $Ho{m}_{{\Delta }_{\left(\phi ,\psi \right)}}\left(H{}_A\left(I\right),H_A\left(I^{•}\right)\right)$ 和复形 $Ho{m}_{{\Delta }_{\left(\phi ,\psi \right)}}\left(H_B\left(J\right),H_A\left(I^{•}\right)\right)$ 正合，其中 $I\in A-inj$， $J\in B-inj$。又因为 $I^{•}$ 完全正合，所以对任意 $I\in A-inj$，复形 $Ho{m}_A\left(I,I^{•}\right)$ 正合，而由命题2.1知函子 $H_A$ 是满忠实的，所以复形 $Ho{m}_{{\Delta }_{\left(\phi ,\psi \right)}}\left(H_A\left(I\right),H_A\left(I^{•}\right)\right)$ 正合。设 $J\in B-inj$，由 $\left(U_A,H_A\right)$ 是伴随对可得 $Ho{m}_A\left(U_A\left(H_B\left(J\right)\right),I^i\right)\cong Ho{m}_{{\Delta }_{\left(\phi ,\psi \right)}}\left(H_B\left(J\right),H_A\left(I^i\right)\right)$，而 $Ho{m}_A\left(U_A\left(H_B\left(J\right),I^i\right)\right)=Ho{m}_A\left(Ho{m}_B\left(M,J\right),I^i\right)$，因此有交换图

因为 $Ho{m}_B\left(M,J\right)$ 是内射左A-模，所以复形 $Ho{m}_A\left(Hom\left(B,J\right),I^{•}\right)$ 正合，因此复形 $Ho{m}_{{\Delta }_{\left(\phi ,\psi \right)}}\left(H_B\left(J\right),H_A\left(I^{•}\right)\right)$ 正合，从而 $H_A\left(I^{•}\right)$ 完全正合。

$\Leftarrow$ ) 设 $I^{•}$ 是左A-模的复形，使得 $H_A\left(I^{•}\right)$ 完全正合。用函子 $U_A$ 作用 $H_A\left(I^{•}\right)$ 可得正合复形

$I^{•}:\cdots \to I^{-1}\to I^0\to I^1\to \cdots$

由 $\left(U_A,H_A\right)$ 是伴随对可得 $H_A$ 左正合，并且 $H_A$ 满忠实，因此每个 $I^i\in A-inj$。因为 $H_A\left(I^{•}\right)$ 完全正合， $H_A$ 满忠实，所以对任意内射左A-模I， $Ho{m}_A\left(I,I^{•}\right)$ 正合。

2)与1)的证明对偶。

由命题3.4可得以下推论。

推论3.5 设Morita环 ${\Delta }_{\left(\phi ,\psi \right)}=\left(\begin{array}{cc}A& {}_{A}N{}_B\\ {}_{B}M{}_A& B\end{array}\right)$，并且 ${\Delta }_{\left(\phi ,\psi \right)}$ 是Artin代数。

1) 设函子 $Ho{m}_A\left(N,-\right)$ 将内射左A-模的正合复形作用成左B-模的正合复形，并且 $M_A$ 是投射的。若 $I\in A-Ginj$，则 $H_A\left(I\right)\in {\Delta }_{\left(\phi ,\psi \right)}-Ginj$ ；

2) 设函子 $Ho{m}_B\left(M,-\right)$ 将内射左B-模的正合复形作用成左A-模的正合复形，并且 $N_B$ 是投射的。若 ${}_{B}J\in B-Ginj$，则 $H_B\left(J\right)\in {\Delta }_{\left(\phi ,\psi \right)}-Ginj$。

命题3.6 设Morita环 ${\Delta }_{\left(\phi ,\psi \right)}=\left(\begin{array}{cc}A& {}_{A}N{}_B\\ {}_{B}M{}_A& B\end{array}\right)$，并且 ${\Delta }_{\left(\phi ,\psi \right)}$ 是Artin代数。

1) 设 $pd{}_{A}N<\infty$， $M_A$ 是投射的。若 ${}_{A}I\in A-Ginj$，则

$H_A\left(I\right)=\left(I,Ho{m}_A\left(N,I\right),Ho{m}_A\left(N,{\psi }_I\right)\circ {{\delta }^{\prime }}_{M\underset{A}{\otimes }I},{{\epsilon }^{\prime }}_I\right)\in {\Delta }_{\left(\phi ,\psi \right)}-Ginj$ ；

2) 设 $pd{}_{B}M<\infty$， $N_B$ 是投射的。若 ${}_{B}J\in B-Ginj$，则

$H_B\left(J\right)=\left(Hom{}_B\left(M,J\right),J,{\epsilon }_J,Ho{m}_B\left(M,{\phi }_J\right)\circ {\delta }_{N\underset{B}{\otimes }J}\right)\in {\Delta }_{\left(\varphi ,\psi \right)}-Ginj$.

证明 1) 设 $I^{•}:=\cdots \to I^{-1}\to I^0\to I^1\to \cdots$ 正合，其中 $\forall I^i\in A-Inj$， $\forall i\in Z$。由题设知 $pd{}_{A}N<\infty$，所以由引理3.1可得 $Ho{m}_A\left(N,I^{•}\right)$ 正合。又因为 $M_A$ 是投射的， ${}_{A}I\in A-Ginj$，所以可由推论3.5得

$H_A\left(I\right)=\left(I,Ho{m}_A\left(N,I\right),Ho{m}_A\left(N,{\psi }_I\right)\circ {{\delta }^{\prime }}_{M\underset{A}{\otimes }I},{{\epsilon }^{\prime }}_I\right)\in {\Delta }_{\left(\phi ,\psi \right)}-Ginj$.

2) 与1)的证明类似。

定理3.7 设Morita环 ${\Delta }_{\left(\phi ,\psi \right)}=\left(\begin{array}{cc}A& {}_{A}N{}_B\\ {}_{B}M{}_A& B\end{array}\right)$，并且 ${\Delta }_{\left(\phi ,\psi \right)}$ 是Artin代数， $\left(X,Y,f,g\right)$ 是Gorenstein内射 ${\Delta }_{\left(\phi ,\psi \right)}$ -模。

1) 若 $M_A$ 是自由的，A是Gorenstein代数，则 ${}_{A}X\in A-Ginj$ ；

2) 若 $N_B$ 是自由的，B是Gorenstein代数，则 ${}_{B}Y\in B-Ginj$。

证明 1) 设 $\left(X,Y,f,g\right)\in {\Delta }_{\left(\phi ,\psi \right)}-Ginj$，由命题2.2知存在完全内射分解

用函子 $U_A$ 作用后得

因为 $M_A$ 是自由的，并且 $I^i\in B-inj$，所以 $Ho{m}_B\left(M,J^i\right)\in A-inj$，因此 $I^i\oplus Ho{m}_B\left(M,J^i\right)\in A-inj$。由于A是Gorenstein代数，故任意内射左A-模I有有限投射维数，由引理3.1知 $Ho{m}_A\left(I,I^{•}\right)$ 正合，从而 $I^{•}$ 是完全内射分解，因此 ${}_{A}X\in A-Ginj$。

2)与1)的证明类似。

推论3.8 设Morita环 ${\Delta }_{\left(\phi ,\psi \right)}=\left(\begin{array}{cc}A& {}_{A}N{}_B\\ {}_{B}M{}_A& B\end{array}\right)$，并且 ${\Delta }_{\left(\phi ,\psi \right)}$ 是Artin代数。

1) 设 $M_A$ 是投射的， $pd{}_{A}N<\infty$，并且A是Gorenstein代数。设 ${}_{A}X$ 是一个左A-模，则

$H_A\left(X\right)=\left(X,Ho{m}_A\left(N,X\right),Ho{m}_A\left(N,{\psi }_X\right)\circ {{\delta }^{\prime }}_{M\underset{A}{\otimes }X},{{\epsilon }^{\prime }}_X\right)\in {\Delta }_{\left(\varphi ,\psi \right)}-Ginj$ 当且仅当 ${}_{A}X\in A-Ginj$ ；

2) 设 $N_B$ 是投射的， $pd{M}_B$ < ∞，并且 $B$ 是Gorenstein代数。设 ${}_{B}Y$ 是一个左B-模，则

$H_B\left(Y\right)=\left(Ho{m}_B\left(M,Y\right),Y,{\epsilon }_Y,Ho{m}_B\left(M,{\phi }_Y\right)\circ {\delta }_{N\underset{B}{\otimes }Y}\right)\in {\Delta }_{\left(\phi ,\psi \right)}-Ginj$ 当且仅当 ${}_{B}Y\in B-Ginj$。

证明 由定理3.7和定理3.6可得。

推论3.9 设 ${\Delta }_{\left(\phi ,\psi \right)}=\left(\begin{array}{cc}A& {}_{A}N{}_B\\ {}_{B}M{}_A& B\end{array}\right)$ 是一个Gorenstein代数。

1) 设 $M_A$ 是投射的， $pd{}_{A}N<\infty$。设 ${}_{A}X$ 是一个左A-模，则

$H_A\left(X\right)=\left(X,Ho{m}_A\left(N,X\right),Ho{m}_A\left(N,{\psi }_X\right)\circ {{\delta }^{\prime }}_{M\underset{A}{\otimes }X},{{\epsilon }^{\prime }}_X\right)\in {\Delta }_{\left(\phi ,\psi \right)}-Ginj$ 当且仅当 ${}_{A}X\in A-Ginj$ ；

2) 设 $N_B$ 是投射的， $pd{N}_B<\infty$。设 ${}_{B}Y$ 是一个左B-模，则

$H_B\left(Y\right)=\left(Ho{m}_B\left(M,Y\right),Y,{\epsilon }_Y,Ho{m}_B\left(M,{\phi }_Y\right)\circ {\delta }_{N\underset{B}{\otimes }Y}\right)\in {\Delta }_{\left(\phi ,\psi \right)}-Ginj$ 当且仅当 ${}_{B}Y\in B-Ginj$。

证明 由定理2.4，定理3.7和定理3.2可得。

本文主要研究了Morita环 ${\Delta }_{\left(\phi ,\psi \right)}$ 上的Gorenstein内射模与代数A和代数B的关系，给出了函子 $H_A$ 和函子 $H_B$ 保持Gorenstein内射模的等价条件。