测度泛函微分方程的Lyapunov稳定性

Lyapunov Stability of Measure Functional Differential Equations

摘要: 利用广义常微分方程与测度泛函微分方程的等价关系，定义了测度泛函微分方程的稳定，渐进稳定及指数稳定的概念，并借助此概念及Lyapunov泛函证明了测度泛函微分方程稳定性的相关定理。

Abstract: By using the equivalent relation between generalized ordinary differential equations and measure functional differential equations, we define notions of the stability, asymptotic and exponential stability of measure function differential equations. Furthermore, according to the notions and Lyapunov function, the theorems of Measure functional differential equations are established.

1. 引言

泛函微分方程，测度泛函微分方程，脉冲泛函微分方程及时间尺度上泛函动力方程，近年来受到了许多学者的关注。1966年，F. Oliva等学者在文献 [1] 中首次提出将泛函微分方程转化为广义常微分方程的思想。2012年，M. Federson等学者在文献 [2] 中建立了测度泛函微分方程

$\{\begin{array}{l}y\left(t\right)=y\left(t_0\right)+{\displaystyle {\int }_{t_0}^{t}f\left(y_s,s\right)\text{d}g\left(s\right),t\in \left[t_0,+\infty \right)}\\ y_{t_0}=\varphi ,\end{array}$ (1.1)

与广义常微分方程

$\frac{\text{d}x}{\text{d}\tau }=DF\left(x,t\right)$ (1.2)

的等价关系，并对解的存在唯一性，解对参数的连续依赖性，以及时间尺度上的泛函动力方程的周期平均化作出了系统研究。其中， $r,t_0\in ℝ$， $r>0$， $y_t:\left[-r,0\right]\to {ℝ}^n$， $y_t\left(\theta \right)=y\left(t+\theta \right)$， $\theta \in \left[-r,0\right]$。

$g:\left[t_0,+\infty \right)\to ℝ$ 是不减函数， $f:S\times \left[t_0,+\infty \right)\to {ℝ}^n$，

$S=\left\{y_t,y\in O,t\in \left[t_0,+\infty \right)\right\}\subset BG\left(\left[-r,0\right],{ℝ}^n\right)$ (1.3)

$O\subset BG\left(\left[t_0-r,+\infty \right),{ℝ}^n\right)$ 是一个具有延拓性(见定义2.7)的开集，且f满足下列条件：

(A₁) 对每一个 $y\in O$， $s_1,s_2\in \left[t_0,+\infty \right)$，Kurzweil-Henstock-Stieltjes积分 ${\displaystyle {\int }_{s_1}^{s_2}f}\left(y_s,s\right)\text{d}g\left(s\right)$ 存在。

(A₂) 存在一个关于g的局部Kurzweil-Henstock-Stieltjes可积函数 $M:\left[t_0,+\infty \right)\to {ℝ}^{+}$，使得对每一个 $y\in O$， $s_1,s_2\in \left[t_0,+\infty \right)$，有

$\left|{\displaystyle {\int }_{s_1}^{s_2}f}\left(y_s,s\right)\text{d}g\left(s\right)\right|\le {\displaystyle {\int }_{s_1}^{s_2}M}\left(s\right)\text{d}g\left(s\right).$

(A₃) 存在一个关于g的局部Kurzweil-Henstock-Stieltjes可积函数 $L:\left[t_0,+\infty \right)\to {ℝ}^{+}$，使得对每一个 $y,z\in O$， $s_1,s_2\in \left[t_0,+\infty \right)$，有

$\left|{\displaystyle {\int }_{s_1}^{s_2}\left[f\left(y_s,s\right)-f\left(z_s,s\right)\right]\text{d}g\left(s\right)}\right|\le {\displaystyle {\int }_{s_1}^{s_2}L}\left(s\right){\Vert y_s-z_s\Vert }_{\infty }\text{d}g\left(s\right).$

测度泛函微分方程(1.1)的微分等价形式为

$\{\begin{array}{l}Dy=f\left(y_t,t\right)Dg,\\ y_{t_0}=\varphi ,\end{array}$

其中 $Dy,Dg$ 分别表示 $y,g$ 的分布导数 [3]。

稳定性作为广义常微分方程的基本性质，长期以来受到了许多学者的广泛研究。在文献 [4] 中，S. M. Afons等学者讨论了广义常微分方程和脉冲滞后型微分方程的Lipschitz稳定性。在文献 [5] 中，M. Federson等学者讨论了广义常微分方程的正则稳定性与测度泛函微分方程的积分稳定性之间的等价关系，并在文献 [6] 中研究了广义常微分方程的正则稳定性和测度泛函微分方程的积分稳定性的逆定理。在文献 [7] 中，M. Federson等学者建立了广义常微分方程饱和解的存在唯一性定理。在文献 [8] 中，通过利用广义常微分方程饱和解的存在唯一性定理以及Lyapunov泛函，M. Federson等学者进一步研究了广义常微分方程的一致稳定性和一致渐进稳定性。在文献 [9] 中，Claudio A. Gallegos等学者继续研究了广义常微分方程的稳定性，渐进稳定性及指数稳定性的相关结果。

以上工作介绍了广义常微分方程稳定性的相关结果，由于广义常微分方程(1.2)在一定条件下与测度泛函微分方程(1.1)等价，我们考虑将此结果进一步推广到测度泛函微分方程。首先，根据测度泛函微分方程饱和解的存在唯一性定理，定义了测度泛函微分方程(1.1)的稳定性，渐进稳定性及指数稳定性的概念。其次，借助测度泛函微分方程的Lyapunov泛函，获得了测度泛函微分方程(1.1)的稳定性，渐进稳定性及指数稳定性定理。

本文包括三个部分：第二部分介绍了本文所用到的一些基本概念及定理，第三部分定义了测度泛函微分方程(1.1)的稳定，渐进稳定及指数稳定性的概念，进一步建立并证明了测度泛函微分方程的稳定，渐进稳定及指数稳定性定理。

2. 预备知识

2.1. 广义常微分方程的相关概念

设X是一个定义了范数 $\Vert \cdot \Vert$ 的Banach空间， $B_c=\left\{x\in X,\Vert x\Vert <c\right\}$， ${\Omega }_1=B_c\times \left[t_0,+\infty \right),t_0\ge 0$。

定义2.1 [2] 称函数 $U:\left[a,b\right]\times \left[a,b\right]\to X$ 在区间 $\left[a,b\right]$ 上是Kurzweil可积的，如果存在向量 $I\in {ℝ}^n$，使得对任意的 $\epsilon >0$，存在正值函数 $\delta \left(t\right):\left[a,b\right]\to \left(0,+\infty \right)$，使得对 $\left[a,b\right]$ 上的任何 $\delta$ 精细分划D： $a={\alpha }_0<{\alpha }_1<\cdots <{\alpha }_k=b$ 及 $\left\{{\tau }_1,{\tau }_2,\cdots ,{\tau }_k\right\}$，有

$\Vert {\displaystyle \underset{i=1}{\overset{k}{\sum }}\left[U\left({\tau }_i,{\alpha }_i\right)-U\left({\tau }_i,{\alpha }_{i-1}\right)\right]-I}\Vert <\epsilon ,$

其中 ${\tau }_i\in \left[{\alpha }_{i-1},{\alpha }_i\right]\subset \left[{\tau }_i-\delta \left({\tau }_i\right),{\tau }_i+\delta \left({\tau }_i\right)\right]$， $i=1,2,\cdots ,k$，向量 $I\in {ℝ}^n$ 称为U在区间 $\left[a,b\right]$ 上的Kurzweil积分，记作 $I={\displaystyle {\int }_a^{b}D}U\left(\tau ,t\right)$。

特别地，当 $U\left(\tau ,t\right)=f\left(\tau \right)g\left(t\right)$ 时， ${\displaystyle {\int }_a^{b}D}U\left(\tau ,t\right)={\displaystyle {\int }_a^{b}f}\left(s\right)\text{d}g\left(s\right)$。

引理2.1 [2] 若 $f:\left[a,b\right]\to {ℝ}^n$ 是正则函数， $g:\left[a,b\right]\to {ℝ}^n$ 是不减函数，则积分 ${\displaystyle {\int }_a^{b}f}\left(s\right)\text{d}g\left(s\right)$ 存在。

定义2.2 [2] 称函数 $x:\left[a,b\right]\to X,\left[a,b\right]\in \left[t_0,+\infty \right)$ 为广义常微分方程

$\frac{\text{d}x}{\text{d}\tau }=DF\left(x,t\right)$

的解，是指对所有的 $t\in \left[a,b\right]$， $\left(x\left(t\right),t\right)\in {\Omega }_1$，有

$x\left(s_2\right)-x\left(s_1\right)={\displaystyle {\int }_{s_1}^{s_2}D}F\left(x\left(\tau \right),t\right),$

其中， $s_1,s_2\in \left[a,b\right]$。

定义2.3 [2] 若存在一个不减函数 $h:[t_0,+\infty )\to ℝ$，使得 $F:{\Omega }_1\to X$，满足

(B₁) 对所有 $\left(x,s_i\right)\in {\Omega }_1,i=1,2$，有

$\Vert F\left(x,s_2\right)-F\left(x,s_1\right)\Vert \le \left|h\left(s_2\right)-h\left(s_1\right)\right|.$

(B₂) 对所有 $\left(x,s_i\right),\left(y,s_i\right)\in {\Omega }_1,i=1,2$，有

$\Vert F\left(x,s_2\right)-F\left(x,s_1\right)-F\left(y,s_2\right)+F\left(y,s_1\right)\Vert \le \left|h\left(s_2\right)-h\left(s_1\right)\right|\Vert x-y\Vert .$

则称 $F:{\Omega }_1\to X$ 属于 $\mathcal{F}\left({\Omega }_1,h\right)$，简记为 $F\in \mathcal{F}\left({\Omega }_1,h\right)$。

引理2.2 [7] 假设 $F\in \mathcal{F}\left({\Omega }_1,h\right)$，其中， $h:\left[t_0,+\infty \right)\to ℝ$ 是一个左连续的不减函数， ${\Omega }_1={\Omega }_F:=\left\{\left(x,t\right)\in {\Omega }_1,x+F\left(x,t^{+}\right)-F\left(x,t\right)\in B_c\right\}$，则对每个 $\left(x_0,s_0\right)\in {\Omega }_1$，广义常微分方程(1.2)存在唯一满足初值条件 $x\left(s_0\right)=x_0$ 的饱和解 $x:\left[s_0,\omega \left(x_0,s_0\right)\right)\to X$，其中 $\omega \left(x_0,s_0\right)\le +\infty$。

注2.1 [7] 若对每个 $t\in \left[s_0,\omega \left(x_0,s_0\right)\right)$，都有 $x\left(t\right)\in K$，其中K是 $B_c$ 中的紧子集，则 $\omega \left(x_0,s_0\right)=+\infty$。

定义2.4 [9] 广义常微分方程(1.2)的平凡解 $x\equiv 0$ 是

(i) 稳定的。对每个 $s_0\ge t_0$ 及任意的 $\epsilon >0$，存在 $\delta =\delta \left(s_0,\epsilon \right)>0$，使得如果 $x_0\in B_c$，且 $\Vert x_0\Vert <\delta$，则对 $\forall t\in \left[s_0,\omega \left(x_0,s_0\right)\right)$，有 $\Vert x\left(t,s_0,x_0\right)\Vert =\Vert x\left(t\right)\Vert <\epsilon$。

(ii) 渐进稳定的。广义常微分方程(1.2)的平凡解是稳定的，且对每个 $s_0\in \left[t_0,+\infty \right)$，存在 $\eta =\eta \left(s_0\right)>0$。使得如果 $\Vert x_0\Vert <\eta$，则当 $t\to +\infty$ 时，有 $\Vert x\left(t,s_0,x_0\right)\Vert =\Vert x\left(t\right)\Vert \to 0$。

(iii) 指数稳定的。若存在常数 $\rho ,a,b>0$，使得当 $s_0\ge t_0,x_0\in B_c$ 且 $\Vert x_0\Vert <\rho$ 时，对任意的 $t\in \left[s_0,\omega \left(x_0,s_0\right)\right)$，有 $\Vert x\left(t,s_0,x_0\right)\Vert =\Vert x\left(t\right)\Vert <a\Vert x_0\Vert {\text{e}}^{-b\left(t-s_0\right)}$。

定义2.5 [9] 称泛函 $V:\left[t_0,+\infty \right)\times B_c\to ℝ$ 是关于广义常微分方程(1.2)的Lyapunov泛函，是指

(i) 对任意的 $x\in B_c$，泛函 $V\left(\cdot ,x\right):\left[t_0,+\infty \right)\to ℝ$ 在 $\left[t_0,+\infty \right)$ 上左连续。

(ii) 对每个 $\left(x_0,s_0\right)\in {\Omega }_1$， $\left[s_0,\omega \right)\ni t\to V\left(t,x\left(t\right)\right)$ 是不增函数，其中 $x\left(t\right)=x\left(t,s_0,x_0\right)$ 是广义常微分方程(1.2)的饱和解。

定义2.6 [9] 如果 $W:\left[t_0,+\infty \right)\to \left[t_0,+\infty \right)$ 是一个单调递增函数，且 $W\left(0\right)=0$，则称 $W:\left[t_0,+\infty \right)\to \left[t_0,+\infty \right)$ 是一个Hahn class函数。

引理2.3 [9] 假设 $F\in \mathcal{F}\left({\Omega }_1,h\right)$， $V:\left[t_0,+\infty \right)\times B_c\to ℝ$ 是关于广义常微分方程(1.2) Lyapunov泛函， $W_1$ 是一个Hahn class函数，如果满足

(C₁) 对 $\forall t\in \left[t_0,+\infty \right)$， $V\left(t,0\right)=0$。

(C₂) 对广义常微分方程(1.2)的每个解 $x:I\to B_c,I\in \left[t_0,+\infty \right),t\in I$，有

$W_1\left(\Vert x\left(t\right)\Vert \right)\le V\left(t,x\left(t\right)\right),$

则广义常微分方程(1.2)的平凡解 $x\equiv 0$ 是稳定的。

引理2.4 [9] 假设 $F\in \mathcal{F}\left({\Omega }_1,h\right)$，且对每个 $\left(x_0,s_0\right)\in {\Omega }_1$，都有 $\omega \left(x_0,s_0\right)=+\infty$。 $V:\left[t_0,+\infty \right)\times B_c\to ℝ$ 是关于广义常微分方程(1.2)的Lyapunov泛函。 $W_1$ 是一个Hahn class函数，使得引理2.3的(C₁)和(C₂)成立。进一步，假设存在另一个Hahn class函数 $W_2$ 满足

(C₃) 对广义常微分方程(1.2)每个饱和解 $x\left(t\right)=x\left(t,s_0,x_0\right)$， $\left(x_0,s_0\right)\in {\Omega }_1$， $t,s\in \left[s_0,+\infty \right)$，当 $t\ge s$ 时，有

$V\left(t,x\left(t\right)\right)-V\left(s,x\left(s\right)\right)\le -{\displaystyle {\int }_s^t{W}_2}\left(V\left(\xi ,x\left(\xi \right)\right)\right)\text{d}l\left(\xi \right),$

其中， $l:\left[s_0,+\infty \right)\to ℝ$ 是增函数，使得 $\underset{t\to +\infty }{\lim }l\left(t\right)=+\infty$。

则广义常微分方程(1.2)的平凡解 $x\equiv 0$ 是渐进稳定的。

引理2.5 [9] 假设 $F\in \mathcal{F}\left({\Omega }_1,h\right)$， $V:\left[t_0,+\infty \right)\times B_c\to ℝ$ 是关于广义常微分方程(1.2) Lyapunov泛函。若存在正常数 $\sigma ,\alpha ,\beta ,p$，满足

(D₁) 对任意的 $t\ge t_0,x\in B_c$，有 $\sigma {\Vert x\Vert }^p\le V\left(t,x\right)\le \beta {\Vert x\Vert }^p$。

(D₂) 对广义常微分方程(1.2)每个饱和解 $x\left(t\right)=x\left(t,s_0,x_0\right)$， $\left(x_0,s_0\right)\in {\Omega }_1$， $t,s\in \left[s_0,+\infty \right)$，当 $t\ge s$ 时，有

$V\left(t,x\left(t\right)\right)-V\left(s,x\left(s\right)\right)\le -\alpha {\displaystyle {\int }_s^{t}V}\left(\xi ,x\left(\xi \right)\right)\text{d}\xi ,$

则广义常微分方程(1.2)的平凡解 $x\equiv 0$ 是指数稳定的。

2.2. 测度泛函微分方程的相关概念

设 $\left[a,b\right]\subset ℝ$ 是一个紧区间，如果函数f的左右极限 $\underset{s\to t^{-}}{\lim }f\left(s\right)=f\left(t^{-}\right),t\in \left(a,b\right]$， $\underset{s\to t^{+}}{\lim }f\left(s\right)=f\left(t^{+}\right),t\in \left[a,b\right)$ 分别存在，则称函数 $f:\left[a,b\right]\to {ℝ}^n$ 为 $\left[a,b\right]$ 上的正则函数。记 $G\left(\left[a,b\right],{ℝ}^n\right)$ 为所有正则函数 $f:\left[a,b\right]\to {ℝ}^n$ 构成的空间，定义范数 ${\Vert f\Vert }_{\infty }=\underset{a\le t\le b}{\sup }\Vert f\left(t\right)\Vert$。记 $BG\left(\left[t_0,+\infty \right),{ℝ}^n\right)$ 为 $G\left(\left[t_0,+\infty \right),{ℝ}^n\right)$ 中有界函数构成的空间，定义范数 ${\Vert f\Vert }_{\infty }=\underset{t_0\le t<+\infty }{\sup }\Vert f\left(t\right)\Vert$，则 $BG\left(\left[a,b\right],{ℝ}^n\right)$ 是一个Banach空间。

定义2.7 [6] 设 $O\subset BG\left(\left[t_0-r,+\infty \right),{ℝ}^n\right)$ 是一个开集，O具有延拓性是指对每一个 $y\in O$， $\bar{t}\in \left[t_0-r,\text{+}\infty \right)$，都有 $\bar{y}\in O$，其中函数 $\bar{y}$ 定义为

$\bar{y}\left(t\right)=\{\begin{array}{ll}y\left(t\right),\hfill & t_0-r\le t\le \bar{t},\hfill \\ y\left(\bar{t}\right),\hfill & \bar{t}<t<+\infty .\hfill \end{array}$

引理2.6 [2] 假设 $O\subset BG\left(\left[t_0-r,+\infty \right),{ℝ}^n\right)$ 是具有延拓性质的开集，如果 $g:\left[t_0,+\infty \right)\to ℝ$ 是不减函数， $f:S\times \left[t_0,+\infty \right)\to {ℝ}^n$ 满足条件(A₁)~(A₃)。定义如下函数

$F\left(x,t\right)\left(\vartheta \right)=\{\begin{array}{l}0,t_0-r\le \vartheta \le t_0,\\ {\displaystyle {\int }_{t_0}^{\vartheta }f\left(x_s,s\right)\text{d}g}\left(s\right),t_0\le \vartheta <+\infty ,\\ {\displaystyle {\int }_t^{t_0}f\left(x_s,s\right)\text{d}g}\left(s\right),t\le \vartheta <+\infty .\end{array}$ (2.1)

则函数 $F:\Omega \to BG\left(\left[t_0-r,+\infty \right),{ℝ}^n\right)$ 属于 $\mathcal{F}\left(\Omega ,h\right)$，其中

$h\left(t\right)={\displaystyle {\int }_t^{t_0}\left[M\left(s\right)+L\left(s\right)\right]\text{d}g}\left(s\right),t\in \left[t_0,+\infty \right).$ (2.2)

引理2.7 [4] 假设 $f:S\times \left[t_0,+\infty \right)\to {ℝ}^n$ 满足条件(A₁)~(A₃)， $g:\left[t_0,+\infty \right)\to ℝ$ 是左连续的不减函数，如果对所有的 $\left(\varphi ,s_0\right)\in S\times \left[t_0,+\infty \right)$，有 $\varphi \left(0\right)+f\left(\varphi ,s_0\right){\Delta }^{+}g\left(s_0\right)\in S$，则对每个 $\left(\varphi ,s_0\right)\in S\times \left[t_0,+\infty \right)$，存在测度泛函微分方程(1.1)的唯一饱和解 $y:\left[s_0-r,\omega \left(s_0,\varphi \right)\right)\to {ℝ}^n$，使得 $y_{s_0}=\varphi$，其中 $\omega \left(s_0,\varphi \right)\le +\infty$。

引理2.8 [6] 设 $O\subset BG\left(\left[t_0-r,+\infty \right),{ℝ}^n\right)$ 是具有延拓性质的开集，且 $\varphi \in S$，其中S由(1.3)式给出。若 $g:\left[t_0,+\infty \right)\to ℝ$ 是左连续的不减函数， $f:S\times \left[t_0,+\infty \right)\to {ℝ}^n$ 满足条件(A₁)~(A₃)， $F:\Omega \to BG\left(\left[t_0-r,+\infty \right),{ℝ}^n\right)$ 由(2.1)式给出。

(i) 设 $s_0\ge t_0$， $y:\left[s_0-r,\omega \left(s_0,\varphi \right)\right)\to {ℝ}^n$ 是测度泛函微分方程

$\{\begin{array}{l}y\left(t\right)=y\left(t_0\right)+{\displaystyle {\int }_{t_0}^{t}f}\left(y_s,s\right)\text{d}g\left(s\right),\hfill \\ y_{s_0}=\varphi ,\hfill \end{array}$ (2.3)

的解，对每个 $t\in \left[s_0-r,\omega \left(s_0,\varphi \right)\right)$，设

$x\left(t\right)\left(\vartheta \right)=\{\begin{array}{l}y\left(s_0-r\right),t_0\le \vartheta \le s_0-r,\\ y\left(\vartheta \right),s_0-r\le \vartheta \le t,\\ y\left(t\right),t\le \vartheta <+\infty .\end{array}$

则函数 $x:\left[s_0,\omega \left(s_0,\varphi \right)\right)\to O$ 是广义常微分方程

$\frac{\text{d}x}{\text{d}\tau }=DF\left(x,t\right)$ (2.4)

在初值条件

$x\left(s_0\right)\left(\vartheta \right)=\{\begin{array}{l}\varphi \left(-r\right),t_0\le \vartheta \le s_0-r,\\ \varphi \left(\vartheta -t_0\right),s_0-r\le \vartheta \le t_0,\\ x\left(t_0\right)\left(t_0\right),t_0\le \vartheta <+\infty .\end{array}$ (2.5)

下的解。

(ii) 反之，设 $s_0\ge t_0,\varphi \in S,x\left(s_0\right)\in O$ 由(2.5)式给出。若 $x:\left[t_0,\omega \left(s_0,\varphi \right)\right)\to O$ 是广义常微分方程(2.4)在初值条件 $x\left(s_0\right)$ 下的解，则函数 $y:\left[s_0-r,\omega \left(s_0,\varphi \right)\right)\to {ℝ}^n$，被定义为

$y\left(\vartheta \right)=\{\begin{array}{l}x\left(t_0\right)\left(\vartheta \right),t_0-r\le \vartheta \le t_0,\\ x\left(\vartheta \right)\left(\vartheta \right),t_0\le \vartheta <+\infty ,\end{array}$

是测度泛函微分方程(2.3)在初值条件 $y_{s_0}=\varphi$ 下的解。

3. 主要结果

本节定义了测度泛函微分方程(1.1)的一些Lyapunov稳定性的概念并建立了相关定理。

考虑测度泛函微分方程(1.1)右端函数 $f:S\times \left[t_0,+\infty \right)\to {ℝ}^n$ 满足条件(A₁)~(A₃)， $g:\left[t_0,+\infty \right)\to ℝ$ 是不减的左连续函数，使得对每个 $t\in \left[t_0,+\infty \right)$，有 $f\left(0,t\right)=0$。这说明 $y\equiv 0$ 是测度泛函微分方程(1.1)的一个解。此外，给定 $t\ge t_0,\psi \in S$，假设对每个 $\left(\psi ,t\right)\in S\times \left[t_0,+\infty \right)$，有 $\varphi \left(0\right)+f\left(\psi ,t\right){\Delta }^{+}g\left(t\right)\in S$。因此，由引理2.7，存在测度泛函微分方程(1.1)的唯一饱和解 $\bar{y}:\left[t-r,\omega \left(\psi ,t\right)\right)\to {ℝ}^n$。使得 ${\bar{y}}_t=\psi$，其中 $\omega \left(\psi ,t\right)\le +\infty$。

定义3.1 测度泛函微分方程(1.1)的平凡解 $y\equiv 0$ 是

(i) 稳定的。对任意的 $s_0\ge t_0$，以及任意的 $\epsilon >0$，存在 $\delta =\delta \left(s_0,\epsilon \right)>0$，使得如果 $\varphi \in S$，且 ${\Vert \varphi \Vert }_{\infty }<\delta$，则对 $\forall t\in \left[s_0,\omega \left(\varphi ,s_0\right)\right)$，有 ${\Vert {\bar{y}}_t\left(s_0,\varphi \right)\Vert }_{\infty }={\Vert {\bar{y}}_t\Vert }_{\infty }<\epsilon$。其中， $\bar{y}\left(t,s_0,\varphi \right)$ 是测度泛函微分方程(1.1)在初值条件 ${\bar{y}}_{s_0}=\varphi$ 下的饱和解。

(ii) 渐进稳定的。测度泛函微分方程(1.1)的平凡解是稳定的，且对每个 $s_0\ge t_0$，存在 $\eta =\eta \left(s_0\right)>0$。使得如果 ${\Vert \varphi \Vert }_{\infty }<\eta$，则当 $t\to +\infty$ 时，有 ${\Vert {\bar{y}}_t\left(s_0,\varphi \right)\Vert }_{\infty }={\Vert {\bar{y}}_t\Vert }_{\infty }\to 0$。

(iii) 指数稳定的。若存在常数 $\rho ,a,b>0$，使得当 $s_0\ge t_0,\varphi \in S$ 且 ${\Vert \varphi \Vert }_{\infty }<\rho$ 时，对任意的 $t\in \left[s_0,\omega \left(x_0,s_0\right)\right)$，有 ${\Vert y_t\left(s_0,\varphi \right)\Vert }_{\infty }={\Vert y_t\Vert }_{\infty }<a{\Vert \varphi \Vert }_{\infty }{\text{e}}^{-b\left(t-s_0\right)}$。

定义3.2 称泛函 $U:\left[t_0,+\infty \right)\times S\to ℝ$ 是关于测度泛函微分方程(1.1)的Lyapunov泛函，是指

(i) 对任意的 $\psi \in S$，泛函 $U\left(\cdot ,\psi \right):\left[t_0,+\infty \right)\to ℝ$ 在 $\left[t_0,+\infty \right)$ 上左连续。

(ii) 对每个 $\left(t,\psi \right)\in \left[t_0,+\infty \right)\times S$， $\left[t_0,\omega \right)\ni t\to U\left(t,\psi \right)$ 是不增函数。其中 $\psi =y_t$，y是测度泛函微分方程的饱和解。

一方面，对于给定 $t\ge t_0,\psi \in S$。假设对每个 $\left(\psi ,t\right)\in S\times \left[t_0,+\infty \right)$，有 $\varphi \left(0\right)+f\left(\psi ,t\right){\Delta }^{+}g\left(t\right)\in S$。则由引理2.7，存在测度泛函微分方程的唯一饱和解 $y:\left[t-r,\omega \left(\psi ,t\right)\right)\to {ℝ}^n$，使得 $y_t=\psi$。又由引理2.8中(i)，可以找到广义常微分方程的一个解 $x:[t,\omega \left(\psi ,t\right))\to O$，使得 $x\left(t\right)=\bar{x}$，其中，

$\tilde{x}\left(\vartheta \right)=\{\begin{array}{l}\psi \left(\vartheta -t\right),t-r\le \vartheta \le t\\ \psi \left(0\right),\vartheta \ge t\end{array}$

则 $x\left(t\right)\left(t+\theta \right)=y\left(t+\theta \right)$， $\theta \in \left[-r,0\right]$，即 $y_t={\left(x\left(t\right)\right)}_t$。

另一方面，给定 $t\ge t_0$，若 $\tilde{x}\in BG\left(\left[t-r,+\infty \right),{ℝ}^n\right)$，使得

$\tilde{x}\left(\vartheta \right)=\{\begin{array}{l}\psi \left(\vartheta -t\right),t-r\le \vartheta \le t\\ \psi \left(0\right),\vartheta \ge t\end{array}$

则由引理2.2，存在广义常微分方程的唯一饱和解 $x:[t,\omega \left(\psi ,t\right))\to O$，使得 $x\left(t\right)=\tilde{x}$，其中 $\omega \left(\psi ,t\right)\le +\infty$。又由引理(2.8)中(ii)，可以找到测度泛函微分方程的一个解 $y:[t-r,\omega \left(\psi ,t\right))\to {ℝ}^n$，满足 $y_t=\psi$，则 $\psi =y_t=y_t\left(t,\psi \right)=x{\left(t\right)}_t$，此时，用 $x_{\psi }\left(t\right)$ 替换 $x\left(t\right)$，有 ${\left(x_{\psi }\left(t\right)\right)}_t=y_t\left(t,\psi \right)=\psi$。所以 $\left(t,x_{\psi }\left(t\right)\right)\to \left(t,y_t\left(t,\psi \right)\right)$ 是一个一一映射。

因此，对于给定的泛函 $V:\left[t_0,+\infty \right)\times B_c\to ℝ$ 与泛函 $U:\left[t_0,+\infty \right)\times S\to ℝ$，有如下关系：

$V\left(t,x_{\psi }\left(t\right)\right)=U\left(t,y_t\left(t,\psi \right)\right).$ (3.1)

注3.1给定 $t\ge t_0$，由于

$\begin{array}{c}{\Vert y_t\left(t,\psi \right)\Vert }_{\infty }={\Vert y_t\Vert }_{\infty }=\underset{-r\le \theta \le 0}{\sup }\left|y\left(t+\theta \right)\right|=\underset{t-r\le \vartheta \le t}{\sup }\left|y\left(\vartheta \right)\right|=\underset{t-r\le \vartheta \le t}{\sup }\left|x_{\psi }\left(t\right)\left(\vartheta \right)\right|\\ =\underset{t-r\le \vartheta <+\infty }{\sup }\left|x_{\psi }\left(t\right)\left(\vartheta \right)\right|={\Vert x_{\psi }\left(t\right)\Vert }_{\infty }\end{array}$

即 ${\Vert y_t\left(t,\psi \right)\Vert }_{\infty }={\Vert x_{\psi }\left(t\right)\Vert }_{\infty }$。

定理3.1 假设 $F\in \mathcal{F}\left(\Omega ,h\right)$， $U:\left[t_0,+\infty \right)\times S\to ℝ$ 是关于测度泛函微分方程(1.1) Lyapunov泛函， $W_1$ 是一个Hahn class函数，如果满足：

(E₁) 对任意的 $t\in \left[t_0,+\infty \right)$， $U\left(t,0\right)=0$。

(E₂) 对每个 $\left(t,\psi \right)\in \left[t_0,+\infty \right)\times S$，有

$W_1\left(\Vert \psi \Vert \right)\le U\left(t,\psi \right),$

则测度泛函微分方程(1.1)的平凡解 $y\equiv 0$ 是稳定的。

证明：设 $V:\left[t_0,+\infty \right)\times O\to ℝ$ 是由(3.1)式所给定的泛函，下面我们证明广义常微分方程(1.2)的平凡解 $x\equiv 0$ 是稳定的。

给定 $t\ge t_0,\psi \in S$，设 $y,\hat{y}:\left[t-r,\omega \right)\to O$ 是测度泛函微分方程的解，使得 $y_t=\psi ,{\hat{y}}_t=0$。

由引理2.8中(i)可知，存在与 $y,\hat{y}$ 相对应的广义常微分方程的解 $x,\hat{x}$，使得 $x_{\psi }\left(t\right)=y_t=\psi$， ${\hat{x}}_{\psi }\left(t\right)={\hat{y}}_t=0$。

从而对于给定的 $t\ge t_0$，由条件(E₁)及(3.1)式，有

$0=U\left(t,0\right)=U\left(t,{\hat{y}}_t\right)=V\left(t,{\hat{x}}_{\psi }\left(t\right)\right)=V\left(t,0\right).$ (3.2)

由条件(E₂)及(3.1)式，有

$W_1\left(\Vert x_{\psi }\left(t\right)\Vert \right)=W_1\left(\Vert y_t\Vert \right)=W_1\left(\Vert \psi \Vert \right)\le U\left(t,\psi \right)=U\left(t,y_t\right)=V\left(t,x_{\psi }(\; t\; )\right)$

即

$W_1\left(\Vert x\left(t\right)\Vert \right)=V\left(t,x\left(t\right)\right).$ (3.3)

则由(3.2)及(3.3)式可知，泛函V满足引理2.3，则广义常微分方程(1.2)的平凡解 $x\equiv 0$ 是稳定的。从而对每个 $s_0\ge t_0$ 及任意的 $\epsilon >0$，存在 $\delta =\delta \left(s_0,\epsilon \right)>0$，使得如果 $x_0\in B_c$，且 $\Vert x_0\Vert <\delta$，则对 $\forall t\in \left[s_0,\omega \left(x_0,s_0\right)\right)$，有 $\Vert x\left(t,s_0,x_0\right)\Vert =\Vert x\left(t\right)\Vert <\epsilon$。

设 $\varphi \in S$， $\bar{y}:\left[s_0-r,+\infty \right)\to {ℝ}^n$ 是测度泛函微分方程关于初值问题 ${\bar{y}}_{s_0}=\varphi$ 的一个饱和解，且有

${\Vert \varphi \Vert }_{\infty }<\delta .$ (3.4)

下证

${\Vert {\bar{y}}_t\left(s_0,\varphi \right)\Vert }_{\infty }={\Vert {\bar{y}}_t\Vert }_{\infty }<\epsilon ,t\in \left[s_0,\omega \left(x_0,s_0\right)\right).$ (3.5)

令 ${\bar{y}}_t={\bar{y}}_t\left(s_0,\varphi \right)$，并且定义

$\bar{x}\left(t\right)\left(\vartheta \right)=\{\begin{array}{ll}\bar{y}\left(s_0-r\right),\hfill & t_0-r\le \vartheta \le s_0-r,\hfill \\ \bar{y}\left(\vartheta \right),\hfill & s_0-r\le \vartheta \le t,\hfill \\ \bar{y}\left(t\right),\hfill & t\le \vartheta <+\infty .\hfill \end{array}$ (3.6)

由引理2.2， $\bar{x}\left(t\right)$ 是广义常微分方程在 $\left[t_0,\omega \left(x_0,s_0\right)\right)$ 上的一个饱和解，满足初值条件 $\bar{x}\left(s_0\right)={\bar{x}}_0$，其中

${\bar{x}}_0\left(\vartheta \right)=\{\begin{array}{ll}\varphi \left(-r\right),\hfill & t_0-r\le \vartheta \le s_0-r,\hfill \\ \varphi \left(\vartheta -t_0\right),\hfill & s_0-r\le \vartheta \le t,\hfill \\ \varphi \left(0\right),\hfill & t\le \vartheta <+\infty .\hfill \end{array}$ (3.7)

由(3.4)及(3.7)式，有

${\Vert {\bar{x}}_0\Vert }_{\infty }=\underset{t_0-r\le \vartheta <+\infty }{\sup }\left|{\bar{x}}_0\right|={\Vert \varphi \Vert }_{\infty }<\delta ,$

从而由定义3.1，对所有 $t\in \left[s_0,\omega \left(x_0,s_0\right)\right)$ 有

${\Vert x\left(t\right)\Vert }_{\infty }<\epsilon .$ (3.8)

因此由(3.1)及(3.8)式，对任意的 $t\in \left[s_0,\omega \left(x_0,s_0\right)\right)$，有

$\begin{array}{c}{\Vert {\bar{y}}_t\left(s_0,\varphi \right)\Vert }_{\infty }={\Vert {\bar{y}}_t\Vert }_{\infty }=\underset{-r\le \theta \le 0}{\sup }\left|y\left(t+\theta \right)\right|\le \underset{t_0-r\le \vartheta \le \upsilon }{\sup }\left|\bar{y}\left(\vartheta \right)\right|=\underset{t_0-r\le \vartheta \le \upsilon }{\sup }\left|\bar{x}\left(t\right)\left(\vartheta \right)\right|\\ =\underset{t_0-r\le \vartheta <+\infty }{\sup }\left|\left|{\bar{x}}_{\varphi }\left(t\right)\left(\vartheta \right)\right|\right|={\Vert {\bar{x}}_{\varphi }\left(t\right)\Vert }_{\infty }={\Vert x\left(t\right)\Vert }_{\infty }<\epsilon ,\end{array}$

则(3.5)式成立，即证测度泛函微分方程(1.1)的平凡解 $y\equiv 0$ 是稳定的。

定理3.2假设 $F\in \mathcal{F}\left(\Omega ,h\right)$，且对每个 $\left(\varphi ,s_0\right)\in \Omega$，都有 $\omega \left(\varphi ,s_0\right)=+\infty$。如果 $U:\left[t_0,+\infty \right)\times S\to ℝ$ 是关于测度泛函微分方程(1.2)的Lyapunov泛函。 $W_1$ 是一个Hahn class函数，使得定理3.1的(E₁)和(E₂)成立。进一步，假设存在另一个Hahn class函数 $W_2$ 满足：

(E₃)对测度泛函微分方程(1.1)在初值条件 $y_{s_0}=\varphi$ 下的每个饱和解 $y\left(t\right)=y\left(t,s_0,\varphi \right)$， $\left(\varphi ,s_0\right)\in \Omega$， $\psi ,\bar{\psi },\tilde{\psi }\in S$， $t,s\in \left[s_0,\omega \left(s_0,\varphi \right)\right)$，当 $t\ge s$ 有

$U\left(t,\psi \right)-U\left(s,\bar{\psi }\right)\le -{\displaystyle {\int }_s^t{W}_2}\left(U\left(\xi ,\tilde{\psi }\right)\right)\text{d}l\left(\xi \right),$

其中， $l:\left[t_0,+\infty \right)\to ℝ$ 是增函数，使得 $\underset{t\to +\infty }{\lim }l\left(t\right)=+\infty$。

则测度泛函微分方程(1.1)的平凡解 $y\equiv 0$ 是渐进稳定的。

证明：由于泛函U满足定理3.1的条件(E₁)和(E₂)，从而测度泛函微分方程(1.1)的平凡解 $y\equiv 0$ 是稳定的，下面证明它是渐进稳定的。

给定 $s_0\ge t_0$，因为测度泛函微分方程的平凡解 $y\equiv 0$ 是稳定的，所以存在 $\eta =\eta \left(s_0,c\right)>0\left(0<\eta <c\right)$。设 $\varphi \in S$，且 ${\Vert \varphi \Vert }_{\infty }<\eta$。下证当 $t\to +\infty$ 时， ${\Vert y_t\left(s_0,\varphi \right)\Vert }_{\infty }={\Vert y_t\Vert }_{\infty }\to 0$。

对 $\forall t\in \left[s_0,+\infty \right)$， $t\to U\left(t,\psi \right)$ 是不增函数，且有 $U\left(t,\psi \right)\ge W_1\left(\Vert \psi \Vert \right)\ge 0$，从而由单调有界原理， $\underset{t\to +\infty }{\lim }U\left(t,\psi \right)$ 极限存在。设 $\underset{t\to +\infty }{\lim }U\left(t,\psi \right)=z$， $z\ge 0$。

假设 $z>0$，则由条件(E₃)，对 $\forall t\in \left[s_0,+\infty \right)$，有

$\begin{array}{c}U\left(t,\psi \right)\le U\left(s_0,\varphi \right)-{\displaystyle {\int }_{s_0}^t{W}_2\left(U\left(s,\bar{\psi }\right)\right)\text{d}l\left(s\right)}\\ \le U\left(s_0,\varphi \right)-{\displaystyle {\int }_{s_0}^t{W}_2\left(z\right)\text{d}l\left(s\right)}\\ =U\left(s_0,\varphi \right)-W_2\left(z\right)\left(l\left(t\right)-l\left(s_0\right)\right).\end{array}$

因为l是增函数且 $\underset{t\to +\infty }{\lim }l\left(t\right)=+\infty$，从而上式右端

$U\left(s_0,\varphi \right)-W_2\left(z\right)\left(l\left(t\right)-l\left(s_0\right)\right)\le 0,\left(t\to \text{+}\infty \right)$

这与上式左端

$U\left(t,\psi \right)>0,\left(t\to +\infty \right)$

相矛盾。因此 $z=0$，即

$\underset{t\to +\infty }{\lim }U\left(t,\psi \right)=0.$ (3.9)

由条件(E₂)可知， $W_1\left(\Vert \psi \Vert \right)\le U\left(t,\psi \right)$，则

$\underset{t\to +\infty }{\lim }{W}_1\left(\Vert \psi \Vert \right)=0.$ (3.10)

又因为 $W_1$ 是一个Hahn class函数，从而当 $t\to +\infty$ 时， $\Vert \psi \Vert \to 0$，即

${\Vert y_t\left(s_0,\varphi \right)\Vert }_{\infty }={\Vert y_t\Vert }_{\infty }\to 0.$

因此测度泛函微分方程(1.1)的平凡解 $y\equiv 0$ 是渐进稳定的。

定理3.3假设 $F\in \mathcal{F}\left(\Omega ,h\right)$， $U:\left[t_0,+\infty \right)\times S\to ℝ$ 是关于测度泛函微分方程(1.1)的Lyapunov泛函。若存在正常数 $\sigma ,\alpha ,\beta ,p$，满足

(F₁) 对任意的 $t\ge t_0,y_t\in S$，有 $\sigma {\Vert \psi \Vert }^p\le U\left(t,\psi \right)\le \beta {\Vert \psi \Vert }^p$。

(F₂) 对广义常微分方程(1.2)每个饱和解 $y\left(t\right)=y\left(t,s_0,x_0\right)$， $\left(x,s_0\right)\in \Omega$， $\psi ,\bar{\psi },\tilde{\psi }\in S$， $t,s\in \left[s_0,+\infty \right)$，

当 $t\ge s$ 时，有

$U\left(t,\psi \right)-U\left(s,\bar{\psi }\right)\le -\alpha {\displaystyle {\int }_s^{t}U}\left(\xi ,\tilde{\psi }\right)\text{d}\xi ,$

则测度泛函微分方程(1.1)的平凡解 $y\equiv 0$ 是指数稳定的。

证明：由于泛函 $U:\left[t_0,+\infty \right)\times S\to ℝ$ 满足条件(F₁)，(F₂)，则对任意的 $t\in \left[t_0,+\infty \right)$，有

$\sigma {\Vert \psi \Vert }^p\le U\left(t,\psi \right)\le \beta {\Vert \psi \Vert }^p.$

这说明泛函U满足定理3.1的条件(E₁)，(E₂)，从而测度泛函微分方程(1.1)的平凡解 $y\equiv 0$ 是稳定的。下面证明它是指数稳定的。

一方面，设 $s_0\ge t_0,\varphi \in S,y\left(t,s_0,\varphi \right)$ 是测度泛函微分方程(1.1)在 $\left[s_0,\omega \left(\varphi ,s_0\right)\right)$ 上的饱和解，使得 $y_{s_0}=\varphi$。

由于 $t\to U\left(t,\psi \right)$ 是不增函数，则由条件(F₂)可得，对 $s_0\le {\theta }_1\le {\theta }_2<\omega$，有

$\begin{array}{c}U\left({\theta }_1,y_{{\theta }_1}\right)-U\left({\theta }_2,y_{{\theta }_2}\right)\ge \alpha {\displaystyle {\int }_{{\theta }_1}^{{\theta }_2}U\left(\xi ,y_{\xi }\right)\text{d}\xi }\ge \alpha {\displaystyle {\int }_{{\theta }_1}^{{\theta }_2}U\left({\theta }_2,y_{{\theta }_2}\right)\text{d}\xi }\\ =\alpha \left({\theta }_2-{\theta }_1\right)U\left({\theta }_2,y_{{\theta }_2}\right).\end{array}$

即对任意的 $s_0\le {\theta }_1\le {\theta }_2<\omega$，有

$U\left({\theta }_1,y_{{\theta }_1}\right)\ge \left(1+\alpha \left({\theta }_2-{\theta }_1\right)\right)U\left({\theta }_2,y_{{\theta }_2}\right).$ (3.11)

另一方面，假设对任意的 $s\in \left[0,\omega -s_0\right)$，都有 $U\left(s+s_0,y_{s+s_0}\right)\le {\text{e}}^{-\alpha s}U\left(s_0,\varphi \right)$。

设 $n\in \mathbb{N}$ 是任意的一个自然数，对 $\forall i\in \left\{0,1,\cdots ,n\right\}$，定义

${\tau }_i:=\frac{is}{n}+s_0$

其中， $s_0={\tau }_0<{\tau }_1<\cdots <{\tau }_n=s+s_0$， ${\tau }_i-{\tau }_{i-1}=\frac{s}{n}$。

由(3.11)式，对 $\forall i\in \left\{0,1,\cdots ,n\right\}$，有

$U\left({\tau }_{i-1},y_{{\tau }_{i-1}}\right)\ge \left(1+\alpha \left({\tau }_i-{\tau }_{i-1}\right)\right)U\left({\tau }_i,y_{{\tau }_i}\right)=\left(1+\frac{\alpha s}{n}\right)U\left({\tau }_i,y_{{\tau }_i}\right).$

重复利用上式，可得

$\begin{array}{c}U\left({\tau }_0,y_{{\tau }_0}\right)\ge \left(1+\frac{\alpha s}{n}\right)U\left({\tau }_1,y_{{\tau }_1}\right)\ge {\left(1+\frac{\alpha s}{n}\right)}^{2}U\left({\tau }_2,y_{{\tau }_2}\right)\ge \cdots \\ \ge {\left(1+\frac{\alpha s}{n}\right)}^{n}U\left({\tau }_n,y_{{\tau }_n}\right).\end{array}$

由于 $U\left({\tau }_0,y_{{\tau }_0}\right)=U\left(s_0,\varphi \right)$ 且 $U\left({\tau }_n,y_{{\tau }_n}\right)=U\left(s+s_0,y_{s+s_0}\right)$，从而对 $s\ge 0,n\in \mathbb{N}$，有

$U\left(s_0,\varphi \right)\ge {\left(1+\frac{\alpha s}{n}\right)}^{n}U\left(s+s_0,y_{s+s_0}\right),$

因此，当 $n\to +\infty$ 时，

$U\left(s_0,\varphi \right)\ge {\text{e}}^{\alpha s}U\left(s+s_0,y_{s+s_0}\right),$

则对 $\forall t\in \left[s_0,\omega \right)$，有

$U\left(t,\psi \right)\le {\text{e}}^{-\alpha \left(t-s_0\right)}U\left(s_0,y_{s_0}\right),$

又由条件(F₁)可知，

$\sigma {\Vert \psi \Vert }^p\le U\left(t,\psi \right),U\left(s_0,\varphi \right)\le \beta {\Vert \varphi \Vert }^p.$

从而

$\sigma {\Vert \psi \Vert }^p\le \beta {\Vert \varphi \Vert }^p{\text{e}}^{-\alpha \left(t-s_0\right)}.$

则对 $\forall t\in \left[s_0,\omega \right)$，有

$\Vert \psi \Vert \le {\left(\frac{\beta }{\sigma }\right)}^{\frac{1}{p}}\Vert \varphi \Vert {\text{e}}^{-\frac{\alpha }{p}\left(t-s_0\right)}.$

即证

${\Vert y_t\left(s_0,\varphi \right)\Vert }_{\infty }<{\left(\frac{\beta }{\sigma }\right)}^{\frac{1}{p}}\Vert \varphi \Vert {\text{e}}^{-\frac{\alpha }{p}\left(t-s_0\right)}.$

因此测度泛函微分方程(1.1)的平凡解 $y\equiv 0$ 是指数稳定的。

例子3.1设 ${\left\{t_k\right\}}_{k=1}^{\infty }$ 是脉冲时刻，使得对 $\forall k\in \mathbb{N}$，有 $t_k<t_{k+1}$，现在考虑如下测度泛函微分方程

$\{\begin{array}{l}y\left(t\right)=y\left(0\right)+{\displaystyle {\int }_0^{t}f\left(y_s,s\right)\text{d}g}\left(s\right),\\ y_t=\psi .\end{array}$ (3.12)

其中， $g\left(t\right)=g\left(0\right)+t+{\displaystyle \underset{j=1}{\overset{\infty }{\sum }}{\aleph }_{\left(t_j,+\infty \right)}\left(s\right)}$， $t\in \left[0,+\infty \right)$， $\aleph$ 是特征函数，设函数 $f:S\times \left[0,+\infty \right)\to {ℝ}^n$ 为

$f\left(y_s,s\right)=\{\begin{array}{l}\left[\sin \left[\ln \left(s+1\right)\right]\text{+}\cos \left[\ln \left(s+1\right)\right]-4\right]y,s\ne s_k,\\ {\beta }_{k}y,s\ne s_k,\end{array}$

其中， $-1\le {\beta }_k\le 0$，因此，测度泛函微分方程(3.12)可以化为如下脉冲积分方程

$\{\begin{array}{l}y\left(t\right)=y\left(0\right)+{\displaystyle {\int }_0^t\left[\sin \left[\ln \left(s+1\right)\right]\text{+}\cos \left[\ln \left(s+1\right)\right]-4\right]y\left(s\right)\text{d}s,t\ne t_k,}\\ {\Delta }^{+}y\left(t\right)={\beta }_{k}y\left(t\right),t=t_k\end{array}$ (3.13)

假定y是几乎处处可微的，则可以写出方程(3.13)对应的脉冲微分方程

$\{\begin{array}{l}{y}^{\prime }\left(t\right)=\left[\sin \left[\ln \left(t+1\right)\right]+\cos \left[\ln \left(t+1\right)\right]-4\right]y\left(t\right),t\ne t_k,\\ {\Delta }^{+}y\left(t\right)={\beta }_{k}y\left(t\right)=I_k\left(y\left(t\right)\right),t\ne t_k.\end{array}$ (3.14)

定义 $U\left(t,\psi \right)=y{\left(t\right)}^2$，当 $t\ne t_k$ 时，

$\begin{array}{c}\frac{\text{d}U}{\text{d}s}=2y\left(t\right)y^{\prime }\left(t\right)=2y\left(t\right)\left[\sin \left[\ln \left(t+1\right)\right]+\cos \left[\ln \left(t+1\right)\right]-4\right]y\left(t\right)\\ =2U\left(t,\psi \right)\left[\sin \left[\ln \left(t+1\right)\right]+\cos \left[\ln \left(t+1\right)\right]-4\right]\\ \le -4U\left(t,\psi \right).\end{array}$

当 $t=t_k$ 时，

$U\left(t_k^{+},\tilde{\psi }\right)={\left[y\left(t_k^{+}\right)\right]}^2={\left[y\left(t_k\right)+I_k\left(y\left(t_k\right)\right)\right]}^2\le {\left|1+{\beta }_k\right|}^{2}U\left(t_k,\psi \right)\le U\left(t_k,\psi \right).$

其中， $\tilde{\psi }=y_{t_k^{+}}$。

结合上述不等式，当 $\alpha =4$ 时，两端积分，则条件(F₂)成立，又由U的定义可知，满足条件(F₁)，且条件(A₁)~(A₃)也成立，故由引理2.6可知 $F\in \mathcal{F}\left(\Omega ,h\right)$，因此，由定理3.3，测度泛函微分方程(3.12)的平凡解 $y\equiv 0$ 是指数稳定的。

基金项目

国家自然科学基金项目(12161080)。