积分型Cauchy中值定理中间点的渐近性研究

Cauchy Mean Value Theorem of Integral Type and Approachability of Betweenness Point

摘要: 本文分别介绍了积分第一中值定理与积分第二中值定理，并就积分型Cauchy中值定理分别讨论了在积分区间长度趋于零和积分区间长度趋于无穷大时中间点的渐近性质，并且取得了一些积分型Cauchy中值定理中间点ξ的渐近性质的重要推广。

Abstract: In this paper, we introduce the First integral mean value theorem and the Second integral mean value theorem, and discuss the approachability of inter mediate point ξ on the Cauchy mean value theorem of integral type when the length of integral tends to zero and infinity, and attain some advanced theorems on the basic of the approachability.

1. 引言

积分中值定理在微积分理论中占有极其重要的地位，近年来，积分中值定理中间点的渐近性质越来越引起人们的重视，并且取得了一些很好的结论。本文中定理 [1] [2] 分别介绍了积分第一中值定理与积分第二中值定理；定理 [3] [4] [5] [6] 就积分型Cauchy中值定理讨论了在积分区间长度趋于零时中间点 $\xi$ 的渐近性质；定理 [7] 就积分型Cauchy中值定理讨论了在积分区间长度趋于无穷大时中间点 $\xi$ 的渐近性质。本文在已经取得的一些渐进性质的基础之上所取得的重要推广，它们都是更为一般的结论：

1) 设函数 $f\left(x\right)$ 和 $g\left(x\right)$ 在 $[a,b]$ 上连续，对 $\forall x\in [a,b]$， $g\left(x\right)\ne 0$ 且不变号；在a点处为n次可微，且 $f^{\left(i\right)}\left(a\right)=g^{\left(i\right)}\left(a\right)=0\left(i=1,\cdots ,n-1\right)$， $f^{\left(n\right)}\left(a\right)\ne 0$， $g^{\left(n\right)}\left(a\right)\ne 0$

$f^{\left(n\right)}\left(a\right)g\left(a\right)-f\left(a\right)g^{\left(n\right)}\left(a\right)\ne 0.$

若 $\xi$ 是 $\frac{{\displaystyle {\int }_a^{b}f\left(x\right)\text{d}x}}{{\displaystyle {\int }_a^{b}g\left(x\right)\text{d}x}}=\frac{f\left(\xi \right)}{g\left(\xi \right)}$ 所确定的，则有： $\underset{b\to a}{\lim }\frac{\xi -a}{b-a}={\left(\frac{1}{n+1}\right)}^{\frac{1}{n}}$。

2) 设函数 $f\left(x\right),g\left(x\right)$ 在 $[a,+\infty )$ 上具有直至n阶和m阶连续导数， $\underset{x\to +\infty }{\lim }{f}^{\left(i\right)}\left(x\right)=+\infty \left(i=0,\cdots ,n-1\right)$, $\underset{x\to +\infty }{\lim }{f}^{\left(n\right)}\left(x\right)=A\ne 0$, $\underset{x\to +\infty }{\lim }{\displaystyle {\int }_a^{x}f\left(t\right)\text{d}t}=+\infty$, $\underset{x\to +\infty }{\lim }{g}^{\left(i\right)}\left(x\right)=+\infty \left(i=0,\cdots ,m-1\right)$, $\underset{x\to +\infty }{\lim }{g}^{\left(m\right)}\left(x\right)=B\ne 0$, $\underset{x\to +\infty }{\lim }{\displaystyle {\int }_a^{x}g\left(t\right)\text{d}t}=+\infty$.

对 $\forall x\in \left[a,+\infty \right)$， $g\left(x\right)\ne 0$ 且不变号。

若 $\xi$ 是由 $\frac{{\displaystyle {\int }_a^{x}f\left(t\right)\text{d}t}}{{\displaystyle {\int }_a^{x}g\left(t\right)\text{d}t}}=\frac{f\left(\xi \right)}{g\left(\xi \right)}$ 所确定的，则有： $\underset{x\to +\infty }{\lim }\frac{\xi -a}{x-a}={\left(\frac{1+m}{1+n}\right)}^{\frac{1}{n-m}}$，其中A，B为常数。

2. 关于积分型Cauchy中值定理

定理1 (积分第一中值定理)若 $f\left(x\right),g\left(x\right)$ 在 $[a,b]$ 上连续， $g\left(x\right)\ne 0,x\in [a,b]$，则在 $(a,b)$ 中至少存在一点 $\xi$，使得

$\frac{{\displaystyle {\int }_a^{b}f\left(x\right)\text{d}x}}{{\displaystyle {\int }_a^{b}g\left(x\right)\text{d}x}}=\frac{f\left(\xi \right)}{g\left(\xi \right)}$.

定理2 (积分第二中值定理)设函数 $f\left(t\right)$ 在 $\left[a,x\right]$ 上可积， $g\left(t\right)$ 在 $\left[a,x\right]$ 上单调，则在 $\left[a,x\right]$ 上存在一点 $\xi$，使得

${\displaystyle {\int }_a^{x}f\left(t\right)g\left(t\right)\text{d}t}=g\left(a\right){\displaystyle {\int }_a^{\xi }f\left(t\right)\text{d}t}+g\left(x\right){\displaystyle {\int }_{\xi }^{x}f\left(t\right)\text{d}t}$

3. 积分区间长度趋于零时，中间点 $\xi$ 的渐近性

定理3 设函数 $f\left(t\right)$ 和 $g\left(t\right)$ 在区间 $\left[a,x\right]$ 上连续， $f\left(t\right)$ 在点a可导， $g\left(t\right)$ 在 $\left[a,x\right]$ 上不变号，且 $f^{\prime }\left(a\right)g\left(a\right)\ne 0$。由积分第一中值定理[本文中定理1]，则存在由

${\displaystyle {\int }_a^{x}f\left(t\right)g\left(t\right)\text{d}t}=f\left(\xi \right){\displaystyle {\int }_a^{x}g\left(t\right)\text{d}t}$

所确定的 $\xi$ [ $\xi \in \left[a,x\right]$ ]，有

$\underset{x\to a}{\lim }\frac{\xi -a}{x-a}=1/2$.

定理4 设函数 $f\left(t\right)$ 在区间 $\left[a,x\right]$ 上连续， $f^{\left(n-1\right)}\left(a\right)$ 存在，且 $f\left(a\right)=f^{\prime }\left(a\right)=\cdots =f^{\left(n-2\right)}\left(a\right)=0$， $f^{\left(n-1\right)}\left(a\right)\ne 0$ ； $g\left(t\right)$ 在 $\left[a,x\right]$ 上有连续的导函数，且 $g^{\prime }\left(t\right)\ne 0$。

若 $\xi$ 是由 ${\displaystyle {\int }_a^{x}f\left(t\right)g\left(t\right)\text{d}t}=g\left(a\right){\displaystyle {\int }_a^{\xi }f\left(t\right)\text{d}t}+g\left(x\right){\displaystyle {\int }_{\xi }^{x}f\left(t\right)\text{d}t}$ 所确定的，则有

$\underset{x\to a^{+}}{\lim }\frac{\xi -a}{x-a}=\frac{1}{\sqrt[n]{n+1}}$.

上面我们看到了积分中值定理的一些渐进性质，对上面的性质作一些推广，可以得到更一般的结论。

定理5 设函数 $f\left(x\right)$ 和 $g\left(x\right)$ 在 $[a,b]$ 上连续，对 $\forall x\in [a,b]$， $g\left(x\right)\ne 0$ 且不变号；在a点处为n次可微，且 $f^{\left(i\right)}\left(a\right)=g^{\left(i\right)}\left(a\right)=0\left(i=1,\cdots ,n-1\right)$， $f^{\left(n\right)}\left(a\right)\ne 0$， $g^{\left(n\right)}\left(a\right)\ne 0$

$f^{\left(n\right)}\left(a\right)g\left(a\right)-f\left(a\right)g^{\left(n\right)}\left(a\right)\ne 0$.

若 $\xi$ 是 $\frac{{\displaystyle {\int }_a^{b}f\left(x\right)\text{d}x}}{{\displaystyle {\int }_a^{b}g\left(x\right)\text{d}x}}=\frac{f\left(\xi \right)}{g\left(\xi \right)}$ 所确定的，则有

$\underset{b\to a}{\lim }\frac{\xi -a}{b-a}={\left(\frac{1}{n+1}\right)}^{\frac{1}{n}}$.

证明把 $f\left(x\right)$ 与 $g\left(x\right)$ 在点a展开成Tayor公式：

$f\left(x\right)=f\left(a\right)+\frac{f^{\left(n\right)}\left(a\right)}{n!}{\left(x-a\right)}^n+{\theta }_1\left(x\right){\left(x-a\right)}^n$ (1)

$g\left(x\right)=g\left(a\right)+\frac{g^{\left(n\right)}\left(a\right)}{n!}{\left(x-a\right)}^n+{\theta }_2\left(x\right){\left(x-a\right)}^n$ (2)

其中 ${\theta }_1\left(x\right),{\theta }_2\left(x\right)$ 在 $[a,b]$ 上连续，且 $\underset{x\to a}{\lim }{\theta }_i\left(x\right)=0\left(i=1,2\right)$

由(1)，(2)可得

$\begin{array}{c}{\displaystyle {\int }_a^{b}f\left(x\right)\text{d}x}={\displaystyle {\int }_a^b\left[f\left(a\right)+\frac{f^{\left(n\right)}\left(a\right)}{n!}{\left(x-a\right)}^n+{\theta }_1\left(x\right){\left(x-a\right)}^n\right]\text{d}x}\\ =f\left(a\right)\left(b-a\right)+\frac{f^{\left(n\right)}\left(a\right)}{\left(n+1\right)!}{\left(b-a\right)}^{n+1}+{\displaystyle {\int }_a^b{\theta }_1}\left(x\right){\left(x-a\right)}^n\text{d}x\end{array}$ (3)

$\begin{array}{c}{\displaystyle {\int }_a^{b}g\left(x\right)\text{d}x}={\displaystyle {\int }_a^b\left[g\left(a\right)+\frac{g^{\left(n\right)}\left(a\right)}{n!}{\left(x-a\right)}^n+{\theta }_2\left(x\right){\left(x-a\right)}^n\right]\text{d}x}\\ =g\left(a\right)\left(b-a\right)+\frac{g^{\left(n\right)}\left(a\right)}{\left(n+1\right)!}{\left(b-a\right)}^{n+1}+{\displaystyle {\int }_a^b{\theta }_2}\left(x\right){\left(x-a\right)}^n\text{d}x\end{array}$ (4)

$f\left(\xi \right)=f\left(a\right)+\frac{f^{\left(n\right)}\left(a\right)}{n!}{\left(\xi -a\right)}^n+{\theta }_1\left(\xi \right){\left(\xi -a\right)}^n$ (5)

$g\left(\xi \right)=g\left(a\right)+\frac{g^{\left(n\right)}\left(a\right)}{n!}{\left(\xi -a\right)}^n+{\theta }_2\left(\xi \right){\left(\xi -a\right)}^n$ (6)

将(3)，(4)，(5)，(6)代入 $\frac{{\displaystyle {\int }_a^{b}f\left(x\right)\text{d}x}}{{\displaystyle {\int }_a^{b}g\left(x\right)\text{d}x}}=\frac{f\left(\xi \right)}{g\left(\xi \right)}$，并化简可得

$\begin{array}{l}\frac{f\left(a\right)g^{\left(n\right)}\left(a\right)}{n!}\left(b-a\right){\left(\xi -a\right)}^n+f\left(a\right)\left(b-a\right){\theta }_2\left(\xi \right){\left(\xi -a\right)}^n+\frac{f^{\left(n\right)}\left(a\right)g\left(a\right)}{\left(n+1\right)!}{\left(b-a\right)}^{n+1}\\ +\frac{f^{\left(n\right)}\left(a\right)}{\left(n+1\right)!}{\left(b-a\right)}^{n+1}{\theta }_2\left(\xi \right){\left(\xi -a\right)}^n+\frac{g^{\left(n\right)}\left(a\right)}{n!}{\left(\xi -a\right)}^n{\displaystyle {\int }_a^b{\theta }_1\left(x\right)}{\left(x-a\right)}^n\text{d}x\\ +g\left(a\right){\displaystyle {\int }_a^b{\theta }_1\left(x\right)}{\left(x-a\right)}^n\text{d}x+{\displaystyle {\int }_a^b{\theta }_1}\left(x\right){\left(x-a\right)}^n\text{d}x{\theta }_2\left(\xi \right){\left(\xi -a\right)}^n\\ =\frac{f^{\left(n\right)}\left(a\right)g\left(a\right)}{n!}\left(b-a\right){\left(\xi -a\right)}^n+g\left(a\right)\left(b-a\right){\theta }_1\left(\xi \right){\left(\xi -a\right)}^n+\frac{f\left(a\right)g^{\left(n\right)}\left(a\right)}{\left(n+1\right)!}{\left(b-a\right)}^{n+1}\\ +\frac{g^{\left(n\right)}\left(a\right)}{\left(n+1\right)!}{\left(b-a\right)}^{n+1}{\theta }_1\left(\xi \right){\left(\xi -a\right)}^n+f\left(a\right){\displaystyle {\int }_a^b{\theta }_2}\left(x\right){\left(x-a\right)}^n\text{d}x\\ +\frac{f^{\left(n\right)}\left(a\right)}{n!}{\left(\xi -a\right)}^n{\displaystyle {\int }_a^b{\theta }_2}\left(x\right){\left(x-a\right)}^n\text{d}x+{\displaystyle {\int }_a^b{\theta }_2}\left(x\right){\left(x-a\right)}^n\text{d}x{\theta }_1\left(\xi \right){\left(\xi -a\right)}^n\end{array}$

现在，以 ${\left(b-a\right)}^{n+1}$ 除上式的两边，并且令 $b\to a$，再利用L’Hospital法则可以推出

$\frac{f^{\left(n\right)}\left(a\right)g\left(a\right)-f\left(a\right)g^{\left(n\right)}\left(a\right)}{\left(n+1\right)!}=\frac{f^{\left(n\right)}\left(a\right)g\left(a\right)-f\left(a\right)g^{\left(n\right)}\left(a\right)}{n!}\underset{b\to a}{\lim }{\left(\frac{\xi -a}{b-a}\right)}^n$

由于 $f^{\left(n\right)}\left(a\right)g\left(a\right)-f\left(a\right)g^{\left(n\right)}\left(a\right)\ne 0$，故有

$\underset{b\to a}{\lim }\frac{\xi -a}{b-a}={\left(\frac{1}{n+1}\right)}^{\frac{1}{n}}$. (7)

证毕。

在定理5中，令n = 1，便可以得到以下的结果：

推论1设函数 $f\left(x\right)$ 和 $g\left(x\right)$ 在 $[a,b]$ 上连续，对 $\forall x\in [a,b]$， $g\left(x\right)\ne 0$ 且不变号； $f\left(x\right)$ 和 $g\left(x\right)$ 在a点处可导，且 $f\left(a\right)=g\left(a\right)=0$, $f^{\prime }\left(a\right)\ne 0$, $g^{\prime }\left(a\right)\ne 0$, $f^{\prime }\left(a\right)g\left(a\right)-f\left(a\right)g^{\prime }\left(a\right)\ne 0$.

若 $\xi$ 是 $\frac{{\displaystyle {\int }_a^{b}f\left(x\right)\text{d}x}}{{\displaystyle {\int }_a^{b}g\left(x\right)\text{d}x}}=\frac{f\left(\xi \right)}{g\left(\xi \right)}$ 所确定的，则有

$\underset{b\to a}{\lim }\frac{\xi -a}{b-a}=\frac{1}{2}$.

又在定理5中，若取 $g\left(x\right)\equiv 1$，即得：

推论2 若 $f\left(x\right)$ 是区间 $[a,b]$ 上的联续函数，且 $f^{\left(i\right)}\left(a\right)=0\left(i=0,\cdots ,n-1\right)$， $f^{\left(n\right)}\left(a\right)\ne 0$

若 $\xi$ 是 $\frac{{\displaystyle {\int }_a^{b}f\left(x\right)\text{d}x}}{{\displaystyle {\int }_a^{b}g\left(x\right)\text{d}x}}=\frac{f\left(\xi \right)}{g\left(\xi \right)}$ 所确定的，则有

$\underset{b\to a}{\lim }\frac{\xi -a}{b-a}={\left(\frac{1}{n+1}\right)}^{\frac{1}{n}}$.

当 $f\left(x\right)$ 为n阶可导， $g\left(x\right)$ 为m阶可导时( $m\ne n$ )，积分型Cauchy中值定理的中间点 $\xi$ 有如下的渐近性质：

定理6 设函数 $f\left(x\right)$ 和 $g\left(x\right)$ 分别在 $[a,b]$ 上有n阶和m阶的连续导数， $f^{\left(i\right)}\left(a\right)=0\left(i=0,\cdots ,n-1\right)$， $f^{\left(n\right)}\left(a\right)\ne 0$ ； $g^{\left(i\right)}\left(a\right)=0\left(i=0,\cdots ,m-1\right)$， $g^{\left(m\right)}\left(a\right)\ne 0$，对 $\forall x\in (a,b)$， $g\left(x\right)\ne 0$ 且不变号。

若 $\xi$ 是由 $\frac{{\displaystyle {\int }_a^{b}f\left(x\right)\text{d}x}}{{\displaystyle {\int }_a^{b}g\left(x\right)\text{d}x}}=\frac{f\left(\xi \right)}{g\left(\xi \right)}$ 所确定的，则有

$\underset{b\to a}{\lim }\frac{\xi -a}{b-a}={\left(\frac{m+1}{n+1}\right)}^{\frac{1}{n-m}}$. (8)

4. 积分区间长度趋于无限时，中间点 $\xi$ 的渐近性

为了讨论 $x\to +\infty$ 时中间点 $\xi$ 的渐近性质，我们先给出两个引理：

引理1 设函数 $f\left(x\right),g\left(x\right)$ 在 $(a,+\infty )$ 内有意义，且满足

1) $\underset{x\to +\infty }{\lim }g\left(x\right)=\infty$ ；

2) $f\left(x\right),g\left(x\right)$ 在 $(a,+\infty )$ 内可微且 $g^{\prime }\left(x\right)\ne 0$ ；

3) $\underset{x\to +\infty }{\lim }\frac{f^{\prime }\left(x\right)}{g^{\prime }\left(x\right)}=k$ (有限或无穷)。

则必有 $\underset{x\to +\infty }{\lim }\frac{f\left(x\right)}{g\left(x\right)}=k$。

此称为改进的罗比塔法则。

引理2 若 $\underset{x\to +\infty }{\lim }f\left(x\right)=+\infty$， $\underset{x\to +\infty }{\lim }g\left(x\right)=A$，则

1) 当A < 0时， $\underset{x\to +\infty }{\lim }f\left(x\right)g\left(x\right)=-\infty$ ；

2) 当A > 0时， $\underset{x\to +\infty }{\lim }f\left(x\right)g\left(x\right)=+\infty$。

定理7 设函数 $f\left(x\right),g\left(x\right)$ 在 $[a,+\infty )$ 上连续且 $g\left(x\right)$ 不变号， $\underset{x\to +\infty }{\lim }{\displaystyle {\int }_a^{x}f\left(t\right)\text{d}t}=\infty$， $\underset{x\to +\infty }{\lim }{\displaystyle {\int }_a^{x}g\left(t\right)\text{d}t=\infty }$， $f\left(x\right)\ne 0$， $g\left(x\right)\ne 0$，又有 $\underset{x\to +\infty }{\lim }{x}^{\alpha }f\left(x\right)=A$， $\underset{x\to +\infty }{\lim }{x}^{\beta }g\left(x\right)=B$。

则对 $\forall x\in (a,+\infty )$，必存在 $\xi \in (a,x)$，使得

$\frac{{\displaystyle {\int }_a^{x}f\left(t\right)\text{d}t}}{{\displaystyle {\int }_a^{x}g\left(t\right)\text{d}t}}=\frac{f\left(\xi \right)}{g\left(\xi \right)}$. (9)

且

$\underset{x\to +\infty }{\lim }\frac{\xi -a}{x-a}={\left(\frac{1-\beta }{1-\alpha }\right)}^{\frac{1}{\beta -\alpha }}$. (10)

其中 $A,B$ 为非零常数， $\alpha ,\beta$ 为实数， $\alpha <1,\beta <1$ 且 $\alpha \ne \beta$。

若令 $g\left(x\right)\equiv 1$， $\beta =0$，则有：

推论3 设 $f\left(x\right)$ 在 $[a,+\infty )$ 上连续， $\underset{x\to +\infty }{\lim }{\displaystyle {\int }_a^{x}f\left(t\right)\text{d}t}=\infty$，且对 $\forall x\in (a,+\infty )$， $f\left(x\right)\ne 0$，又有 $\underset{x\to +\infty }{\lim }{x}^{\alpha }f\left(x\right)=A$，则对 $\forall x\in (a,+\infty )$，必存在 $\xi \in (a,x)$，使得

${\displaystyle {\int }_a^{x}f\left(t\right)\text{d}t}=f\left(\xi \right)\left(x-a\right)$.

且

$\underset{x\to +\infty }{\lim }\frac{\xi -a}{x-a}={\left(1-\alpha \right)}^{\frac{1}{\alpha }}$.

此即为第一积分中值定理的中间点在 $x\to +\infty$ 时的渐近性。

上面我们看到了积分中值定理的一些渐进性质，对上面的性质作一些推广，又可以得到更一般的结论。

本文通过运用积分型Cauchy中值定理，分别讨论了在积分区间长度趋于零和积分区间长度趋于无穷大时中间点 $\xi$ 的渐近性质。定理5与定理7是本文在已经取得的一些渐进性质的基础之上所取得的重要推广，它们都是更为一般的结论，并且它们的特殊情况[本文中推论1，2，3]是渐进性质的一些经典结论，其在实际解决一些问题的时候十分的简洁、方便。

基金项目

青海省自然科学基金(2021-ZJ-708)项目。