一类Newman多项式的性质

Properties of a Class of Newman Polynomials

摘要: 与系数相关的表达式的极值问题是Newman多项式相关研究中的一个热点。令h_i（x）是一类系数全为1的Newman多项式，借助不等式和组合的方法，讨论了与h_i³（x）、h_i⁴（x）系数相关表达式的取值，给出了该表达式的极值，从n的不同取值对结论进行了推广。

Abstract: The extreme value problem of the expression related to coefficients is a hot spot in the research of Newman polynomials. Letting h_i（x） be a kind of Newman polynomials with all coefficients of 1, the value of the coefficient correlation expression of the h_i³（x） and h_i⁴（x） is discussed by method of inequality and combination，and the extremal properties of the expression are given, and the conclusion is generalized from different values of n.

1. 引言及结论

多项式是代数中的重要内容之一，系数受限的多项式及其相关性质是多项式研究中的热点问题之一。Newman多项式是指形如 $f_i\left(x\right)={\displaystyle \underset{i=0}{\overset{m}{\sum }}{a}_i{x}^i}$， $a_i\in \left\{0,1\right\}$ 的多项式，这是一类系数受限的特殊多项式。有关Newman多项式的研究成果较多，如文献 [1] - [8]。一些学者聚焦于研究Newman多项式中关于系数极值性质，取得了一定的成果。如文献 [9] 研究了Newman多项式导数的一些极值性质。记 $\left(\#f_i\right)$ 为多项式 $f_i\left(x\right)$ 中系数非零的项数， $\zeta \left(f_i{}^n\right)$ 是多项式 $f_i{}^n$ 展开式所有项中的最大系数， $\gamma \left(n\right)=\frac{\mathrm{deg}\left(f_i\right)\zeta \left(f_i{}^n\right)}{{\left(\#f_i\right)}^n}$。文献 [10] 给出当 $\left(\#f_i\right)=o\left(\mathrm{deg}{f}_i\right)$ 时，可以推出 $\underset{i\to \infty }{\lim }\inf \left(\gamma \left(2\right)\right)\ge 1$。文献 [11] 指出当条件 $\left(\#f_i\right)=o\left(\mathrm{deg}{f}_i\right)$ 取消后， $\underset{i\to \infty }{\lim }\inf \left(\gamma \left(2\right)\right)$ 发生变化，并得出 $\underset{i\to \infty }{\lim }\inf \left(\gamma \left(2\right)\right)=\frac{8}{9}$，并猜测此时有 $\inf \left(\gamma \left(2\right)\right)\ge \frac{8}{9}$。本文将研究在 $\left(\#f_i\right)=o\left(\mathrm{deg}{f}_i\right)$ 情形下，一类特定形式的Newman多项式在 $i\to \infty$ 时的 $\inf \left(\gamma \left(3\right)\right)$ 和 $\inf \left(\gamma \left(4\right)\right)$ 的极值问题。本文中研究的Newman多项式的类型是形如： $h_i\left(x\right)={\displaystyle \underset{i=0}{\overset{m}{\sum }}{a}_i{x}^i}$， $a_i=1$ 的多项式，在此条件下有 $\left(\#h_i\right)=o\left(\mathrm{deg}{h}_i\right)$，并得出结论如下：

定理1 当 $h_i\left(x\right)={\displaystyle \underset{i=0}{\overset{m}{\sum }}{a}_i{x}^i}$， $a_i=1$ 时，有 $\underset{i\to \infty }{\lim }\inf \left(\gamma \left(3\right)\right)=\frac{3}{4}$。

定理2 当 $h_i\left(x\right)={\displaystyle \underset{i=0}{\overset{m}{\sum }}{a}_i{x}^i}$， $a_i=1$ 时，有 $\underset{i\to \infty }{\lim }\inf \left(\gamma \left(4\right)\right)=\frac{2}{3}$。

2. 定理证明

2.1. 定理1的证明

令 $h_i\left(x\right)={\displaystyle \underset{i=0}{\overset{m}{\sum }}{a}_i{x}^i}=1+x+x^2+x^3+\cdots +x^{i-1}+x^i$，

易知， $\left(\#h_i\right)=i+1$， $\left(\mathrm{deg}{h}_i\right)=i$，又

$\begin{array}{c}{h}_i{}^3\left(x\right)={\left(1+x+\cdots +x^{i-1}+x^i\right)}^3\\ =1+3x+6x^2+\cdots +\frac{i\left(i+1\right)}{2}{x}^{i-1}+\frac{\left(i+1\right)\left(i+2\right)}{2}{x}^i\\ +\frac{i^2+5i}{2}{x}^{i+1}+\frac{i^2+6i-6}{2}{x}^{i+2}+\cdots +\frac{i^2+3i+2}{2}{x}^{2i}\\ +\frac{i\left(i+1\right)}{2}{x}^{2i+1}+\frac{\left(i-1\right)i}{2}{x}^{2i+2}+\cdots +3x^{3i-1}+x^{3i}\end{array}$

当 $i\equiv 0\left(\mathrm{mod}2\right)$ 时，多项式 $h_i^3\left(x\right)$ 中 $x^{\frac{3}{2}i}$ 的系数最大，此时有

$\begin{array}{c}\zeta \left(h_i^3\right)=\left(\frac{i}{2}+1\right)+\left(\frac{i}{2}+2\right)+\cdots +\left(i-1\right)+i+\left(i-1\right)+\cdots \left(\frac{i}{2}+2\right)+\left(\frac{i}{2}+1\right)\\ =\frac{3\left(i+1\right)\left(i+2\right)}{4}\end{array}$

所以 $\underset{i\to \infty }{\lim }\inf \left(\gamma \left(3\right)\right)=\underset{i\to \infty }{\lim }\frac{i\cdot 3\left(i+1\right)\left(i+2\right)}{4{\left(i+1\right)}^3}=\frac{3}{4}$。

当 $i\equiv 1\left(\mathrm{mod}2\right)$ 时，多项式 $h_i^3\left(x\right)$ 中 $x^{\frac{3i-1}{2}}$， $x^{\frac{3i+1}{2}}$ 的系数最大，此时有

$\begin{array}{c}\zeta \left(h_i^3\right)=\frac{i+3}{2}+\frac{i+5}{2}+\cdots +i+\left(i+1\right)+i+\cdots +\frac{i+5}{2}+\frac{i+3}{2}+\frac{i+1}{2}\\ =\frac{3{\left(i+1\right)}^2}{4}\end{array}$

所以 $\underset{i\to \infty }{\lim }\inf \left(\gamma \left(3\right)\right)=\underset{i\to \infty }{\lim }\frac{i\cdot 3{\left(i+1\right)}^2}{4{\left(i+1\right)}^3}=\frac{3}{4}$。

综上，对任意正整数 $i$，均有 $\underset{i\to \infty }{\lim }\inf \left(\gamma \left(3\right)\right)=\frac{3}{4}$，定理1得证。

2.2. 定理2的证明

令 $h_i\left(x\right)={\displaystyle \underset{i=0}{\overset{m}{\sum }}{a}_i{x}^i}=1+x+x^2+x^3+\cdots +x^{i-1}+x^i$，

易知， $\left(\#h_i\right)=i+1$， $\left(\mathrm{deg}{h}_i\right)=i$，又

$\begin{array}{c}{h}_i^4\left(x\right)={\left(1+x+\cdots +x^{i-1}+x^i\right)}^4\\ ={\left(1+2x+3x^2+4x^3+\cdots +i{x}^{i-1}+\left(i+1\right)x^i+\left(i-1\right)x^{i+1}+\cdots +3x^{2i-2}+2x^{2i-1}+x^{2i}\right)}^2\\ ={\displaystyle \underset{r=0}{\overset{i}{\sum }}\left({\displaystyle \underset{j+k=r+2,j,k>0}{\sum }jk}\right)x^r}\\ +\left(i\cdot 1+\left(i+1\right)\cdot 2+i\cdot 3+\left(i-1\right)\cdot 4+\cdots +2\cdot \left(i+1\right)+1\cdot i\right)x^{i+1}\\ +\left(\left(i-1\right)\cdot 1+i\cdot 2+\left(i+1\right)\cdot 3+i\cdot 4+\cdots +3\cdot \left(i+1\right)+2\cdot i+1\cdot \left(i-1\right)\right)x^{i+2}\end{array}$

$\begin{array}{c}+\left(\left(i-2\right)\cdot 1+(i-1)\cdot 2+i\cdot 3+\left(i+1\right)\cdot 4+i\cdot 5+\cdots +2\cdot \left(i-1\right)+1\cdot \left(i-2\right)\right)x^{i+3}\\ +\cdots \\ +\left(1\cdot 1+2\cdot 2+\cdots +i\cdot i+\left(i+1\right)\cdot \left(i+1\right)+i\cdot i+\cdots +2\cdot 2+1\cdot 1\right)x^{2i}\\ +\left(1\cdot 2+2\cdot 3+\cdots +\left(i-1\right)\cdot i+i\cdot \left(i+1\right)+\left(i+1\right)\cdot i+i\left(i-1\right)+\cdots +3\cdot 2+2\cdot 1\right)x^{2i+1}\\ +\left(1\cdot 3+2\cdot 4+\cdots +\left(i-1\right)\cdot \left(i+1\right)+i\cdot i+\left(i+1\right)\cdot \left(i-1\right)+i\cdot \left(i-2\right)+\cdots +4\cdot 2+3\cdot 1\right)x^{2i+2}\end{array}$

$\begin{array}{l}+\cdots \\ +\left(1\cdot \left(i+1\right)+2\cdot i+3\cdot \left(i-1\right)+\left(i-1\right)\cdot 3+i\cdot 2+\left(i+1\right)\cdot 1\right)x^{3i}\\ +\left({\displaystyle \underset{j+k=i+2,j,k>0}{\sum }jk}\right)x^{3i}+\left({\displaystyle \underset{j+k=i+1,j,k>0}{\sum }jk}\right)x^{3i+1}+\left({\displaystyle \underset{j+k=i,j,k>0}{\sum }jk}\right)x^{3i+2}\\ +\cdots \\ +\left({\displaystyle \underset{j+k=3,j,k>0}{\sum }jk}\right)x^{4i-1}+\left({\displaystyle \underset{j+k=2,j,k>0}{\sum }jk}\right)x^{4i}\end{array}$

结合排序不等式，易知多项式 $h_i^4\left(x\right)$ 展开式中 $x^{2i}$ 的系数最大，此时有

$\begin{array}{c}\zeta \left(h_i^4\right)=1^2+2^2+\cdots +i^2+{\left(i+1\right)}^2+i^2+\cdots +2^2+1^2\\ =2\cdot \frac{i\left(i+1\right)\left(2i+1\right)}{6}+{\left(i+1\right)}^2\\ =\frac{\left(i+1\right)\left(2i^2+4i+3\right)}{3}\end{array}$

所以 $\underset{i\to \infty }{\lim }\inf \left(\gamma \left(4\right)\right)=\underset{i\to \infty }{\lim }\frac{i\cdot \left(i+1\right)\left(2i^2+4i+3\right)}{3{\left(i+1\right)}^4}=\frac{2}{3}$。

综上，定理2得证。

3. 研究展望

本文主要探讨了一类Newman多项式 $f_i$ 中关于相关系数的表达式 $\gamma \left(n\right)=\frac{\mathrm{deg}\left(f_i\right)\zeta \left(f_i{}^n\right)}{{\left(\#f_i\right)}^n}$ ( $\left(\#f_i\right)=o\left(\mathrm{deg}{f}_i\right)$ )的极值问题，将 $n$ 的值从2的情形推广到了3和4的情形。当条件 $\left(\#f_i\right)=o\left(\mathrm{deg}{f}_i\right)$ 取消时，本文猜测 $n=3$ 和4时 $\gamma \left(n\right)=\frac{\mathrm{deg}\left(f_i\right)\zeta \left(f_i{}^n\right)}{{\left(\#f_i\right)}^n}$ 的极值情况将会和 $n=2$ 时发生改变的情形相似，也会发生改变，在此情形下， $\frac{\left(\#f_i\right)}{\mathrm{deg}\left(f_i\right)}$ 的极值相应会有怎样的变化，这些将作为下一步研究的方向。

基金项目

阿坝师范学院科研项目(20170101, ASB21-04, 202007013)。