与权函数有关的Q_K空间

The Q_K Space Related with Weight Function

摘要: 本文主要引入了一类与权函数有关的新型的Q型空间Q_K(H)。我们首先研究了Q_K(H)的基本性质，从而得到了Q_K(H)与BMO之间的关系，最后给出了Q_K(H)的Carleson测度刻画。

Abstract: In this paper, we introduce a new class of Q type space Q_K(H) which is related to weight functions. Firstly, we study some properties of Q_K(H) and then investigate the relationship between Q_K(H) and BMO space. Finally, we give the Carleson measure characterization of Q_K(H).

1. 引言

作为平均震荡空间的推广(BMO)，Q型空间在调和分析、偏微分方程以及位势理论中得到了广泛的研究，参见文献 [1] [2] [3]。Q型空间与BMO空间有类似的性质，在许多分析性问题的研究中，Q型空间可以是BMO空间很好的替代。最初，Essén等人将 $Q_p\left(\mathbb{D}\right)$ 推广到了欧几里得空间，参见文献 [4]。在2004年，Dafni和Xiao在文献 [5] 中利用一种新型的帐篷空间解决了分数阶Carleson测度和 $Q_{\alpha }\left({ℝ}^n\right)$ 空间的几个对偶问题，定义了 $Q_{\alpha }\left({ℍ}^n\right)$ 的对偶为包含Hardy空间 $H^1$ 的分布空间并证明了一个原子分解。关于Q型空间更多的内容以及研究进展，可以参见文献 [6] [7] [8]。

基于类似的想法，作为BMO型空间在 ${ℍ}^n$ 上的推广，在文献 [9] 中，王春杰将Q型空间推广到 ${ℍ}^n$ 中，引入了 $Q_p\left({ℍ}^n\right)$ 空间，通过利用Poisson积分给出了Carleson测度刻画。接下来，我们重述一下文献[9]中 $Q_p\left({ℍ}^n\right)$ 的概念。

定义1.1令 $1<p<\infty$， $Q_p\left({ℍ}^n\right)$ 包含了 ${ℍ}^n$ 上的所有可测函数f，则f满足

${\Vert f\Vert }_{Q_p}^2=\underset{I}{\sup }{\displaystyle {\int }_I{\displaystyle {\int }_I\frac{{\left|f\left(\xi \right)-f\left(\eta \right)\right|}^2}{{\left|{\eta }^{-1}\xi \right|}^{\text{2}\left(2n+2\right)}}{\left(\frac{\left|{\eta }^{-1}\xi \right|}{\mathcal{l}\left(I\right)}\right)}^{\left(2n+2\right)p}\text{d}\xi \text{d}\eta }}<\infty ,$

其中I是 ${ℍ}^n$ 上的一个区间， $\mathcal{l}\left(I\right)$ 是区间I的长度，并且该式的上确界取遍 ${ℍ}^n$ 中所有的方体I。

董建锋将 $Q_p\left({ℍ}^n\right)$ 的概念推广到 $ℍ$ 型群上，记为 $Q_p\left(\mathcal{H}\right)$，参见文献 [10]。在2016年，Zhao在文献 [11] 中引入了 $Q_p\left({ℍ}^n\right)$ 上的Hardy-Hausdorff空间，得到了Hardy-Hausdorff空间的原子分解，证明了 Hardy-Hausdorff空间与 $Q_p\left({ℍ}^n\right)$ 空间的对偶性。

通过定义1.1我们可以看出，空间 $Q_p\left({ℍ}^n\right)$ 与幂函数 $t^p$ 有关。一个很自然的问题就是 $Q_p\left({ℍ}^n\right)$ 中的幂函数 $t^p$ 是否可以用一个单调递增的权函数替代。因此，我们引入和研究了Heisenberg群上一个更为普遍的空间 $Q_K$，为了方便，本文研究 $Q_K\left(ℍ\right)$ 的相关问题，对于高维形式 $Q_K\left({ℍ}^n\right)$ 的研究可类似，二者均可视为 $Q_p\left({ℍ}^n\right)$ 的推广。

定义1.2设K是 $\left[0,\infty \right)$ 上的增函数。若 $f\in L_{loc}^2\left(ℍ\right)$ 满足

${\Vert f\Vert }_{Q_K\left(ℍ\right)}^2=\underset{I\subset ℍ}{\sup }{\displaystyle {\int }_I{\displaystyle {\int }_I\frac{{\left|f\left(\xi \right)-f\left(\eta \right)\right|}^2}{{\left|{\eta }^{-1}\xi \right|}^{\text{8}}}K\left(\frac{\left|{\eta }^{-1}\xi \right|}{\mathcal{l}\left(I\right)}\right)\text{d}\xi \text{d}\eta }}<\infty ,$

则称 $f\in Q_K\left(ℍ\right)$。其中I是 $ℍ$ 上的一个区间， $\mathcal{l}\left(I\right)$ 是区间I的长度，并且该式的上确界取遍 $ℍ$ 中所有的方体I并且该式的上确界取遍 $ℍ$ 中所有的方体I。

本文的主要目的是研究 $ℍ$ 上的Q型空间 $Q_K\left(ℍ\right)$。本文主要包括如下内容：在第二部分，介绍了相关的概念，研究了 $Q_K\left(ℍ\right)$ 的性质，给出了 $Q_K\left(ℍ\right)$ 与BMO空间的关系；在第三部分，利用辅助函数给出了 $Q_K\left(ℍ\right)$ 的Carleson测度刻画。

在本文中，如果存在一个正的常数C满足 $a\le Cb$，可写作 $a\lesssim b$。另外，如果和都成立，可写作。我们假设 $K:\left[0,\infty \right)\to \left[0,\infty \right)$ 是单调递增的并且满足 $K\left(2t\right)\approx K\left(t\right)$。如下是我们将会用到的几个函数空间：

2.的基本性质

在复空间 ${ℂ}^2$ 中，Siegel上半空间 $\mathbb{U}$ 被定义为

集合构成了Heisenberg群 $ℍ$，其中 $z_1=\left(x,y\right)\in ℂ$。如果 $\xi =\left(z_1,t\right)\in ℍ$，那么

${\left|\xi \right|}_{\infty }=\max \left\{\left|x\right|,\left|y\right|,\sqrt{t}\right\}$

且 $\left|\xi \right|={\left(\frac{\text{1}}{\text{16}}{\left|z_1\right|}^4+{\left|t\right|}^2\right)}^{1/4}$，其中 ${\left|z_1\right|}^2={\left|x\right|}^2+{\left|y\right|}^2,z_i=x+iy,1\le i\le 2$。 $ℍ$ 和 $\partial \mathbb{U}$ 可以通过在原点进行如下的映射等同起来：

$\left(z_1,t\right)\to \left(z_1,t+i{\left|z_1\right|}^2\right)\in \partial \mathbb{U},\left(z_1,t\right)\in ℍ.$

令 $f\in C^{\infty }\left(ℍ\right)$，f的梯度及其梯度的长度分别为

$\nabla f\left(\xi \right)=\left(Xf\left(\xi \right),Yf\left(\xi \right),T(\; \xi \; )\right)$

和

${\left|\nabla f\left(\xi \right)\right|}^2={\left(1+{\left|z_1\right|}^2\right)}^{-1}\left(\left|Xf\left(\xi \right)\right|+{\left|Yf\left(\xi \right)\right|}^2\right)+{\left|Tf\left(\xi \right)\right|}^2,$

其中 $X=\frac{\partial }{\partial x}+2y\frac{\partial }{\partial t},Y=\frac{\partial }{\partial x}-2x\frac{\partial }{\partial t}$ 并且 $T=\frac{\partial }{\partial t}$。在 $ℍ$ 中，

$f\ast g\left(\xi \right)={\displaystyle {\int }_{ℍ}f\left(\xi {\eta }^{-1}\right)g\left(\eta \right)\text{d}\eta }={\displaystyle {\int }_{ℍ}f\left(\eta \right)g\left({\eta }^{-1}\xi \right)\text{d}\eta }$

被称为函数f与g的卷积。

为了研究 $Q_K\left(ℍ\right)$ 的性质，我们需要如下辅助函数：

${\phi }_K\left(s\right)=\underset{0<t\le 1}{\sup }\frac{K\left(st\right)}{K\left(t\right)},0<s<\infty .$

并且在全文中假设辅助函数 ${\phi }_K\left(s\right)$ 满足如下两个条件：

${\displaystyle {\int }_0^1\frac{{\phi }_K\left(s\right)}{s^3}\text{d}s<\infty },$ (1)

${\displaystyle {\int }_1^{\infty }\frac{{\phi }_K\left(s\right)}{s^5}\text{d}s}<\infty .$ (2)

对于任意的方体 $I\subset ℍ$， $\eta$ 是I的中心，则基于I的Carleson盒子定义为

$S\left(I\right)=\left\{\left(\xi ,\rho \right)\in \mathbb{U}:{\left|{\eta }^{-1}\xi \right|}_{\infty }\le 2^{-1}\mathcal{l}\left(I\right),\rho \le \mathcal{l}\left(I\right)\right\}.$

定义2.1令 $p>0$。如果存在常数 $C>0$ 满足

$\underset{I}{\sup }\frac{\mu \left(S\left(I\right)\right)}{{\left|I\right|}^p}\le C,$

称 $\mathbb{U}$ 上的正Borel测度 $\mu$ 为p-Carleson测度。

定理2.2 $f\in Q_K\left(ℍ\right)$ 当且仅当

${\displaystyle {\int }_{{\left|\eta \right|}_{\infty }<\mathcal{l}\left(I\right)}{\displaystyle {\int }_I{\left|f\left(\xi \eta \right)-f\left(\xi \right)\right|}^{2}K\left(\frac{\left|\eta \right|}{\mathcal{l}\left(I\right)}\right)\text{d}\xi \frac{\text{d}\eta }{{\left|\eta \right|}^8}}<\infty ,}$

其中I是 $ℍ$ 上的一个区间， $\mathcal{l}\left(I\right)$ 是区间I的长度，并且该式的上确界取遍 $ℍ$ 中所有的方体I。

证明根据定义1.2，利用变量替换： ${\eta }^{-1}\xi \to \varsigma$，我们可以得到

$\begin{array}{c}{\Vert f\Vert }_{Q_K\left(ℍ\right)}^2=\underset{I}{\sup }{\displaystyle {\int }_I{\displaystyle {\int }_{{\left|\varsigma \right|}_{\infty }<\mathcal{l}\left(I\right)}\frac{{\left|f\left(\eta \varsigma \right)-f\left(\eta \right)\right|}^2}{{\left|\varsigma \right|}^8}K\left(\frac{\left|\varsigma \right|}{\mathcal{l}\left(I\right)}\right)\text{d}\varsigma \text{d}\eta }}\\ =\underset{I}{\sup }{\displaystyle {\int }_{{\left|\eta \right|}_{\infty }<\mathcal{l}\left(I\right)}{\displaystyle {\int }_I{\left|f\left(\xi \eta \right)-f\left(\xi \right)\right|}^{2}K\left(\frac{\left|\eta \right|}{\mathcal{l}\left(I\right)}\right)\text{d}\xi \frac{\text{d}\eta }{{\left|\eta \right|}^8}}}.\end{array}$

定义2.3令 $f\in L_{loc}^2\left(ℍ\right)$ 且 $f_I={\left|I\right|}^{-1}{\displaystyle {\int }_{I}f\left(\xi \right)\text{d}\xi }$。若f满足

${\Vert f\Vert }_{BMO}^2=\underset{I}{\sup }{\left|I\right|}^{-1}{\displaystyle {\int }_I{\left|f\left(\xi \right)-f_I\right|}^2\text{d}\xi }<\infty ,$

那么，称 $f\in BMO\left(ℍ\right)$。其中I是 $ℍ$ 上的一个区间， $\mathcal{l}\left(I\right)$ 是区间I的长度，并且该式的上确界取遍 $ℍ$ 中所有的方体I。

下面我们给出空间 $Q_K\left(ℍ\right)$ 与 $BMO\left(ℍ\right)$ 之间的关系。

定理2.4

(1) $Q_K\left(ℍ\right)\subseteq BMO\left(ℍ\right)$ ；

(2) 若 ${\displaystyle {\int }_0^2\frac{K\left(t\right)}{t^5}\text{d}t}<\infty$，则 $Q_K\left(ℍ\right)=BMO\left(ℍ\right)$。

证明(1)假设 $f\in Q_K\left(ℍ\right)$ 并且m表示Lebesgue测度。那么对于任意方体I以及 $\xi ,\eta \in I$，我们有

$C_{\text{1}}\left|I\right|\lesssim m\left(\left\{\varsigma \in I:\min \left(\left|{\varsigma }^{-1}\xi \right|,\left|{\varsigma }^{-1}\eta \right|\right)>C_{\text{2}}\mathcal{l}\left(I\right)\right\}\right).$

由于K是非减函数，于是

$\begin{array}{l}{\displaystyle {\int }_I\min \left(K\left(\frac{\left|{\varsigma }^{-1}\xi \right|}{\mathcal{l}\left(I\right)}\right),K\left(\frac{\left|{\varsigma }^{-1}\eta \right|}{\mathcal{l}\left(I\right)}\right)\right)\text{d}\varsigma }\\ \ge {\displaystyle {\int }_{\left\{\varsigma \in I:\min \left(\left|{\varsigma }^{-1}\xi \right|,\left|{\varsigma }^{-1}\eta \right|\right)>C_{\text{2}}\mathcal{l}\left(I\right)\right\}}\min \left(K\left(\frac{\left|{\varsigma }^{-1}\xi \right|}{\mathcal{l}\left(I\right)}\right),K\left(\frac{\left|{\varsigma }^{-1}\eta \right|}{\mathcal{l}\left(I\right)}\right)\right)\text{d}\varsigma }\\ \ge C_{\text{1}}K\left(C_{\text{2}}\right)\left|I\right|.\end{array}$

注意到

$\begin{array}{c}{\Vert f\Vert }_{BMO\left(ℍ\right)}^2=\underset{I}{\sup }{\left|I\right|}^{-1}{\displaystyle {\int }_I{\left|f\left(\xi \right)-f_I\right|}^2\text{d}\xi }\\ \approx \underset{I}{\sup }{\left|I\right|}^{-2}{\displaystyle {\int }_I{\displaystyle {\int }_I{\left|f\left(\xi \right)-f\left(\eta \right)\right|}^2\text{d}\xi \text{d}\eta .}}\end{array}$

那么

$\begin{array}{l}{\left|I\right|}^{-2}{\displaystyle {\int }_I{\displaystyle {\int }_I{\left|f\left(\xi \right)-f\left(\eta \right)\right|}^2\text{d}\xi \text{d}\eta }}\\ \lesssim {\left|I\right|}^{-3}{\displaystyle {\int }_I{\displaystyle {\int }_I{\displaystyle {\int }_I{\left|f\left(\xi \right)-f\left(\eta \right)\right|}^2\min \left(K\left(\frac{\left|{\varsigma }^{-1}\xi \right|}{\mathcal{l}\left(I\right)}\right),K\left(\frac{\left|{\varsigma }^{-1}\eta \right|}{\mathcal{l}\left(I\right)}\right)\right)\text{d}\xi \text{d}\eta \text{d}\varsigma }}}\\ \lesssim {\left|I\right|}^{-3}{\displaystyle {\int }_I{\displaystyle {\int }_I{\displaystyle {\int }_I{\left|f\left(\xi \right)-f\left(\varsigma \right)\right|}^{2}K\left(\frac{\left|{\varsigma }^{-1}\xi \right|}{\mathcal{l}\left(I\right)}\right)\text{d}\xi \text{d}\eta \text{d}\varsigma }}}\end{array}$

$\begin{array}{l}+{\left|I\right|}^{-3}{\displaystyle {\int }_I{\displaystyle {\int }_I{\displaystyle {\int }_I{\left|f\left(\eta \right)-f\left(\varsigma \right)\right|}^{2}K\left(\frac{\left|{\varsigma }^{-1}\eta \right|}{\mathcal{l}\left(I\right)}\right)\text{d}\xi \text{d}\eta \text{d}\varsigma }}}\\ \lesssim {\displaystyle {\int }_I{\displaystyle {\int }_I\frac{{\left|f\left(\xi \right)-f\left(\eta \right)\right|}^2}{{\left|{\eta }^{-1}\xi \right|}^8}K\left(\frac{\left|{\eta }^{-1}\xi \right|}{\mathcal{l}\left(I\right)}\right)\text{d}\xi \text{d}\eta }}.\end{array}$

于是

${\Vert f\Vert }_{BMO\left(ℍ\right)}^2\lesssim \underset{I}{\sup }{\displaystyle {\int }_I{\displaystyle {\int }_I\frac{{\left|f\left(\xi \right)-f\left(\eta \right)\right|}^2}{{\left|{\eta }^{-1}\xi \right|}^8}K\left(\frac{{\left|\eta \right|}^{-1}\xi }{\mathcal{l}\left(I\right)}\right)\text{d}\xi \text{d}\eta }},$

即 $Q_K\left(ℍ\right)\subseteq BMO\left(ℍ\right)$。

(2) 若

${\displaystyle {\int }_0^2\frac{K\left(t\right)}{t^5}\text{d}t}$

成立。设I为一个方体， $\eta \in ℍ$ 并满足 $\left|\eta \right|<2\mathcal{l}\left(I\right)$。则

${\displaystyle {\int }_I{\left|f\left(\xi \eta \right)-f\left(\xi \right)\right|}^2\text{d}\xi }\lesssim {\displaystyle {\int }_I{\left|f\left(\xi \eta \right)-f_{6I}\right|}^2+{\left|f\left(\xi \right)-f_{6I}\right|}^2\text{d}\xi }\approx \left|I\right|{\Vert f\Vert }_{BMO\left(ℍ\right)}^2$

并且

$\begin{array}{l}{\displaystyle {\int }_I{\displaystyle {\int }_I\frac{{\left|f\left(\xi \right)-f\left(\eta \right)\right|}^2}{{\left|{\eta }^{-1}\xi \right|}^8}K\left(\frac{\left|{\eta }^{-1}\xi \right|}{\mathcal{l}\left(I\right)}\right)\text{d}\xi \text{d}\eta }}\\ \le {\displaystyle {\int }_{\left|\eta \right|<2\mathcal{l}\left(I\right)}{\displaystyle {\int }_I{\left|f\left(\xi \eta \right)-f\left(\xi \right)\right|}^{2}K}}\left(\frac{\left|\eta \right|}{\mathcal{l}\left(I\right)}\right)\text{d}\xi \frac{\text{d}\eta }{{\left|\eta \right|}^8}\\ \lesssim \left|I\right|{\Vert f\Vert }_{BMO\left(ℍ\right)}^2{\displaystyle {\int }_{\left|\eta \right|<2\mathcal{l}\left(I\right)}K\left(\frac{\left|\eta \right|}{\mathcal{l}\left(I\right)}\right)}\frac{\text{d}\eta }{{\left|\eta \right|}^8}.\end{array}$

由于

${\displaystyle {\int }_{\left|\eta \right|<2\mathcal{l}\left(I\right)}K\left(\frac{\left|\eta \right|}{\mathcal{l}\left(I\right)}\right)\frac{\text{d}\eta }{{\left|\eta \right|}^8}}\approx {\left|I\right|}^{-1}{\displaystyle {\int }_0^2\frac{K\left(t\right)}{t^5}\text{d}t,}$

我们可以得到

${\displaystyle {\int }_I{\displaystyle {\int }_I\frac{{\left|f\left(\xi \right)-f\left(\eta \right)\right|}^2}{{\left|{\eta }^{-1}\xi \right|}^8}K\left(\frac{\left|{\eta }^{-1}\xi \right|}{\mathcal{l}\left(I\right)}\right)\text{d}\xi \text{d}\eta }}\lesssim {\Vert f\Vert }_{BMO\left(ℍ\right)}^2{\displaystyle {\int }_0^2\frac{K\left(t\right)}{t^5}\text{d}t.}$

因此 $BMO\left(ℍ\right)\subseteq Q_K\left(ℍ\right)$，根据(1)知 $BMO\left(ℍ\right)=Q_K\left(ℍ\right)$。

3. Carleson测度刻画

为了研究 $Q_K\left(ℍ\right)$ 的Carleson测度刻画，我们需要文献如下的Hardy型不等式，参见文献 [12]。

引理3.1令 $0<a\le \infty ,1<r<\infty$ 并且 $r^{\prime }=\frac{r}{r-1}$。假设 $\sigma$ 和 $\tau$ 在区间 $\left(0,a\right)$ 上是非负可测的。如果对于所有非负可测函数f，

(1)

${\displaystyle {\int }_0^a{\left({\displaystyle {\int }_0^{s}f\left(t\right)\text{d}t}\right)}^r\sigma \left(s\right)\text{d}s}\le C{\displaystyle {\int }_0^a{f}^r\left(s\right)\tau \left(s\right)\text{d}s}$

成立，当且仅当

$\underset{0<s<a}{\sup }{\left({\displaystyle {\int }_s^a\sigma \left(t\right)\text{d}t}\right)}^{1/r}{\left({\displaystyle {\int }_0^s{\left(\tau \left(t\right)\right)}^{1-r^{\prime }}\text{d}t}\right)}^{1/r^{\prime }}<\infty .$

(2)

${\displaystyle {\int }_0^a{\left({\displaystyle {\int }_s^{a}f\left(t\right)\text{d}t}\right)}^r\sigma \left(s\right)\text{d}s}\le C{\displaystyle {\int }_0^a{f}^r\left(s\right)\tau \left(s\right)\text{d}s}$

成立，当且仅当

$\underset{0<s<a}{\sup }{\left({\displaystyle {\int }_0^s\sigma \left(t\right)\text{d}t}\right)}^{1/r}{\left({\displaystyle {\int }_s^a{\left(\tau \left(t\right)\right)}^{1-r^{\prime }}\text{d}t}\right)}^{1/r^{\prime }}<\infty .$

在 $ℍ$ 上，用 $\mathcal{S}\left(ℍ\right)$ 定义Schwarz函数族。接下来我们证明与权函数有关的Stegenga型不等式。

引理3.2假设K满足

$\underset{0<s<\infty }{\sup }{\displaystyle {\int }_0^s\frac{K\left(t\right)}{t^3}\text{d}t}{\displaystyle {\int }_s^{\infty }\frac{t}{K\left(t\right)}\text{d}t}<\infty$

和

$\underset{0<s<1}{\sup }{\displaystyle {\int }_s^1\frac{K\left(t\right)}{t^{13}}\text{d}t}{\displaystyle {\int }_0^s\frac{t^{11}}{K\left(t\right)}\text{d}t}<\infty .$

令 $f\in L_{loc}^2\left(ℍ\right)$ 并且 $\varphi \in \mathcal{S}\left(ℍ\right)$ 满足 ${\displaystyle {\int }_{ℍ}\nabla \varphi \left(\xi \right)\text{d}\xi =0}$。那么对于任意的以 ${\xi }_0$ 为中心的方体I和J且 $J=3I$，存在与 $f,I$ 和J无关的常数 $C>0$ 使得

成立，其中 $f_J={\left|J\right|}^{-1}{\displaystyle {\int }_{J}f\left(\xi \right)\text{d}\xi }$ 并且 ${\varphi }_{\rho }\left(\xi \right)={\rho }^{-4}\varphi \left({\rho }^{-1}\xi \right),\rho >0$。

证明由于 $\varphi \in \mathcal{S}\left(ℍ\right)$，

$\begin{array}{l}\left|\nabla {\varphi }_{\rho }\left(\xi \right)\right|\le C{\rho }^{-\text{5}},\left|\xi \right|\le \rho ;\\ \left|\nabla {\varphi }_{\rho }\left(\xi \right)\right|\le C{\left|\xi \right|}^{-\text{5}},\left|\xi \right|>\rho .\end{array}$

首先令 ${\xi }_0=0$ 并且函数 $g\left(0\le g\le 1\right)$ 满足，当 $g\in \frac{2}{3}J$ 时， $g=1$， $\text{supp}g\subseteq \frac{3}{4}J$ 并且 $\left|g\left(\xi \right)-g\left(\eta \right)\right|\le C\mathcal{l}{\left(J\right)}^{-1}\left|{\eta }^{-1}\xi \right|$。记 $f=f_1+f_2+f_3$，其中 $f_1=f_J,f_2=\left(f-f_J\right)g$ 且 $f_3=\left(f-f_J\right)\left(1-g\right)$。 $f_1$ 是一个常数并且 ${\displaystyle {\int }_{ℍ}\nabla \varphi \left(\xi \right)\text{d}\xi =0}$ 表明 $f\ast \nabla {\varphi }_{\rho }=f_2\ast \nabla {\varphi }_{\rho }+f_3\ast \nabla {\varphi }_{\rho }$。因为 ${\displaystyle {\int }_{ℍ}\nabla {\varphi }_{\rho }\left(\varsigma \right)\text{d}\varsigma }=0$，

$\begin{array}{l}{\displaystyle {\int }_{S\left(I\right)}\left|\left(f\ast \nabla {\varphi }_{\rho }\right)\left(\xi \right)\right|K\left(\frac{\rho }{\mathcal{l}\left(I\right)}\right)\frac{\text{d}\xi \text{d}\rho }{{\rho }^{\text{3}}}}\\ ={\displaystyle {\int }_{S\left(I\right)}{\left|{\displaystyle {\int }_{ℍ}\left(f\left(\xi {\varsigma }^{-1}\right)\nabla {\varphi }_{\rho }\left(\varsigma \right)-f\left(\xi \right)\nabla {\varphi }_{\rho }\left(\varsigma \right)\right)\text{d}\varsigma }\right|}^2}K\left(\frac{\rho }{\mathcal{l}\left(I\right)}\right)\frac{\text{d}\xi \text{d}\rho }{{\rho }^{\text{3}}}.\end{array}$

令 $E=\left\{\left({\varsigma }^{\prime },t\right)\in ℍ,\left|{\varsigma }^{\prime }\right|<1,\left|t\right|<1\right\}$ 是 $ℍ$ 上以原点为中心的单位圆柱。设 $\eta =r{e}_{\eta },e_{\eta }\in \partial E$ 并且 $\Omega \left(r\right)={\displaystyle {\int }_{\partial E}{\Vert f\left(\cdot {\eta }^{-1}\right)-f\Vert }_{L^2}\text{d}{e}_{\eta }}$。于是

利用引理3.1，得

$\begin{array}{l}{\displaystyle {\int }_0^{\infty }{\Vert f\ast \nabla {\varphi }_{\rho }\Vert }_{L^2}^2}K\left(\frac{\rho }{\mathcal{l}\left(I\right)}\right)\frac{\text{d}\rho }{{\rho }^{\text{3}}}\\ \le C{\displaystyle {\int }_0^{\infty }{\Omega }^2}\left(\rho \right){\rho }^{6}K\left(\frac{\rho }{\mathcal{l}\left(I\right)}\right)\frac{\text{d}\rho }{{\rho }^{11}}+C{\displaystyle {\int }_0^{\infty }{\Omega }^2}\left(\rho \right){\rho }^{-\text{4}}K\left(\frac{\rho }{\mathcal{l}\left(I\right)}\right)\frac{\text{d}\rho }{\rho }\\ \le C{\displaystyle {\int }_{ℍ}{\displaystyle {\int }_{ℍ}{\left|f\left(\xi \right)-f\left(\eta \right)\right|}^2}K\left(\frac{\left|{\eta }^{-1}\xi \right|}{\mathcal{l}\left(I\right)}\right)\frac{\text{d}\xi \text{d}\eta }{{\left|{\eta }^{-1}\xi \right|}^8}.}\end{array}$

因此，对于 $f_2$，记

${\displaystyle {\int }_{S\left(I\right)}{\left|\left(f_2\ast \nabla {\varphi }_{\rho }\right)\left(\xi \right)\right|}^{2}K}\left(\frac{\rho }{\mathcal{l}\left(I\right)}\right)\frac{\text{d}\xi \text{d}\rho }{{\rho }^3}\lesssim A_1+A_2+A_3,$

其中

$\begin{array}{l}{A}_1:={\displaystyle {\int }_J{\displaystyle {\int }_J{\left|f_2\left(\xi \right)-f_2\left(\eta \right)\right|}^2}}K\left(\frac{\left|{\eta }^{-1}\xi \right|}{\mathcal{l}\left(I\right)}\right)\frac{\text{d}\xi \text{d}\eta }{{\left|{\eta }^{-1}\xi \right|}^8};\\ A_2:={\displaystyle {\int }_{\xi \notin J}{\displaystyle {\int }_{\xi \in \left(3/4\right)J}{\left|f_2\left(\xi \right)-f_2\left(\eta \right)\right|}^2}}K\left(\frac{\left|{\eta }^{-1}\xi \right|}{\mathcal{l}\left(I\right)}\right)\frac{\text{d}\xi \text{d}\eta }{{\left|{\eta }^{-1}\xi \right|}^8};\\ A_3:={\displaystyle {\int }_{\eta \notin J}{\displaystyle {\int }_{\xi \in \left(3/4\right)J}{\left|f_2\left(\xi \right)-f_2\left(\eta \right)\right|}^2}}K\left(\frac{\left|{\eta }^{-1}\xi \right|}{\mathcal{l}\left(I\right)}\right)\frac{\text{d}\xi \text{d}\eta }{{\left|{\eta }^{-1}\xi \right|}^8}.\end{array}$

由于

$\left|f_2\left(\xi \right)-f_2\left(\eta \right)\right|\le \left|f\left(\xi \right)-f\left(\eta \right)\right|+C\mathcal{l}{\left(J\right)}^{-1}\left|{\eta }^{-1}\xi \right|\left|f\left(\eta \right)-f_J\right|,$

从而

${\displaystyle {\int }_J{\displaystyle {\int }_J\frac{{\left|f\left(\xi \right)-f\left(\eta \right)\right|}^2}{{\left|{\eta }^{-1}\xi \right|}^8}K}}\left(\frac{\left|{\eta }^{-1}\xi \right|}{\mathcal{l}\left(I\right)}\right)\text{d}\xi \text{d}\eta \lesssim {\displaystyle {\int }_{\left|\eta \right|<2\mathcal{l}\left(J\right)}{\displaystyle {\int }_J{\left|f\left(\xi \eta \right)-f\left(\xi \right)\right|}^2}}K\left(\frac{\left|\eta \right|}{\mathcal{l}\left(I\right)}\right)\text{d}\xi \frac{\text{d}\eta }{{\left|\eta \right|}^8}$

且

$\begin{array}{l}\mathcal{l}{\left(J\right)}^{-2}{\displaystyle {\int }_J{\displaystyle {\int }_J\frac{{\left|f\left(\eta \right)-f_J\right|}^2}{{\left|{\eta }^{-1}\xi \right|}^6}K}}\left(\frac{\left|{\eta }^{-1}\xi \right|}{\mathcal{l}\left(J\right)}\right)\text{d}\xi \text{d}\eta \\ \lesssim \mathcal{l}{\left(J\right)}^{-2}{\displaystyle {\int }_{\left|\eta \right|<2\mathcal{l}\left(J\right)}{\displaystyle {\int }_J{\left|f\left(\xi \eta \right)-f_J\right|}^2}}K\left(\frac{\left|\eta \right|}{\mathcal{l}\left(J\right)}\right)\text{d}\xi \frac{\text{d}\eta }{{\left|\eta \right|}^6}\\ \lesssim {\displaystyle {\int }_{\left|\eta \right|<2\mathcal{l}\left(J\right)}{\displaystyle {\int }_J{\left|f\left(\xi \eta \right)-f\left(\xi \right)\right|}^2}}K\left(\frac{\left|\eta \right|}{\mathcal{l}\left(J\right)}\right)\text{d}\xi \frac{\text{d}\eta }{{\left|\eta \right|}^8}+{\displaystyle {\int }_0^2\frac{K\left(t\right)}{t^3}\text{d}t}{\left|J\right|}^{-1}{\displaystyle {\int }_J{\left|f\left(\xi \right)-f_J\right|}^2}\text{d}\xi .\end{array}$

所以

$A_1\lesssim {\displaystyle {\int }_{\left|\eta \right|<2\mathcal{l}\left(J\right)}{\displaystyle {\int }_J{\left|f\left(\xi \eta \right)-f\left(\xi \right)\right|}^2}}K\left(\frac{\left|\eta \right|}{\mathcal{l}\left(J\right)}\right)\text{d}\xi \frac{\text{d}\eta }{{\left|\eta \right|}^8}+{\displaystyle {\int }_0^2\frac{K\left(t\right)}{t^3}\text{d}t}{\left|J\right|}^{-1}{\displaystyle {\int }_J{\left|f\left(\xi \right)-f_J\right|}^2}\text{d}\xi .$

接下来考虑 $A_2$。注意到

$\left|{\eta }^{-1}\xi \right|>\left(1/8\right)\mathcal{l}\left(J\right),\left|f_2\left(\xi \right)-f_2\left(\eta \right)\right|\lesssim \left|f\left(\eta \right)-f_J\right|,\xi \notin J,\eta \in \left(3/4\right)J,$

于是

$\begin{array}{c}{A}_2={\displaystyle {\int }_{\xi \notin J}{\displaystyle {\int }_{\eta \in \left(3/4\right)J}{\left|f_2\left(\xi \right)-f_2\left(\eta \right)\right|}^2}}K\left(\frac{\left|{\eta }^{-1}\xi \right|}{\mathcal{l}\left(I\right)}\right)\frac{\text{d}\xi \text{d}\eta }{{\left|{\eta }^{-1}\xi \right|}^8}\\ \lesssim {\displaystyle {\int }_{\eta \in \left(3/4\right)J}{\left|f\left(\eta \right)-f_J\right|}^2\text{d}\eta }{\displaystyle {\int }_{\left|\zeta \right|>\left(1/8\right)\mathcal{l}\left(J\right)}K}\left(\frac{\left|\zeta \right|}{\mathcal{l}\left(J\right)}\right)\frac{\text{d}\zeta }{{\left|\zeta \right|}^8}\\ \lesssim {\displaystyle {\int }_{1/8}^{\infty }\frac{K\left(t\right)}{t^5}\text{d}t}{\left|J\right|}^{-1}{\displaystyle {\int }_J{\left|f\left(\eta \right)-f_J\right|}^2\text{d}\eta }.\end{array}$

用与 $A_2$ 相同的方法，可以得到

$A_3\lesssim {\displaystyle {\int }_{1/8}^{\infty }\frac{K\left(t\right)}{t^5}\text{d}t}{\left|J\right|}^{-1}{\displaystyle {\int }_J{\left|f\left(\eta \right)-f_J\right|}^2\text{d}\eta }.$

对于 $f_3$，由于 $\varphi \in \mathcal{S}\left(ℍ\right)$，

如果 $\left(\xi ,\rho \right)\in S\left(I\right)$ 并且，则有 ${\left(\rho +\left|{\eta }^{-1}\xi \right|\right)}^5\le C{\left|\eta \right|}^{-5}$。因此

综合以上不等式，可得所证。

定理3.3假设K满足(2)， $\varphi \in \mathcal{S}\left(ℍ\right)$ 满足 ${\displaystyle {\int }_{ℍ}\nabla \varphi }\left(\xi \right)\text{d}\xi =0$。令 $f\in L_{loc}^2\left(ℍ\right)$ 且 ${\displaystyle {\int }_{ℍ}\frac{f\left(t\right)}{1+{\left|t\right|}^{2t+3}}\text{d}t}<\infty$，则 $f\in Q_K\left(ℍ\right)$ 当且仅当存在一个常数 $C>0$ 满足

$\underset{I}{\sup }{\displaystyle {\int }_{S\left(I\right)}{\left|\left(f\ast \nabla {\varphi }_{\rho }\right)\left(\xi \right)\right|}^{2}K\left(\frac{\rho }{\mathcal{l}\left(I\right)}\right)\frac{\text{d}\xi \text{d}\rho }{{\rho }^{2n+1}}}<\infty .$ (3)

证明 $F\left(\xi ,\rho \right)$ 表示 $f\ast {\varphi }_{\rho }\left(\xi \right)$ 并且 $\underset{\rho \to 0}{\lim }F\left(\xi ,\rho \right)=F\left(\xi ,0\right)=f\left(\xi \right)$。首先，若 $f\in Q_K\left(ℍ\right)$。由定理2.4，我们可以得到 $f\in BMO\left(ℍ\right)$ 且 ${\Vert f\Vert }_{BMO\left(ℍ\right)}\le C{\Vert f\Vert }_{Q_K\left(ℍ\right)}$。令I与J是 $ℍ$ 上以原点为中心的方体，满足 $J=3I$，则 $\mathcal{l}\left(J\right)=\mathcal{l}\left(3I\right)$。那么

通过引理3.2我们可以推出

$\begin{array}{l}{\displaystyle {\int }_{S\left(I\right)}{\left|\left(f\ast \nabla {\varphi }_{\rho }\right)\left(\xi \right)\right|}^{2}K\left(\frac{\rho }{\mathcal{l}\left(I\right)}\right)\frac{\text{d}\xi \text{d}\rho }{{\rho }^3}}\\ \le {\Vert f\Vert }_{Q_K\left(ℍ\right)}^2+C\left({\displaystyle {\int }_0^2\frac{K\left(t\right)}{t^3}}+{\displaystyle {\int }_{1/8}^{\infty }\frac{K\left(t\right)}{t^5}\text{d}t}\right){\Vert f\Vert }_{BMO\left(ℍ\right)}^2+C{\displaystyle {\int }_0^2\frac{K\left(t\right)}{t^3}\text{d}t}{\Vert f\Vert }_{BMO\left(ℍ\right)}^2\\ \le C{\Vert f\Vert }_{Q_K\left(ℍ\right)}^2.\end{array}$

反过来，若(3)成立。要证 $f\in Q_K\left(ℍ\right)$，只需证

${\displaystyle {\int }_{{\left|\eta \right|}_{\infty }<\mathcal{l}\left(I\right)}{\displaystyle {\int }_I{\left|f\left(\xi \eta \right)-f\left(\xi \right)\right|}^2}}K\left(\frac{\left|\eta \right|}{\mathcal{l}\left(I\right)}\right)\text{d}\xi \frac{\text{d}\eta }{{\left|\eta \right|}^8}\le C.$

记 $\left|f\left(\xi \eta \right)-f\left(\xi \right)\right|\le A_1+A_2+A_3$，其中 $A_1=\left|f\left(\xi \eta \right)-F\left(\xi \eta ,\left|\eta \right|\right)\right|$， $A_2=\left|F\left(\xi \eta ,\left|\eta \right|\right)-F\left(\xi ,\left|\eta \right|\right)\right|$，并且 $A_3=\left|F\left(\xi ,\left|\eta \right|\right)-f\left(\xi \right)\right|$。由于

$\left|F\left(\xi ,\left|\eta \right|\right)-f\left(\xi \right)\right|=\left|F\left(\xi ,\left|\eta \right|\right)-F\left(\xi ,0\right)\right|\le {\displaystyle {\int }_0^{\left|\eta \right|}\left|\nabla F\left(\xi ,r\right)\right|\text{d}r},$

那么对于 $A_3$，利用Minkowski不等式，

${\left({\displaystyle {\int }_I{\left|A_3\right|}^2\text{d}\xi }\right)}^{1/2}\le {\left({\displaystyle {\int }_I{\left({\displaystyle {\int }_0^{\left|\eta \right|}\left|\nabla F\left(\xi ,r\right)\right|\text{d}r}\right)}^2\text{d}\xi }\right)}^{1/2}\le {{\displaystyle {\int }_0^{\left|\eta \right|}\left({\displaystyle {\int }_I{\left|\nabla F\left(\xi ,r\right)\right|}^2\text{d}\xi }\right)}}^{1/2}\text{d}r.$

结合引理3.1，可以推出

$\begin{array}{l}{\displaystyle {\int }_{{\left|\eta \right|}_{\infty }<\mathcal{l}\left(I\right)}\frac{1}{{\left|\eta \right|}^8}K}\left(\frac{\left|\eta \right|}{\mathcal{l}\left(I\right)}\right)\left({\displaystyle {\int }_I{\left|A_3\right|}^2\text{d}\xi }\right)\text{d}\eta \\ \le C{\displaystyle {\int }_0^{\mathcal{l}\left(I\right)}\frac{1}{{\rho }^5}K}\left(\frac{\rho }{\mathcal{l}\left(I\right)}\right){\left({\displaystyle {\int }_0^{\rho }{\left({\displaystyle {\int }_I{\left|\nabla F\left(\xi ,r\right)\right|}^2\text{d}\xi }\right)}^{1/2}\text{d}r}\right)}^2\text{d}\rho \\ \le {\displaystyle {\int }_{S\left(I\right)}{\left|\nabla F\left(\xi ,\rho \right)\right|}^2}K\left(\frac{\rho }{\mathcal{l}\left(I\right)}\right)\frac{\text{d}\xi \text{d}\rho }{{\rho }^3}\le C.\end{array}$

又因为

${\displaystyle {\int }_I{\left|A_1\right|}^2\text{d}\xi }={\displaystyle {\int }_{I+\eta }{\left|A_3\right|}^2\text{d}\xi }\le {\displaystyle {\int }_{3I}{\left|A_3\right|}^2\text{d}\xi },$

对于任意满足 ${\left|\eta \right|}_{\infty }<\mathcal{l}\left(I\right)$ 的 $\eta$，有

${\displaystyle {\int }_{{\left|\eta \right|}_{\infty }<\mathcal{l}\left(I\right)}\frac{1}{{\left|\eta \right|}^8}}K\left(\frac{\left|\eta \right|}{\mathcal{l}\left(I\right)}\right)\left({\displaystyle {\int }_I{\left|A_1\right|}^2\text{d}\xi }\right)\text{d}\eta \le C.$

对于 $A_2$，易得

$A_2\le C{\displaystyle {\int }_0^{\left|\eta \right|}\left|\nabla F\left(\xi r{e}_{\eta },\left|\eta \right|\right)\right|\text{d}r},e_{\eta }\in E,$

并且由Minkowski不等式

${\left({\displaystyle {\int }_I{\left|A_2\right|}^2\text{d}\xi }\right)}^{1/2}\le C\left|\eta \right|{\left({\displaystyle {\int }_{3I}{\left|\nabla F\left(\xi ,\left|\eta \right|\right)\right|}^2\text{d}\xi }\right)}^{1/2}.$

所以

${\displaystyle {\int }_{{\left|\eta \right|}_{\infty }<\mathcal{l}\left(I\right)}\frac{1}{{\left|\eta \right|}^8}}K\left(\frac{\left|\eta \right|}{\mathcal{l}\left(I\right)}\right)\left({\displaystyle {\int }_I{\left|A_2\right|}^2\text{d}\xi }\right)\text{d}\eta \le C.$

因此通过对 $A_1,A_2$ 和 $A_3$ 的估计，

${\displaystyle {\int }_{{\left|\eta \right|}_{\infty }<\mathcal{l}\left(I\right)}{\displaystyle {\int }_I{\left|f\left(\xi \eta \right)-f\left(\xi \right)\right|}^2}}K\left(\frac{\left|\eta \right|}{\mathcal{l}\left(I\right)}\right)\text{d}\xi \frac{\text{d}\eta }{{\left|\eta \right|}^8}\le C,$

即 $f\in Q_K\left(ℍ\right)$。

致谢

作者衷心感谢李澎涛教授的指导与建议。

基金项目

山东省自然科学基金(项目编号：ZR2020MA004)；国家自然科学基金(项目编号：11871293)。