R₀-代数的几类反犹豫模糊滤子

Several Types of Anti-Hesitation Fuzzy Filters for R₀-Algebras

摘要: 本文的创新点是提出了R0-代数的几类反犹豫模糊滤子，主要将犹豫模糊集理论应用在R₀-代数上，首先介绍了反犹豫模糊MP滤子、反犹豫模糊素MP滤子以及反犹豫模糊蕴含滤子的基本概念，其次讨论了R₀-代数上这几类反犹豫模糊滤子的性质，最后证明了R₀-代数的几类反犹豫模糊滤子的等价刻画。

Abstract: The innovation of this paper is to propose several classes of anti-hesitation fuzzy filters of R₀-algebra. The hesitation fuzzy set theory is mainly applied to R₀-algebra. First, the basic concepts of the filter anti-hesitation fuzzy MP filters, anti-hesitation fuzzy prime MP filters and anti-hesitation fuzzy implication filters are introduced. Secondly, the properties of these types of anti-hesitation fuzzy filters on R₀-algebra are discussed, and finally, we prove the equivalent characterization of several classes of anti-hesitation fuzzy filters of R₀-algebra.

1. 引言

作为模糊集的一种新拓展，犹豫模糊集的基本组成元素为犹豫模糊元素，每个犹豫模糊元素是由若干个可能的数值构成的集合，这一理论的提出丰富了模糊集理论。把犹豫模糊集应用到不同的代数结构中，已经得到了一些研究成果，例如：刘春辉、傅小波、张建忠等分别在BL-代数、FI-代数、布尔代数以及Fuzzy蕴含代数给出了犹豫模糊滤子、犹豫模糊同余、犹豫模糊滤子格、犹豫模糊理想等概念，并且取得了许多的研究成果 [1] - [6]。

本文主要是把犹豫模糊集理论应用在R₀-代数上，表达了反犹豫模糊MP滤子、反犹豫模糊素MP滤子以及反犹豫蕴含滤子的基本概念，并得出了这几类反犹豫模糊滤子的性质以及一些等价刻画。首先介绍了R₀-代数的反犹豫模糊MP滤子，其次介绍了R₀-代数的反犹豫模糊素MP滤子，最后介绍了R₀-代数的反犹豫模糊蕴含滤子。

2. 基础知识

定义2.1 [7] 设X是任一集合，f为 $X\to X$ 的映射，若对 $\forall x\in X$，有 $f\circ f=1_X$，则称f为对合映射。很容易看出，若f是对合的，那么f是一一对应的。

定义2.2 [7] 设L是一个完备格，f为 $L\to L$ 的映射，若对 $\forall a,b\in L$，当 $a\le b$ 时有 $f\left(a\right)\ge f\left(b\right)$，则称f为逆序映射。

定义2.3 [7] 若f既是逆序映射，又是对合映射，则称f为逆序对合对应。

定义2.4 [8] 令 $R=\left(R,\wedge ,\vee ,\to ,\neg ,0,1\right)$ 是一个 $\left(2,2,2,1,0,0\right)$ 型代数，满足下列条件：

(1) $\left(R,\wedge ,\vee ,\to ,\neg ,0,1\right)$ 是有界分配格；

(2) $\neg$ 是R上的逆序对合对应， $\to$ 是R上的二元运算，如果R满足以下条件： $\forall x,y,z\in R$

(T₁) $x\to y=\neg x\to \neg y$ ；

(T₂) $1\to x=x$， $x\to x=1$ ；

(T₃) $y\to z\le \left(x\to y\right)\to \left(x\to z\right)$ ；

(T₄) $x\to \left(y\to z\right)=y\to \left(x\to z\right)$ ；

(T₅) $x\to \left(y\vee z\right)=\left(x\to y\right)\vee \left(x\to z\right)$， $x\to \left(y\wedge z\right)=\left(x\to y\right)\wedge \left(x\to z\right)$ ；

(T₆) $\left(x\to y\right)\vee \left(\left(x\to y\right)\to \left(\neg x\vee y\right)\right)=1$。

则R称为R₀-代数。本文中出现的 $\neg$ 我们均用 ${}^{\text{'}}$ 表示。

性质2.5 [9] 令R是R₀代数， $\forall x,y,z\in R$，则下列结论成立：

(P₁) $x\to y=1$ 当且仅当 $x\le y$ ；

(P₂) $x\le y\to z$ 当且仅当 $y\le x\to z$ ；

(P₃) $x\vee y\to z=\left(x\to z\right)\wedge \left(y\to z\right)$， $x\wedge y\to z=\left(x\to z\right)\vee \left(y\to z\right)$ ；

(P₄) 若 $y\le z$，则 $x\to y\le x\to z$ ；若 $x\le y$，则 $y\to z\le x\to z$ ；

(P₅) $x\to y\ge x^{\text{'}}\vee y$ ；

(P₆) $\left(x\to y\right)\vee \left(y\to x\right)=1$ ；

(P₇) $x\wedge x^{\text{'}}\le y\vee y^{\text{'}}$ ；

(P₈) $x\to \left(y\to x\right)=1$ ；

(P₉) $x\to \left(x^{\text{'}}\to y\right)=1$ ；

(P₁₀) $\left(x\vee y\right)\le \left(\left(x\to y\right)\to y\right)\wedge \left(\left(y\to x\right)\to x\right)$ ；

(P₁₁) $x\to y\le x\vee z\to y\vee z$， $x\to y\le x\wedge z\to y\wedge z$ ；

(P₁₂) $x\to y\le \left(x\to z\right)\vee \left(z\to y\right)$。

性质2.6 [9] 令R是R₀代数， $x\otimes y={\left(x\to y^{\text{'}}\right)}^{\text{'}}$， $\forall x,y\in R$ 则

(P₁₃) $\left(R,\otimes ,1\right)$ 是以1为单位的交换半群；

(P₁₄) 若 $x\le y$，则 $x\otimes z\le y\otimes z$ ；

(P₁₅) $x\otimes y\le x\wedge y$ ；

(P₁₆) $x\otimes y\le z$ 当且仅当 $x\le y\to z$ ；

(P₁₇) $x\otimes \left(y\vee z\right)=\left(x\otimes y\right)\vee \left(x\otimes z\right)$ ；

(P₁₈) $x\otimes y\to z=x\to \left(y\to z\right)$， $x\to \left(y\to x\otimes y\right)=1$ ；

(P₁₉) $x\otimes x^{\text{'}}=0$。

引理2.7 [10] 令R是R₀代数， $\forall x,y,z\in R$ 则

(P₂₀) $x\otimes \left(x\to y\right)\le y$ ；

(P₂₁) $y\le x\to \left(x\otimes y\right)$， $x\le y\to \left(x\otimes y\right)$ ；

(P₂₂) $x\to y\le \left(y\to z\right)\vee \left(x\to z\right)$ ；

(P₂₃) $x\le x\wedge y\to y$。

定义2.8 [9] 令R是R₀-代数， $\tilde{A}:R\to \left[0,1\right]$ 是R到R₀单位区间上的映射，则称 $\tilde{A}$ 为R₀-代数R上的模糊集，用 $F\left(R\right)$ 表示R₀-代数R上的模糊集全体。

定义2.9 [10] 令R是R₀-代数， $\forall x,y\in R$， $A\subseteq R$ 若

(1) $1\in A$ ；

(2) $x\in A$， $x\to y\in A\Rightarrow y\in A$。

因此我们称A为R上的MP滤子。

定义2.10 [10] 令R是R₀-代数，若 $\forall x,y\in R$，当 $x\vee y\in A$ 时， $x\in A$ 或 $y\in A$，则称A为R上的素MP滤子。

定义2.11 [11] 令R是R₀-代数， $\forall x,y,z\in R$，若

(1) $1\in A$ ；

(2)若 $x\to \left(y\to x\right)\in A$， $x\to y\in A$ 那么 $x\to z\in A$。

则称A为R上的蕴含滤子。

定义2.12 [12] 令R是非空集合，R上的犹豫模糊集 $\tilde{A}$ 定义如下：

$\tilde{A}:\left\{\left(x,h_{\tilde{A}}\left(x\right)\right)|x\in R\right\}$

其中 $h_{\tilde{A}}\left(x\right)$ 是由区间 $\left[0,1\right]$ 上若干个不同值构成的集合，表示R中的元素x属于集合 $\tilde{A}$ 的若干种可能隶属度。

3. R₀-代数的几类反犹豫模糊滤子

3.1. R₀-代数的反犹豫模糊MP滤子

定义3.1.1令 $\tilde{A}$ 是R上的犹豫模糊集，若满足下列条件

(F₁) $h_{\tilde{A}}\left(1\right)\subseteq h_{\tilde{A}}\left(x\right)$， $\forall x\in R$ ；

(F₂) $h_{\tilde{A}}\left(y\right)\subseteq h_{\tilde{A}}\left(x\right)\cup h_{\tilde{A}}\left(x\to y\right)$， $\forall x,y\in R$。

则称 $\tilde{A}$ 是R上的反犹豫模糊MP滤子。

定理3.1.2令R是R₀-代数， $\tilde{A}$ 是R上的反犹豫模糊MP滤子，那么

(F₃) $\tilde{A}$ 是单调不增。

证明：设 $\tilde{A}$ 是R上的反犹豫模糊MP滤子，则(F₁) (F₂)成立，设 $x,y\in R$， $x\le y$，则由(P₁)可得， $x\to y=1$。

因此由定义3.1.1可知 $h_{\tilde{A}}\left(y\right)\subseteq h_{\tilde{A}}\left(x\right)\cup h_{\tilde{A}}\left(1\right)=h_{\tilde{A}}\left(x\right)$。

综上所述，(F₃)成立。

定理3.1.3设 $\tilde{A}$ 是R上的反犹豫模糊MP滤子当且仅当(F₁)与(F₄)成立，其中

(F₄) $h_{\tilde{A}}\left(x\to z\right)\subseteq h_{\tilde{A}}\left(x\to y\right)\cup h_{\tilde{A}}\left(y\to z\right)$ $\forall x,y,z\in R$。

证明：我们需证明，当成立时(F₂)与(F₄)等价，接下来我们假设(F₂)成立。

首先证(F₂) $\Rightarrow$ (F₁)；

因为(F₁)和(F₂)成立，所以可知(F₃)成立；

由(P₂₂)可知， $x\to y\le \left(y\to z\right)\to \left(x\to z\right)$，再由(F₃)可得

$h_{\tilde{A}}\left(\left(y\to z\right)\to \left(x\to z\right)\right)\subseteq h_{\tilde{A}}\left(x\to y\right)$ ；

由(F₃)得， $h_{\tilde{A}}\left(x\to z\right)\subseteq h_{\tilde{A}}\left(y\to z\right)\cup h_{\tilde{A}}\left(\left(y\to z\right)\to \left(x\to z\right)\right)$ ；

于是，我们有 $h_{\tilde{A}}\left(x\to z\right)\subseteq h_{\tilde{A}}\left(x\to y\right)\cup h_{\tilde{A}}\left(y\to z\right)$ ；

因此(F₄)成立；

再证(F₄) $\Rightarrow$ (F₅)；

由(F₄)可得 $h_{\tilde{A}}\left(1\to y\right)\subseteq h_{\tilde{A}}\left(1\to x\right)\cup h_{\tilde{A}}\left(x\to y\right)$ ；

由(T₂)有 $h_{\tilde{A}}\left(y\right)\subseteq h_{\tilde{A}}\left(x\right)\cup h_{\tilde{A}}\left(x\to y\right)$ ；

所以(F₂)成立，综上所述，定理得证。

定理3.1.4设 $\tilde{A}$ 是R上的反犹豫模糊MP滤子当且仅当(F₃)和(F₅)成立，其中

(F₅) $h_{\tilde{A}}\left(x\otimes y\right)\subseteq h_{\tilde{A}}\left(x\right)\cup h_{\tilde{A}}\left(y\right)$ $\forall x,y\in R$。

证明：设 $\tilde{A}$ 是R上的反犹豫模糊MP滤子；

则由定理3.1.2直接可以得出(F₃)成立；

由(F₂)可得 $h_{\tilde{A}}\left(x\otimes y\right)\subseteq h_{\tilde{A}}\left(x\right)\cup h_{\tilde{A}}\left(x\to \left(x\otimes y\right)\right)$ ；

又由(P₂₁)： $y\le x\to \left(x\otimes y\right)$，因此由(F₃)可得 $h_{\tilde{A}}\left(x\to \left(x\otimes y\right)\right)\le h_{\tilde{A}}\left(y\right)$ ；

从而 $h_{\tilde{A}}\left(x\otimes y\right)\subseteq h_{\tilde{A}}\left(x\right)\cup h_{\tilde{A}}\left(y\right)$ 即(F₅)成立。

反之，假设(F₃)和(F₅)成立，现在证明(F₁)和(F₂)成立，从而 $\tilde{A}$ 是R上的反犹豫模糊MP滤子；

因为 $x\le 1$，由(F₃)有 $h_{\tilde{A}}\left(1\right)\subseteq h_{\tilde{A}}\left(x\right)$，因此(F₁)成立；

由(F₅)可得， $h_{\tilde{A}}\left(x\otimes \left(x\to y\right)\right)\subseteq h_{\tilde{A}}\left(x\right)\cup h_{\tilde{A}}\left(x\to y\right)$ ；

由(P₂₀)： $x\otimes \left(x\to y\right)$ 和(F₃)可得 $h_{\tilde{A}}\left(y\right)\subseteq h_{\tilde{A}}\left(x\otimes \left(x\to y\right)\right)$ ；

因此 $h_{\tilde{A}}\left(y\right)\subseteq h_{\tilde{A}}\left(x\right)\cup h_{\tilde{A}}\left(x\to y\right)$，即(F₂)成立；

综上所述，定理得证。

定理3.1.5设 $\tilde{A}$ 是R上的反犹豫模糊MP滤子当且仅当(F₆)和(F₇)成立，其中

(F₆) $h_{\tilde{A}}\left(x\otimes y\right)=h_{\tilde{A}}\left(x\right)\cup h_{\tilde{A}}\left(y\right)$ $\forall x,y\in R$ ；

(F₇) $h_{\tilde{A}}\left(x\cap y\right)=h_{\tilde{A}}\left(x\right)\cup h_{\tilde{A}}\left(y\right)$ $\forall x,y\in R$ ；

证明：设 $\tilde{A}$ 是R上的反犹豫模糊MP滤子；

由(F₅)可得 $h_{\tilde{A}}\left(x\otimes y\right)\subseteq h_{\tilde{A}}\left(x\right)\cup h_{\tilde{A}}\left(y\right)$ ；

由(P₁₅)： $x\otimes y\le x\cap y$ 可得， $x\otimes y\le x,x\otimes y\le y$ ；

因此由(F₃)可得， $h_{\tilde{A}}\left(x\right)\subseteq h_{\tilde{A}}\left(x\otimes y\right),h_{\tilde{A}}\left(y\right)\subseteq h_{\tilde{A}}\left(x\otimes y\right)$ ；

从而 $h_{\tilde{A}}\left(x\right)\cup h{}_{\tilde{A}}\left(y\right)\subseteq h_{\tilde{A}}\left(x\otimes y\right)$ ；

故 $h_{\tilde{A}}\left(x\otimes y\right)=h_{\tilde{A}}\left(x\right)\cup h_{\tilde{A}}\left(y\right)$ 即(F₆)成立；

由(F₃)容易得到 $h_{\tilde{A}}\left(x\right)\cup h_{\tilde{A}}\left(y\right)\subseteq h_{\tilde{A}}\left(x\cap y\right)$ ；

再由(P₁₅)： $x\otimes y\le x\cap y$ 和(F₃)及(F₆)得

$h_{\tilde{A}}\left(x\cap y\right)\subseteq h_{\tilde{A}}\left(x\otimes y\right)=h_{\tilde{A}}\left(x\right)\cup h_{\tilde{A}}\left(y\right)$ ；

从而 $h_{\tilde{A}}\left(x\cap y\right)=h_{\tilde{A}}\left(x\right)\cup h_{\tilde{A}}\left(y\right)$ 即(F₇)成立。

反之，若(F₆)和(F₇)成立，则容易证明(F₃)和(F₅)成立，从而由定理3.1.4可知， $\tilde{A}$ 是R上的反犹豫模糊MP滤子。

综上所述，定理得证。

定理3.1.6设 $\tilde{A}$ 是R上的反犹豫模糊MP滤子当且仅当(F₈)成立，其中

(F₈) $x\le y\to z\Rightarrow h_{\tilde{A}}\left(z\right)\subseteq h_{\tilde{A}}\left(x\right)\cup h_{\tilde{A}}\left(y\right)$ $\forall x,y,z\in R$。

证明：设 $\tilde{A}$ 是R上的反犹豫模糊MP滤子， $\forall x,y,z\in R$。

若 $x\le y\to z$，则由(P₁₆)： $x\otimes y\le z$ 当且仅当 $x\le y\to z$ 知， $x\otimes y\le z$，所以由(F₃)和(F₅)可得， $h_{\tilde{A}}\left(z\right)\subseteq h_{\tilde{A}}\left(x\otimes y\right)\subseteq h_{\tilde{A}}\left(x\right)\cup h_{\tilde{A}}\left(y\right)$，故(F₈)成立。

反之，假设(F₈)成立，由(P₂₁)： $x\le y\to x\otimes y$ 和(F₈)可得 $h_{\tilde{A}}\left(x\otimes y\right)\subseteq h_{\tilde{A}}\left(x\right)\cup h_{\tilde{A}}\left(y\right)$，即(F₅)成立；

又由(P₂₃)： $x\le x\cap y\to y$ 和(F₈)可得 $h_{\tilde{A}}\left(y\right)\subseteq h_{\tilde{A}}\left(x\right)\cup h_{\tilde{A}}\left(x\cap y\right)$，由此可知 $x\le y$ 时 $h_{\tilde{A}}\left(y\right)\le h_{\tilde{A}}\left(x\right)$，即(F₃)成立。

因此由定理3.1.4可知， $\tilde{A}$ 是R上的反犹豫模糊MP滤子。

综上所述，定理得证。

定理3.1.7令 $\tilde{A}$ 是R上的犹豫模糊集，则 $\tilde{A}$ 为R上的反犹豫模糊MP滤子当且仅当 $\forall \gamma \in P\left(\left[0,1\right]\right)$，若 $R\left(\tilde{A},\gamma \right)\ne \varphi$，则 $R\left(\tilde{A},\gamma \right)$ 是R的MP滤子。

证明：设 $\tilde{A}$ 是R上的反犹豫模糊MP滤子。

$\forall \gamma \in P\left(\left[0,1\right]\right)$ 且 $R\left(\tilde{A},\gamma \right)\ne \varphi$，现在我们证明 $R\left(\tilde{A},\gamma \right)$ 是R的MP滤子。

由 $R\left(\tilde{A},\gamma \right)\ne \varphi$ 可知， $\exists x\in R$ 使得 $h_{\tilde{A}}\left(x\right)\subseteq \gamma$，再由(F₁)可知， $h_{\tilde{A}}\left(1\right)\subseteq h_{\tilde{A}}\left(x\right)\subseteq \gamma$，故 $1\in R\left(\tilde{A},\gamma \right)$ ；

设 $x\in R\left(\tilde{A},\gamma \right)$， $x\to y\in R\left(\tilde{A},\gamma \right)$，因此我们可以得到 $h_{\tilde{A}}\left(x\right)\subseteq \gamma$， $h_{\tilde{A}}\left(x\to y\right)\subseteq \gamma$，接着由(F₂)可知， $h_{\tilde{A}}\left(y\right)\subseteq h_{\tilde{A}}\left(x\right)\cup h_{\tilde{A}}\left(x\to y\right)\subseteq \gamma \cup \gamma =\gamma$。

从而 $y\in R\left(\tilde{A},\gamma \right)$，故 $R\left(\tilde{A},\gamma \right)$ 是R的MP滤子。

反之，证明 $\tilde{A}$ 为R上的反犹豫模糊MP滤子。

$\forall x\in R$，令 $h_{\tilde{A}}\left(x\right)={\gamma }_1$，则有 $x\in R\left(\tilde{A},{\gamma }_1\right)$，即 $R\left(\tilde{A},{\gamma }_1\right)\ne \varphi$，由 $R\left(\tilde{A},\gamma \right)\ne \varphi$ 是R的MP滤子，则 $1\in R\left(\tilde{A},\gamma \right)$，从而 $h_{\tilde{A}}\left(1\right)\subseteq {\gamma }_1=h_{\tilde{A}}\left(x\right)$，故(F₁)成立；

$\forall x,y\in R$，令 ${\gamma }_2=h_{\tilde{A}}\left(x\right)\cup h_{\tilde{A}}\left(x\to y\right)$，则 $x\in R\left(\tilde{A},{\gamma }_2\right)$， $x\to y\in R\left(\tilde{A},{\gamma }_2\right)$，即 $R\left(\tilde{A},{\gamma }_2\right)\ne \varphi$ ；由 $R\left(\tilde{A},{\gamma }_2\right)$ 是R的MP滤子，因此可得 $y\in R\left(\tilde{A},{\gamma }_2\right)$，从而 $h_{\tilde{A}}\left(y\right)\subseteq {\gamma }_2=h_{\tilde{A}}\left(x\right)\cup h_{\tilde{A}}\left(x\to y\right)$，故(F₂)成立。因此， $\tilde{A}$ 是R上的反犹豫模糊MP滤子。

综上所述，定理得证。

定理3.1.8令 $\tilde{A}$ 是R上的犹豫模糊集，则 $\tilde{A}$ 为R上的反犹豫模糊MP滤子，则有 $\forall x\in R$， $R\left(\tilde{A},{\gamma }_0\right)$ 是MP滤子，这里 ${\gamma }_0=h_{\tilde{A}}\left(x\right)$。

证明：由 $x\in R\left(\tilde{A},{\gamma }_0\right)$ 知， $R\left(\tilde{A},{\gamma }_0\right)\ne \varphi$，因此由定理3.1.7可知 $R\left(\tilde{A},{\gamma }_0\right)$ 是MP滤子。

3.2. R₀-代数的反犹豫模糊素MP滤子

定义3.2.1设 $\tilde{A}$ 是R上的反犹豫模糊MP滤子，若 $\tilde{A}$ 满足下列条件：

(F₉) $h_{\tilde{A}}\left(x\right)\cup h_{\tilde{A}}\left(y\right)\subseteq h_{\tilde{A}}\left(x\cup y\right)$ $\forall x,y\in R$。

则称 $\tilde{A}$ 是R上的反犹豫模糊素MP滤子。

定理3.2.2设 $\tilde{A}$ 是R上的反犹豫模糊MP滤子，则 $\tilde{A}$ 是R上的反犹豫模糊素MP滤子当且仅当(F₁₀)成立，其中(F₁₀) $h_{\tilde{A}}\left(x\cup y\right)=h_{\tilde{A}}\left(x\right)\cup h_{\tilde{A}}\left(y\right)$ $\forall x,y\in R$。

证明：设 $\tilde{A}$ 是R上的反犹豫模糊素MP滤子，则(F₉)成立，又由(F₃)可知 $\tilde{A}$ 单调不增，从而可知 $h_{\tilde{A}}\left(x\cup y\right)\subseteq h_{\tilde{A}}\left(x\right)\cup h_{\tilde{A}}\left(y\right)$，因此(F₁₀)成立。

反之，设 $\tilde{A}$ 是R上的反犹豫模糊MP滤子且满足(F₁₀)，则(F₉)显然成立，故由定义3.2.1可知， $\tilde{A}$ 是R上的反犹豫模糊素MP滤子。

综上所述，定理得证。

定理3.2.3设 $\tilde{A}$ 是R上的反犹豫模糊MP滤子，则 $\tilde{A}$ 是R上的反犹豫模糊素MP滤子当且仅当(F₁₁)成立，其中(F₁₁) $h_{\tilde{A}}\left(x\to y\right)\cup h_{\tilde{A}}\left(y\to x\right)=h_{\tilde{A}}\left(1\right)$ $\forall x,y\in R$。

证明：若 $\tilde{A}$ 是R上的反犹豫模糊素MP滤子，则由(F₁₀)可知， $h_{\tilde{A}}\left(x\to y\right)\cup h_{\tilde{A}}\left(y\to x\right)=h_{\tilde{A}}\left(\left(x\to y\right)\cup \left(y\to x\right)\right)$，根据(P₆)可知 $\left(x\to y\right)\cup \left(y\to x\right)=1$，从而 $h_{\tilde{A}}\left(x\to y\right)\cup h_{\tilde{A}}\left(y\to x\right)=h_{\tilde{A}}\left(1\right)$，因此(F₁₁)成立；

反之，设 $\tilde{A}$ 是R上的反犹豫模糊MP滤子且(F₁₁)成立， $\forall x,y\in R$ 则由(P₁₀)： $x\cup y\le \left(\left(x\to y\right)\to y\right)\cap \left(\left(y\to x\right)\to x\right)$ 及(F₃)可得 $h_{\tilde{A}}\left(\left(x\to y\right)\to y\right)\cap h_{\tilde{A}}\left(\left(y\to x\right)\to x\right)\subseteq h_{\tilde{A}}\left(x\cup y\right)$ 从而 $h_{\tilde{A}}\left(\left(x\to y\right)\to y\right)\subseteq h_{\tilde{A}}\left(x\cup y\right)$， $h_{\tilde{A}}\left(\left(y\to x\right)\to x\right)\subseteq h_{\tilde{A}}\left(x\cup y\right)$，由(F₂)可得 $h_{\tilde{A}}\left(y\right)\subseteq h_{\tilde{A}}\left(x\to y\right)\cup h_{\tilde{A}}\left(\left(x\to y\right)\to y\right)$， $h_{\tilde{A}}\left(x\right)\subseteq h_{\tilde{A}}\left(y\to x\right)\cup h_{\tilde{A}}\left(\left(y\to x\right)\to x\right)$，所以 $h_{\tilde{A}}\left(y\right)\subseteq h_{\tilde{A}}\left(x\to y\right)\cup h_{\tilde{A}}\left(x\cup y\right)$， $h_{\tilde{A}}\left(x\right)\subseteq h_{\tilde{A}}\left(y\to x\right)\cup h_{\tilde{A}}\left(x\cup y\right)$

因此， $h_{\tilde{A}}\left(x\right)\cup h_{\tilde{A}}\left(y\right)\subseteq \left(h_{\tilde{A}}\left(x\cup y\right)\cup h_{\tilde{A}}\left(x\to y\right)\right)\cup \left(h_{\tilde{A}}\left(x\cup y\right)\cup h_{\tilde{A}}\left(y\to x\right)\right)$

$=h_{\tilde{A}}\left(x\cup y\right)\cup \left(h_{\tilde{A}}\left(x\to y\right)\cup h_{\tilde{A}}\left(y\to x\right)\right)$

$\subseteq h_{\tilde{A}}\left(x\cup y\right)\cup h_{\tilde{A}}\left(1\right)$ (由(F11)可知

$=h_{\tilde{A}}\left(x\cup y\right)$

即(F₉)成立，故 $\tilde{A}$ 是R上的反犹豫模糊素MP滤子。

综上所述，定理得证。

定理3.2.4设 $\tilde{A}$ 是R上的犹豫模糊集，则 $\tilde{A}$ 是R上的反犹豫模糊素MP滤子当且仅当 $\forall \gamma \in P\left(\left[0,1\right]\right)$，若 $R\left(\tilde{A},\gamma \right)\ne \varphi$，则 $R\left(\tilde{A},\gamma \right)$ 是R的素MP滤子。

证明：设 $\tilde{A}$ 是R上的反犹豫模糊素MP滤子，则 $\tilde{A}$ 是R上的反犹豫模糊MP滤子，因此由定理3.1.7可知，当 $R\left(\tilde{A},\gamma \right)\ne \varphi$ 时， $R\left(\tilde{A},\gamma \right)$ 是R的MP滤子。假设 $\forall x,y\in R\left(\tilde{A},\gamma \right)$，则 $h_{\tilde{A}}\left(x\right)\subseteq \gamma$， $h_{\tilde{A}}\left(y\right)\subseteq \gamma$，由(F₁₀)可知， $h_{\tilde{A}}\left(x\cup y\right)=h_{\tilde{A}}\left(x\right)\cup h_{\tilde{A}}\left(y\right)\subseteq \gamma$，故 $h_{\tilde{A}}\left(x\cup y\right)\subseteq \gamma$，从而 $R\left(\tilde{A},\gamma \right)$ 是R的素MP滤子；

反之，当 $R\left(\tilde{A},\gamma \right)\ne \varphi$ 时，则 $R\left(\tilde{A},\gamma \right)$ 是R的素MP滤子，则 $R\left(\tilde{A},\gamma \right)$ 是R的MP滤子，因此由定理3.1.7可知， $\tilde{A}$ 为R上的反犹豫模糊MP滤子。假设 $\forall x,y\in \tilde{A}$，令 $h_{\tilde{A}}\left(x\cup y\right)={\gamma }_0$，即 $x\cup y\in R\left(\tilde{A},{\gamma }_0\right)$，而 $R\left(\tilde{A},{\gamma }_0\right)\ne \varphi$，从而有 $R\left(\tilde{A},{\gamma }_0\right)$ 为素MP滤子，即而可知 $x\in R\left(\tilde{A},{\gamma }_0\right)$ 或 $y\in R\left(\tilde{A},{\gamma }_0\right)$，即有 $h_{\tilde{A}}\left(x\right)\subseteq {\gamma }_0$ 或 $h_{\tilde{A}}\left(y\right)\subseteq {\gamma }_0$，因此 $h_{\tilde{A}}\left(x\right)\cup h_{\tilde{A}}\left(y\right)\subseteq {\gamma }_0\cup {\gamma }_0={\gamma }_0=h_{\tilde{A}}\left(x\cup y\right)$，故 $\tilde{A}$ 是R上的反犹豫模糊素MP滤子。

综上所述，定理得证。

3.3. R₀-代数的反犹豫模糊蕴含滤子

定义3.3.1设R是R₀代数，若 $\forall x,y,z\in R$，满足以下条件：

(F₁₁) $h_{\tilde{A}}\left(1\right)\subseteq h_{\tilde{A}}\left(x\right)$ ；

(F₁₂) $h_{\tilde{A}}\left(x\to z\right)\subseteq h_{\tilde{A}}\left(x\to \left(y\to z\right)\right)\cup h_{\tilde{A}}\left(x\to y\right)$。

则称 $\tilde{A}$ 是R上的反犹豫模糊蕴含滤子。

定理3.3.2设 $\tilde{A}$ 是R上的反犹豫模糊蕴含滤子，则 $\tilde{A}$ 是R上的反犹豫模糊MP滤子。

证明：设 $\tilde{A}$ 是R上的反犹豫模糊蕴含滤子，在(F₁₂)中，令 $x=1$，则有

$h_{\tilde{A}}\left(z\right)=h_{\tilde{A}}\left(1\to z\right)\subseteq h_{\tilde{A}}\left(1\to \left(y\to z\right)\right)\cup h_{\tilde{A}}\left(1\to y\right)=h_{\tilde{A}}\left(y\to z\right)\cup h_{\tilde{A}}(\; y\; )$

因此由定义3.1.1可知， $\tilde{A}$ 是R上的反犹豫模糊MP滤子。

综上所述，定理得证。

定理3.3.3设 $\tilde{A}$ 是R上的反犹豫模糊MP滤子，则 $\tilde{A}$ 是R上的反犹豫模糊蕴含滤子当且仅当 $\forall x,y,z\in R$， $h_{\tilde{A}}\left(x\to z\right)\subseteq h_{\tilde{A}}\left(x\to \left(z^{\text{'}}\to y\right)\right)\cup h_{\tilde{A}}\left(y\to z\right)$ 成立。

证明：假设 $\tilde{A}$ 是R上的反犹豫模糊蕴含滤子， $\forall x,y,z\in R$，我们有：

$h_{\tilde{A}}\left(x\to \left(z^{\text{'}}\to y\right)\right)\cup h_{\tilde{A}}\left(y\to z\right)=h_{\tilde{A}}\left(z^{\text{'}}\to \left(y^{\text{'}}\to x^{\text{'}}\right)\right)\cup h_{\tilde{A}}\left(z^{\text{'}}\to y^{\text{'}}\right)\supseteq h_{\tilde{A}}\left(z^{\text{'}}\to x^{\text{'}}\right)=h_{\tilde{A}}\left(x\to z\right)$

反之，我们假设 $\tilde{A}$ 是R上的反犹豫模糊MP滤子且有 $\forall x,y,z\in R$， $h_{\tilde{A}}\left(x\to z\right)\subseteq h_{\tilde{A}}\left(x\to \left(z^{\text{'}}\to y\right)\right)\cup h_{\tilde{A}}\left(y\to z\right)$，从而我们可以得到：

$h_{\tilde{A}}\left(x\to \left(y\to z\right)\right)\cup h_{\tilde{A}}\left(x\to y\right)=h_{\tilde{A}}\left(z^{\text{'}}\to \left({\left(x^{\text{'}}\right)}^{\text{'}}\to y^{\text{'}}\right)\right)\cup h_{\tilde{A}}\left(y^{\text{'}}\to x^{\text{'}}\right)\supseteq h_{\tilde{A}}\left(z^{\text{'}}\to x^{\text{'}}\right)=h_{\tilde{A}}\left(x\to z\right)$

因此， $\tilde{A}$ 是R上的反犹豫模糊蕴含滤子。

综上所述，定理得证。

定理3.3.4设 $\tilde{A}$ 是R上的反犹豫模糊蕴含滤子， $\forall x,y,z\in R$，则有(F₁₃)成立，其中(F₁₃) $h_{\tilde{A}}\left(x\to y\right)=h_{\tilde{A}}\left(x\to \left(y^{\text{'}}\to y\right)\right)$。

证明：假设 $\tilde{A}$ 是R上的反犹豫模糊蕴含滤子，则由定理3.3.3可知：

$h_{\tilde{A}}\left(x\to y\right)\subseteq h_{\tilde{A}}\left(x\to \left(y^{\text{'}}\to y\right)\right)\cup h_{\tilde{A}}\left(y\to y\right)=h_{\tilde{A}}\left(x\to \left(y^{\text{'}}\to y\right)\right)$

又由于 $x\to y\le x\to \left(y^{\text{'}}\to y\right)$ 与(F₃)可知， $h_{\tilde{A}}\left(x\to y\right)\supseteq h_{\tilde{A}}\left(x\to \left(y^{\text{'}}\to y\right)\right)$，因此我们有 $h_{\tilde{A}}\left(x\to y\right)=h_{\tilde{A}}\left(x\to \left(y^{\text{'}}\to y\right)\right)$，即(F₁₃)成立。

综上所述，定理得证。

定理3.3.5令 $\tilde{A}$ 是R上的犹豫模糊集，则 $\tilde{A}$ 是R上的反犹豫模糊蕴含滤子当且仅当 $\forall \gamma \in P\left(\left[0,1\right]\right)$，若 $R\left(\tilde{A},\gamma \right)\ne \varphi$，则 $R\left(\tilde{A},\gamma \right)$ 是R的蕴涵滤子。

证明：假设 $\tilde{A}$ 是R上的反犹豫模糊蕴含滤子， $\forall \gamma \in P\left(\left[0,1\right]\right)$， $R\left(\tilde{A},\gamma \right)\ne \varphi$，我们由定理3.3.2和定理3.1.7可知， $R\left(\tilde{A},\gamma \right)$ 是R的MP滤子。现在我们要得到 $R\left(\tilde{A},\gamma \right)$ 是R的蕴涵滤子，如果 $x\to \left(y\to z\right)\in R\left(\tilde{A},\gamma \right)$ 且 $x\to y\in R\left(\tilde{A},\gamma \right)$，从而得到 $h_{\tilde{A}}\left(x\to \left(y\to z\right)\right)\subseteq \gamma$ 且 $h_{\tilde{A}}\left(x\to y\right)\subseteq \gamma$，因为 $\tilde{A}$ 是R上的反犹豫模糊蕴含滤子，我们可以得到 $h_{\tilde{A}}\left(x\to z\right)\subseteq h_{\tilde{A}}\left(x\to \left(y\to z\right)\right)\cup h_{\tilde{A}}\left(x\to y\right)\subseteq \gamma$，继而得到 $x\to z\in R\left(\tilde{A},\gamma \right)$，因此 $R\left(\tilde{A},\gamma \right)$ 是R的蕴涵滤子；

反之，假设 $\forall \gamma \in P\left(\left[0,1\right]\right)$，若 $R\left(\tilde{A},\gamma \right)\ne \varphi$,则有 $R\left(\tilde{A},\gamma \right)$ 是R的蕴涵滤子，由定理3.1.7可知 $\tilde{A}$ 为R上的反犹豫模糊MP滤子。现在我们需要证明 $\tilde{A}$ 是R上的反犹豫模糊蕴含滤子。令 $\gamma =h_{\tilde{A}}\left(x\to \left(y\to z\right)\right)\cup h_{\tilde{A}}\left(x\to y\right)$，因此 $x\to \left(y\to z\right)\in R\left(\tilde{A},\gamma \right)$ 且 $x\to y\in R\left(\tilde{A},\gamma \right)$，又因为 $R\left(\tilde{A},\gamma \right)$ 是R的蕴涵滤子，所以可以得到 $x\to z\in R\left(\tilde{A},\gamma \right)$，即 $h_{\tilde{A}}\left(x\to z\right)\subseteq h_{\tilde{A}}\left(x\to \left(y\to z\right)\right)\cup h_{\tilde{A}}\left(x\to y\right)$，由定义3.3.1可知， $\tilde{A}$ 是R上的反犹豫模糊蕴含滤子。

综上所述，定理得证。