李雅普诺夫第二方法的合理性暨证明

The Rationality and Proof of Lyapunov’s Se-cond Method

摘要: 分析了李雅普诺夫V函数与它的合理性，给出了相应定理的证明。

Abstract: The Critical Situation, The Dot Product, Isosurface, The Total Derivative of a System of Equations

1. 引言

数学摆无阻力时，振动方程组为

$\{\begin{array}{l}\frac{\text{d}x}{\alpha t}=y,\\ \frac{\text{d}y}{\alpha t}=-\frac{g}{\mathcal{l}}\sin x\end{array}$ (1)

属于临界情形，不能按线性近似决定其稳定性态。为判断其零解的稳定性态，将(1)改写为

$\frac{\text{d}y}{\text{d}x}=\frac{-\frac{g}{\mathcal{l}}\sin x}{y}$,

则 $y\text{d}y=-\frac{g}{\mathcal{l}}\sin x\text{d}x$，于是有 $\frac{1}{2}{y}^2+\frac{g}{\mathcal{l}}\left(1-\cos x\right)=c$，这里c为任意非负常数。

如果我们取函数

$V\left(x,y\right)=\frac{1}{2}{y}^2+\frac{g}{\mathcal{l}}\left(1-\cos x\right)$,

则此函数具有性质： $V\left(0,0\right)=0$，而在原点邻域对任何不同时为零的x, y ( $\left|x\right|<\pi$ )有 $V\left(x,y\right)>0$。

现在沿着方程组(1)的解 $x=x\left(t\right),y=y\left(t\right)$ 对函数 $V\left(x,y\right)$ 取导数

$\frac{\text{d}V\left(x\left(t\right),y\left(t\right)\right)}{\text{d}t}=\frac{\partial V}{\partial x}\frac{\text{d}x\left(t\right)}{\text{d}t}+\frac{\partial V}{\partial y}\frac{\text{d}y\left(t\right)}{\text{d}t}=\frac{g}{\mathcal{l}}\sin x\cdot y+y\cdot \left(-\frac{g}{\mathcal{l}}\sin x\right)=0$。

从 $t_{\circ }$ 到t积分上式，得到

$V\left(x\left(t\right),y\left(t\right)\right)=V\left(x\left(t_{\circ }\right),y\left(t_{\circ }\right)\right)$。

从几何图形看，在0xy平面上 $V\left(x,y\right)=V\left(x\left(t_{\circ }\right),y\left(t_{\circ }\right)\right)=c$ 是一条曲线，其解 $x=x\left(t\right)$， $y=y\left(t\right)$ 在这条曲线上。由于V的性质，c足够小时 $V\left(x,y\right)=c$ 是围绕原点的一族闭曲线(后面有证明)。因此在无阻力情况下的数学摆方程组(1)的零解是稳定的，但不是渐近稳定的。

这样，借助构造一个特殊的函数 $V\left(x,y\right)$，并利用函数 $V\left(x,y\right)$ 及其通过方程组的全导数 $\frac{\text{d}V\left(x,y\right)}{\alpha t}$ 的

性质来确定方程组解的稳定性，这就是李雅普诺夫第二方法的思想。具有这种特殊性质的函数 $V\left(x,y\right)$ 称为李雅普诺夫函数，简称V函数。

现在讨论如何应用V函数来确定非线性微分方程组的稳定性态问题。为简单起见，我们只考虑非线性驻定微分方程组

$\frac{\text{d}\stackrel{\rightharpoonup }{x}}{\text{d}t}=\stackrel{\rightharpoonup }{f}\left(\stackrel{\rightharpoonup }{x}\right)$. (2)

假设 $\stackrel{\rightharpoonup }{f}\left(\stackrel{\rightharpoonup }{0}\right)=\stackrel{\rightharpoonup }{0}$，且 $\stackrel{\rightharpoonup }{f}\left(\stackrel{\rightharpoonup }{x}\right)$ 在某域 $G:\Vert \stackrel{\rightharpoonup }{x}\Vert \le A$ (A为正常数)内有连续的偏导数，因而方程组(2)由初值条件 $\stackrel{\rightharpoonup }{x}\left(t_{\circ }\right)={\stackrel{\rightharpoonup }{x}}_{\circ }$ 所确定的解在域G内存在且唯一。显然 $\stackrel{\rightharpoonup }{x}={\stackrel{\rightharpoonup }{0}}_{\circ }$ 是它的特解。

进一步假设函数 $V\left(\stackrel{\rightharpoonup }{x}\right)$ 关于所有变量的偏导数存在且连续，把方程组(2)的解代入，然后对t求导得

$\frac{\text{d}V}{\text{d}t}={\displaystyle \underset{i=1}{\overset{n}{\sum }}\frac{\partial V}{\partial x_i}\frac{\text{d}{x}_i}{\text{d}t}}={\displaystyle \underset{i=1}{\overset{n}{\sum }}\frac{\partial V}{\partial x_i}{f}_i}$,

这样求得的导数 $\frac{\text{d}V}{\text{d}t}$ 称为函数V通过方程组(2)的全导数。

2. 相应的证明

为简单起见，考虑两个变量的函数 $V\left(x,y\right)$，但我们的一切讨论对于n > 2的情形仍然成立。

假设V在域

$\left|x\right|\le H,\left|y\right|\le H$ (3)

是定正的。讨论曲线族

$V\left(x,y\right)=c$, (4)

其中c > 0。当c = 0时，由V的定号性知道，只有原点适合这个方程，即曲线退化为一点。

我们证明当c足够小时，曲线(4)是闭的(注意曲线V = c一般来说可能是非常复杂的，它也可能是由不连通的几个分支构成的)，并且包围着坐标原点。为此我们来证明，只要c不超过某个只与H有关的足够小的正数 $\mathcal{l}$ 时，任何从原点O出发到域(3)的边界上任一点的连续曲线一定和曲线(4)相交。

设

$\eta =\max \left|x\right|,\left|y\right|$

$\mathcal{l}=\underset{\eta =H}{\inf }\left(x,y\right)$,

由V的定号性推知 $\mathcal{l}>0$，因而在域(3)的边界上 $V\ge \mathcal{l}$。

现在考虑从坐标原点出发到域(3)的边界引出的任意一条连续曲线L，并注视沿着曲线 $\mathcal{l}$，函数 $V\left(x,y\right)$ 产生的变化。显然在曲线的起点O，有 $V\left(0,0\right)=0$，而在曲线的终点 $M\left(\alpha ,\beta \right)$ 有 $V\left(\alpha ,\beta \right)={\mathcal{l}}^{\prime }\ge \mathcal{l}$。因此，只要 $c<\mathcal{l}$ (这就是我们所要假设的)，已知 $V\left(x,y\right)$ 在域(3)内连续，自然在曲线L上是连续的，于是V在这条曲线L上的某点必然要取值c。换句话说，这条曲线L必然要和曲线(4)相交。因此当c相当小时( $c<\mathcal{l}$ )，所有的曲线(4)都是闭的并且包围坐标原点。如果让c从零改变到某一足够小的值，则(4)表示闭曲线族。由于V是单值函数，所以这族曲线彼此不相交，且若曲线V=c是由连通的一支所构成，则当c₁ < c₂时曲线V = c₁包含于V = c₂之内。

定理 [1] 如果对微分方程组(2)存在定正函数 $V\left(\stackrel{\rightharpoonup }{x}\right)$，其通过方程组(2)的全导数 $\frac{\text{d}V\left(\stackrel{\rightharpoonup }{x}\right)}{\text{d}t}$ 为常负函数或恒为零，则方程组(2)的零解是稳定的。

如果存在定正函数 $V\left(\stackrel{\rightharpoonup }{x}\right)$，其通过方程组(2)的全导数 $\frac{\text{d}V\left(\stackrel{\rightharpoonup }{x}\right)}{\text{d}t}$ 为定负的，则方程组(2)的零解是渐近稳定的。

如果存在函数 $V\left(\stackrel{\rightharpoonup }{x}\right)$ 和某非负常数 $\mu$，其通过方程组(2)的全导数 $\frac{\text{d}V}{\text{d}t}$ 可表示为

$\frac{\text{d}V}{\text{d}t}=\mu V+W\left(\stackrel{\rightharpoonup }{x}\right)$,

且当 $\mu =0$ 时W为定正函数，当 $\mu \ne 0$ 时W为常正函数或恒等于零；又在 $\stackrel{\rightharpoonup }{x}=\stackrel{\rightharpoonup }{0}$ 的任意小邻域内至少存在某个 $\stackrel{\rightharpoonup }{\bar{x}}$，使得 $V\left(\stackrel{\rightharpoonup }{\bar{x}}\right)>0$，则方程组(2)的零解是不稳定的(不稳定性的证明见 [2])。

证明 为便于理解、说明和论证，我们就三维系统进行讨论。其中借助了直观，又不失其严密性。在三维系统中得到的结论，在n维系统中也是成立的。

事实上 [3]，对于定正函数 $V\left(x,y,z\right)$，其通过方程组

$\{\begin{array}{l}\frac{\text{d}x}{\text{d}t}=f_1\left(x,y,z\right),\\ \frac{\text{d}y}{\text{d}t}=f_2\left(x,y,z\right),\\ \frac{\text{d}z}{\text{d}t}=f_3\left(x,y,z\right)\end{array}$

的全导数 $\frac{\text{d}V}{\text{d}t}$ 是向量

$\left(\frac{\partial V}{\partial x},\frac{\partial V}{\partial y},\frac{\partial V}{\partial z}\right)$ 与 $\left(\frac{\text{d}x}{\text{d}t},\frac{\text{d}y}{\text{d}t},\frac{\text{d}z}{\text{d}t}\right)$

的数量积

$\frac{\partial V}{\partial x}\frac{\text{d}x}{\text{d}t}+\frac{\partial V}{\partial y}\frac{\text{d}y}{\text{d}t}+\frac{\partial V}{\partial z}\frac{\text{d}z}{\text{d}t}$.

向量

$gradV=\frac{\partial V}{\partial x}\stackrel{\rightharpoonup }{i}+\frac{\partial V}{\partial y}\stackrel{\rightharpoonup }{j}+\frac{\partial V}{\partial z}\stackrel{\rightharpoonup }{k}$

的方向是沿着函数 $V\left(x,y,z\right)$ 的等值面 $V\left(x,y,z\right)=c$ 的法线方向而指向 $V\left(x,y,z\right)$ 增大的方向，数量积

$\begin{array}{c}\frac{\text{d}V}{\text{d}t}=\left(\frac{\partial V}{\partial x}\stackrel{\rightharpoonup }{i}+\frac{\partial V}{\partial y}\stackrel{\rightharpoonup }{j}+\frac{\partial V}{\partial z}\stackrel{\rightharpoonup }{k}\right)\cdot \left(\frac{\text{d}x}{\text{d}t}\stackrel{\rightharpoonup }{i}+\frac{\text{d}y}{\text{d}t}\stackrel{\rightharpoonup }{j}+\frac{\text{d}z}{\text{d}t}\stackrel{\rightharpoonup }{k}\right)\\ =\frac{\partial V}{\partial x}\frac{\text{d}x}{\text{d}t}+\frac{\partial v}{\partial y}\frac{\text{d}y}{\text{d}t}+\frac{\partial v}{\partial z}\frac{\text{d}z}{\text{d}t}\\ =\sqrt{{\left(\frac{\partial V}{\partial x}\right)}^2+{\left(\frac{\partial V}{\partial y}\right)}^2+{\left(\frac{\partial V}{\partial z}\right)}^2}\cdot \sqrt{{\left(\frac{\text{d}x}{\text{d}t}\right)}^2+{\left(\frac{\text{d}y}{\text{d}t}\right)}^2+{\left(\frac{\text{d}z}{\text{d}t}\right)}^2}\cos \alpha ,\end{array}$

其中 $\alpha$ 是等值面V = c的外法线(gradV的指向)与积分曲线

$x=x\left(t\right),y=y\left(t\right),z=z(\; t\; )$

的切线方向的夹角。所以如果

$\frac{\text{d}V}{\text{d}t}\le 0$ 或 $\frac{\text{d}V}{\text{d}t}\equiv 0$,

这时 $\cos \alpha \le 0$ 或 $\cos \alpha \equiv 0$，表示夹角 $\alpha$ 不是锐角，因此积分曲线不会由内向外地走出等值面V = c，这就表示零解是稳定的。如果 $\frac{\text{d}V}{\text{d}t}<0$，这时 $\cos \alpha <0$， $\alpha$ 永远是钝角。随着时间的推移，积分曲线从外向内地走向各个等值面之内，且趋近于原点，这就表示零解是渐近稳定的。