关于PSL(3,p)上的3度s-弧传递图的一个注记

A Note on Cubic s-Arc-Transitive Graph Admitting an Automorphism Group PSL(3,p)

摘要: 如果一个图的自同构子群G在图的4-弧集上的作用是传递的，则称该图是(G,4)-弧传递的。本文运用三维特殊射影线性群的子群结构以及相关群论的知识，构造了一类新的连通的3度(PSL(3,p),4)-弧传递图，其中p≡3(mod8)为素数。

Abstract: A graph is said to be (G,4)-arc-transitive if its automorphism subgroup G acts transitively on its 4-arcs. In this paper, we construct a new family of connected cubic (PSL(3,p),4)-transitive graphs by using the subgroup structure of special projective linear groups and the knowledge of related group theory, where p is a prime and p≡3(mod8).

1. 引言

本文考虑的图都是连通，无向，无重边，无自环的。

对于一个图 $\Gamma$，我们分别用符号 $V\Gamma$， $E\Gamma$， $A\Gamma$ 来表示其顶点集，边集，弧集，用 $Aut\left(\Gamma \right)$ 表示其自同构群。设 $G\le Aut\left(\Gamma \right)$，如果G作用在弧集上是传递的，则称 $\Gamma$ 是G-弧传递图。对于 $\Gamma$ 的一个顶点序列 $\left(a_0,a_1,\cdots ,a_s\right)$，其中s是一个正整数， $\left(a_{i-1},a_i\right)\in E\Gamma$ 且 $a_{i-1}\ne a_{i+1}\left(1\le i\le s-1\right)$，则称其为图 $\Gamma$ 的一个s-弧，若G在s-弧集上传递，则称 $\Gamma$ 是 $\left(G,s\right)$ -弧传递的。通常而言，若一个图是 $\left(G,s\right)$ -弧传递的，那么其往往也是 $\left(G,s-1\right)$ -弧传递的。进一步地，若G在s-弧集上传递，但在 $s+1$ -弧集上不传递，则称 $\Gamma$ 是 $\left(G,s\right)$ -传递的。

对s-弧传递图的研究源于1947年Tutte在 [1] 中对3度s-弧传递图的研究，其证明了不存在 $s\ge 6$ 的3度s-弧传递图。之后，Weiss在 [2] 中将其一般化，他证明了除圈外，不存在 $s=6$ 和 $s\ge 8$ 的s-弧传递图。1992年，Praeger在 [3] 中将本原群的O’Nan-Scott定理推广到了拟本原情形，并给出了2-弧传递图的分类步骤：

1) 决定所有的顶点拟本原与二部拟本原的2-弧传递图(这些图也被称为基图)；

2) 决定上述基图的正规覆盖。

在此策略指导下，2-弧传递图得到广泛研究。由于2-弧传递图的基图刻画很多时候可以归约到研究自同构群为几乎单群的情形，所以后续很多学者对此情形做了研究。例如，Fang和Prager在 [4] 和 [5] 中分别分类了Suzuki群和Ree群作用下的2-弧传递图；Hassani等人在 [6] 中分类了容许二维线性群 $PSL\left(2,q\right)$ 作用下的2-弧传递图；2004年，Chen在其博士论文 [7] 中分类了 $PSL\left(3,q\right)$ 的s-弧传递图，其中 $s\ge 2$。更多关于几乎单群弧传递图的分类，可见 [8] [9] [10]。

本文中，我们的主要结论是以下定理，这类图是新发现的，但并未出现在 [7] 中。

定理1.1：设 $G=PSL\left(3,p\right)$，其中 $p\equiv 3\left(\mathrm{mod}8\right)$ 为奇素数，则存在一个3度的 $\left(G,4\right)$ -弧传递图，其中点稳定子同构于 $S_4$。

本文结构如下：在第二节中，给出了一些群论和图论的相关定义和引理。在第三节中，给出定理1.1中图的构造和该图性质的证明。

2. 预备知识

Aschbacher在 [11] 中定义了典型群的8种几何类： $C_1,C_2,\cdots ,C_8$ 和一个C类，并表明了有限典型群的子群包含在这几种类型中。之后，O.H. King在 [12] 中介绍了维数不超过4的有限典型群的子群结构，从中可以读出射影线性群 $PGL\left(2,p\right)$ 的子群结构。

引理2.1 [ [12]，推论2.3]设 $G=PGL\left(2,p\right)$，其中p是奇素数，则G的极大子群为下列群之一：

1) $D_{2\left(p-1\right)}$， $p>5$ ；

2) $D_{2\left(p+1\right)}$ ；

3) ${\mathbb{Z}}_p:{\mathbb{Z}}_{p-1}$ ；

4) $PSL\left(2,p\right)$ ；

5) $S_4$，其中 $p\equiv \pm 3\left(\mathrm{mod}8\right)$。

文献[ [13]，表8.3]给出了特殊线性群 $SL\left(3,q\right)$ 的极大子群结构，结合Du等在 [14] 中给出 $SL\left(3,q\right)$ 的子群结构，可以得到下列引理：

引理2.2 [13] [14] 设 $G=PSL\left(3,p\right)$，其中p是奇素数，则G的极大子群为下列群之一：

1) $C_1$ 类： ${\mathbb{Z}}_p^2:\left(SL\left(2,p\right).\frac{p-1}{\left(3,p-1\right)}\right)$，同构于 $AGL\left(2,p\right)$ 的一个子群；

2) $C_2$ 类： ${\mathbb{Z}}_{p-1}^2/{\mathbb{Z}}_{\left(3,p-1\right)}:S_3$ ；

3) $C_3$ 类： ${\mathbb{Z}}_{p^2+p+1}/{\mathbb{Z}}_{\left(3,p-1\right)}:{\mathbb{Z}}_3$ ；

4) $C_6$ 类： ${\mathbb{Z}}_3^2:Q_8$，其中 $p\equiv 4,7\left(\mathrm{mod}9\right)$ 或者 ${\mathbb{Z}}_3^2:SL\left(2,3\right)$，其中 $p\equiv 1\left(\mathrm{mod}9\right)$ ；

5) $C_8$ 类： $PGL\left(2,p\right)$， $p\ge 5$ ；

6) C类： $PSL\left(2,7\right)$，其中 $p^3\equiv 1\left(\mathrm{mod}7\right)$ 或者 $A_6$，其中 $p\equiv 1,19\left(\mathrm{mod}30\right)$。

在文献 [15] 中，给出了3度的弧传递图的点稳定子，即为如下引理：

引理2.3 [15] 设 $\Gamma$ 是一个连通的3度 $\left(G,s\right)$ -弧传递图， $\alpha \in V\Gamma$， $G_{\alpha }$ 是G中稳定 $\alpha$ 的点稳定子，则 $1\le s\le 5$，而且

1) 若 $s=1$，则 $G_{\alpha }={\mathbb{Z}}_3$ ；

2) 若 $s=2$，则 $G_{\alpha }=S_3$ ；

3) 若 $s=3$，则 $G_{\alpha }=S_3\times {\mathbb{Z}}_2$ ；

4) 若 $s=4$，则 $G_{\alpha }=S_4$ ；

5) 若 $s=5$，则 $G_{\alpha }=S_4\times {\mathbb{Z}}_2$。

最后，我们给出陪集图的相关概念与性质。

定义2.4 [16] 设G是一个有限群，H是G的一个无核子群，即H不包含G的非平凡正规子群， $g\in G$。定义群G关于H和HgH的陪集图 $\Gamma =\mathrm{Cos}\left(G,H,HgH\right)$，这里顶点集 $V\Gamma$ 为H在G中的全体右陪集，边集 $E\Gamma =\left\{\left\{Hx,Hax\right\}|a\in HgH\right\}$。

引理2.5 [16] 设 $\Gamma =\mathrm{Cos}\left(G,H,HgH\right)$，其中H是G的一个无核子群， $g\in G$，则：

1) 图 $\Gamma$ 是无向的当且仅当 $HgH=H{g}^{-1}H$ ；

2) 图 $\Gamma$ 是连通的当且仅当 $G=\langle H,g\rangle$ ；

3) 图 $\Gamma$ 的度数 $val\left(\Gamma \right)=\left|HgH:H\right|=\left|H:H\cap H^g\right|$。

3. 构造及定理1.1的证明

图的构造：设 $G=PSL\left(3,p\right)$，其中 $p\equiv 3\left(\mathrm{mod}8\right)$ 为一个素数。若 $p=3$，由Atlas [17]，G中存在一个同构于 $S_4$ 的子群。若 $p>3$，由引理2.2可知， $PGL\left(2,p\right)$ 是G的一个极大子群。又由引理2.1可知， $S_4$ 是 $PGL\left(2,p\right)$ 的一个极大子群，所以此时G中也存在一个同构于 $S_4$ 的子群。设H是G的一个同构于 $S_4$ 的子群，A为H的Sylow 2-子群， $\left|A\right|=8$。由Sylow第二定理可知，G存在Sylow 2-子群E， $\left|E\right|=16$，使得 $A\le E$，取 $g\in E-A$，令 $\Gamma =\mathrm{Cos}\left(G,H,HgH\right)$。

接下来我们证明上述构造的图 $\Gamma$ 是连通的3度 $\left(G,4\right)$ -弧传递图。

引理3.1 H不含在G的 $C_1$ 类极大子群。

证明 反证：如果H含在G的 $C_1$ 类极大子群中，即 $H\le {\mathbb{Z}}_p^2:\left(SL\left(2,p\right).\frac{p-1}{\left(3,p-1\right)}\right)$。设 $H\cap {\mathbb{Z}}_p^2=K$，因为H的非平凡正规子群只有 $A_4$， ${\mathbb{Z}}_2^2$ 两个，所以K只能为H， $A_4$， ${\mathbb{Z}}_2^2$ 或者1。若 $K=H$，则 $H\le {\mathbb{Z}}_p^2$，矛盾；若 $K=A_4$，则 $A_4\le {\mathbb{Z}}_p^2$，矛盾；若 $K={\mathbb{Z}}_2^2$，则 ${\mathbb{Z}}_2^2\le {\mathbb{Z}}_p^2$，但是这里p是奇素数，矛盾；所以 $K=1$，那么 $H\le \left(SL\left(2,p\right).\frac{p-1}{\left(3,p-1\right)}\right)$。又因为 $SL\left(2,p\right)$ 中仅有一个2阶元，所以 $H\cap SL\left(2,p\right)=1$，进而有 $H\le {\mathbb{Z}}_{\frac{p-1}{\left(3,p-1\right)}}$，矛盾，从而H不含在G的 $C_1$ 类极大子群。

引理3.2 $\Gamma$ 是连通的无向图。

证明 因为 $p\equiv 3\left(\mathrm{mod}8\right)$，所以G的 $C_1$ 类极大子群 ${\mathbb{Z}}_p^2:\left(SL\left(2,p\right).\frac{p-1}{\left(3,p-1\right)}\right)$ 的Sylow 2-子群的阶为16，且剩余各类极大子群的Sylow 2-子群的阶均不超过8，所以E只含在G的 $C_1$ 类极大子群。由引理3.1可知H不含在G的 $C_1$ 类极大子群，所以 $\langle E,H\rangle =G$。又因为 $A\le H$， $\langle A,g\rangle =E$，所以 $\langle H,g\rangle \ge \langle H,E\rangle =G$，则 $\langle H,g\rangle =G$。因为 $\left|E:A\right|=2$ 以及 $g\in E-A$，所以 $g^2\in A\le H$，从而 $H{g}^{-1}H=Hg\cdot g^{-2}H=HgH$，由引理2.5可知 $\Gamma$ 是连通的无向图。

引理3.3 构造中的图是3度图。

证明 由于 $\left|E:A\right|=2$，所以 $A⊲E$。又 $g\in E-A$，所以 $A^g=A$，从而 $A=A^g\le H^g$，因此 $A\le H^g\cap H$。由H及A的阶数可知，要么 $H^g\cap H=A$，要么 $H^g\cap H=H$。若 $H^g\cap H=H$，则 $g\in N_G\left(H\right)$，从而 $G=\langle H,g\rangle =N_G\left(H\right)$，即 $H⊲G$，这与G是单群相矛盾，于是 $H^g\cap H=A$，所以 $val\left(\Gamma \right)=\left|HgH:H\right|=3$。

至此，这就完成了主要定理的证明。

基金项目

云南省科技厅应用基础研究项目(2019FD116)资助。