_ρ^~混合阵列加权和的若干收敛性质

Some Convergence Properties for Weighted Sums of _ρ^~-Mixing Random Arrays

摘要: 在Cesàro一致可积等较宽泛的条件下，利用_ρ^~混合序列的矩不等式和截尾法，研究了_ρ^~混合随机阵列加权和的L^r收敛性和弱收敛性，所得到的结果推广了独立情形相应的极限定理。

Abstract: Using the moment inequality of _ρ^~-mixing sequences and truncation method, we investigated the L^r convergence and weak convergence for the weighted sums of _ρ^~-mixing random arrays under mild conditions such as Cesàro uniform integrability. The results obtained generalize the corre-sponding limit theorems for independent case.

1. 引言与引理

设 $\left\{X_n,n\ge 1\right\}$ 是概率空间 $\left(\Omega ,\mathcal{A},P\right)$ 上的随机变量序列， ${\mathcal{F}}_S=\sigma \left(X_i,i\in S\subset N\right)$ 为 $\sigma$ 域，在 $\mathcal{A}$ 中给定 $\sigma$ 域 $\mathcal{F},\mathcal{R}$，令

$\rho \left(\mathcal{F},\mathcal{R}\right)=\sup \left\{\left|\text{corr}\left(X,Y\right)\right|:X\in L_2\left(\mathcal{F}\right),Y\in L_2\left(\mathcal{R}\right)\right\}$，

其中 $\text{corr}\left(X,Y\right)=\frac{EXY-EXEY}{\sqrt{\text{Var}X\mathrm{Var}Y}}$ 为相关系数， $L_2\left(\mathcal{F}\right)$ 和 $L_2\left(\mathcal{R}\right)$ 分别为所有 $\mathcal{F}$ 和 $\mathcal{R}$ 可测且2阶矩有限的随机变量全体。Kolmogorov在1960年引入了上面的 $\rho$ 相依系数，在此基础上，Bradley又在1990年提出了以下的 $\tilde{\rho }$ 相依系数。对 $k\ge 0$，令

$\tilde{\rho }\left(k\right)=\sup \left\{\rho \left({\mathcal{F}}_S,{\mathcal{F}}_T\right):有限子集S,T\subset N,且\text{dist}\left(S,T\right)\ge k\right\}$，

其中 $\text{dist}\left(S,T\right)$ 表示集合 $S,T$ 的距离。显然 $0\le \tilde{\rho }\left(k+1\right)\le \tilde{\rho }\left(k\right)\le 1$， $\tilde{\rho }\left(0\right)=1$。

定义1 [1]：对随机变量序列 $\left\{X_n,n\ge 1\right\}$，若存在 $k\ge 1$，使 $\tilde{\rho }\left(k\right)<1$，则称随机变量序列 $\left\{X_n,n\ge 1\right\}$ 是 $\tilde{\rho }$ 混合序列。

显然独立随机变量序列是 $\tilde{\rho }$ 混合序列，因为对独立列而言有 $\tilde{\rho }\left(k\right)=0<1$， $\forall k\ge 1$。在定义1中， $\tilde{\rho }\left(k\right)<1$ 的要求是很弱的，这导致 $\tilde{\rho }$ 混合序列是一类广泛的相依序列。对 $\tilde{\rho }$ 混合序列的极限理论的研究取得了一系列重要的成果，如文 [1] - [6]。本文主要研究 $\tilde{\rho }$ 混合阵列的加权和，并且加权的矩阵是一类较为一般的实数矩阵。在 $\tilde{\rho }$ 混合阵列满足比一致可积性等条件更为宽松的要求下，获得了其 $L^r$ 收敛性和弱收敛性。以下约定正常数C与n无关，且在不同之处可以表示不同的值； $I_A$ 表示A的示性函数。

定义2：若随机变量阵列 $\left\{X_{ni},1\le i\le k_n\uparrow \infty ,n\ge 1\right\}$ 的每一行，即 $\left\{X_{ni},1\le i\le k_n\right\}$ 均是 $\tilde{\rho }$ 混合序列，则称 $\left\{X_{ni},1\le i\le k_n\uparrow \infty ,n\ge 1\right\}$ 为 $\tilde{\rho }$ 混合阵列。

定义3 [6]：若对 $r>0$，随机变量阵列 $\left\{X_{ni},1\le i\le k_n\uparrow \infty ,n\ge 1\right\}$ 满足：

$\underset{x\to \infty }{\lim }\underset{n\ge 1}{\sup }{k}_n^{-1}{\displaystyle \underset{i=1}{\overset{k_n}{\sum }}E{\left|X_{ni}\right|}^r{I}_{\left(\left|X_{ni}\right|\ge x\right)}}=0,$

则称阵列 $\left\{X_{ni},1\le i\le k_n\uparrow \infty ,n\ge 1\right\}$ 为r阶Cesàro一致可积的。

定义4 [7]：设 $\left\{a_{ni},1\le i\le k_n\uparrow \infty ,n\ge 1\right\}$ 是实数阵列， $r>0$，若满足：(1) $\underset{n\to \infty }{\lim }{a}_{ni}=0\left(i\ge 1\right)$ ；

(2) ${\displaystyle \underset{i=1}{\overset{k_n}{\sum }}{\left|a_{ni}\right|}^r}\le M\left(n\ge 1\right)$，M为常数，则称 $\left\{a_{ni},1\le i\le k_n\uparrow \infty ,n\ge 1\right\}$ 为 $l_r$ -Toeplitz矩阵。

引理1 [6]：设 $\left\{X_n,n\ge 1\right\}$ 是 $\tilde{\rho }$ 混合零均值随机变量序列， $E{\left|X_i\right|}^q<\infty \left(i\ge 1\right)$，则对 $0<q\le 2$，存在仅依赖于 $\tilde{\rho }$ 和q的正常数C，使 $\forall n\ge 1$，有 $E{\left|{\displaystyle \underset{i=1}{\overset{n}{\sum }}{X}_i}\right|}^q\le C{\displaystyle \underset{i=1}{\overset{n}{\sum }}E{\left|X_i\right|}^q}$。

引理2：设 $f:R\to R^{+}$，且 $0\le f\le 1$，若 $\underset{x\to \infty }{\lim }{x}^{r}f\left(x\right)=0\left(0<r<2\right)$，则有

$\underset{y\to \infty }{\lim }{y}^{-\left(2-r\right)}{\displaystyle {\int }_0^{y}xf\left(x\right)\text{d}x}=0.$

证明：由洛必达法则，

$\underset{y\to \infty }{\lim }{y}^{-\left(2-r\right)}{\displaystyle {\int }_0^{y}xf\left(x\right)\text{d}x}=\underset{y\to \infty }{\lim }\frac{yf\left(y\right)}{\left(2-r\right)y^{1-r}}=\frac{1}{2-r}\underset{y\to \infty }{\lim }{y}^{r}f\left(y\right)=0.$

2. $\tilde{\rho }$ 混合阵列加权和的L^r收敛性

定理1：设 $\tilde{\rho }$ 混合阵列 $\left\{X_{ni},1\le i\le k_n\uparrow \infty ,n\ge 1\right\}$ 是r阶Cesàro一致可积的（ $1\le r<2$ ），且 $E{X}_{ni}=0$， $1\le i\le k_n$， $n\ge 1$， $\left\{a_{ni},1\le i\le k_n,n\ge 1\right\}$ 是 $l_r$ -Toeplitz矩阵，且 $\underset{1\le i\le k_n}{\max }{\left|a_{ni}\right|}^r{k}_n=O\left(1\right)$，则 ${\displaystyle \underset{i=1}{\overset{k_n}{\sum }}{a}_{ni}{X}_{ni}}\stackrel{L^r}{\to }0$。

证明：对任意固定的 $a>0$，对每一 $n\ge 1$， $1\le i\le k_n$，令

${X^{\prime }}_{ni}=X_{ni}{I}_{\left(\left|X_{ni}\right|<a\right)}-E\left(X_{ni}{I}_{\left(\left|X_{ni}\right|<a\right)}\right),$

${X^{″}}_{ni}=X_{ni}{I}_{\left(\left|X_{ni}\right|\ge a\right)}-E\left(X_{ni}{I}_{\left(\left|X_{ni}\right|\ge a\right)}\right),$

则 $X_{ni}={X^{\prime }}_{ni}+{X^{″}}_{ni}$，且对每一 $n\ge 1$， $\left\{{X^{\prime }}_{ni},1\le i\le k_n\right\}$ 和 $\left\{{X^{″}}_{ni},1\le i\le k_n\right\}$ 均为 $\tilde{\rho }$ 混合零均值随机变量序列。由引理1和 $C_r$ -不等式有

$\begin{array}{c}E{\left|{\displaystyle \underset{i=1}{\overset{k_n}{\sum }}{a}_{ni}{X^{\prime }}_{ni}}\right|}^2\le C{\displaystyle \underset{i=1}{\overset{k_n}{\sum }}{\left|a_{ni}\right|}^{2}E{\left|{X^{\prime }}_{ni}\right|}^2}\le 2^{2}C{a}^2{\displaystyle \underset{i=1}{\overset{k_n}{\sum }}{\left|a_{ni}\right|}^2}=4C{a}^2{\displaystyle \underset{i=1}{\overset{k_n}{\sum }}{\left|a_{ni}\right|}^r{\left|a_{ni}\right|}^{2-r}}\\ \le 4C{a}^{2}M\underset{1\le i\le k_n}{\max }{\left|a_{ni}\right|}^{2-r}\to 0\left(n\to \infty \right)\end{array}$

从而 $E{\left|{\displaystyle \underset{i=1}{\overset{k_n}{\sum }}{a}_{ni}{X^{\prime }}_{ni}}\right|}^r\to 0\left(n\to \infty \right)$。

由引理1、 $C_r$ -不等式及r阶Cesàro一致可积性，有

$\begin{array}{c}E{\left|{\displaystyle \underset{i=1}{\overset{k_n}{\sum }}{a}_{ni}{X^{″}}_{ni}}\right|}^r\le C{\displaystyle \underset{i=1}{\overset{k_n}{\sum }}{\left|a_{ni}\right|}^{r}E{\left|{X^{\prime }}_{ni}\right|}^r}\le 2^{r}C{\displaystyle \underset{i=1}{\overset{k_n}{\sum }}{\left|a_{ni}\right|}^{r}E{\left|X_{ni}\right|}^r{I}_{\left(\left|X_{ni}\right|\ge a\right)}}\\ \le 2^{r}C\underset{1\le i\le k_n}{\max }{\left|a_{ni}\right|}^r{\displaystyle \underset{i=1}{\overset{k_n}{\sum }}E{\left|X_{ni}\right|}^r{I}_{\left(\left|X_{ni}\right|\ge a\right)}}\\ =2^{r}C\underset{1\le i\le k_n}{\max }{\left|a_{ni}\right|}^r{k}_n\left(k_n^{-1}{\displaystyle \underset{i=1}{\overset{k_n}{\sum }}E{\left|X_{ni}\right|}^r{I}_{\left(\left|X_{ni}\right|\ge a\right)}}\right)\end{array}$

先令 $n\to \infty$，再令 $a\to \infty$，立即得 $E{\left|{\displaystyle \underset{i=1}{\overset{k_n}{\sum }}{a}_{ni}{X^{″}}_{ni}}\right|}^r\to 0\left(n\to \infty \right)$。

于是

$E{\left|{\displaystyle \underset{i=1}{\overset{k_n}{\sum }}{a}_{ni}{X}_{ni}}\right|}^r\le 2^{r-1}\left(E{\left|{\displaystyle \underset{i=1}{\overset{k_n}{\sum }}{a}_{ni}{X^{\prime }}_{ni}}\right|}^r+E{\left|{\displaystyle \underset{i=1}{\overset{k_n}{\sum }}{a}_{ni}{X^{″}}_{ni}}\right|}^r\right)\to 0\left(n\to \infty \right).$

推论1：设 $\tilde{\rho }$ 混合阵列 $\left\{X_{ni},1\le i\le k_n\uparrow \infty ,n\ge 1\right\}$ 是r阶Cesàro一致可积的（ $1\le r<2$ ），且 $E{X}_{ni}=0$， $1\le i\le k_n$， $n\ge 1$，则 $k_n^{-1/r}{\displaystyle \underset{i=1}{\overset{k_n}{\sum }}{X}_{ni}}\stackrel{L^r}{\to }0$。

证明：取 $a_{ni}=k_n^{-1/r}$， $1\le i\le k_n$， $n\ge 1$，则

$\underset{n\to \infty }{\lim }{a}_{ni}=\underset{n\to \infty }{\lim }{k}_n^{-1/r}=0\left(1\le i\le k_n\right)$，且 ${\displaystyle \underset{i=1}{\overset{k_n}{\sum }}{\left|a_{ni}\right|}^r}\le {\displaystyle \underset{i=1}{\overset{k_n}{\sum }}{k}_n^{-1}}=1\left(n\ge 1\right),$

即 $\left\{a_{ni},1\le i\le k_n,n\ge 1\right\}$ 是 $l_r$ -Toeplitz矩阵。又 $\underset{1\le i\le k_n}{\max }{\left|a_{ni}\right|}^r{k}_n=1\left(n\ge 1\right)$，所以定理1中的条件都满足，故有

${\displaystyle \underset{i=1}{\overset{k_n}{\sum }}{a}_{ni}{X}_{ni}}=k_n^{-1/r}{\displaystyle \underset{i=1}{\overset{k_n}{\sum }}{X}_{ni}}\stackrel{L^r}{\to }0.$

推论2：设 $\left\{X_n,n\ge 1\right\}$ 是r阶Cesàro一致可积的 $\tilde{\rho }$ 混合零均值随机变量序列， $1\le r<2$，则 $n^{-\frac{1}{r}}{\displaystyle \underset{i=1}{\overset{n}{\sum }}{X}_i}\stackrel{L^r}{\to }0$。

证明：在推论1中取 $X_{ni}=X_i$， $1\le i\le k_n$，再取 $k_n=n$， $n\ge 1$，由推论1立即知推论2成立。

3. $\tilde{\rho }$ 混合阵列加权和的弱收敛性

在弱于r阶Cesàro一致可积性的条件下，有下面的弱收敛性结果。

定理2：设 $\tilde{\rho }$ 混合零均值随机变量阵列 $\left\{X_{ni},1\le i\le k_n\uparrow \infty ,n\ge 1\right\}$ 和实数阵列 $\left\{a_{ni},1\le i\le k_n,n\ge 1\right\}$ 分别满足：

(1) $\underset{x\to \infty }{\lim }{x}^r\underset{n\ge 1}{\sup }{k}_n^{-1}{\displaystyle \underset{i=1}{\overset{k_n}{\sum }}P\left(\left|X_{ni}\right|\ge x\right)}=0$， $1\le r<2$ ；

(2) $\underset{n\to \infty }{\lim }\underset{1\le i\le k_n}{\max }\left|a_{ni}\right|=0$ 且 $\underset{1\le i\le k_n}{\max }{\left|a_{ni}\right|}^r{k}_n=O\left(1\right)$， $\forall n\ge 1$， $1\le r<2$，

则 ${\displaystyle \underset{i=1}{\overset{k_n}{\sum }}{a}_{ni}{X}_{ni}}\stackrel{P}{\to }0$。

证明：不妨设 $a_{ni}>0$， $1\le i\le k_n$， $n\ge 1$。对 $X_{ni}$ 截尾，令

${X^{\prime }}_{ni}=X_{ni}{I}_{\left(\left|a_{ni}{X}_{ni}\right|<1\right)}$ 和 ${X^{″}}_{ni}=X_{ni}{I}_{\left(\left|a_{ni}{X}_{ni}\right|\ge 1\right)},$

则 $X_{ni}={X^{\prime }}_{ni}+{X^{″}}_{ni}$。 $\forall \epsilon >0$，有

$P\left(\left|{\displaystyle \underset{i=1}{\overset{k_n}{\sum }}{a}_{ni}{X}_{ni}}\right|\ge \epsilon \right)\le P\left(\left|{\displaystyle \underset{i=1}{\overset{k_n}{\sum }}{a}_{ni}\left({X^{\prime }}_{ni}-E{X^{\prime }}_{ni}\right)}\right|\ge \frac{\epsilon }{2}\right)+P\left(\left|{\displaystyle \underset{i=1}{\overset{k_n}{\sum }}{a}_{ni}\left({X^{″}}_{ni}-E{X^{″}}_{ni}\right)}\right|\ge \frac{\epsilon }{2}\right)=:A_1+A_2.$

由Markov不等式、引理1及 $C_r$ -不等式，有

$\begin{array}{c}{A}_1\le CE{\left|{\displaystyle \underset{i=1}{\overset{k_n}{\sum }}{a}_{ni}\left({X^{\prime }}_{ni}-E{X^{\prime }}_{ni}\right)}\right|}^2\le C{\displaystyle \underset{i=1}{\overset{k_n}{\sum }}{a}_{ni}^{2}E{\left|{X^{\prime }}_{ni}\right|}^2}=C{\displaystyle \underset{i=1}{\overset{k_n}{\sum }}{a}_{ni}^{2}E{X}_{ni}^2{I}_{\left(\left|a_{ni}{X}_{ni}\right|<1\right)}}\\ \le C{\displaystyle \underset{i=1}{\overset{k_n}{\sum }}{a}_{ni}^2{\displaystyle {\int }_0^{a_{ni}^{-1}}xP\left(\left|X_{ni}\right|\ge x\right)\text{d}x}}=C{\displaystyle \underset{i=1}{\overset{k_n}{\sum }}{a}_{ni}^{2-r}{a}_{ni}^r{\displaystyle {\int }_0^{a_{ni}^{-1}}xP\left(\left|X_{ni}\right|\ge x\right)\text{d}x}}\\ \le C\underset{1\le i\le k_n}{\max }{a}_{ni}^{2-r}{\displaystyle {\int }_0^{a_{ni}^{-1}}x\underset{n\ge 1}{\sup }{k}_n^{-1}{\displaystyle \underset{i=1}{\overset{k_n}{\sum }}P\left(\left|X_{ni}\right|\ge x\right)\text{d}x}}\end{array}$.

因为 $\underset{n\to \infty }{\lim }\underset{1\le i\le k_n}{\max }\left|a_{ni}\right|=0$，所以 $a_{ni}^{-1}\to \infty \left(n\to \infty \right)$。于是在引理2中，取

$f\left(x\right)=\underset{n\ge 1}{\sup }{k}_n^{-1}{\displaystyle \underset{i=1}{\overset{k_n}{\sum }}P\left(\left|X_{ni}\right|\ge x\right)}=0,$

则由(1)知， $\underset{x\to \infty }{\lim }{x}^{r}f\left(x\right)=0$。再取 $y=a_{ni}^{-1}$，由引理2的结论知，

$a_{ni}^{2-r}{\displaystyle {\int }_0^{a_{ni}^{-1}}x\underset{n\ge 1}{\sup }{k}_n^{-1}{\displaystyle \underset{i=1}{\overset{k_n}{\sum }}P\left(\left|X_{ni}\right|\ge x\right)\text{d}x}}\to 0\left(n\to \infty \right),$

对每一 $1\le i\le k_n$ 成立，故 $A_1\to 0$。

由Markov不等式及 $C_r$ -不等式，有

$A_2\le C{\displaystyle \underset{i=1}{\overset{k_n}{\sum }}{a}_{ni}E\left|{X^{″}}_{ni}\right|}=C{\displaystyle \underset{i=1}{\overset{k_n}{\sum }}{a}_{ni}{\displaystyle {\int }_{a_{ni}^{-1}}^{\infty }P\left(\left|X_{ni}\right|\ge x\right)\text{d}x}}\le C\underset{1\le i\le k_n}{\max }{a}_{ni}{k}_n{\displaystyle {\int }_{a_{ni}^{-1}}^{\infty }\underset{n\ge 1}{\sup }{k}_n^{-1}{\displaystyle \underset{i=1}{\overset{k_n}{\sum }}P\left(\left|X_{ni}\right|\ge x\right)\text{d}x}},$

由(1)， $\forall \epsilon >0$，存在 $\delta >0$，当 $x\ge a_{ni}^{-1}\ge \delta$ 时，有 $\underset{n\ge 1}{\sup }{k}_n^{-1}{\displaystyle \underset{i=1}{\overset{k_n}{\sum }}P\left(\left|X_{ni}\right|\ge x\right)}\le \epsilon x^{-r}$，因此

$A_2\le C\underset{1\le i\le k_n}{\max }{a}_{ni}{k}_n{\displaystyle {\int }_{a_{ni}^{-1}}^{\infty }\epsilon x^{-r}\text{d}x}\le C\epsilon \underset{1\le i\le k_n}{\max }{a}_{ni}{k}_n{a}_{ni}^{r-1}\le C\epsilon \underset{1\le i\le k_n}{\max }{a}_{ni}^r{k}_n\le C\epsilon$，

由 $\epsilon$ 的任意性，知 $A_2\to 0$，定理2得证。

推论3：设 $\left\{X_n,n\ge 1\right\}$ 为 $\tilde{\rho }$ 混合零均值随机变量序列， $1\le r<2$，若

$\underset{x\to \infty }{\lim }{x}^r\underset{n\ge 1}{\sup }{n}^{-1}{\displaystyle \underset{i=1}{\overset{n}{\sum }}P\left(\left|X_i\right|\ge x\right)}=0,$

则 $n^{-1/r}{\displaystyle \underset{i=1}{\overset{n}{\sum }}{X}_i}\stackrel{P}{\to }0$。

证明：在定理2中，令 $k_n=n$， $n\ge 1$，取 $X_{ni}=X_i$， $a_{ni}=n^{-1/r}$， $1\le i\le n$，显然定理2中的(1)满足，又

$\underset{n\to \infty }{\lim }\underset{1\le i\le k_n}{\max }\left|a_{ni}\right|=\underset{n\to \infty }{\lim }{n}^{-1/r}=0$ 且 $\underset{1\le i\le n}{\max }{\left|a_{ni}\right|}^{r}n=1,$

故推论3得证。

注：经典的独立随机变量序列的概率极限理论中有以下弱大数定律：设随机变量序列 $\left\{X_n,n\ge 1\right\}$ 独立同分布，且 $E{\left|X_1\right|}^r<\infty$， $0<r\le 2$，则 $n^{-1/r}{\displaystyle \underset{i=1}{\overset{n}{\sum }}{X}_i}\stackrel{P}{\to }0$。因此，上述推论3是独立情形的弱收敛性在 $\tilde{\rho }$ 混合序列中的推广与改进。