一类拟线性方程Neumann问题的梯度估计

Gradient Estimation of the Neumann Problem for a Class of Quasilinear Equations

摘要: 研究了一类拟线性方程Neumann问题的梯度估计，通过选取适当的辅助函数，利用函数在极大值点的性质，证明了解的边界梯度估计有界。得到了方程中关于f依赖于x，u时Neumann问题的解的边界梯度估计。

Abstract: The gradient estimation of a class of quasilinear equations Neumann problem is studied. By se-lecting appropriate auxiliary functions and using the properties of functions at maximum points, it is proved that boundary gradient estimation is bounded. The boundary gradient estimation of Neumann problem solution is obtained when f depends on x, u in the equation.

1. 引言

在二阶椭圆型偏微分方程的研究过程中，边值问题的解的存在性是最重要的问题之一。而边值问题主要分为Dirichlet问题，Neumann问题与斜导数问题，解决边值问题解的存在性问题的关键在于先验估计，即解的梯度估计，最大模估计等。即使最简单的偏微分方程，例如波动方程、Laplace方程，求解都是有难度的，对其不同的边值问题有不同的求解方法。

2018年，Ma [1] 研究了如下平均曲率方程的Neumann问题：

$\{\begin{array}{l}div\left(\frac{Du}{\sqrt{1+D{u}^2}}\right)=f\left(x\right),x\in \Omega ,\\ \frac{\partial u}{\partial v}=\psi \left(x\right),x\in \partial \Omega .\end{array}$

通过引入一个特殊标架，构造了一个新的辅助函数，利用极值原理得到了平均曲率方程Neumann问题的梯度估计，从而得到平均曲率方程Neumann问题解的存在性，证明综合利用Spruck [2]，Wang [3]，Liebeman [4] 等人的技巧。

对于上述Ma [1] 研究的平均曲率方程的Neumann问题中f依赖于x，u时，徐金菊 [5] 得到了他的梯度估计。

2021年，刘晋鹏 [6] 研究如下拟线性方程Neumann边值问题的梯度估计，即：

$\{\begin{array}{l}{a}_{ij}\left(\nabla u\right)u_{ij}=f\left(x\right),x\in \Omega ,\\ \frac{\partial u}{\partial \gamma }=\psi \left(x,u\right),x\in \partial \Omega .\end{array}$

受刘晋鹏文章的启发，本文考虑如下形式的拟线性方程Neumann边值问题的梯度估计：

$\{\begin{array}{l}{a}_{ij}\left(\nabla u\right)u_{ij}=f\left(x,u\right),x\in \Omega ,\\ \frac{\partial u}{\partial \gamma }=\psi \left(x,u\right),x\in \partial \Omega .\end{array}$

其中 $\Omega$ 是 ${ℝ}^n$ 中的有界区域， $n\ge 2$， $\partial \Omega \in C^3$， $\gamma$ 是 $\partial \Omega$ 的单位内法向。f为定义在 $\bar{\Omega }\times ℝ$ 上给定的有界可微函数。鉴于椭圆型偏微分方程解的梯度估计证明 [7] [8]，本文目的是利用刘晋鹏所使用的Bernstein技巧，从而推出方程中关于f依赖于x，u，时Neumann问题的解的边界梯度估。本文第二节主要给出证明所需的一些基本概念，第三节综合利用Spruck [2]，Wang [3]，Liebeman [4] 等人的技巧，用极值原理证明了一类拟线性方程Neumann问题的边界梯度估计，从而得到了一个存在性定理。

2. 预备知识

为了证明简便，本节将介绍一些基本概念及性质。设 $\Omega$ 是 ${ℝ}^n$ 中的有界区域 $n\ge 2$， $\partial \Omega \in C^3$， $a_{ij}\in C^0$ 且 $a_{ij}{\xi }_i{\xi }_j>\lambda {\left|\xi \right|}^2$， $\gamma$ 是 $\partial \Omega$ 的单位内法向。令

$d\left(x\right)=\text{dist}\left(x,\partial \Omega \right),$

${\Omega }_{\mu }=\left\{x\in \Omega :d\left(x\right)<\mu \right\}.$

则存在常数 ${\mu }_1>0$ 使得 $d\left(x\right)\in C^3\left({\bar{\Omega }}_{\mu 1}\right)$。由Simon-Spruck [9] 可知，在 ${\Omega }_{\mu 1}$ 内可取 $\gamma =Dd$，并且 $\gamma$ 是 $C^2\left({\bar{\Omega }}_{\mu 1}\right)$ 向量场。且具有以下性质：

$\left|D\gamma \right|+\left|D^2\gamma \right|\le C\left(n,\Omega \right)$ (1)

$\left|\gamma \right|=1,{\displaystyle \underset{1\le i\le n}{\sum }{\gamma }^i{D}_j{\gamma }^i=0,}{\displaystyle \underset{1\le i\le n}{\sum }{\gamma }^i{D}_i{\gamma }^j=0}.$

引入记号： $c^{ij}={\delta }_{ij}-{\gamma }^i{\gamma }^j$。对任一 ${ℝ}^n$ 中向量 $\zeta$，记 ${\zeta }^{\prime }$ 为 $\zeta$ 的切向部分，其第i个分量定义为

${\displaystyle \underset{1\le j\le n}{\sum }{c}^{ij}}{\zeta }_j.$

梯度 $Du$ 的切向量记为 $D^{\prime }u$，则

${\left|D^{\prime }u\right|}^2={\displaystyle \underset{1\le i,j\le n}{\sum }{c}^{ij}}{u}_i{u}_j$ (2)

3. 主要结果

考虑如下椭圆方程的Neumann问题：

$\{\begin{array}{l}{a}_{ij}\left(\nabla u\right)u_{ij}=f\left(x,u\right),x\in \Omega \\ \frac{\partial u}{\partial \gamma }=\psi \left(x,u\right),x\in \partial \Omega \end{array}$ (3)

其中 $\Omega$ 是 ${ℝ}^n$ 中的有界区域， $n\ge 2$， $\partial \Omega \in C^3$， $a_{ij}\in C^0$ 且 $a_{ij}{\xi }_i{\xi }_j>\lambda {\left|\xi \right|}^2$， $\gamma$ 是 $\partial \Omega$ 的单位内法向。f和 $\psi$ 为定义在 $\bar{\Omega }\times ℝ$ 上给定的有界可微函数，设存在正常数 $M_0,L_1,L_2$ 使得

$\left|u\right|\le M_0\text{in}\bar{\Omega }$ (4)

$\left|f\left(x,z\right)\right|+\left|f_x\left(x,z\right)\right|\le L_1\forall \left(x,z,\right)\in \bar{\Omega }\times \left[-M_0,M_0\right]$ (5)

${\left|\psi \left(x,u\right)\right|}_{C^3\left(\bar{\Omega }\right)}\le L_2$ (6)

我们的主要结果为如下定理：

定理1设 $u\in C^2\left(\bar{\Omega }\right)\cap C^3\left(\Omega \right)$ 为方程(3)的解且满足式(4)。若 $f,\psi$ 满足式(5)，(6)则存在小的正常数 ${\mu }_0$ 使得

$\underset{{\bar{\Omega }}_{{\mu }_0}}{\sup }\left|Du\right|\le \max \{M_1,M_2\},$

其中 $M_1$ 为正常数只依赖于 $n,{\mu }_0,M_0,L_1$，来自于梯度内估计； $M_2$ 为正常数只依赖于 $n,\Omega ,{\mu }_0,M_0,L_1,L_2$。

因为边界梯度估计依赖于梯度内估计，所以首先叙述梯度内估计。

引理1 [10] 设 $u\in C^3\left(\Omega \right)$ 为方程

$a_{ij}\left(\nabla u\right)u_{ij}=f\left(x,u\right),x\in \Omega .$。

的解，对于 $f\in C^0\left(\bar{\Omega }\right)$，有

${\left|\nabla u\right|}_{L^{\infty }\left(\Omega \right)}\le M_1\left\{{\left|\nabla u\right|}_{L^{\infty }\left(\partial \Omega \right)}+{\left|u\right|}_{L^{\infty }\left(\Omega \right)}\text{+}{\left|f\right|}_{C^0\left(\bar{\Omega }\right)}\right\}.$

其中 $M_1$ 只依赖于 $\Omega ,L$。

证明：令 $\omega =u-\psi \left(x,u\right)d$，并选取如下辅助函数

$\varphi \left(x\right)=\log {\left|Dw\right|}^2{\text{e}}^{1+M_0+u}{\text{e}}^{{\alpha }_{0}d},x\in {\bar{\Omega }}_{{\mu }_0}.$

其中 ${\alpha }_0={\left|\psi \right|}_{C^0\left(\bar{\Omega }\times \left[-M_0,M_0\right]\right)}+C_0+1$， $C_0$ 为正常数，只依赖于 $n,\Omega$ ；为了简化计算，我们令

$\phi \left(x\right)=\log \Phi \left(x\right)=\log \log {\left|D\omega \right|}^2+h\left(u\right)+g\left(d\right).$

其中

$h\left(u\right)=1+M_0+u,g\left(d\right)={\alpha }_{0}d$ (7)

设 $\phi \left(x\right)$ 在 $x_0\in {\bar{\Omega }}_{\mu 0}$ 点达到极大值，其中 $0<{\mu }_0<{\mu }_1$ 为充分小常数，将在后面确定。下面分三种情形证明定理1。

情形1： $x_0\in \partial \Omega$，由Hopf引理得 $\left|Du\right|\left(x_0\right)$ 有界，对 $\phi$ 求法向导数，再利用边界点性质即可得到，过程与参考文献6的情形1完全相同，可参照文献。

情形2：若 $x_0\in \partial {\Omega }_{\mu 0}\cap \Omega$ 则归结为内部梯度估计。由引理1，可得

$\underset{\partial {\Omega }_{\mu 0}\cap \Omega }{\sup }\left|Du\right|\le \widetilde{M_1},$

其中 $\widetilde{M_1}$ 只依赖于 $n,M_0,{\mu }_0,L_1$。

情形3：若 $x_0\in {\Omega }_{\mu 0}$，证明 $\left|Du\right|\left(x_0\right)$ 有界。

在 $x_0$ 点选择标准坐标系，设 $u_i\left(x_0\right)=0$， $2\le i\le n$， $u_1\left(x_0\right)=\left|Du\right|>0$。进一步设矩阵 ${\left\{u_{ij}\left(x_0\right)\right\}}_{i,j=2}^n$ 是对角的。取 ${\mu }_2\le \frac{1}{100L_2}$ 则

$\left|{\psi }_u\right|{\mu }_2\le \frac{1}{10}$，从而 $\frac{99}{100}\le 1-{\psi }_u{\mu }_2\le \frac{101}{100}$ (8)

选取

$d<{\mu }_0=\frac{1}{2}\min \left\{{\mu }_1,{\mu }_2,1\right\}.$

为简化计算，令

$\omega \text{=}u-G,G=\psi \left(x,u\right)d.$

则有

${\omega }_k=\left(1-G_u\right)u_k-G_{x_k}.$

因为在 $x_0$ 点，

${\left|D\omega \right|}^2={\omega }_1^2+{\displaystyle \underset{2\le i\le n}{\sum }{\omega }_i^2},$

$\begin{array}{l}{\omega }_1=\left(1-G_u\right)u_1-G_{x_1}=\left(1-G_u\right)u_1-{\psi }_{x_1}d-\psi {\gamma }^1,\\ {\omega }_i=-G_{x_i}=-{\psi }_{x_i}d-\psi {\gamma }^i,i=2,\cdots ,n.\end{array}$

由以上关系式，在 $x_0$ 点，可设

$u_1=\left|Du\right|\left(x_0\right)\ge \sqrt{3000\left(1+{\left|\psi \right|}_{C^0\left(\bar{\Omega }\times \left[-M_0,M_0\right]\right)}^2\right)},$

则有

$\frac{9}{10}{u}_1^2\le {\left|D\omega \right|}^2\le \frac{11}{10}{u}_1^2,\frac{9}{10}{u}_1^2\le {\omega }_1^2\le \frac{11}{10}{u}_1^2.$

由 ${\mu }_0$ 的选取和式(7)，我们得到

$\frac{99}{100}\le 1-G_u\le \frac{101}{100}.$

此种证明较长，下面分两步完成定理的证明，以下计算均在 $x_0$ 点进行。

第一步：先推导 $\Delta \phi$，对 $\phi$ 微分两次，并由 ${\phi }_i\left(x_0\right)=0$，可得

$\begin{array}{c}{\phi }_{ij}=\frac{{\left({\left|D\omega \right|}^2\right)}_{ij}}{{\left|D\omega \right|}^2\log {\left|D\omega \right|}^2}+h^{\prime }{u}_{ij}+\left[h^{″}-\left(1+\log {\left|D\omega \right|}^2\right){h^{\prime }}^2\right]u_i{u}_j\\ \text{+}\left[g^{″}-\left(1+\log {\left|D\omega \right|}^2\right){g^{\prime }}^2\right]{\gamma }^i{\gamma }^j-\left(1+\log {\left|D\omega \right|}^2\right)h^{\prime }{g}^{\prime }\left({\gamma }^i{u}_j+{\gamma }^j{u}_i\right)+g^{\prime }{\left({\gamma }^i\right)}_j.\end{array}$

从而可得

$0\ge {\displaystyle \underset{1\le i,j\le n}{\sum }{a}^{ij}{\phi }_{ij}=I_1+I_2}$ (9)

其中

$I_1=\frac{1}{{\left|D\omega \right|}^2\log {\left|D\omega \right|}^2}{\displaystyle \underset{1\le i,j\le n}{\sum }{a}^{ij}{\left({\left|D\omega \right|}^2\right)}_{ij}},$

$\begin{array}{c}{I}_2={\displaystyle \underset{1\le i,j\le n}{\sum }{a}^{ij}\{h^{\prime }{u}_{ij}+\left[h^{″}-\left(1+\log {\left|D\omega \right|}^2\right){h^{\prime }}^2\right]u_i{u}_j+\left[g^{″}-\left(1+\log {\left|D\omega \right|}^2\right){g^{\prime }}^2\right]{\gamma }^i{\gamma }^j}\\ -\left(1+\log {\left|D\omega \right|}^2\right)h^{\prime }{g}^{\prime }\left({\gamma }^i{u}_j+{\gamma }^j{u}_i\right)+g^{\prime }{\left({\gamma }^i\right)}_j\}.\end{array}$

由 $a_{ij}\in C^0$， $a_{ij}{\xi }_i{\xi }_j>\lambda {\left|\xi \right|}^2$，以及坐标系的选取和方程(3)式(7)可得

$\begin{array}{c}{I}_2=h^{\prime }f-a_{ij}{u}_i{u}_j{h^{\prime }}^2\log {\left|D\omega \right|}^2+a_{ij}{u}_i{u}_j\left[h^{″}-{h^{\prime }}^2\right]+a_{ij}\left[g^{″}-\left(1+\log {\left|D\omega \right|}^2\right){g^{\prime }}^2\right]{\gamma }^i{\gamma }^j\\ -2a_{i1}\left(1+\log {\left|D\omega \right|}^2\right)h^{\prime }{g}^{\prime }\left({\gamma }^i{u}_1\right)+a_{ij}{g}^{\prime }{\left({\gamma }^i\right)}_j\\ \ge f-\lambda \log {\left|D\omega \right|}^2{u}_1^2-C_1{u}_1^2-C.\end{array}$

其中 $C_1$ 为正常数只依赖于 $n,\Omega ,{\mu }_0,M_0,\lambda ,L_2$，下面计算 $I_1$。

对 ${\left|D\omega \right|}^2$ 微分两次，我们有

${\left({\left|D\omega \right|}^2\right)}_{ij}=2{\displaystyle \underset{1\le k\le n}{\sum }{\omega }_k{\omega }_{ijk}+2}{\displaystyle \underset{1\le k\le n}{\sum }{\omega }_{ki}{\omega }_{kj}}$ (10)

将式(10)代入 $I_1$ 中，可重写为

$I_1=\frac{1}{{\left|D\omega \right|}^2\log {\left|D\omega \right|}^2}\left[2{\displaystyle \underset{1\le i,j,k\le n}{\sum }{a}_{ij}{\omega }_k{\omega }_{ijk}+2}{\displaystyle \underset{1\le i,j,k\le n}{\sum }{a}_{ij}{\omega }_{ki}{\omega }_{kj}}\right].$

下面我们处理 $I_1$，因为我们已经令

$\omega =u-G,G=\psi \left(x,u\right)d.$

则有

$\begin{array}{l}{\omega }_{ki}=\left(1-G_u\right)u_{ki}-G_{uu}{u}_k{u}_i-G_{u{x}_i}{u}_k-G_{u{x}_k}{u}_i-G_{x_k{x}_i},\\ {\omega }_{kij}=\left(1-G_u\right)u_{kij}-G_{uu}\left(u_{ki}{u}_j+u_{kj}{u}_i+u_{ij}{u}_k\right)-G_{u{x}_i}{u}_{kj}-G_{u{x}_j}{u}_{ki}-G_{u{x}_k}{u}_{ij}-G_{uuu}{u}_k{u}_i{u}_j\\ -G_{uu{x}_i}{u}_k{u}_j-G_{uu{x}_j}{u}_k{u}_i-G_{uu{x}_k}{u}_i{u}_j-G_{u{x}_k{x}_j}{u}_i-G_{u{x}_i{x}_j}{u}_k-G_{u{x}_i{x}_k}{u}_j-G_{x_i{x}_k{x}_j}.\end{array}$

因此

$\begin{array}{c}{\displaystyle \underset{1\le i,j,k\le n}{\sum }{a}_{ij}{\omega }_k{\omega }_{ijk}}={\displaystyle \underset{1\le i,j,k\le n}{\sum }\left(1-G_u\right){\omega }_k{a}_{ij}{u}_{kij}}-G_{uu}{\omega }_1{u}_{1}f-2G_{uu}{a}_{i1}{u}_1{\displaystyle \underset{1\le k\le n}{\sum }{\omega }_k}{u}_{ki}-f{\displaystyle \underset{1\le k\le n}{\sum }{\omega }_k}{G}_{u{x}_k}\\ -2{\displaystyle \underset{1\le i,j,k\le n}{\sum }{\omega }_k}{a}_{ij}{G}_{u{x}_i}{u}_{kj}-a_{11}{G}_{uuu}{\displaystyle \underset{1\le k\le n}{\sum }{\omega }_k}{u}_1^2-2{\omega }_1{u}_1^2{\displaystyle \underset{1\le i\le n}{\sum }{a}_{i1}}{G}_{uu{x}_i}-a_{11}{G}_{uu{x}_k}{\displaystyle \underset{1\le k\le n}{\sum }{\omega }_k}{u}_1^2\\ -{\omega }_1{u}_1{\displaystyle \underset{1\le i,j\le n}{\sum }{a}_{ij}}{G}_{u{x}_i{x}_j}-2{\displaystyle \underset{1\le i,k\le n}{\sum }{\omega }_k{a}_{i1}}{G}_{u{x}_i{x}_k}{u}_1-{\displaystyle \underset{1\le i,j,k\le n}{\sum }{\omega }_k}{a}_{ij}{G}_{x_i{x}_k{x}_j}.\end{array}$

对方程 $a_{ij}\left(\nabla u\right)u_{ij}=f\left(x,u\right)$，求导可得

${\displaystyle \underset{1\le i,j,k\le n}{\sum }{a}_{ij}{u}_{ijk}=-{\left(a_{ij}\right)}_{p_l}}{u}_{lk}{u}_{ij}+D_{k}f.$

且 $D_{k}f=f_{x_k}+f_u{u}_k$，我们设 ${\left(a_{ij}\right)}_{p_l}<C$，因此

$\begin{array}{c}{I}_1=\frac{1}{{\left|D\omega \right|}^2\log {\left|D\omega \right|}^2}\left[2{\displaystyle \underset{1\le i,j,k\le n}{\sum }{a}_{ij}{\omega }_k{\omega }_{ijk}}+2{\displaystyle \underset{1\le i,j,k\le n}{\sum }{a}_{ij}{\omega }_{ki}{\omega }_{kj}}\right]\\ =\frac{1}{{\left|D\omega \right|}^2\log {\left|D\omega \right|}^2}\{{\displaystyle \underset{1\le i,j,k\le n}{\sum }2a_{ij}\left[{\left(1-G_u\right)}^2{u}_{ki}{u}_{kj}\right]}\\ -2a_{ij}\left(1-G_u\right)u_{kj}\left(G_{uu}{u}_k{u}_i-G_{u{x}_i}{u}_k-G_{u{x}_k}{u}_i-G_{x_k{x}_i}\right)-2a_{ij}\left(1-G_u\right)u_{ki}\end{array}$

$\begin{array}{l}\left(G_{uu}{u}_k{u}_j-G_{u{x}_j}{u}_k-G_{u{x}_k}{u}_j-G_{x_k{x}_j}\right)+2a_{ij}\left(G_{uu}{u}_k{u}_i-G_{u{x}_i}{u}_k-G_{u{x}_k}{u}_i-G_{x_k{x}_i}\right)\\ \left(G_{uu}{u}_k{u}_j-G_{u{x}_j}{u}_k-G_{u{x}_k}{u}_j-G_{x_k{x}_j}\right)+2[{\displaystyle \underset{1\le i,j,k\le n}{\sum }\left(1-G_u\right){\omega }_k\left(-{\left(a_{ij}\right)}_{p_l}{u}_{lk}{u}_{ij}+f_{x_k}+f_u{u}_k\right)}\\ -G_{uu}{\omega }_1{u}_{1}f-2G_{uu}{a}_{i1}{u}_1{\displaystyle \underset{1\le k\le n}{\sum }{\omega }_k}{u}_{ki}-f{\displaystyle \underset{1\le k\le n}{\sum }{\omega }_k}{G}_{u{x}_k}-2{\displaystyle \underset{1\le i,j,k\le n}{\sum }{\omega }_k}{a}_{ij}{G}_{u{x}_i}{u}_{kj}\\ -a_{11}{G}_{uuu}{\displaystyle \underset{1\le k\le n}{\sum }{\omega }_k}{u}_1^2-2{\omega }_1{u}_1^2{\displaystyle \underset{1\le i\le n}{\sum }{a}_{i1}}{G}_{uu{x}_i}-a_{11}{G}_{uu{x}_k}{\displaystyle \underset{1\le k\le n}{\sum }{\omega }_k}{u}_1^2-{\omega }_1{u}_1{\displaystyle \underset{1\le i,j\le n}{\sum }{a}_{ij}}{G}_{u{x}_i{x}_j}\\ -2{\displaystyle \underset{1\le i,k\le n}{\sum }{\omega }_k{a}_{i1}}{G}_{u{x}_i{x}_k}{u}_1-{\displaystyle \underset{1\le i,j,k\le n}{\sum }{\omega }_k}{a}_{ij}{G}_{x_i{x}_k{x}_j}].\end{array}$

将 $I_1$ 和 $I_2$ 代入式(9)，我们可以得到

$0\ge {\displaystyle \underset{1\le i,j\ge n}{\sum }{a}_{ij}{\phi }_{ij}=Q_1+Q_2+Q_3.}$

其中 $Q_1$ 包含 $u_{ij}$ 所有二次项， $Q_2$ 包含 $u_{ij}$ 所有的一次项，其他剩余项记为 $Q_3$

$Q_1=\frac{1}{{\left|D\omega \right|}^2\log {\left|D\omega \right|}^2}\left[{\displaystyle \underset{1\le i,j,k\le n}{\sum }2a_{ij}{\left(1-G_u\right)}^2{u}_{ki}{u}_{kj}-2\left(1-G_u\right){\omega }_k{\left(a_{ij}\right)}_{p_l}{u}_{lk}{u}_{ij}}\right].$

$\begin{array}{c}{Q}_2=\frac{1}{{\left|D\omega \right|}^2\log {\left|D\omega \right|}^2}[-2a_{ij}\left(1-G_u\right)u_{kj}\left(G_{uu}{u}_k{u}_i-G_{u{x}_i}{u}_k-G_{u{x}_k}{u}_i-G_{x_k{x}_i}\right)-2{\displaystyle \underset{1\le i,j,k\le n}{\sum }{\omega }_k}{a}_{ij}{G}_{u{x}_i}{u}_{kj}\\ -2a_{ij}\left(1-G_u\right)u_{ki}\left(G_{uu}{u}_k{u}_j-G_{u{x}_j}{u}_k-G_{u{x}_k}{u}_j-G_{x_k{x}_j}\right)-2G_{uu}{a}_{i1}{u}_1{\displaystyle \underset{1\le k\le n}{\sum }{\omega }_k}{u}_{ki}].\end{array}$

$\begin{array}{c}{Q}_3=I_2+\frac{1}{{\left|D\omega \right|}^2\log {\left|D\omega \right|}^2}2[{\displaystyle \underset{1\le i,j,k\le n}{\sum }\left(1-G_u\right){\omega }_k}\left(f_{x_k}+f_u{u}_k\right)+2a_{ij}\left(G_{uu}{u}_k{u}_i-G_{u{x}_i}{u}_k-G_{u{x}_k}{u}_i-G_{x_k{x}_i}\right)\\ \left(G_{uu}{u}_k{u}_j-G_{u{x}_j}{u}_k-G_{u{x}_k}{u}_j-G_{x_k{x}_j}\right)-G_{uu}{\omega }_1{u}_{1}f-f{\displaystyle \underset{1\le k\le n}{\sum }{\omega }_k}{G}_{u{x}_k}-a_{11}{G}_{uuu}{\displaystyle \underset{1\le k\le n}{\sum }{\omega }_k}{u}_1^2-2{\omega }_1{u}_1^2{\displaystyle \underset{1\le i\le n}{\sum }{a}_{i1}}{G}_{uu{x}_i}\\ -a_{11}{G}_{uu{x}_k}{\displaystyle \underset{1\le k\le n}{\sum }{\omega }_k}{u}_1^2-{\omega }_1{u}_1{\displaystyle \underset{1\le i,j\le n}{\sum }{a}_{ij}}{G}_{u{x}_i{x}_j}-2{\displaystyle \underset{1\le i,k\le n}{\sum }{\omega }_k{a}_{i1}}{G}_{u{x}_i{x}_k}{u}_1-{\displaystyle \underset{1\le i,j,k\le n}{\sum }{\omega }_k}{a}_{ij}{G}_{x_i{x}_k{x}_j}].\end{array}$

对 $I_2$ 的估计有

$Q_3\ge f-\lambda \log {\left|D\omega \right|}^2{u}_1^2-C_2{u}_1^2-\frac{2G_{uu}{\omega }_1{u}_{1}f}{{\left|D\omega \right|}^2\log {\left|D\omega \right|}^2}.$

其中 $C_2$ 为正常数只依赖于 $n,\Omega ,{\mu }_0,M_0,\lambda ,L_2$。

第二步：记 $A={\left|D\omega \right|}^2\log {\left|D\omega \right|}^2$，利用一阶导数条件化简 $Q_1$ 、 $Q_2$ 中的每一项，由条件 ${\phi }_i\left(x_0\right)=0$，和坐标系的选取得

$u_{1i}=-\frac{1}{{\omega }_1}{\omega }_i{u}_{ii}-\frac{g^{\prime }{\gamma }^i}{2\left(1-G_u\right)}\frac{A}{{\omega }_1}+\frac{G_{u{x}_i}}{1-G_u}{u}_1+\frac{G_{x_k{x}_i}}{1-G_u}{\displaystyle \underset{1\le k\le n}{\sum }{\omega }_k},i=2,\cdots ,n,$

$u_{11}={\displaystyle \underset{2\le i\le n}{\sum }\frac{{\omega }_i^2}{{\omega }_1^2}{u}_{ii}}-\frac{h^{\prime }}{2\left(1-G_u\right)}\frac{A{u}_1}{{\omega }_1}+\frac{D}{1-G_u}.$

其中

$\begin{array}{c}D=G_{uu}{u}_1^2-\frac{g^{\prime }{\gamma }^1}{2}\frac{A}{{\omega }_1}+G_{u{x}_1}{u}_1+\frac{u_1}{{\omega }_1}{\displaystyle \underset{1\le k\le n}{\sum }{\omega }_k}{G}_{x_k{x}_i}+\frac{g^{\prime }}{2}{\displaystyle \underset{2\le i\le n}{\sum }{\omega }_i}{\gamma }^i\frac{A}{{\omega }_1^2}\\ -\frac{u_1}{{\omega }_1}{\displaystyle \underset{2\le i\le n}{\sum }{\omega }_i}{G}_{x_{i}u}+\frac{1}{{\omega }_1}{\displaystyle \underset{1\le k\le n}{\sum }{\omega }_k}{G}_{x_k{x}_1}-\frac{1}{{\omega }_1^2}{\displaystyle \underset{1\le i,k\le n}{\sum }{\omega }_k}{\omega }_i{G}_{x_k{x}_i}.\end{array}$ (11)

从而

$\left|D\right|\le C_3{u}_1^2.$

其中 $C_3$ 为正常数只依赖于 $n,\Omega ,{\mu }_0,M_0,\lambda ,L_1,L_2$。

$\begin{array}{l}{u}_{ki}=-\frac{h^{\prime }}{2\left(1-G_u\right)}\frac{A{u}_i}{{\omega }_k}+\frac{G_{uu}}{1-G_u}{u}_i{u}_k-\frac{g^{\prime }{\gamma }^i}{2\left(1-G_u\right)}\frac{A}{{\omega }_k}+\frac{G_{u{x}_i}}{1-G_u}{u}_k\\ +\frac{G_{u{x}_k}}{1-G_u}{u}_i+\frac{G_{x_i{x}_k}}{1-G_u},i=1,\cdots ,n.\end{array}$

处理 $Q_1$ 、 $Q_2$ 每一项

$\begin{array}{l}{Q}_1:{\displaystyle \underset{1\le i,j,k\le n}{\sum }2a_{ij}{\left(1-G_u\right)}^2{u}_{ki}{u}_{kj}}\\ ={\displaystyle \underset{1\le i,j,k\le n}{\sum }\frac{{h^{\prime }}^2}{2}\frac{A^2}{{\omega }_k}{a}_{ij}{u}_i{u}_j}+{\displaystyle \underset{1\le i,j\le n}{\sum }{a}_{1j}}\frac{h^{\prime }{g}^{\prime }{\gamma }^j}{4}\frac{A^2{u}_1}{{\omega }_k^2}+{\displaystyle \underset{1\le i,k\le n}{\sum }{a}_{i1}}\frac{h^{\prime }{g}^{\prime }{\gamma }^j}{4}\frac{A^2{u}_1}{{\omega }_k^2}\\ +{\displaystyle \underset{1\le i,j,k\le n}{\sum }2a_{ij}[\frac{h^{\prime }{\gamma }^i{\gamma }^j}{4}}\frac{A^2}{{\omega }_k}-\frac{h^{\prime }}{2}\frac{A{u}_i}{{\omega }_k}\left(G_{uu}{u}_k{u}_j-G_{u{x}_j}{u}_k-G_{u{x}_k}{u}_j-G_{x_k{x}_j}\right)\\ -\frac{h^{\prime }}{2}\frac{A{u}_j}{{\omega }_k}\left(G_{uu}{u}_k{u}_i-G_{u{x}_i}{u}_k-G_{u{x}_k}{u}_i-G_{x_k{x}_i}\right)-\frac{g^{\prime }{\gamma }^i}{2}\frac{A}{{\omega }_k}(G_{uu}{u}_k{u}_j-G_{u{x}_j}{u}_k\\ -G_{u{x}_k}{u}_j-G_{x_k{x}_j})-\frac{g^{\prime }{\gamma }^j}{2}\frac{A}{{\omega }_k}\left(G_{uu}{u}_k{u}_i-G_{u{x}_i}{u}_k-G_{u{x}_k}{u}_i-G_{x_k{x}_i}\right)],\end{array}$

$\begin{array}{l}-2\left(1-G_u\right){\omega }_k{\left(a_{ij}\right)}_{p_l}{u}_{lk}{u}_{ij}\\ =[{\left(a_{ij}\right)}_{pl}{h}^{\prime }A{u}_l-{\left(a_{ij}\right)}_{pl}{G}_{uu}{\omega }_1{u}_1{u}_l+{\left(a_{ij}\right)}_{pl}{g}^{\prime }{\gamma }^{l}A-2{\left(a_{ij}\right)}_{pl}{\omega }_1{u}_1{G}_{u{x}_l}\\ -{\displaystyle \underset{1\le k\le n}{\sum }{\left(a_{ij}\right)}_{pl}}{\omega }_k{u}_l{G}_{u{x}_k}-{\displaystyle \underset{1\le k\le n}{\sum }{\left(a_{ij}\right)}_{pl}}{\omega }_k{G}_{x_l{x}_k}]{\displaystyle \underset{2\le i\le n}{\sum }\frac{{\omega }_i^2}{{\omega }_1^2}{u}_{ii}}+\frac{{\left(a_{ij}\right)}_{pl}{h^{\prime }}^2}{2\left(1-G_u\right)}\frac{A^2{u}_1}{{\omega }_1}+AO\left(u_1^2\right).\end{array}$

$\begin{array}{l}{Q}_2:-2a_{ij}\left(1-G_u\right)u_{kj}\left(G_{uu}{u}_k{u}_i-G_{u{x}_i}{u}_k-G_{u{x}_k}{u}_i-G_{x_k{x}_i}\right)=AO\left(u_1^2\right),\\ -2a_{ij}\left(1-G_u\right)u_{ki}\left(G_{uu}{u}_k{u}_j-G_{u{x}_j}{u}_k-G_{u{x}_k}{u}_j-G_{x_k{x}_j}\right)=AO\left(u_1^2\right),\\ -2{\displaystyle \underset{1\le i,j,k\le n}{\sum }{\omega }_k}{a}_{ij}{G}_{u{x}_i}{u}_{kj}=AO\left(u^1\right),\\ -2G_{uu}{a}_{i1}{u}_1{\displaystyle \underset{1\le k\le n}{\sum }{\omega }_k}{u}_{ki}=AO\left(u_1^2\right).\end{array}$

所以得到

$0\ge {\displaystyle \underset{1\le i,j\ge n}{\sum }{a}_{ij}{\phi }_{ij}=Y_1+Y_2.}$

其中 $Y_1$ 只包含含有 $u_{ii}$ 的项，其他剩余项记为 $Y_2$

$\begin{array}{l}{Y}_1=[{\left(a_{ij}\right)}_{pl}{h}^{\prime }A{u}_l-{\left(a_{ij}\right)}_{pl}{G}_{uu}{\omega }_1{u}_1{u}_l+{\left(a_{ij}\right)}_{pl}{g}^{\prime }{\gamma }^{l}A-2{\left(a_{ij}\right)}_{pl}{\omega }_1{u}_1{G}_{u{x}_l}\\ -{\displaystyle \underset{1\le k\le n}{\sum }{\left(a_{ij}\right)}_{pl}}{\omega }_k{u}_l{G}_{u{x}_k}-{\displaystyle \underset{1\le k\le n}{\sum }{\left(a_{ij}\right)}_{pl}}{\omega }_k{G}_{x_l{x}_k}]{\displaystyle \underset{2\le i\le n}{\sum }\frac{{\omega }_i^2}{{\omega }_1^2}}{u}_{ii}\\ ={\displaystyle \underset{2\le i\le n}{\sum }{K}^i{u}_{ii}}.\end{array}$

有

$\left|K^i\right|\le C_{4}A.$

根据方程(3)和式(11)得

$Y_1\ge C_5{u}_1^2.$

由 $Q_3$ 的估计以及 $a_{ij}{\xi }_i{\xi }_j>\lambda {\left|\xi \right|}^2$ 得到 $Y_2$ 的估计

$\begin{array}{c}{Y}_2\ge -\lambda \log {\left|D\omega \right|}^2{u}_1^2+{\displaystyle \underset{1\le i,j,k\le n}{\sum }\frac{{h^{\prime }}^2}{2}\frac{A}{{\omega }_k}{a}_{ij}{u}_i{u}_j}+{\displaystyle \underset{1\le i,j\le n}{\sum }{a}_{1j}}\frac{h^{\prime }{g}^{\prime }{\gamma }^j}{4}\frac{A{u}_1}{{\omega }_k^2}\\ +{\displaystyle \underset{1\le i,k\le n}{\sum }{a}_{i1}}\frac{h^{\prime }{g}^{\prime }{\gamma }^j}{4}\frac{A{u}_1}{{\omega }_k^2}-C_6{u}_1^2\\ \ge \frac{\lambda }{4}\log {\left|D\omega \right|}^2{u}_1^2-C_7{u}_1^2.\end{array}$

由 $Y_1$ 的估计和 $Y_2$ 的估计

$0\ge {\displaystyle \underset{1\le i,j\ge n}{\sum }{a}_{ij}{\phi }_{ij}}\ge \frac{\lambda }{4}\log {\left|D\omega \right|}^2{u}_1^2-C_8{u}_1^2.$

从而存在正常数 $C_9$ 使得

$\left|Du\right|\left(x_0\right)\le C_9.$ (12)

由情形1，情形2，和式(12)，得到

$\left|Du\right|\left(x_0\right)\le C_9,x_0\in {\Omega }_{\mu 0}\cap \partial \Omega .$

其中以上正常数 $C_2,\cdots ,C_9$。只依赖于 $n,\Omega ,{\mu }_0,M_0,L_1,L_2,\lambda$。因为 $\phi \left(x\right)\le \phi \left(x_0\right)$，

$\forall x_0\in {\Omega }_{\mu 0}$ 则存在正常数 $M_2$ 使得

$\left|Du\right|\left(x\right)\le M_2,x\in {\Omega }_{\mu 0}\cup \partial \Omega .$

因此，最后得到估计

$\underset{{\bar{\Omega }}_{{\mu }_0}}{\sup }\left|Du\right|\le \max \{M_1,M_2\},$

其中 $M_1$ 为正常数只依赖于 $n,{\mu }_0,M_0,L_1$，它来自于梯度内估计； $M_2$ 为正常数只依赖于 $n,\Omega ,{\mu }_0,M_0,L_1,L_2$。由此，定理得证。

4. 总结

研究结果主要推广了刘晋鹏的一类拟线性方程中f只依赖于x时的Neumann问题梯度估计，即方程中关于f依赖于x，u时，利用极值原理得到了这类方程解的梯度估计，给出了其解的存在性。

参考文献