模糊Riesz空间中的模糊算子

Fuzzy Operators in Fuzzy Riesz Spaces

摘要: 本文首先讨论模糊赋范Riesz空间上模糊序连续范数的一些性质，得到模糊序连续范数与模糊范闭理想之间的联系，给出模糊σ-理想的等价命题，然后给出了模糊理想是模糊投影带的必要条件；最后讨论了模糊赋范Riesz空间上模糊序连续算子的一些性质及研究模糊算子扩张，得到模糊序有界正算子构成的模糊理想的性质及模糊理想上的模糊算子与模糊序连续算子之间的关系。

Abstract: In this paper, we first discuss some properties of fuzzy ordered continuous norms on fuzzy normed Riesz spaces such as the relationship between fuzzy ordered continuous norms and fuzzy normed closed ideals, giving the equivalent proposition of fuzzy σ-ideals, and then give the necessary conditions for fuzzy ideals to be fuzzy projective bands. Finally, we discuss some properties of fuzzy ordered continuous operators on fuzzy normed Riesz spaces and study the extension of fuzzy operators. We obtain the properties of fuzzy ideals formed by fuzzy ordered bounded positive operators and the relationship between fuzzy operators on fuzzy ideals and fuzzy ordered continuous operators.

1. 引言

1965年，Zadeh [1] 提出模糊集及1971年 [2] 引入了模糊序的概念之后，1992年，Venugopalan [3] 定义了模糊序集并对模糊序集展开系统研究。在Zadeh等人研究的基础上，1994年，Beg和Islam [4] [5] 先给出模糊Riesz空间的定义，得到模糊Riesz分解等性质；同年引入模糊序线性空间的概念并讨论模糊序收敛。1997年，Beg和Islam [6] [7] 先后引入 $\sigma$ -完备的模糊Riesz空间和模糊Archimedea空间的概念，后者还讨论了模糊Archimedean空间与完备的模糊Riesz空间之间的关系。然后，L. Hong [8] 介绍了模糊Riesz子空间、模糊理想、模糊带和模糊带投影等概念。基于模糊Riesz空间的一些重要结论，很多人开始研究模糊算子。

1984年，Katsaras [9] 首次在线性空间上引入了模糊范数的概念。1992年，Felbin [10] 定义了模糊有界线性算子。同年，Cheng和Mordeson [11] 在模糊赋范线性空间上定义了模糊线性算子及模糊赋范线性空间的概念，并用模糊范数定义刻画了模糊线性算子的连续性。Xiao和Zhu [12] 在2003年讨论了模糊赋范空间上线性算子的完备性。2020年，Sharma和Hazarika [13] 研究了模糊赋范线性空间上线性算子的模糊有界性的各种概念之间的关系，讨论了模糊紧算子的模糊有界性。Bag和Samanta [14] [15] 定义了两类模糊有界线性算子(强算子和弱算子)，研究了模糊连续性和模糊有界性之间的关系，并建立了Hahn-Banach定理、开映射定理、闭图像定理和一致有界定理。Park [16] 给出了模糊赋范Riesz空间的概念，并直接证明了保格泛函方程的Hyers-Ulam稳定性。M. Iqbal和Z. Bashir [17] 研究了模糊序有界线性算子空间和模糊序对偶空间的分离性质，并讨论了局部实凸模糊Riesz空间的模糊序对偶和模糊拓扑对偶之间的关系。Cheng [18] 在模糊Riesz空间上研究了模糊线性算子扩张，并得到Hahn-Banach定理推广的结论。

本文首先讨论模糊赋范Riesz空间上模糊序连续范数的一些性质，给出模糊 $\sigma$ -理想的等价命题，给出了模糊理想是模糊投影带的必要条件，并讨论了模糊赋范Riesz空间上模糊序连续算子的一些性质。本篇文章研究得到的结论可以进一步发展与完善模糊赋范Riesz空间和算子理论。

本文结构如下，在第二节简要回顾一些基本概念和性质。第三节我们将讨论模糊赋范Riesz空间上模糊序连续范数的一些性质，给出模糊 $\sigma$ -理想的等价命题和给出模糊理想是模糊投影带的必要条件。第四节讨论模糊赋范Riesz空间上模糊序连续算子的一些性质。第五节是本文的结论。

有关模糊Riesz空间和模糊赋范Riesz空间的一些重要结论以及各类符号可以参考文献 [1] - [19]。

2. 预备知识

定义2.1 [3] 假设X是论域，X中的模糊序 $\mu$ 是 $X\times X$ 的模糊子集，当特征函数 $\mu$ 满足如下条件时，则 $\mu$ 是X上的模糊序，

1) 任意 $x\in X$， $\mu \left(x,x\right)=1$ (自反性)；

2) 任意 $x,y\in X$，当 $\mu \left(x,y\right)+\mu \left(y,x\right)>1$ 有 $x=y$ (反对称性)；

3) 任意 $x,z\in X$，有 $\mu \left(x,z\right)\ge \vee \left(\mu \left(x,y\right)\wedge \mu \left(y,z\right)\right)$ (传递性)。

其中 $\mu :X\times X\to \left[0,1\right]$ 是 $X\times X$ 模糊子集的特征函数。

集合上赋予模糊序称该集合为模糊序集。

符号2.2 [2] 假设X是模糊序集， $x\in X$。 $\downarrow x$ 是X上的模糊集，对任意 $y\in X$ 表示为 $\left(\downarrow x\right)\left(y\right)=\mu \left(y,x\right)$。同理，对任意 $y\in X$， $\uparrow x$ 表示 $\left(\uparrow x\right)\left(y\right)=\mu \left(x,y\right)$。若A是X的子集，则 $\uparrow A={{\displaystyle \vee }}_{x\in A}\left(\uparrow x\right)$， $\downarrow A={{\displaystyle \vee }}_{x\in A}\left(\downarrow x\right)$。

定义2.3 [2] 假设A是X的子集，A的上界 $U\left(A\right)$ 定义如下：

$U\left(A\right)\left(y\right)=\{\begin{array}{l}0,\mu \left(x,y\right)\le \frac{1}{2}\\ \left({{\displaystyle \cap }}_{x\in A}\uparrow x\right)\left(y\right),其他\end{array}$，

同理，A的下界 $L\left(A\right)$ 定义如下：

$L\left(A\right)\left(y\right)=\{\begin{array}{l}0,\mu \left(y,x\right)\le \frac{1}{2}\\ \left({{\displaystyle \cap }}_{x\in A}\downarrow x\right)\left(y\right),其他\end{array}$。

对任意 $x\in X$，当满足 $U\left(A\right)\left(x\right)>0$ 时称 $x\in U\left(A\right)$ ；任意 $x\in X$，当满足 $L\left(A\right)\left(x\right)>0$ 时称 $x\in L\left(A\right)$。如果 $x\in X$ 且 $x\in U\left(A\right)$，称A有上界，x是A的一个上界。同理，如果 $x\in X$ 且 $x\in L\left(A\right)$，称A有下界，x是A的一个下界。如果A既有上界又有下界，称A有界。

元素 $z\in X$ 满足(1) $z\in U\left(A\right)$，(2) 当 $y\in U\left(A\right)$ 时有 $y\in U\left(z\right)$，则称 $z\in X$ 是A的上确界。同理，元素 $z\in X$ 满足(1) $y\in L\left(A\right)$，(2) 当 $y\in L\left(A\right)$ 时有 $y\in L\left(z\right)$，则称 $z\in X$ 是A的下确界。

性质2.4 [2] 假设A是模糊集X的子集：

1) 如果 $\sup A$ 存在，则唯一；

2) 如果 $\inf A$ 存在，则唯一。

注解2.5 [2] $x\vee y=\sup \left\{x,y\right\}$， $x\wedge y=\inf \left\{x,y\right\}$

定义2.6 [3] 在模糊序线性空间X中，如果元素x满足 $\mu \left(0,x\right)>\frac{1}{2}$，则元素x是正元素；如果元素x满足 $\mu \left(x,0\right)>\frac{1}{2}$，则元素x是负元素。

定义2.7 [8] 设X是模糊序集， $\left\{x_{\alpha }\right\}$ 是X的网，如果对任意 $\alpha ,\beta$，当 $\alpha \le \beta$ 时有 $\mu \left(x_{\alpha },x_{\beta }\right)>\frac{1}{2}$，则 $\left\{x_{\alpha }\right\}$ 是递增的，记作 $x_{\alpha }\uparrow$。如果 $x=\sup \left\{x_{\alpha }\right\}$ 存在，则 $x_{\alpha }\uparrow x$。同理，若 $\left\{x_{\alpha }\right\}$ 是递减的，表示为 $x_{\alpha }\downarrow$。

定义2.8 [8] 设X是模糊Riesz空间。假设A是X的模糊solid子空间，则A叫做X的模糊理想。

定义2.9 [8] 设X是模糊Riesz空间，P是模糊带。如果P满足 $X=P+P^d$，则P是模糊投影带。

定义2.10 [8] 设X是模糊Riesz空间，Y是X的模糊Riesz子空间。如果任意正元素 $x\in X$，存在非零元素 $y\in Y$ 使得 $\mu \left(y,x\right)>\frac{1}{2}$，则称Y在X中模糊序稠。

定义2.11 [10] 假设X是数域F上的线性空间，N是 $X\times R$ 的模糊子集。N叫做X上的模糊范数，当且仅当任意 $x,y\in X,c\in F$ 满足下述条件成立：

N1) 任意 $t\in R,t\le 0$， $N\left(x,t\right)=0$ ；

N2) 任意 $t\in R,t>0$， $N\left(x,t\right)=1$ 当且仅当 $x=0$ ；

N3) 任意 $t\in R,t>0$，如果 $c\ne 0$，则 $N\left(cx,t\right)=N\left(x,\frac{t}{\left|c\right|}\right)$，如果 $c=0$，则 $N\left(cx,t\right)=1$ ；

N4) 任意 $s,t\in R$， $N\left(x+y,s+t\right)\ge \min \left\{N\left(x,s\right),N\left(y,t\right)\right\}$ ；

N5) $N\left(x,\cdot \right)$ 是R上的左连续不减函数，且 $\underset{t\to \infty }{\lim }N\left(x,t\right)=1$。

此时称 $\left(X,N\right)$ 为模糊赋范线性空间。

定义2.12 [10] 假设 $\left(X,N\right)$ 为模糊赋范线性空间，

N6) 任意 $t>0$，若 $N\left(x,t\right)>0$，则 $x=0$。

定义 ${\Vert x\Vert }_{\alpha }=\wedge \left\{t:N\left(x,t\right)\ge \alpha \right\}$ $\alpha \in \left(0,1\right)$，则 $\left\{{\Vert \Vert }_{\alpha }:\alpha \in \left(0,1\right)\right\}$ 是X上的升序范数族，称之为X上的 $\alpha$ -范数。

注解2.13 [10]

N7) 假设 $x\ne 0$， $N\left(x,·\right)$ 是R上的连续函数且严格递增。

定义2.14 [10] 假设 $\left(X,N\right)$ 是模糊赋范线性空间， ${\left\{x_n\right\}}_n$ 是X上的序列。如果对任意 $t>0$，存在 $x\in X$ 使得 $\underset{n\to \infty }{\lim }N\left(x_n-x,t\right)=1$，则 ${\left\{x_n\right\}}_n$ 在X上模糊范收敛，范极限为x。

定义2.15 [10] 如果任意 $t>0,p=1,2,\cdots$，有 $\underset{n\to \infty }{\lim }N\left(x_{n+p}-x_n,t\right)=1$，则称 ${\left\{x_n\right\}}_n$ 为X上的模糊范柯西列。

性质2.16 [10] 模糊赋范线性空间上收敛序列的子序列也收敛，且有相同的模糊序极限。每个收敛序列都是模糊柯西列。

定义2.17 [16] 假设 $\left(X,\le \right)$ 是模糊Riesz空间。 $N:X\times R\to \left[0,1\right]$ 是X上的模糊范数，如果N满足下述条件，

N7) 若 $\left|x\right|\le \left|y\right|$，则 $N\left(x,t\right)\ge N\left(y,t\right)$，

则称N为Riesz模糊范数， $\left(X^{\circ },\le ,N\right)$ 称为Riesz模糊赋范空间。

定义2.18 [19] 模糊序有界正线性算子记作 $L_b\left(X,F\right)$，模糊序连续有界线性算子记作 $L_n\left(X,F\right)$， $\sigma$ -模糊序连续有界线性算子记作 $L_c\left(X,F\right)$。当F模糊Dedekind完备时，则 $L_n\left(X,F\right)\subseteq L_c\left(X,F\right)$。

定义2.19 [19] 假设 $\left(X,\mu \right),\left(F,\eta \right)$ 是模糊Riesz空间，F模糊Dedekind完备。对任意 $x\in X$，有模糊序有界算子 $P:X\to F$ 满足

$P^{+}\left(k\right)=\sup \left\{Pg:\mu \left(g,k\right)>\frac{1}{2}\right\}$，

$P^{-}\left(k\right)=\sup \left\{-Pg:\mu \left(g,k\right)>\frac{1}{2}\right\}$ 且 $P=P^{+}-P^{-}$。

性质2.20 [19] 假设 $\left(X,\mu \right),\left(F,\eta \right)$ 是模糊Riesz空间，F模糊Dedekind完备。则 $L_n\left(X,F\right),L_c\left(X,F\right)$ 都是 $L_b\left(X,F\right)$ 上的模糊带。

3. 模糊序连续范数

本节讨论模糊赋范Riesz空间上模糊序连续范数的一些性质，给出模糊 $\sigma$ -理想的等价命题，且给出了模糊理想是模糊投影带的必要条件。

定理3.1设 $X^{\circ }$ 是模糊赋范Riesz空间，若 $X^{\circ }$ 中每个递增有上界序列模糊范收敛，则 $X^{\circ }$ 有模糊序连续范数。

证明：假设D是 $X^{\circ }$ 中的向下集，且 $D\downarrow 0\left(D\subseteq X^{\circ }\right)$，由模糊序连续范数定义可知，只需证明 $\inf \left(\Vert f\Vert :f\in D\right)=0$。

假设D包含其有限下确界。任取 $f_0\in D$，令 $D_1=\left(f\wedge f_0:f\in D\right)$，则 $D_1$ 是向下集且 $D_1\downarrow 0$， $\inf \left(\Vert f\Vert :f\in D\right)=\inf \left(\Vert f\Vert :f\in D_1\right)$。假设 $D\downarrow 0$ 且D有上界 $f_0$。令 $D_2=\left(f_0-f:f\in D\right)$，则 $D_2\uparrow f_0$ 且 $D_2$ 是模糊范柯西列。否则，对任意递增序列 $\left\{f_n:n=1,2,\cdots \right\}\in D$，存在正数 $\epsilon$，使得 $\Vert f_n-f_n\Vert \ge \epsilon$，与假设矛盾。由参考文献 [19] 引理3.1.1可知， $D_2$ 包含一个与其有相同上界的递增模糊范柯西列。又由参考文献 [19] 定理3.2.5可知，存在 $f_0$ 使得 $\underset{n\to \infty }{\lim }N\left(f_n-f_0,t\right)=1$，因此 $\underset{n\to \infty }{\lim }N\left(f-f_0,t\right)=1,\forall f\in D_2$。任意 $\epsilon >0$，当 $f\left(\epsilon \right)\in D$ 且 $f\le f\left(\epsilon \right)$ 时，有 $\Vert f\Vert \le \epsilon$。由此可得 $\inf \left(\Vert f\Vert :f\in D\right)=0$，即E有模糊序连续范数。

定理3.2设 $X^{\circ }$ 是模糊赋范Riesz空间，如果 $X^{\circ }$ 的每个模糊范闭理想是模糊带，则 $X^{\circ }$ 有模糊序连续范数。如果 $X^{\circ }$ 是模糊Banach格且具有模糊序连续范数，则每个范闭理想是模糊投影带。

证明：假设 $X^{\circ }$ 中的每个模糊范闭理想是模糊带。下面证明当D是向上集且满足 $D\stackrel{N}{\to }{u}_0$ 时，有 $\left\{\Vert u_0-u\Vert :u\in D\right\}$ 是向下集， $\left(u_0-u\right)\stackrel{N}{\to }0$。

取 $\alpha \in \left(0,1\right)$ 满足 $\left(1-\alpha \right)u_0\stackrel{N}{\to }0$。因

$0\le u_0-u=\left(1-\alpha \right)u_0+\left(\alpha u_0-u\right)\le \left(1-\alpha \right)u_0+{\left(\alpha u_0-u\right)}^{+}$，

由N4和N7可知对任意 $u\in D$，有

$N\left(u_0-u,t\right)\ge \min \left\{N\left(\left(1-\alpha \right)u_0,t\right),N\left({\left(\alpha u_0-u\right)}^{+},t\right)\right\}$。

因 $\left\{{\left(\alpha u_0-u\right)}^{+}\right\}$ 是向下集，下面证明当 $u^{\ast }\in D$ 时，有 $N\left({\left(\alpha u_0-u^{\ast }\right)}^{+},t\right)=1\left(n\ge n^{\ast }\to \infty \right)$。又由 $\left(u-\alpha u_0:u\in D\right)\uparrow \left(1-\alpha \right)u_0$，所以 $\left({\left(u-\alpha u_0\right)}^{+}:u\in D\right)\uparrow \left(1-\alpha \right)u_0$。

记 $\left({\left(u-\alpha u_0\right)}^{+}:u\in D\right)$ 生成的模糊理想为A，A生成的模糊带为B。由参考文献 [19] 定理3.8可知 $u_0\in B$。又 $\bar{A}$ 是A的模糊范闭包，由假设可知 $B\subseteq \bar{A}$。因为 $u_0\in B$，故 $u_0\in \bar{A}$。对于任意正数 $\epsilon$，存在 $v\in A$，使得 $\Vert u_0-v\Vert <\epsilon$。所以 $v^{+}\in A$， $\left|u_0-v^{+}\right|=\left|u_0^{+}-v^{+}\right|\le \left|u_0-v\right|<\epsilon$。假设 $v\in A^{+}$，用 $v\wedge u_0$ 代替v。因 $v\in A^{+}$ 且 $\left({\left(u-\alpha u_0\right)}^{+}:u\in D\right)\uparrow$，所以存在 $u^{\ast }\in D$，使得v是 ${\left(u^{\ast }-\alpha u_0\right)}^{+}$ 生成的模糊正则理想的元素。因此

$v\perp {\left(u^{\ast }-\alpha u_0\right)}^{-}={\left(\alpha u_0-u^{\ast }\right)}^{+}$ 且 $v\le u_0$， ${\left(\alpha u_0-u^{\ast }\right)}^{+}\le u_0$。

从而

$v+{\left(\alpha u_0-u^{\ast }\right)}^{+}\le u_0$， $\Vert {\left(\alpha u_0-u^{\ast }\right)}^{+}\Vert \le \Vert u_0-v\Vert \le \epsilon$，且 $N\left({\left(\alpha u_0-u^{\ast }\right)}^{+},t\right)\ge N\left(u_0-v,t\right)$。

由 $\epsilon$ 的任意性，知 $N\left(u_0-v,t\right)=1$， $N\left(\alpha u_0-u,t\right)=1\left(n\to \infty \right)$。由N4可知 $N\left(u_0-u,t\right)=1\left(n\to \infty \right)$， $u_0-u\stackrel{N}{\to }0$。所以 $X^{\circ }$ 有模糊序连续范数。

由文献 [19] 3.2.4可知， $X^{\circ }$ 是最大Dedekind完备的。因此模糊Riesz空间具有模糊投影性，所以每个范闭理想是模糊投影带。

定理3.3设X是模糊Riesz空间，则下述命题等价：

1) A是模糊 $\sigma$ -理想；

2) 若X中 $u_n\in A^{+},n=1,2,\cdots$ 且 $u_n\uparrow u_0$，则 $u_0\in A$ ；

3) 若 $f_n\in A,n=1,2,\cdots$，且 $f_n$ 模糊序收敛到 $f_0$，则 $u_0\in A$。

证明：先证明1)与2)等价。假设 $u_n\in A^{+},n=1,2,\cdots$， $u_n\uparrow u_0$，由模糊序收敛可知 $u_0=\sup u_n$。因A是模糊 $\sigma$ -理想，所以 $u_0\in A$。又由模糊 $\sigma$ -理想的定义可知，2) $\Rightarrow$ 1)成立。

2) $\Rightarrow$ 3)

假设 $f_n\in A,n=1,2,\cdots$ 且 $f_n$ 模糊序收敛到 $f_0$，则 $f_n\in A^{+}$， $f_n^{+}$ 模糊序收敛到 $f_0^{+}$。令 $g_n=f_n^{+}\wedge f_0^{+},\forall n\in N$，则 $\mu \left(0,f_0^{+}-g_n\right)>\frac{1}{2}$， $\mu \left(f_0^{+}-g_n,\left|f_0^{+}-f_n^{+}\right|\right)>\frac{1}{2}$。令 $u_n=\sup \left(g_1,\cdots ,g_n\right),\forall n\in N$，有 $\mu \left(0,u_n\right)>\frac{1}{2}$ 且 $u_n$ 是递增序列。所以 $\mu \left(0,f_0^{+}-u_n\right)>\frac{1}{2}$， $\mu \left(f_0^{+}-u_n,f_0^{+}-g_n\right)>\frac{1}{2}$， $\mu \left(f_0^{+}-g_n,\left|f_0^{+}-f_n^{+}\right|\right)>\frac{1}{2}$。从而 $u_n\uparrow f_0^{+}$。根据假设可知 $f_0\in A^{+}$。同理可证 $f_0\in A^{-}$，所以 $f_0\in A$。

3) $\Rightarrow$ 2)

假设 $f_n\in A,n=1,2,\cdots$ 且 $f_n$ 模糊序收敛到 $f_0$，由3)可知 $f_0\in A$。令 $u_n\in A^{+}$，任意 $n\in N$ 有 $u_n\uparrow u_0$，则 $\left(u_0-u_n\right)\downarrow 0$。设 $p_n=2\left(u_0-u_n\right)$，所以 $p_n\downarrow 0$， $\mu \left(\left|u_0-u_n\right|,p_n\right)>\frac{1}{2}$。因此 $u_0\in A$。

已知线性空间上的算子满足一定运算后是投影，我们想在模糊Riesz空间及模糊赋范Riesz空间上研究算子，就要给出投影、模糊带投影及模糊正投影的相关概念，然后再讨论他们的性质。

定义3.4设P是向量空间V到它自身的线性算子。若任意 $f\in V$ 都有 $P\left(Pf\right)=Pf$，则P是投影。

如果X是模糊Riesz空间，当 $V=X$ 时，任意 $u\in X$，有 $\mu \left(0,Pu\right)>\frac{1}{2}$，称P是模糊正投影。模糊带投影是模糊正投影，即任意非负元素 $u\in X$，有 $\mu \left(0,Pu\right)>\frac{1}{2}$， $\mu \left(Pu,u\right)>\frac{1}{2}$。若P是模糊带投影，对一些 $f\in X$，

存在 $g\in X$ 使得 $g=Pf$，则称P是由这些 $f\in X$ 构成集合上的模糊正投影，记作B。B是模糊投影带，即 $B\oplus B^d=X,Pf=0$， $f\in B^d$。

定理3.5设X是模糊Riesz空间，A是模糊理想，若P是A上的模糊正投影，则A是模糊投影带，且A有模糊带投影 $P_A$，满足 $P_A\le P$。

证明：要证明A是模糊投影带，需证明 $\forall u\in X^{+}$ 有分解 $u=\left(u\wedge Pu\right)-\left\{u-\left(u\wedge Pu\right)\right\}$，其中 $\left(u\wedge Pu\right)\in A^{+}$， $\left\{u-\left(u\wedge Pu\right)\right\}\in A^{d^{+}}$。对任意 $g\in A$，存在 $f\in X$，使得 $g=Pf$。因P是模糊正投影，故 $g=Pf=P^{2}f=P\left(Pf\right)=Pg$。假设 $u\in X^{+}$，则 $Pu\in A$。因A是模糊理想， $\mu \left(u\wedge Pu,Pu\right)>\frac{1}{2}$，所以 $u\wedge Pu\in A$。下证 $\left\{u-\left(u\wedge Pu\right)\right\}\in {\left(A^d\right)}^{+}$。令 $p=v\wedge \left\{u-\left(u\wedge Pu\right)\right\}$，取 $p\in A$，所以 $P_p=p$。因为 $\mu \left(p,\left\{u-\left(u\wedge Pu\right)\right\}\right)>\frac{1}{2}$，并且 $P\left\{u-\left(u\wedge Pu\right)\right\}=Pu-P\left(u\wedge Pu\right)=Pu-\left(u\wedge Pu\right)$，所以

$\mu \left(p,P\left\{u-\left(u\wedge Pu\right)\right\}\right)>\frac{1}{2}$，

$\mu \left(p,\left\{u-\left(u\wedge Pu\right)\right\}\wedge Pu-\left(u\wedge Pu\right)\right)=\mu \left(p,\left(u\wedge Pu\right)-\left(u\wedge Pu\right)=0\right)>\frac{1}{2}$。

故 $\left\{u-\left(u\wedge Pu\right)\right\}\in A^{d^{+}}$，A是模糊投影带。由分解是唯一的，所以 $u\in X^{+}$ 在A中的分解即为 $u\wedge Pu$，所以 $\mu \left(u\wedge P_{A}u=u\wedge Pu,Pu\right)>\frac{1}{2}$。

定理3.6设 $X^{\circ }$ 是具有模糊投影性的模糊赋范Riesz空间，则 $X^{\circ }$ 有模糊序连续范数当且仅当P是范闭理想的模糊正投影。如果 $X^{\circ }$ 是模糊Banach格且具有模糊序连续范数，则P是范闭理想的模糊正投影。

证明：假设 $X^{\circ }$ 有模糊序连续范数，由定理3.1可知，每个模糊范闭理想都是模糊带。因 $X^{\circ }$ 有模糊投影性可知每个范闭理想都是模糊投影带。假设A是模糊范闭理想，所以A是模糊投影带， $P=P_A$。对于任意 $g\in A$，存在 $u\in X^{\circ }$，使得 $g=Pu=P_{A}u$，所以P是A上的模糊正投影。另一方面，假设P是每个范闭理想的模糊正投影，由定理3.1可知每个模糊范闭理想是模糊投影带。所以 $P=P_A$，即 $X^{\circ }$ 有模糊序连续范数

由定理3.1可知每个模糊范闭理想是模糊投影带。

4. 模糊序连续算子

本节讨论了模糊赋范Riesz空间上模糊序连续算子的一些性质。

定理4.1假设 $X,F$ 是模糊Riesz空间，F是模糊Dedekind完备的，则模糊理想 $L_{\sigma }\left(X,F\right)$ $\left\{T\in L_b\left(X,F\right):C_T=\left\{0\right\}\right\}$在 $L_{\sigma }\left(X,F\right)$ 上模糊序稠。

证明： $L_b\left(X,F\right)\subseteq L_{\sigma }\left(X,F\right)$ 显然成立，因此 $\left\{T\in L_b\left(E,F\right):C_T=\left\{0\right\}\right\}\subseteq L_{\sigma }\left(E,F\right)$。下面证明模糊序稠。假设模糊正算子 $T\in L_{\sigma }\left(X,F\right)$。因为T不是模糊序连续的，由参考文献 [19] 的引理3.6可知，存在模糊正算子S满足 $0<S\le T$，使得 $N_S$ 不是模糊带。记 $N_S$ 生成的模糊带为B，由参考文献 [18] 定理2.9可知存在模糊正算子R，使得在B上有 $R=S$，在 $B^d$ 上有 $R=0$。显然 $N_S\subseteq N_R$， $0<R\le S$。另一方面，因为在 $B^d=N_S^d=C_S$ 上有 $R=0$，所以 $N_S\oplus C_S\subseteq N_R$。由文献 [8] 定理4.7可知 $N_R$ 在X上模糊序稠，则R有零分解。

定理4.2假设 $X,F$ 是模糊Riesz空间，并且F是模糊Dedekind完备的， $T:X\to F$ 是模糊正算子，如果A是X中的模糊理想，则算子T在A上模糊序连续当且仅当 $T_A$ 是模糊序连续算子。

证明：必要性。由参考文献 [18] 定理2.9可知，对任意 $x\in X^{+}$，有

$T_A\left(x\right)=\sup \left\{T\left(y\right):y\in A,0\le y\le x\right\}$ 成立。

因为在A上有 $T_A=T$，所以当 $T_A$ 模糊续连续时，有T在A上模糊续连续。

充分性。假设T在A上模糊序连续，下面证明 $T_A$ 也模糊序连续。假设 $0\le x_{\alpha }\uparrow x$， $T_A\left(x_{\alpha }\right)\uparrow z\le T_A\left(x\right)$。任取 $y\in A\cap \left[0,x\right]$，则在A上有 $0\le y\wedge x_{\alpha }\uparrow y$，在F上有 $T\left(y\wedge x_{\alpha }\right)\uparrow T\left(y\right)$。因为 $T\left(y\wedge x_{\alpha }\right)=T_A\left(y\wedge x_{\alpha }\right)\le z\le T_A\left(x\right)$，所以对任意 $y\in A\cap \left[0,x\right]$，有 $T\left(y\right)\le z\le T_A\left(x\right)$ 成立，所以 $T_A\left(x\right)=\sup T\left(A\cap \left[0,x\right]\right)z\le T_A\left(x\right)$，即 $z=T_A\left(x\right)$， $T_A$ 是模糊续连续算子。

定理4.3假设X是模糊Riesz空间，并且F是模糊Dedekind完备的，G是被X控制的线性子空间，如果 $T:G\to F$ 是正的模糊序连续算子，则 $T\left(x\right)=\sup \left\{T\left(y\right):y\in A,0\le y\le x\right\},x\in X^{+}$ 是T从X到F的唯一模糊序连续扩张。

证明：因为G是X上被X控制的线性子空间，所以显然有 $S\left(x\right)=\sup \left\{T\left(y\right):y\in A,0\le y\le x\right\},x\in X^{+}$。假设 $\left\{x_{\alpha }\right\}\subseteq G$， $0\le x_{\alpha }\uparrow x$，则 $T\left(x_{\alpha }\right)\uparrow S\left(x\right)$。事实上，任意 $0\le y\in G$，当 $0\le y\le x$ 时，有 $0\le y\wedge x_{\alpha }\uparrow y$。由T的连续性可知 $T\left(y\right)=up\left\{T\left(y\wedge x_{\alpha }\right)\right\}\le \sup \left\{T\left(x_{\alpha }\right)\right\}\le S\left(x\right)$， $T\left(x_{\alpha }\right)\uparrow S\left(x\right)$。假设 $x,y\in X^{+}$ 时，存在 $\left\{x_{\alpha }\right\},\left\{y_{\beta }\right\}\subseteq G^{+}$ 使得 $0\le x_{\alpha }\uparrow x$， $0\le y_{\beta }\uparrow y$，则 $0\le x_{\alpha }+y_{\beta }\uparrow x+y$。由上述讨论可得 $T\left(x_{\alpha }\right)+T\left(y_{\beta }\right)=T\left(x_{\alpha }+y_{\beta }\right)\uparrow S\left(x+y\right)$。又因为 $T\left(x_{\alpha }\right)\uparrow S\left(x\right)$， $T\left(y_{\beta }\right)\uparrow S\left(y\right)$，故 $S\left(x+y\right)=S\left(x\right)+S\left(y\right)$。所以 $T:X^{+}\to F^{+}$ 是可加的。由文献 [19] 性质3.2可知，T可以从X扩张为F上的唯一模糊正算子。从而S是T的扩张。最后证明S是模糊序连续的。假设 $0\le x_{\alpha }\uparrow x$， $D=\left\{y\in G^{+}:y\le x_{\alpha }\right\}$，则 $\sup T\left(D\right)\le \sup \left\{T\left(x_{\alpha }\right)\right\}\le S\left(x\right)$。由G在X上模糊序稠，所以 $D\uparrow x$， $\sup T\left(D\right)=S\left(x\right)$。所以 $S\left(x_{\alpha }\right)\uparrow S\left(x\right)$。

5. 结论

本文首先讨论模糊赋范Riesz空间上模糊序连续范数的一些性质，给出模糊 $\sigma$ -理想的等价命题，然后给出了模糊理想是模糊投影带的必要条件。最后讨论了模糊赋范Riesz空间上模糊序连续算子的一些性质，且研究了模糊续连序算子的性质及研究模糊算子扩张。本文得到的结论可以逐渐丰富模糊赋范Riesz空间的理论。

基金项目

国家自然科学基金资助(11801458)。

NOTES

^*通讯作者。