点态化完备代数正规类中的绝对半素代数类与绝对素代数类

The Absolutely Semiprime Algebras Class and the Absolutely Prime Algebras Class in Normal Classes of Complete Pointwise Algebras

摘要: 环及其它代数系统的根理论有了丰富的研究，Puczylowski建立了一般代数正规类的根理论。本文研究点态化完备代数正规类中的绝对半素代数类τ_s与绝对素代数类τ及其确定的上根性质Uτ_s，Uτ，证明了Uτ_s是超幂零根，Uτ是特殊根，τ_s是遗传根。

Abstract: The radicals of rings and other various algebraic structures have been researched very much. Puczylowski established the general theory of radicals of the objects called algebras. In this paper, we study the absolutely semiprime algebras class τ_s and the absolutely semiprime algebras class τ in the normal classes of pointwise complete algebras and the properties of the upper radical Uτ_s, Uτ determined by τ_s and τ, it is proved that Uτ_s is a supernilpotent radical, Uτ is a special radical and τ_s is a hereditary radical.

1. 引言

环及其它代数系统根理论的统一研究促使一般代数正规类根理论的建立 [1] - [15]，为了进一步统一地研究一般代数正规类中根性质，文献 [16] - [23] 分别引入了可积代数正规类、完备代数正规类，对特殊根等进行了研究，并对一类特殊的半环——大半环(可做单侧减法的半环)建立了相应的根理论；文献 [24] [25] [26] [27] 对完备代数正规类进行了点态化，研究了点态化完备代数正规类中的亚直既约代数类确定的上根——反单根、遗传幂等根、补根、对偶根、子幂等根、诣零根、λ-根、正则根、κ-根和β-根的结构性质，文献 [28] 使用预根概念给出了根类的一个映射刻画，文献 [29] 定义了点态化完备代数正规类中的低幂等根，证明了Boolean根 $\beta$ 、正则根 $\nu$ 、遗传幂等根 $\chi$ 、λ-根 $\lambda$ 、幂等代数根 $\iota$ 都是低幂等根，并且这5个低幂等根满足 $\beta \le \nu \le \chi \le \lambda \le \iota$，文献 [30] 定义了点态化完备代数正规类中的小理想及小理想遗传根，讨论了小理想及根R和R-半单类S_R与小理想相关的2个条件(*)与(**)的一些性质，进一步讨论了根R是一个小理想遗传根的2个条件，文献 [31] 定义了完备代数正规类中代数类X确定的基根类 ${\text{L}}_b(X)$，讨论了基根类 ${\text{L}}_b(X)$ 与代数类X，下根 $\text{L}(X)$ 之间的关系，文献 [32] 定义了几乎幂零代数、几乎幂零代数类 $\alpha$ 及无非0几乎幂零理想代数类T，讨论了几乎幂零代数类 $\alpha$ 确定的下根及无非0几乎幂零理想代数类T确定的上根性质。

本文在文献 [24] - [32] 建立的点态化完备代数正规类基础上，定义了绝对半素代数、绝对半素代数 ${\tau }_s$ 、绝对素代数、绝对素代数类 $\tau$，证明了 ${\tau }_s$ 是弱特殊类， $\tau$ 是特殊类，从而上根 $U{\tau }_s$ 是超幂零根， $U\tau$ 是特殊根。论文第2节给出了点态化完备代数正规类相关的概念及基本引理；论文第3节定义点态化完备代数正规类中的绝对半素代数类 ${\tau }_s$ 与绝对素代数类 $\tau$ 及其确定的上根性质 $U{\tau }_s$， $U\tau$，证明了 $U{\tau }_s$ 是超幂零根， $U\tau$ 是超幂零根， ${\tau }_s$ 是遗传根。

2. 预备知识及基本引理

首先引入点态化完备代数正规类的相关概念及性质 [24] - [32]，为了建立每个代数的子代数乘积与 $S_a$ 中点乘积之间的联系，本文使用文献 [26] [27] 中强化了的点乘积公理。

$A$ 是一个完备代数正规类， $\forall a\in A$，存在一个非空集 $S_a$ 和一个单射 ${\varphi }_a:L_a^s\to P(S_a)$ ( $P(S_a)$ 是 $S_a$ 的幂集，且 ${\varphi }_a(0)=S_0$ 是单点集，也记为0)，并且满足：

1) ${\varphi }_a(a)=S_a$ ；

2) $\forall i,j\in L_a^s,i\le j$，有 ${\varphi }_a(i)\subseteq {\varphi }_a(j)$ ；

3) $\forall i_{\alpha }\le a,\alpha \in \Gamma$，

${\varphi }_a(\wedge i_{\alpha })=\cap {\varphi }_a(i_{\alpha })$， ${\varphi }_a(\vee i_{\alpha })=\cup \left\{{\varphi }_a(i_1\vee i_2\vee \cdots \vee i_k)|i_1,i_2,\cdots ,i_k\in \Gamma ,k\ge 1\right\}$ ；

4) $\forall i⊲a$，存在一个满射 ${\gamma }_i:S_{\alpha }\to S_{\alpha /i}$，使得 $\forall \varnothing \ne A\subseteq S_a,\varnothing \ne U\subseteq V\subseteq S_a$，有 $\langle {\gamma }_i(A)\rangle =(\langle A\rangle \vee i)/i$， $\langle {\gamma }_i(A))=(\langle A)\vee i)/i$， $({\gamma }_i(A)\rangle =((A\rangle \vee i)/i$， $({\gamma }_i(A))=((A)\vee i)/i$，且 ${\gamma }_i(U)\subseteq {\gamma }_i(V)$。

$\forall t\in S_a$，显然有

$\langle t\rangle \le \langle t)=\langle t\rangle \vee \langle t\rangle a\le (t)=\langle t\rangle \vee \langle t\rangle a\vee a\langle t\rangle \vee a\langle t\rangle a$，

$\langle t\rangle \le (t\rangle =\langle t\rangle \vee a\langle t\rangle \le (t)=\langle t\rangle \vee \langle t\rangle a\vee a\langle t\rangle \vee a\langle t\rangle a$。

对正整数n， $\forall x\in S_a$，存在一个 $y_s\subseteq {\langle x\rangle }^n$， $y_r,y_l,y\in S_a$，使得 ${\langle x\rangle }^{n+1}=\langle x\rangle \langle y_s\rangle =\langle y_s\rangle \langle x\rangle$， ${\langle x)}^n=\langle y_r)$， ${(x\rangle }^n=\langle y_l)$， ${(x)}^n=(y)$ ；对正整数n， $S_a$ 的非空有限子集或可数子集A，存在有限子集 ${A^{\prime }}_s\subseteq {\langle A\rangle }^n$， ${A^{\prime }}_r,{A^{\prime }}_l,A^{\prime }\subseteq S_a$，使得 ${\langle A\rangle }^{n+1}=\langle A\rangle \langle {A^{\prime }}_s\rangle =\langle {A^{\prime }}_s\rangle \langle A\rangle$， ${\langle A)}^n=\langle {A^{\prime }}_r)$， ${(A\rangle }^n=\langle {A^{\prime }}_l)$， ${(A)}^n=(A^{\prime })$。则称 $A$ 是一个点态化完备代数正规类。 $\forall x\in S_a$，称x是a的一个点。

$\forall S_a$， $S_a$ 上有点乘积定义为 $S_a$ 上一个满足以下条件的二元运算' $\cdot$ '：

1) $\forall x,y\in S_a$，都有 $x\cdot y\in S_a$ ( $x\cdot y$ 记为 $xy$ )；

2) $\forall x,y,z\in S_a$，有 $(xy)z=x(yz)$ (记为 $xyz$ )；

3) 存在唯一的单点 $0^{\prime }\in S_a$ (0'也记为0)，满足： $\forall x\in S_a$，有 $0x=x0=0$。

结合环类 $R$ 和大半环类S_B都是点态化完备代数正规类。

引理2.1 [16]：设 $a\in A$， $x,y\in S_a$。

1) $xy\in {\varphi }_a(\langle x\rangle \langle y\rangle )$ ；

2) n是正整数，则 $x^n\in {\varphi }_a({\langle x\rangle }^n)$， ${\langle x\rangle }^n=\langle x^n\rangle$。

引理2.2 [15]： $A$ 是一个完备代数正规类， $\forall a\in A$， $i⊲a$， $k⊲i$， $\bar{k}$ 是a的包含k的最小理想。则 $\bar{k}=k\vee ak\vee ka\vee aka$，且 ${\bar{k}}^3\le k$。

定义2.3 [21]： $\forall \text{K}\subseteq A$，称K是一个弱特殊类，如果K满足以下3条：

1) $\forall a\in \text{K}$，a中无非0幂零理想；

2) $\forall a\in \text{K}$， $i⊲a$，则 $i\in \text{K}$ ；

3) $\forall a\in A$， $i⊲a$， $i\in \text{K}$， $i^{*}=0$，则 $a\in \text{K}$。

定义2.4 [21]： $\forall \text{K}\subseteq A$，称K是一个特殊类，如果K满足以下3条：

1) $\forall a\in \text{K}$，a是一个素代数；

2) $\forall a\in \text{K}$， $i⊲a$，则 $i\in \text{K}$ ；

3) $\forall a\in A$， $i⊲a$， $i\in \text{K}$，则 $a/i^{*}\in \text{K}$，其中i^*是a的使得 $ki=ik=0$ 的最大理想(称i的0化子)。

定义2.5 [21]：设S为 $A$ 中的一个根类。如果S满足以下2条，则称根类S是一个超幂零根：

1) S是遗传根；

2) $\forall a\in A$，如果a是幂零代数，则 $a\in \text{S}$。

引理2.6 [21]：设S为 $A$ 中的一个根类。S是一个超幂零根 $\iff$ $\text{S}=\text{UK}$，K是一个弱特殊类。

引理2.7 [32]： $\text{K}\subseteq A$ 是一个半素代数类，则以下3条等价：

1) $\forall i⊲a$， $i\in \text{K}$， $i^{*}=0$，则 $a\in \text{K}$ ；

2) $\forall i⊲\cdot a$， $i\in \text{K}$ 且 $a/i\in \text{K}$，则 $a\in \text{K}$ (即K本质扩张闭)；

3) $\forall i⊲a$， $i\in \text{K}$，则 $a/i^{*}\in \text{K}$。

引理2.8 [32]： $\forall \text{K}\subseteq A$，K是一个弱特殊类 $\iff$ K满足以下3条：

1) $\forall a\in \text{K}$，a是半素代数；

2) $\forall a\in \text{K}$， $i⊲a$，则 $i\in \text{K}$ ；

3) $\forall i⊲\cdot a$， $i\in \text{K}$ 且 $a/i\in \text{K}$，则 $a\in \text{K}$ (即K本质扩张闭)。

由定义2.3，引理2.7得：

引理2.9： $\forall \text{K}\subseteq A$，称K是一个特殊类，如果K满足以下3条：

1) $\forall a\in \text{K}$，a是一个素代数；

2) $\forall a\in \text{K}$， $i⊲a$，则 $i\in \text{K}$ ；

3) $\forall i⊲\cdot a$， $i\in \text{K}$ 且 $a/i\in \text{K}$，则 $a\in \text{K}$ (即K本质扩张闭)。

引理2.10 [26]： $A$ 是一个代数类， $\text{R}\subseteq A$，R为A中的一个根类 $\iff$ R满足以下3个条件：

a) $\forall a\in A$， $i⊲a$，如果 $a\in \text{R}$，则 $a/i\in \text{R}$ (即R商闭)；

$\text{<mover accent="true"> b <mo> ¯ </mo> </mover>}$ ) $\forall a\in A$，如果 $i_1⊲i_2⊲\cdots ⊲i_{\mu }⊲\cdots$ 是a的R-理想升链(即 $\forall \mu ,i_{\mu }\in \text{R}$ )，则理想 $\underset{\mu }{\vee }{i}_{\mu }\in \text{R}$ (称R有归纳性质)；

$\text{<mover accent="true"> c <mo> ¯ </mo> </mover>}$ ) $\forall a\in A$， $i⊲a$，如果 $i,a/i\in \text{R}$，则有 $a\in \text{R}$ (称R扩张闭)。

3. 点态化完备代数正规类中的绝对半素代数类及绝对素代数类

本节讨论点态化完备代数正规类中的绝对半素代数类及绝对素代数类。

$A$ 是一个点态化完备代数正规类。

定义3.1 [21] [27]：1) $\forall a\in A$， $p⊲a$，如果 $\forall i,j⊲a$， $ij\le p$ 可推出 $i\le p$ 或者 $j\le p$，则称p是a的一个素理想；

2) $\forall a\in A$，如果0是a的一个素理想，则称a是一个素代数；

3) $\forall a\in A$， $p⊲a$，如果 $\forall i⊲a$， $i^2\le p$ 可推出 $i\le p$，则称p是a的一个半素理想；

4) $\forall a\in A$，如果0是a的一个半素理想，则称a是一个半素代数；

5) $x\in S_a$，如果有 $\langle x^2\rangle =\langle x\rangle$，则称x是一个幂等元；

6) 如果 $\forall x\in S_a$，有 $\langle x^2\rangle =\langle x\rangle$，则称a是Boolean代数。

记P是所有素代数类。

记所有Boolean代数的类为β。Boolean代数类β是遗传根类、左遗传根、右遗传根及强遗传根，但不是超幂零根。

定义3.2：1) $\forall a\in A$， $\text{0}\ne p⊲a$，存在 $\text{0}\ne x\in {\varphi }_a\left(p\right)$，有 $\langle x^2\rangle =\langle x\rangle$ (即x是一个非零幂等元)，则称a是一个绝对半素代数；

2) $\forall a\in A$， $p⊲a$，如果p/a是绝对半素代数，则称p是a的一个绝对半素理想；

3) $\forall a\in A$，如果a是一个绝对半素代数又是一个素代数，则称a是一个绝对素代数。

4) $\forall a\in A$， $p⊲a$，如果p/a是绝对素代数，则称p是a的一个绝对素理想。

所有绝对半素代数及绝对素代数构成的代数类分别称绝对半素代数类及绝对素代数类，分别记为 ${\tau }_s$， $\tau$。

显然有： $\tau \subseteq {\tau }_s$， $\tau \subseteq P$， $\beta \subseteq {\tau }_s$。

引理3.3：绝对半素代数是半素代数。

证明：1) $\forall a\in {\tau }_s$， $p⊲a$， $p^2=0$。如果 $p\ne 0$，则存在 $\text{0}\ne x\in {\varphi }_a(p)$，有 $\langle x^2\rangle =\langle x\rangle$，从而 $0\ne \langle x\rangle =\langle x^2\rangle \le p^2$，与 $p^2=0$ 矛盾，所以 $p=0$，即a是半素代数。证毕。

故绝对半素代数是半素代数，绝对素代数是素代数。但是，素代数不一定是绝对半素代数(从而半素代数不一定是绝对半素代数，素代数不一定是绝对素代数)，并且绝对半素代数不一定是素代数。

例1：取 $A$ 是结合环类 $R$，则整数环Z是素代数(从而是半素代数)，但Z不是绝对半素代数。

事实上，对 $p⊲Z$， $p\ne Z$，则 $p=kZ,k>1$， $\forall 0\ne x\in p$，有 $x=kn$， $\langle x^2\rangle =\left\{k^{\text{2}}{n}^{\text{2}}m|m\in Z\right\}$， $\langle x\rangle =\left\{knm|m\in Z\right\}$，从而 $\langle x^2\rangle \ne \langle x\rangle$，即p中无非零幂零元，Z不是绝对半素代数。

例2：取 $A$ 是结合环类 $R$， $F_1,F_2$ 是2个域， $A=F_1\oplus F_2$，则A是是绝对半素代数，但A不是素代数。

事实上，对 $p⊲Z$， $p\ne Z$，则 $p=kZ,k>1$， $\forall 0\ne x\in p$，有 $x=kn$， $\langle x^2\rangle =\left\{k^{\text{2}}{n}^{\text{2}}m|m\in Z\right\}$， $\langle x\rangle =\left\{knm|m\in Z\right\}$，从而 $\langle x^2\rangle \ne \langle x\rangle$，即p中无非零幂零元，Z不是绝对半素代数。

引理3.4：1) ${\tau }_s$ 是遗传类；

2) ${\tau }_s$ 是本质扩张闭类；

3) ${\tau }_s$ 是商闭类；

4) ${\tau }_s$ 有归纳性质；

5) ${\tau }_s$ 是扩张闭类。

证明：1) $\forall a\in {\tau }_s$， $\text{0}\ne i⊲a$，设 $\text{0}\ne j⊲i⊲a$， $\bar{j}$ 是j在a中生成的理想，则 ${\bar{j}}^3\le j$。如果 ${\bar{j}}^3=0$，因为 $\text{0}\ne \bar{j}⊲a$，取 $\text{0}\ne x\in {\varphi }_a(\bar{j})$，a是绝对半素代数，故有 $\langle x^2\rangle =\langle x\rangle \ne \text{0}$，从而 $\text{0}\ne \langle x\rangle =\langle x^2\rangle =\langle x^{\text{4}}\rangle \le {\bar{j}}^4\le {\bar{j}}^3\le j$，故 $\text{0}\ne x\in {\varphi }_a(j)$ 是j中幂等元，即i中非零理想都有非零幂等元，i是绝对半素代数，所以 $i\in {\tau }_s$， ${\tau }_s$ 是遗传的。

2) 设 $a\in A$， $b⊲\cdot a$， $b\in {\tau }_s$， $\text{0}\ne i⊲a$，则 $0\ne b\wedge i⊲b$，故存在 $0\ne x\in b\wedge i$ 是幂等元，从而x也是i中非零幂等元，从而a是绝对半素代数，即 ${\tau }_s$ 将本质扩张闭。

3) $\forall a\in {\tau }_s$， $i⊲a$， $a/i\ne 0$， $0\ne x\in S_{a/i}$。对满射 ${\gamma }_i:S_a\to S_{a/i}$，存在 $0\ne y\in S_a$， $x={\gamma }_i(y)$。由 $a\in {\tau }_s$，则 $\langle y^2\rangle =\langle y\rangle$，所以 $\langle x^2\rangle =\langle {({\gamma }_i(y))}^2\rangle =\langle {\gamma }_i(y^2)\rangle =\langle {\gamma }_i(y)\rangle =\langle x\rangle$，从而 $a\text{/}i\in {\tau }_s$，即 ${\tau }_s$ 是商闭类。

4) $\forall a\in A$，如果 $i_1⊲i_2⊲\cdots ⊲i_{\mu }⊲\cdots$ 是a的 ${\tau }_s$ 理想升链， $\forall 0\ne x\in {\varphi }_a(\vee i_u)=\cup {\varphi }_a(i_u)$，故存在μ，使得 $0\ne x\in {\varphi }_a(i_u)$，由 $i_{\mu }$ 是a的 ${\tau }_s$ 理想，因此有 $\langle x^2\rangle =\langle x\rangle$，即 $\vee i_{\mu }\in {\tau }_s$，代数类 ${\tau }_s$ 有归纳性质。

5) $\forall a\in A$， $i⊲a$，如果 $i,a/i\in {\tau }_s$。 $0\ne x\in S_a$， $y={\gamma }_i(x)\in a/i$。如果 $y={\gamma }_i(x)=0$，则 $x\in S_i$，由 $i\in {\tau }_s$，故 $\langle x^2\rangle =\langle x\rangle$。如果 $y={\gamma }_i(x)\ne 0$，由 $a/i\in {\tau }_s$ 有 $\langle y^2\rangle =\langle y\rangle$，即 $\langle y\rangle =(\langle x\rangle \vee i)/i=\langle y^2\rangle =(\langle x^2\rangle \vee i)/i$，故而 $\langle x\rangle \vee i=\langle x^2\rangle \vee i$，因此 $\langle x\rangle \le \langle x^2\rangle \vee i$，所以有 $x_1\in \langle x^2\rangle ,x_2\in i$，使得 $\langle x\rangle \le \langle x_1\rangle \vee \langle x_2\rangle$， $\langle x_2\rangle \le \langle x\rangle \vee \langle x_1\rangle$。由于 $x_1\in \langle x^2\rangle \le \langle x\rangle$，所以 $\langle x_1\rangle \le \langle x\rangle$，故 $\langle x_2\rangle \le \langle x\rangle \vee \langle x\rangle =\langle x\rangle$。又因为 $i\in \beta$， $x_2\in {\varphi }_a(i)$，所以 $\langle x_2^2\rangle =\langle x_2\rangle$，故 $\langle x^2\rangle ={\langle x\rangle }^2={\langle x_2\rangle }^2=\langle x_2^2\rangle =\langle x_2\rangle =\langle x\rangle$，即 $a\in {\tau }_s$， ${\tau }_s$ 扩张闭。证毕。

定理3.5： ${\tau }_s$ 是弱特殊类。

证明：1) $\forall a\in {\tau }_s$，a是绝对半素代数，从而a是半素代数。

2) 由引理3.4有 ${\tau }_s$ 是遗传的。

3) 由引理3.4有 ${\tau }_s$ 本质扩张闭。

由引理2.8知 ${\tau }_s$ 是弱特殊类。证毕。

由例2知 ${\tau }_s$ 不是特殊类。

引理3.6：1) $\tau$ 是遗传类；

2) $\tau$ 是本质扩张闭类。

证明：1) $\forall a\in \tau$，a是绝对素代数，从而a是素代数。

2) $\forall a\in \tau$， $\text{0}\ne i⊲a$，a是绝对素代数，从而a是绝对半素代数及素代数。由引理3.4知i是绝对半素代数，由素代数的遗传性知i是绝对半素代数，所以i是绝对素代数，即 $i\in \tau$， $\tau$ 是遗传的。

3) 设 $a\in A$， $b⊲\cdot a$， $b\in \tau$，b是绝对半素代数及素代数。由定理3.3知a是绝对半素代数，由素代数的本质扩张闭性知a是素代数，从而a是绝对素代数，即 $a\in \tau$，即 $\tau$ 本质扩张闭。证毕。

定理3.7： $\tau$ 是特殊类。

证明：1) $\forall a\in \tau$，a是绝对素代数，从而a是素代数。

2) 由定理3.6知 $\tau$ 是遗传的。

3) 由定理3.6知 $\tau$ 本质扩张闭。

由引理2.9知 $\tau$ 是特殊类。证毕。

由 ${\tau }_s$， $\tau$ 确定的上根 $U{\tau }_s$， $U\tau$ 分别称绝对半素根及绝对素根，由定理3.5知绝对半素根 $U{\tau }_s$ 是超幕零根，但不是特殊根；由定理3.7知绝对素根 $U\tau$ 是特殊根。

根据上根的性质有：

推论3.8： $\forall a\in A$，有：

1) $U{\tau }_s(a)=\wedge \left\{i⊲a|a/i\in {\tau }_s\right\}=\wedge \left\{i⊲a|i是绝对半素理想\right\}$ ；

2) $U\tau (a)=\wedge \left\{i⊲a|a/i\in \tau \right\}=\wedge \left\{i⊲a|i是绝对素理想\right\}$。

由引理3.4有 ${\tau }_s$ 是遗传类、商闭类、有归纳性质及是扩张闭类，从而由引理2.10得：

定理3.9： ${\tau }_s$ 是遗传根。

$P$ 是所有素代数类，Bear根 $\text{B}=\text{U}P$ [16]，由于 $\tau \subset {\tau }_s$， $\tau \subset P$，故有

$B\le U\tau$， $U{\tau }_s\le U\tau$。

4. 小结

本文研究点态化完备代数正规类中的绝对半素代数、绝对半素代数 ${\tau }_s$ 、绝对素代数、绝对素代数类 $\tau$，证明了 ${\tau }_s$ 是弱特殊类， $\tau$ 是特殊类，从而上根 $U{\tau }_s$ 是超幂零根， $U\tau$ 是超幂零根， ${\tau }_s$ 是遗传根。

基金项目

国家自然科学基金(11261067)。

参考文献