共振双相问题的周期解的存在性

Existence of Periodic Solution of Resonant Double Phase Problem

摘要: 本文研究了一维双相问题在共振条件下周期解的存在性。利用山路定理和变分法证明一维的双相问题在相关方程的第一特征值λ1处共振，且非线性项f(x,u)满足一些局部非线性条件时，存在至少一个周期解。

Abstract: In this paper, the existence of periodic solutions for one-dimensional double phase problem under resonance conditions is studied. By using the mountain pass theorem and the variational method, it is proved that the one-dimensional double phase problem resonates at the first eigenvalue λ1 of the correlation equation, and there is at least one periodic solution when the nonlinear term f(x,u) satisfies some local nonlinear conditions.

1. 引言

含多个变量的双相算子表示为

$div\left(\left|\nabla u{|}^{p-2}\nabla u+a\left(x\right)\right|\nabla u{|}^{q-2}\nabla u\right)$

其显著特点是根据函数 $a\left(x\right)\ge 0$ 的取值表现出两类不同类型的椭圆性。Zhikov是最早引入此类算子来描述强各向异性材料模型的人之一，详细内容参阅文献 [1] 。在研究强各向异性材料的行为特性时，Zhikov发现它们的硬化特性随着点的变化而急剧变化，为了描述这种现象他介绍了泛函

$u\to {{\displaystyle \int }}^{\text{}}\left({\left|\nabla u\right|}^p+a\left(x\right){\left|\nabla u\right|}^q\right)\text{d}x$

特别的，在集合 $\left\{x:a\left(x\right)>0\right\}$ 上，泛函表现出 $\left(p,q\right)$ 相，具体表现为梯度多项式的次数为q。当 $\left|\nabla u\right|$ 小的时候， ${\left|\nabla u\right|}^p$ 是主项，当 $\left|\nabla u\right|$ 大的时候， ${\left|\nabla u\right|}^q$ 是主项。而在集合 $\left\{x:a\left(x\right)=0\right\}$ 上，泛函表现出p相，梯度多项式的次数为p。

双相问题在在跨音速流动理论 [2] ，量子物理学 [3] ，反应扩散系统 [4] 等方面均有所应用。许多学者研究双相问题的解。例如，Liu和Dai等 [5] [6] [7] ，Gasiński和Winkert [8] ，Zeng和Rădulescu等 [9] ，最新有关双相问题解的研究有Sciammetta和Tornatore [10] 。对共振双相方程的研究，有Papageorgiou和Rădulescu [11] 。然而很少有文献对双相问题周期解的存在性有所讨论。本文通过山路定理证明了只含有一个变量的共振双相问题至少存在一个周期解，据我们所知，本文是第一个研究双相问题周期解的第一个结果。

本文后面的结构如下，第二部分为预备知识，这一部分为后面的计算及结果提供了理论基础，介绍了Musielak-Orlicz Sobolev空间；第三部分研究一维共振双相问题的周期解，在一定条件下利用山路定理和变分法证明一维共振双相问题的周期解的存在性。

2. 预备知识

这一节我们主要介绍Musielak-Orlicz Sobolev空间 $W^{1,\mathcal{H}}\left(T\right)$ 和双相算子 $L\left(u\right)$ 及会用到的一些其他引理。

2.1. Musielak-Orlicz Sobolev空间

我们定义Musielak-Orlicz Sobolev空间 $L^{\mathcal{H}}\left(T\right)$ 为：

$L^{\mathcal{H}}\left(T\right)=\left\{u|u:T\to R是可测的,且{\rho }_{\mathcal{H}}\left(u\right)<+\infty \right\}$

其Luxemburg范数定义为

${\Vert u\Vert }_{\mathcal{H}}=\inf \left\{\lambda >0:{\rho }_{\mathcal{H}}\left(\frac{u}{\lambda }\right)\le 1\right\}$

其中 ${\rho }_{\mathcal{H}}\left(u\right)={\displaystyle {\int }_T\mathcal{H}\left(t,\left|u\right|\right)\text{d}t}$ 被称为模函数， $L^{\mathcal{H}}\left(T\right)$ 是可分、自反的Banach空间。通过 $L^{\mathcal{H}}\left(T\right)$ 的定义我们也可以定义Musielak-Orlicz Sobolev空间 $W^{1,\mathcal{H}}\left(T\right)$ ：

$W^{1,\mathcal{H}}\left(T\right)=\left\{u\in L^{\mathcal{H}}\left(T\right):u^{\prime }\in L^{\mathcal{H}}\left(T\right)\right\}$

其范数表示为

$\Vert u\Vert ={\Vert u\Vert }_{\mathcal{H}}+{\Vert u^{\prime }\Vert }_{\mathcal{H}}$ ,

同时定义空间 $W_T^{1,\mathcal{H}}$

$W_T^{1,\mathcal{H}}\left(T\right)=\left\{u:u\in W^{1,\mathcal{H}}\left(T\right),u\left(0\right)=u\left(T\right)\right\}$

其范数表示为

${\Vert u\Vert }_{1,{\rho }_{\mathcal{H}}}={\left({\Vert u\Vert }_{\mathcal{H}}^2+{\Vert u^{\prime }\Vert }_{\mathcal{H}}^2\right)}^{\frac{1}{2}}$ ,

$W^{1,\mathcal{H}}\left(T\right)$ 和 $W_T^{1,\mathcal{H}}$ 都是可分、自反、凸Banach空间，参阅文献 [12] 。

接下来我们介绍关于 $L^{\mathcal{H}}\left(T\right)$ 和 $W^{1,\mathcal{H}}\left(T\right)$ 空间的一些命题。

命题1 [12] [13] 令 $p^{*}:=\frac{Np}{N-p}$ ， $p_{*}:=\frac{\left(N-1\right)p}{N-p}$ ，则有以下嵌入定理：

1) $W^{1,\mathcal{H}}\left(T\right)$ ↪ $L^r\left(T\right)$ 是连续且紧的，对所有 $r\in \left[1,p^{*}\right]$ ；

2) $L^q\left(T\right)$ ↪ $L^{\mathcal{H}}\left(T\right)$ 是连续的；

3) $W^{1,\mathcal{H}}\left(T\right)$ ↪ $L^{\mathcal{H}}\left(T\right)$ 是连续且紧的；

4) $W_T^{1,\mathcal{H}}\left(T\right)$ ↪ $C\left(\left[0,T\right],R^N\right)$ 是连续且紧的。

命题2 [13] 若 $H_0$ 成立，令 $u\in W^{1,\mathcal{H}}\left(T\right)$ ，则以下模函数 ${\rho }_{\mathcal{H}}(\cdot )$ 和范数 $\Vert \cdot \Vert$ 的关系成立：

1) 若 $\Vert u\Vert <1$ ，则 ${\Vert u\Vert }^q\le {\rho }_{\mathcal{H}}\left(u\right)\le {\Vert u\Vert }^p$ ；

若 $\Vert u\Vert >1$ ，则 ${\Vert u\Vert }^p\le {\rho }_{\mathcal{H}}\left(u\right)\le {\Vert u\Vert }^q$ ；

2) $\Vert u\Vert <1$ (或 $>1,=1$ )当且仅当 ${\rho }_{\mathcal{H}}\left(u\right)<1$ (或 $>1,=1$ )；

3) $\Vert u\Vert \to 0$ ，当且仅当 ${\rho }_{\mathcal{H}}\left(u\right)\to 0$ ； $\Vert u\Vert \to +\infty$ ，当且仅当 ${\rho }_{\mathcal{H}}\left(u\right)\to +\infty$ ；

4) $u_n\to u$ in $L^{\mathcal{H}}\left(T\right)\iff {\rho }_{\mathcal{H}}\left(u_n\right)\to {\rho }_{\mathcal{H}}\left(u\right)$ 。

2.2. 双相算子

令 $L\left(u\right)=-{\left({\left|u^{\prime }\right|}^{p-2}{u}^{\prime }+a\left(t\right){\left|u^{\prime }\right|}^{q-2}{u}^{\prime }\right)}^{\prime }$ ，我们可以定义泛函：

$I\left(u\right)={\displaystyle {\int }_T\frac{1}{p}{\left|u^{\prime }\right|}^p+\frac{a\left(t\right)}{q}{\left|u^{\prime }\right|}^q\text{d}t}$ ,

我们容易知道 $I\in C^1$ 且 $L=I^{\prime }:W_T^{1,\mathcal{H}}\left(T\right)\to W_T^{1,\mathcal{H}}{\left(T\right)}^{*}$ 是非线性映射，对 $\forall v\in W_T^{1,\mathcal{H}}{\left(T\right)}^{*}$ 定义

$\langle L\left(u\right),v\rangle ={\displaystyle {\int }_T\left({\left|u^{\prime }\right|}^{p-2}{u}^{\prime }+a\left(t\right){\left|u^{\prime }\right|}^{q-2}{u}^{\prime }\right)v^{\prime }\text{d}t}$

$W_T^{1,\mathcal{H}}{\left(T\right)}^{*}$ 被称为 $W_T^{1,\mathcal{H}}\left(T\right)$ 的对偶空间。对算子 $L\left(u\right)$ 我们有以下命题：

命题3 [7] 双相算子 $L\left(u\right)$ 是连续、有界和严格单调的(也是极大单调)；L也是 ${\left(S\right)}_{+}$ 映射(即，若 $u_n\rightharpoonup u$

in $W^{1,\mathcal{H}}\left(T\right)$ )且 $\underset{n\to \infty }{\lim \sup }\langle L\left(u_n\right),u_n-u\rangle \le 0$ ，则 $u_n\to u$ in $W^{1,\mathcal{H}}\left(T\right)$ )且同胚。

2.3. 其他引理

引理1 [14] (C-条件)令X是一个Banach空间， $X^{*}$ 是其对偶空间，则 $\phi \in C^1\left(X\right)$ 满足C-条件，若对任意序列 ${\left\{u_n\right\}}_{n\ge 1}\subseteq X$ ，使得 ${\left\{\phi \left(u_n\right)\right\}}_{n\ge 1}\subseteq R$ 是有界的且 ${\phi }^{\prime }\left(u_n\right)\left(1+\Vert u_n\Vert \right)\to 0$ in $X^{*}$ ，则 ${\left\{u_n\right\}}_{n\ge 1}$ 有一个收敛的子列。

引理2 (山路引理)若X是一个Banach空间， $\phi \in C^1\left(X,R\right)$ ，令 $U\subset X$ 是X的原点的一个邻域， $x_0\notin U$ ，且存在常数 $\beta >0$ ，使得 $\phi \left(0\right)=0$ ， $\phi \left(x_0\right)\le 0$ ， ${\phi |}_{\partial U}\ge \beta$ 。令 $c=\underset{f\to \Gamma }{\inf }\underset{t\in \left[0,1\right]}{\max }\phi \left(f\left(t\right)\right)$ ，其中 $\Gamma$ 是X中联结0与 $x_0$ 的道路的集合，即 $\Gamma =\left\{f\in C\left(\left[0,1\right],X\right)|f\left(0\right)=0,f\left(1\right)=x_0\right\}$ ，那么 $c\ge \beta$ ， $\phi$ 关于c有临界序列，若 $\phi$ 再满足C-条件，则c是 $\phi$ 的临界值。

令 ${\lambda }_1$ 是以下对 $\text{a}\text{.e}\text{.}x\in \left[0,T\right]$ 的周期问题的第一特征值

$\{\begin{array}{l}-{\left({\left|u^{\prime }\left(t\right)\right|}^{p-2}{u}^{\prime }\left(t\right)\right)}^{\prime }={\lambda }_1{\left|u\left(t\right)\right|}^{r-2}u\left(t\right)\\ u\left(0\right)-u\left(T\right)=u^{\prime }\left(0\right)-u^{\prime }\left(T\right)=0\end{array}$ (1)

其中， $p<r$ 。且其变分形式为

${\lambda }_1=\inf \left\{\frac{{\displaystyle {\int }_T{\left|u^{\prime }\left(t\right)\right|}^p\text{d}t}}{{\displaystyle {\int }_T{\left|u\left(t\right)\right|}^r\text{d}t}}:u\in W_T^{1,p},u\ne 0\right\}$

令 ${\phi }_1$ 为 ${\lambda }_1$ 所对应的特征泛函，由文献 [15] 可知，有 ${\phi }_1>0$ 。

3. 共振双相问题的周期解

3.1. 问题陈述

本文研究以下非线性周期问题：

$\{\begin{array}{l}-{\left({\left|u\right|}^{p-2}{u}^{\prime }+a\left(t\right){\left|u\right|}^{q-2}{u}^{\prime }\right)}^{\prime }={\lambda }_1{\left|u\right|}^{r-2}u+g\left(t,u\right),\text{a}\text{.e}\text{.}t\in \left[0,T\right],\\ u\left(0\right)=u\left(T\right),u^{\prime }\left(0\right)=u^{\prime }\left(T\right),\end{array}$ (2)

其中 $1<p<q<r<N$ ， $u\left(t\right)\in R^N$ 是一个以T为周期的函数， $a\left(t\right):\left[0,T\right]\to \left[0,+\infty \right]$ 是一个加权函数，满足以下假设：

$H_0:a\left(t\right):\left[0,T\right]\to \left[0,+\infty \right]$ 是Lipschitz连续， $a\left(t\right)\in L^{\infty }\left(T\right)$ ，对所有 $t\in \left[0,T\right]$ ，有 $a\left(t\right)\ge 0$ ，且 $\frac{q}{p}<1+\frac{1}{N}$ 。

令 $f\left(t,x\right)={\lambda }_1{\left|x\right|}^{r-2}x+g\left(t,x\right)$ ，通过文献 [12] [14] ，我们将对扰动项 $f\left(x,y\right)$ 做以下假设：

令 $F\left(t,x\right)={\displaystyle {\int }_0^{x}f\left(t,s\right)\text{d}s}$ ， $G\left(t,x\right)={\displaystyle {\int }_0^{x}g\left(t,s\right)\text{d}s}$ ，且 $f:T\times R\to R$ 和 $g:T\times R$ 都是Caratheodory泛函，又对 $\text{a}\text{.a}\text{.}x\in R$ ， $g\left(t,0\right)=0$ ，满足：

(f) $f:T\times R\to R$ 且 $f\left(t,0\right)=0$ 有

(i) $\exists 0<\mu <p$ 和 $M>0$ ，使得对 $\forall \left|x\right|>M$ 和 $\text{a}\text{.e}\text{.}t\in I$ ，有

$\left(f\left(t,x\right),x\right)\le \mu F\left(t,x\right)$ ；

(ii) $\underset{\left|x\right|\to \infty }{\lim }\frac{F\left(t,x\right)}{{\left|x\right|}^q}=+\infty$ ，关于 $\text{a}\text{.e}\text{.}t\in I$ 是一致的；

(iii) 存在一个函数 $\theta \in L^1\left(I\right)$ ，且 $\theta \left(t\right)\le 0$ ，对 $\text{a}\text{.e}\text{.}t\in I$ ， $\theta \left(t\right)\ne 0$ ，使得

$\underset{x\to 0}{\lim \sup }\frac{rF\left(t,x\right)}{{\left|x\right|}^r}\le \theta \left(t\right)$ .

(g) $g:T\times R\to R$ 且 $g\left(t,0\right)=0$ 有

(i) 存在 $\underset{\left|x\right|\to \infty }{\lim }\frac{g\left(t,x\right)}{{\left|x\right|}^{r-2}x}=0$ ，关于 $\text{a}\text{.e}\text{.}t\in I$ 是一致的；

(ii) 对每个 $M>0$ ，存在一个泛函 $g_M\in L^{r^{\prime }}\left(I\right)$ ，使得对 $\left|t\right|\le M$ 和 $\text{a}\text{.e}\text{.}t\in I$ ，有 $\left|g\left(t,x\right)\right|\le g_M\left(x\right)$ .

本文目标是找问题(2)的周期解，我们定义

定义1 [12] 泛函 $u\left(t\right)\in W_T^{1,\mathcal{H}}\left(T\right)$ 被称为方程(2)的弱周期解，若以下方程成立：

${\displaystyle {\int }_T\left({\left|u^{\prime }\right|}^{p-2}{u}^{\prime }+a\left(t\right)\left|u^{\prime }\right|u^{\prime }\right)v^{\prime }\text{d}t}+{\displaystyle {\int }_{T}f\left(t,u\right)v\text{d}t}=0$

对所有 $v\left(t\right)\in W_T^{1,\mathcal{H}}\left(T\right)$ 。

我们也知道，方程(2)的能量泛函可以表示为

$J\left(u\right)={\displaystyle {\int }_T\frac{1}{p}{\left|u^{\prime }\right|}^p+\frac{a\left(t\right)}{q}{\left|u^{\prime }\right|}^q\text{d}t}-{\displaystyle {\int }_{T}F\left(t,u\right)\text{d}t}$ .

所以容易知道弱周期解问题等价于能量泛函的临界点问题。

3.2. 结论与证明

引理3若条件(f)、(g)成立，则 $J\left(u\right)$ 满足C-条件。

证明设 ${\left\{u_n\right\}}_{n\ge 1}\subset W_T^{1,\mathcal{H}}\left(I\right)$ ， $J\left(u_n\right)$ 有界，且

$\underset{n\to \infty }{lim}\left(1+\Vert u_n\Vert \right)\Vert J^{\prime }\left(u_n\right)\Vert =0$ ,

则存在一个常数 $c_1$ ，使得

$\left|J\left(u_n\right)\right|\le c_1$ , $\left(1+\Vert u_n\Vert \right)\Vert J^{\prime }\left(u_n\right)\Vert \le c_1$ (3)

由条件(g)和(f) (i)得，对 $\forall \delta >0$ ，存在一个泛函 $g_{\delta }>0$ ，使得对所有的 $x\in R$ 和 $\text{a}\text{.e}\text{.}t\in I$ 有

$\left|f\left(t,x\right)\right|\le \delta {\left|x\right|}^{r-1}+g_{\delta }\left(t\right)$ . (4)

这意味着，令

$h\left(t\right)=\left(p+M\right)\left(\delta {\max }_{\left|x\right|\le M}b\left(\left|x\right|\right)+g_{\delta }\left(t\right)\right)$ (5)

其中 $b\left(\left|x\right|\right)={\left|x\right|}^{r-1}$ ，所以存在 $M_2>0$ ，使得 $0<h\left(t\right)<M_2$ ，且由式子(4)可得对所有 $x\in R$ ， $\text{a}\text{.e}\text{.}t\in I$ 有

$\left(f\left(t,x\right),x\right)\le \mu F\left(t,x\right)+h\left(t\right)$ (6)

由(3)得

$\left(1+p\right)c_1\ge \Vert J^{\prime }\left(u_n\right)\Vert \left(1+\Vert u_n\Vert \right)-pJ\left(u_n\right)\ge \langle J^{\prime }\left(u_n\right),u_n\rangle -pJ\left(u_n\right)$ (7)

又由(6)，对所有 $n\in N$ ， $\text{a}\text{.e}\text{.}t\in I$ 我们有

$\begin{array}{c}\langle J^{\prime }\left(u_n\right),u_n\rangle -pJ\left(u_n\right)={\displaystyle {\int }_T{\left|{u^{\prime }}_n\right|}^p+a\left(t\right){\left|{u^{\prime }}_n\right|}^q\text{d}t}-{\displaystyle {\int }_{T}f}\left(t,u_n\right)u_n\text{d}t\\ -p\left({\displaystyle {\int }_T\frac{1}{p}{\left|{u^{\prime }}_n\right|}^p+\frac{a\left(t\right)}{q}{\left|{u^{\prime }}_n\right|}^q\text{d}t}-{\displaystyle {\int }_{T}F}\left(t,u_n\right)\text{d}t\right)\\ \ge p{\displaystyle {\int }_{T}F}\left(t,u_n\right)\text{d}t-{\displaystyle {\int }_{T}f}\left(t,u_n\right)u_n\text{d}t\\ \ge p{\displaystyle {\int }_{T}F}\left(t,u_n\right)\text{d}t-\mu {\displaystyle {\int }_{T}F}\left(t,u_n\right)\text{d}t-{\displaystyle {\int }_{T}h}\left(t\right)\text{d}t\end{array}$

因为 $0<\mu <p$ ，则对所有 $n\in N$ ， $\text{a}\text{.e}\text{.}t\in I$ 和某个常数 $c_2>0$ ，有

${\displaystyle {\int }_{T}F}\left(t,u_n\right)\text{d}t\le c_2$ (8)

由(3)和(8)可得

$c_1\ge J\left(u_n\right)\ge \frac{1}{q}{\displaystyle {\int }_T\left({\left|{u^{\prime }}_n\right|}^p+a\left(t\right){\left|{u^{\prime }}_n\right|}^q\right)\text{d}t}-c_2$ (9)

通过命题2可知，若 $\Vert u_n\Vert \to +\infty$ ，则

${\displaystyle {\int }_T{\left|{u^{\prime }}_n\right|}^p+a\left(t\right){\left|{u^{\prime }}_n\right|}^q\text{d}t}\to +\infty$

与式子(9)矛盾。因此， $\Vert u_n\Vert$ 有界。取其一个子列，仍定义为 ${\left\{u_n\right\}}_{n\ge 1}$ ，并且假设

$u_n\rightharpoonup u\in W_T^{1,\mathcal{H}}\left(I\right)$ , $u_n\to u\in C^1\left(I\right)$ .

由(3)得，对所有 $v\in W_T^{1,\mathcal{H}}\left(I\right)$ ， ${\xi }_n\to 0^{+}$ ，我们有

$\left|{\displaystyle {\int }_T{\left|{u^{\prime }}_n\right|}^{p-2}{u^{\prime }}_n{v}^{\prime }+a\left(t\right){\left|{u^{\prime }}_n\right|}^{q-2}{u^{\prime }}_n{v}^{\prime }\text{d}t}-{\displaystyle {\int }_{T}f}\left(t,u_n\right)v\text{d}t\right|\le \frac{{\xi }_n\Vert v\Vert }{1+\Vert u_n\Vert }$

令 $v=u_n-u$ ，则

$\underset{n\to \infty }{\lim }\langle L\left(u_n\right),u_n-u\rangle =0$

通过命题3，可知 $u_n\to u\in W_T^{1,\mathcal{H}}\left(I\right)$ 。因此， $J\left(u\right)$ 满足C-条件。

由以上引理，下面我们用山路定理证明定理1。

定理1若条件(f)、(g)成立，且 $2<p<q<r$ ，则问题(2)存在至少一个非平凡周期解。

证明由假设(f) (iii)可知，存在 $\epsilon >0$ ，和 $0<{\delta }_{\epsilon }<1$ ，使得对所有 $\left|x\right|\le {\delta }_{\epsilon }$ ， $\text{a}\text{.e}\text{.}t\in I$ 有

$F\left(t,x\right)\le \frac{1}{r}\left(\theta \left(t\right)+\epsilon \right){\left|x\right|}^r$ .

让 $u\in W_T^{1,\mathcal{H}}\left(I\right)$ ，且 ${\Vert u\Vert }_T\le {\delta }_{\epsilon }$ ，由文献 [7] 的引理2.5可得：

$\begin{array}{c}J\left(u\right)\ge \frac{1}{r}{\Vert u^{\prime }\Vert }^q-{\displaystyle {\int }_{T}F\left(t,u\right)\text{d}t}\\ \ge \frac{1}{r}{\Vert u^{\prime }\Vert }^q-\frac{1}{r}{\displaystyle {\int }_T\theta \left(t\right){\left|u\right|}^r\text{d}t}-\frac{\epsilon }{r}{\Vert u\Vert }^r\\ \ge \frac{{\xi }_0-\epsilon }{r}{\Vert u\Vert }^q\end{array}$

令 $\epsilon \in \left(0,{\xi }_0\right)$ ， $\rho >0$ 足够小，则我们有

$\beta =\frac{{\xi }_0-\epsilon }{r}{\rho }^q>0$ .

因此， ${J\left(u\right)|}_{\partial B_{\rho }}\ge \beta$ ，其中 $B_{\rho }$ 是一个以原点为中心， $\rho$ 为半径的圆形区域。

接下来，我们要找到一个 $u_1\in W_T^{1,\mathcal{H}}\left(T\right)\backslash \left\{0\right\}$ ，使得 $J\left(u_1\right)\le 0$ 。令 ${\phi }_1$ 是方程(1)的第一特征值 ${\lambda }_1$ 所对应的特征泛函，可知 ${\phi }_1>0$ 。为方便计算，令 $\Vert {\phi }_1\Vert =1$ 。因此，对任意的 $m>0$ ，我们考虑以下泛函

$J\left(m{\phi }_1\right)={\displaystyle {\int }_T\left(\frac{m^p}{p}{\left|{{\phi }^{\prime }}_1\right|}^p+\frac{m^{q}a\left(t\right)}{q}{\left|{{\phi }^{\prime }}_1\right|}^q-F\left(t,m{\phi }_1\right)\right)\text{d}t}$

通过假设(f) (ii)，当 $m\to +\infty$ ，我们有

$J\left(m{\phi }_1\right)\le \frac{m^q}{p}{\Vert {{\phi }^{\prime }}_1\Vert }^q-{\displaystyle {\int }_{T}F}\left(t,m{\phi }_1\right)\text{d}t$

$\Rightarrow \frac{J\left(m{\phi }_1\right)}{m^q}\le \frac{1}{p}-\frac{{\displaystyle {\int }_{T}F}\left(t,m{\phi }_1\right)\text{d}t}{m^q}\to -\infty$ .

即存在 $M>1$ ，当 $m>M$ 时，有 $J\left(m{\phi }_1\right)<0$ ，令 $u_1=m{\phi }_1\in W_T^{1,\mathcal{H}}\left(I\right)\left(m>M\right)$ ，则 $J\left(u_1\right)<0$ 。并且，我们容易知道 $J\left(0\right)=0$ ，由引理3的证明和山路引理(引理2)可以得到，问题(2)至少存在一个非平凡周期解，证毕。

致谢

感谢各位审稿专家的指导！