高环同态的模糊稳定性

Fuzzy Stability of Higher Ring Homomorphism

摘要: 本论文我们主要采取不动点的方法，通过选取一个特殊的控制函数序列以及利用模糊赋范空间的一些性质来研究模糊Banach代数上一个近似高环同态是一个精确高环同态，从而证得高环同态的模糊稳定性。此外，根据模糊连续性的定义，我们还得到了关于高环同态的模糊连续性。

Abstract: In this paper, we mainly use the fixed point method to study that an approximate higher ring homomorphism in fuzzy Banach algebra is an exact higher ring homomorphism by selecting a special control function sequence and using some properties of fuzzy normed space, thus proving the fuzzy stability of higher ring homomorphisms. In addition, according to the definition of fuzzy continuity, we also get the fuzzy continuity about higher ring homomorphisms.

1. 引言

函数方程的稳定性问题起源于Ulam [1] 在某一次数学研讨会上提出的度量群中群同态稳定性的问题。一年后，在Banach空间的假设条件下，Hyers [2] 对Ulam关于可加性映射的问题给出了一个肯定的答复，得到了关于柯西函数方程稳定性问题的第一个定理，即：假设A和B都是Banach空间，对于任意的 $x,y\in A$ 和 $\epsilon >0$ ，映射 $f:A\to B$ 满足：

$\Vert f\left(x+y\right)-f\left(x\right)-f\left(y\right)\Vert \le \epsilon ,$

则存在唯一的可加映射 $F:X\to Y$ 使得

$\Vert F\left(x\right)-f\left(x\right)\Vert \le \epsilon .$

随后，Aoki [3] 将Hyers定理推广到了可加映射。1978年，Rassias [4] 对Hyers方法中控制条件进行了减弱，换成了 $\epsilon \left({\Vert x\Vert }^p+{\Vert y\Vert }^p\right)\left(\epsilon >0,0<p<1\right)$ ，在此基础上研究了线性映射的稳定性。进一步地，Găvruta [5] 对Rassias定理中的 $\epsilon \left({\Vert x\Vert }^p+{\Vert y\Vert }^p\right)$ 替换成更一般的控制函数形式 $\phi \left(x,y\right)$ ，得到了更一般的结果。这一结果后来有大量的推广形式，统称为函数方程的Hyers-Ulam-Rassias稳定性。此后，许多学者研究了不同空间下不同函数方程的Hyers-Ulam-Rassias稳定性(可见参考文献 [6] [7] [8] )。

1996年，Isac和Rassias [9] 首次利用不动点定理来证明函数方程的稳定性，使得证明过程更简洁化，后称为不动点法。通过利用不动点法，许多学者对多种函数方程的稳定性进行了深入研究，相关内容可参考书籍 [10] 。

Katsaras [11] 首先在向量空间上定义了模糊范数以及构建了一个模糊拓扑结构。然后，Bag和Samanta [12] 给出了模糊范数的概念并研究了模糊赋范空间的各种性质。在1996年，Jun和Park [13] 研究了导子在Banach代数上的Hyers-Ulam-Rassias稳定性。Badora [14] 在2002年证明了Banach代数上环同态和环导子的稳定性。进一步地，Gordji [15] 研究了环同态和环导子在模糊Banach代数上的稳定性。在2009年，Mirmostafaee [16] 给出了模糊连续的定义，并证明了四次函数方程在模糊赋范空间的连续性。

在 [17] 中，作者提出了高环同态的定义，即：

设 $\mathcal{A}$ 是Banach代数，实数 $a,b\ne 0,\pm 1$ ，从 $\mathcal{A}$ 到 $\mathcal{A}$ 的映射所组成的序列为 ${\left\{H_n\right\}}_{n=1}^{\infty }$ 。如果对所有的 $x,y\in \mathcal{A}$ 和所有的正整数n，有

$H_n\left(ax+by\right)=a{H}_n\left(x\right)+b{H}_n(\; y\; )$

和

$H_n\left(xy\right)={\displaystyle \underset{i=1}{\overset{n}{\sum }}{H}_i\left(x\right)H_i(\; y\; )}$

则称 ${\left\{H_n\right\}}_{n=1}^{\infty }$ 是一个高环同态。

本论文组织如下：第二节的内容是本篇论文所涉及到的基础概念和不动点定理。第三节的内容是证明了高环同态在Banach代数上的模糊稳定性和模糊连续性，以及关于这两个定理的推论。第四节是本篇论文的总结。

2. 预备知识

本节将介绍本篇论文所涉及到的一些基础概念，其中 $ℝ$ ， $\mathbb{Q}$ ， $\mathbb{N}$ 分别代表实数域，有理数域，自然数集。

定义2.1：设 $\mathcal{A}$ 既是一个代数，又是一个赋范线性空间，且对 $\forall x,y\in \mathcal{A}$ ，满足

$\Vert xy\Vert \le \Vert x\Vert \Vert y\Vert ,$

则称 $\mathcal{A}$ 是赋范代数。

定义2.2：设X是一个非空集合，如果对任意的 $x,y,z\in X$ ，集合X上的函数 $d:X\times X\to \left[0,+\infty \right]$ 满足：

1) $d\left(x,y\right)=0$ 当且仅当 $x=y$ ；

2) $d\left(x,y\right)=d\left(y,x\right)$ ；

3) $d\left(x,z\right)\le d\left(x,y\right)+d\left(y,z\right)$ ，

则称d为广义度量，为 $\left(X,d\right)$ 广义度量空间。

定义2.3 [8] [12] 设X是实线性空间，函数 $N:X\times ℝ\to \left[0,1\right]$ ，如果对任意的 $x,y\in X$ 和任意的 $s,t\in ℝ$ ，函数N满足：

(N1) 对 $c\le 0$ ，有 $N\left(x,c\right)=0$ ；

(N2) 对任意的 $c>0$ ， $x=0$ 当且仅当 $N\left(x,c\right)=1$ ；

(N3) 若 $c\ne 0$ ，则 $N\left(cx,t\right)=N\left(x,{\left(\left|c\right|\right)}^{-1}t\right)$ ；

(N4) $N\left(x+y,t+s\right)\ge \min \left\{N\left(x,t\right),N\left(y,s\right)\right\}$ ；

(N5) $N\left(x,\cdot \right)$ 在实数域上是非减函数且 $\underset{t\to \infty }{\lim }N\left(x,t\right)=1$ ；

(N6) 对 $x\ne 0$ ， $N\left(x,\cdot \right)$ 在实数域上是(上半)连续的，

则称 $\left(X,N\right)$ 为模糊赋范线性空间。

例子2.4：设 $\left(X，\Vert \cdot \Vert \right)$ 是赋范线性空间，则

$N\left(x,t\right)=\{\begin{array}{l}0,t\le 0,\\ \frac{t}{\Vert x\Vert },0<t\le \Vert x\Vert ,\\ 1,t>\Vert x\Vert .\end{array}$

是X上的模糊范数。

证明：显然满足定义2.4的(N1)，(N2)，(N5)和(N6)。下面我们验证(N3)和(N4)。

令常数 $c\ne 0$ ，当 $0<t\le \Vert x\Vert$ 时，有 $N\left(cx,t\right)=\frac{t}{\left|c\Vert x\Vert \right|}=\frac{{\left(\left|c\right|\right)}^{-1}t}{\Vert x\Vert }N\left(x,{\left(\left|c\right|\right)}^{-1}t\right)$ ，故(N3)成立。当 $0<t\le \Vert x\Vert$ 时，对任意的 $x,y\in X$ 有

$N\left(x+y,s+t\right)=\frac{t+s}{\Vert x+y\Vert }\ge \frac{t+s}{\Vert x\Vert +\Vert y\Vert }\ge \{\begin{array}{c}\begin{array}{cc}\frac{t}{\Vert x\Vert },& N\left(x,t\right)\le N\left(y,s\right),\end{array}\\ \begin{array}{cc}\frac{s}{\Vert y\Vert },& N\left(x,t\right)\ge N\left(y,s\right).\end{array}\end{array}$

故 $N\left(x,t\right)=0$ 是模糊范数。

定义2.5 [11] [12] 设 $\left(X,N\right)$ 是模糊赋范线性空间， $\left\{x_n\right\}$ 是X中的一个序列。如果在X中存在一个x使得对任意的 $t>0$ 时有 $\underset{n\to \infty }{\lim }N\left(x_n-x,t\right)=1$ ，则称序列 $\left\{x_n\right\}$ 是收敛的。我们将其记作 $N-\underset{n\to \infty }{\lim }{x}_n=x$ 。

定义2.6 [8] [12] 设 $\left\{x_n\right\}$ 是X中的一个序列。如果对每一个 $\epsilon >0$ 和 $t>0$ ，存在 $n_0$ 使得对任意的 $n\ge n_0$ 和 $p>0$ ，有 $N\left(x_{n+p}-x_n,t\right)\ge 1-\epsilon$ ，则称序列 $\left\{x_n\right\}$ 是柯西序列的。若模糊赋范线性空间中每个柯西序列都是收敛的，则这个模糊范数是完备的，并将该空间称为模糊Banach空间。

定义2.7 [14] 设 $\left(Y,N\right)$ 是模糊赋范空间，函数 $f:ℝ\to Y$ 且 $0<\alpha <1$ ，如果对任意的 $t>0$ 有某个 $\delta >0$ ，当 $\left|x-x_0\right|<\delta$ 时，有 $N\left(f\left(x\right)-f\left(x_0\right),t\right)\ge \alpha$ ，则称f为α-模糊连续。若 $f:ℝ\to Y$ 对每个 $0<\alpha <1$ 都α-模糊连续，则称f为模糊连续。

定义2.8 [8] 设X是代数， $\left(X,N\right)$ 是模糊赋范空间。如果对 $\forall x,y\in X$ 和 $\forall s,t\in {ℝ}^{+}$ ，有

$N\left(xy,st\right)\ge N\left(x,s\right)N\left(y,t\right),$

则称 $\left(X,N\right)$ 是模糊赋范代数。此外，完备的模糊赋范代数被称为模糊Banach代数。

引理2.9 [17] (不动点定理) 设 $\left(X,d\right)$ 是广义完备度量空间， $J:X\to X$ 是严格压缩映射，即对某些常数 $0<L<1$ 和 $\forall x,y\in X$ ，有

$d\left(Jx,Jy\right)\le Ld\left(x,y\right),$

那么，对X中一个给定的元素x，要么对所有的非负整数n有

$d\left(J^{n}x,J^{n+1}x\right)=\infty$

成立，要么存在一个正整数 $n_0$ 使得

1) 当 $n\ge n_0$ 时，有 $d\left(J^{n}x,J^{n+1}x\right)<\infty$ ；

2) 设J的不动点为 $y^{\ast }$ ，则序列 $\left\{J^{n}x\right\}$ 收敛到 $y^{\ast }$ ；

3) $y^{\ast }$ 是J的唯一不动点且 $y^{\ast }\in \left\{y\in X:d\left(J^{n_0}x,y\right)<\infty \right\}$ ；

4) 对所有的 $y\in \left\{y\in X:d\left(J^{n_0}x,y\right)<\infty \right\}$ ，有 $d\left(y,y^{\ast }\right)\le \frac{1}{1-L}d\left(y,Jy\right)$ 。

3. 主要结果

在本节中，通过采取不动点的方法研究高环同态在模糊Banach代数上的Hyers-Ulam-Rassias稳定性以及模糊连续性。

定理3.1：设 $\left(\mathcal{A},N\right)$ 是模糊(复) Banach代数，实数 $a,b\ne 0,\pm 1.$ 假设 $\left\{{\phi }_n:\mathcal{A}\times \mathcal{A}\to \left[0,+\infty \right)\right\}$ 和 $\left\{{\psi }_n:\mathcal{A}\times \mathcal{A}\to \left[0,+\infty \right)\right\}$ 是由函数所组成的序列，且存在常数 $0<\theta ,\lambda <1$ 使得对每个 $n\in \mathbb{N}$ 和任意的 $x,y\in \mathcal{A}$ ，有

${\phi }_n\left(ax,ay\right)\le \left|a\right|\theta {\phi }_n\left(x,y\right)$ (1)

与

${\psi }_n\left(ax,ay\right)\le {\left|a\right|}^2\lambda {\psi }_n\left(x,y\right).$ (2)

如果从 $\mathcal{A}$ 到 $\mathcal{A}$ 的映射所组成的序列为 ${\left\{f_n\right\}}_{n=1}^{\infty }$ (n为正整数)满足 $f_n\left(0\right)=0$ ，且对 $\forall x,y\in \mathcal{A}$ 和 $\forall t>0$ ，有

$N\left(f_n\left(ax+by\right)-a{f}_n\left(x\right)-b{f}_n\left(y\right),t\right)\ge \frac{t}{t+{\phi }_n\left(x,y\right)}$ (3)

和

$N\left(f_n\left(xy\right)-{\displaystyle \underset{i=1}{\overset{n}{\sum }}{f}_i\left(x\right)f_i\left(y\right)},t\right)\ge \frac{t}{t+{\psi }_n\left(x,y\right)}$ (4)

成立，则存在唯一的高环同态 ${\left\{H_n\right\}}_{n=1}^{\infty }$ 使得对每个正整数n和 $\forall t>0$ ，有

$N\left(f_n\left(x\right)-H_n\left(x\right),t\right)\ge \frac{\left|a\right|\left(1-\theta \right)t}{\left|a\right|\left(1-\theta \right)t+{\phi }_n\left(x,0\right)}.$ (5)

证明：令(3)中 $y=0$ ，则根据(N3)，当 $x\in \mathcal{A}$ 和 $t>0$ 时，有

$N\left(\frac{1}{a}{f}_n\left(ax\right)-f_n\left(x\right),\frac{1}{\left|a\right|}t\right)\ge \frac{t}{t+{\phi }_n\left(x,0\right)}.$ (6)

设正整数n是固定的。定义集合和广义距离 $d:X\times X\to \left[0,+\infty \right]$ 为

$d\left(g_n,h_n\right):=\inf \left\{\lambda >0:N\left(g_n\left(x\right)-h_n\left(x\right),\lambda t\right)\ge \frac{t}{t+{\phi }_n\left(x,0\right)},\forall x\in \mathcal{A},t>0\right\}.$

显然 $\left(X,d\right)$ 是完备的广义度量空间 (证明见参考文献 [18] )。定义映射 $J:X\to X$ 为

$J\left(g_n\right)\left(x\right)=\frac{1}{a}{g}_n(\; a\; x\; )$

其中 $x\in \mathcal{A}$ 。令 $g_n,h_n\in S$ ，且存在某个 $\epsilon >0$ ，使得 $d\left(g_n\left(x\right),h_n\left(x\right)\right)=\epsilon <\infty$ 。因为

$\begin{array}{c}N\left(J{g}_n\left(x\right)-J{h}_n\left(x\right),\theta \epsilon t\right)=N\left(g_n\left(ax\right)-h_n\left(ax\right),\left|a\right|\theta \epsilon t\right)\\ \ge \frac{\left|a\right|\theta t}{\left|a\right|\theta t+{\phi }_n\left(ax,0\right)}\\ \ge \frac{\left|a\right|\theta t}{\left|a\right|\theta t+\left|a\right|\theta {\phi }_n\left(x,0\right)}\\ =\frac{t}{t+{\phi }_n\left(x,0\right)},\end{array}$

所以

$d\left(J{g}_n\left(x\right),J{h}_n\left(x\right)\right)\le \theta \epsilon =\theta d\left(g_n\left(x\right),h_n\left(x\right)\right).$

于是，可得J是压缩映射。下面证明 $d\left(J{f}_n,f_n\right)<\infty$ 。

根据(6)，可得

$N\left(J{f}_n\left(x\right)-f_n\left(x\right),t\right)=N\left(\frac{1}{a}{f}_n\left(ax\right)-f_n\left(x\right),t\right)\ge \frac{\left|a\right|t}{\left|a\right|t+{\phi }_n\left(x,0\right)}$

即

$N\left(J{f}_n\left(x\right)-f_n\left(x\right),\frac{t}{\left|a\right|}\right)\ge \frac{t}{t+{\phi }_n\left(x,0\right)},$

故可得 $d\left(J{f}_n,f_n\right)\le \frac{1}{\left|a\right|}<\infty$ ，满足引理2.10的条件，从而有：

i) 设 $H_n:\mathcal{A}\to \mathcal{A}$ ，则 $H_n$ 是J的唯一不动点，其中 $J\in \left\{g_n\in S:d\left(J{f}_n,g_n\right)<\infty \right\}.$

ii) $\left\{J^{n}x\right\}$ 收敛到 $H_n$ ，可定义 $H_n$ 为

$H_n\left(x\right):=N-\underset{k\to \infty }{\lim }\frac{1}{a^k}{f}_n\left(a^{k}x\right),$

其中。

iii) $d\left(f_n,H_n\right)\le \frac{1}{1-\theta }d\left(f_n,J{f}_n\right)\le \frac{1}{\left|a\right|\left(1-\theta \right)}$ 。根据距离的定义，可得

$N\left(f_n\left(x\right)-H_n\left(x\right),t\right)\ge \frac{\left|a\right|\left(1-\theta \right)t}{\left|a\right|\left(1-\theta \right)t+{\phi }_n\left(x,0\right)}.$

下面证明 ${\left\{H_n\right\}}_{n=1}^{\infty }$ 满足定义2.3的两个方程。首先，对(1)作归纳假设得：

${\phi }_n\left(a^{k}x,a^{k}y\right)\le {\left(\left|a\right|\right)}^k{\theta }^k{\phi }_n\left(x,y\right).$

显然 $k=1$ 时，(1)是成立的。假设 $k=m\ge 2$ 时假设成立，验证 $k=m+1$ 时，有

${\phi }_n\left(a^{m+1}x,a^{m+1}y\right)\le \left|a\right|\theta {\phi }_n\left(a^{m}x,a^{m}y\right)\le {\left(\left|a\right|\right)}^{m+1}{\theta }^{m+1}{\phi }_n\left(x,y\right).$

故假设成立。同理，类似可得

${\psi }_n\left(a^{k}x,a^{k}y\right)\le {\left({\left|a\right|}^2\lambda \right)}^k{\psi }_n\left(x,y\right).$

其次，在(3)中，用 $a^{k}x$ ， $a^{k}y$ 分别替代x和y，得

$\begin{array}{c}N\left(\frac{1}{a^k}{f}_n\left(a^k\left(ax+by\right)\right)-\frac{1}{a^{k-1}}{f}_n\left(a^{k}x\right)-b\frac{1}{a^k}{f}_n\left(a^{k}y\right),t\right)\ge \frac{a^{k}t}{a^{k}t+{\phi }_n\left(a^{k}x,a^{k}y\right)}\\ \ge \frac{t}{t+{\theta }^k{\phi }_n\left(x,y\right)}.\end{array}$

因为当 $k\to \infty$ 时， $\frac{t}{t+{\theta }^k{\phi }_n\left(x,y\right)}\to 1$ ，所以

$N\left(\frac{1}{a^k}{f}_n\left(a^k\left(ax+by\right)\right)-\frac{1}{a^{k-1}}{f}_n\left(a^{k}x\right)-b\frac{1}{a^k}{f}_n\left(a^{k}y\right),t\right)\ge 1.$ (7)

最后，利用定义2.4的(N4)，得

$\begin{array}{c}N\left(H_n\left(ax+by\right)-a{H}_n\left(x\right)-b{H}_n\left(y\right),t\right)\ge \min \{N\left(H_n\left(ax+by\right)-\frac{1}{a^k}{f}_n\left(a^k\left(ax+by\right)\right),\frac{t}{4}\right),\\ N\left(\frac{1}{a^{k-1}}{f}_n\left(a^{k}x\right)-a{H}_n\left(x\right),\frac{t}{4}\right),N\left(\frac{b}{a^k}{f}_n\left(a^{k}y\right)-b{H}_n\left(y\right),\frac{t}{4}\right),\\ N\left(\frac{1}{a^k}{f}_n\left(a^k\left(ax+by\right)\right)-\frac{1}{a^{k-1}}{f}_n\left(a^{k}x\right)-\frac{b}{a^k}{f}_n\left(a^{k}y\right),\frac{t}{4}\right)\}.\end{array}$

由(N5)可得：对 $\forall z\in X$ 和 $s>0$ ，有 $\underset{k\to \infty }{\lim }N\left(H_n\left(z\right)-\frac{1}{a^k}{f}_n\left(a^{k}x\right),s\right)=1$ 。由(7)可得

$N\left(H_n\left(ax+by\right)-a{H}_n\left(x\right)-b{H}_n\left(y\right),t\right)=1.$

通过模糊范数的定义可知

$H_n\left(ax+by\right)=a{H}_n\left(x\right)+b{H}_n\left(y\right),$ (8)

其中 $\forall x\in \mathcal{A}$ 。因此， ${\left\{H_n\right\}}_{n=1}^{\infty }$ 满足可加性。在(4)中，用 $a^{k}x$ ， $a^{k}y$ 分别替代x和y，得

$\begin{array}{c}N\left(\frac{1}{a^{2k}}{f}_n\left(a^{k}x\cdot a^{k}y\right)-\frac{1}{a^{2k}}{\displaystyle \underset{i=1}{\overset{n}{\sum }}{f}_i\left(a^{k}x\right)f_i\left(a^{k}y\right)},t\right)\ge \frac{a^{2k}t}{a^{2k}t+{\psi }_n\left(a^{k}x,a^{k}y\right)}\\ \ge \frac{t}{t+{\lambda }^k{\psi }_n\left(x,y\right)}.\end{array}$

因为当 $k\to \infty$ 时， $\frac{t}{t+{\lambda }^k{\psi }_n\left(x,y\right)}\to 1$ ，所以

$N\left(\frac{1}{a^{2k}}{f}_n\left(a^{k}x\cdot a^{k}y\right)-\frac{1}{a^{2k}}{\displaystyle \underset{i=1}{\overset{n}{\sum }}{f}_i\left(a^{k}x\right)f_i\left(a^{k}y\right)},t\right)\ge 1.$ (9)

结合(N4)和(9)得

$\begin{array}{c}N\left(H_n\left(xy\right)-{\displaystyle \underset{i=1}{\overset{n}{\sum }}{H}_i\left(x\right)H_i\left(y\right)},t\right)\ge \min \{N\left(H_n\left(xy\right)-\frac{1}{a^{2k}}{f}_n\left(a^{k}x\cdot a^{k}y\right),\frac{t}{3}\right),\\ N\left(\frac{1}{a^{2k}}{\displaystyle \underset{i=1}{\overset{n}{\sum }}{f}_i\left(a^{k}x\right)f_i\left(a^{k}y\right)}-{\displaystyle \underset{i=1}{\overset{n}{\sum }}{H}_i\left(x\right)H_i\left(y\right)},\frac{t}{3}\right),\\ N\left(\frac{1}{a^{2k}}{f}_n\left(a^{k}x\cdot a^{k}y\right)-\frac{1}{a^{2k}}{\displaystyle \underset{i=1}{\overset{n}{\sum }}{f}_i\left(a^{k}x\right)f_i\left(a^{k}y\right)},\frac{t}{3}\right)\}\\ \ge 1.\end{array}$

故 $H_n\left(xy\right)={\displaystyle \underset{i=1}{\overset{n}{\sum }}{H}_i\left(x\right)H_i\left(y\right)}$ ，其中 $\forall x\in \mathcal{A}$ 。证毕。

下面给出由定理3.1所得到的两个推论。

推论3.2：设 $\left(\mathcal{A},N\right)$ 是模糊(复) Banach代数，实数 $a,b\ne 0,\pm 1$ 。假设 $\left\{{\phi }_n:\mathcal{A}\times \mathcal{A}\to \left[0,+\infty \right)\right\}$ 和 $\left\{{\psi }_n:\mathcal{A}\times \mathcal{A}\to \left[0,+\infty \right)\right\}$ 是由函数所组成的序列，且存在常数 $0<\theta ,\lambda <1$ 使得对每个 $n\in \mathbb{N}$ 和所有的 $x,y\in \mathcal{A}$ ，有

$\theta {\phi }_n\left(ax,ay\right)\ge \left|a\right|{\phi }_n\left(x,y\right)$

与

$\lambda {\psi }_n\left(ax,ay\right)\ge {\left|a\right|}^2{\psi }_n\left(x,y\right).$

如果从 $\mathcal{A}$ 到 $\mathcal{A}$ 的映射所组成的序列为 ${\left\{f_n\right\}}_{n=1}^{\infty }$ (n为正整数)满足 $f_n\left(0\right)=0$ ，且对 $\forall x,y\in \mathcal{A}$ 和 $\forall t>0$ ，有

$N\left(f_n\left(ax+by\right)-a{f}_n\left(x\right)-b{f}_n\left(y\right),t\right)\ge \frac{t}{t+{\phi }_n\left(x,y\right)}$

和

$N\left(f_n\left(xy\right)-{\displaystyle \underset{i=1}{\overset{n}{\sum }}{f}_i\left(x\right)f_i\left(y\right)},t\right)\ge \frac{t}{t+{\psi }_n\left(x,y\right)}$

成立，则存在唯一的高环同态 ${\left\{H_n\right\}}_{n=1}^{\infty }$ 使得对每个正整数n和 $\forall t>0$ ，有

$N\left(f_n\left(x\right)-H_n\left(x\right),t\right)\ge \frac{\theta \left(1-\theta \right)t}{\theta \left(1-\theta \right)t+\left|a\right|{\phi }_n\left(x,0\right)}.$

证明：根据定理3.1的证明，类似考虑完备广义度量空间 $\left(X,d\right)$ 和压缩映射J，并定义J为

$J\left(g_n\right)\left(x\right)=a{g}_n\left(\frac{x}{a}\right).$

令 $g_n,h_n\in S$ ，存在某个 $\epsilon >0$ ，使得 $d\left(g_n\left(x\right),h_n\left(x\right)\right)=\epsilon <\infty$ 。因为

$\begin{array}{c}N\left(J{g}_n\left(x\right)-J{h}_n\left(x\right),\theta \epsilon t\right)=N\left(g_n\left(a^{-1}x\right)-h_n\left(a^{-1}x\right),{\left(\left|a\right|\right)}^{-1}\theta \epsilon t\right)\\ \ge \frac{{\left(\left|a\right|\right)}^{-1}\theta t}{{\left(\left|a\right|\right)}^{-1}\theta t+{\phi }_n\left(a^{-1}x,0\right)}\\ \ge \frac{{\left(\left|a\right|\right)}^{-1}\theta t}{{\left(\left|a\right|\right)}^{-1}\theta t+{\left(\left|a\right|\right)}^{-1}\theta {\phi }_n\left(x,0\right)}\\ =\frac{t}{t+{\phi }_n\left(x,0\right)},\end{array}$

所以

$d\left(J{g}_n\left(x\right),J{h}_n\left(x\right)\right)\le \theta d\left(g_n\left(x\right),h_n\left(x\right)\right).$

故J是压缩映射。由(6)可得

$\begin{array}{c}N\left(J{f}_n\left(x\right)-f_n\left(x\right),{\left(\left|a\right|\right)}^{-1}\theta t\right)=N\left(a{f}_n\left(\frac{1}{a}x\right)-f_n\left(x\right),{\left(\left|a\right|\right)}^{-1}\theta t\right)\\ \ge \frac{{\left(\left|a\right|\right)}^{-1}\theta t}{{\left(\left|a\right|\right)}^{-1}\theta t+{\phi }_n\left(a^{-1}x,0\right)}\\ \ge \frac{t}{t+{\phi }_n\left(x,0\right)}.\end{array}$

故 $d\left(J{f}_n,f_n\right)\le \frac{\theta }{\left|a\right|}<\infty$ 。于是对 $\forall x\in \mathcal{A}$ 和 $\forall t>0$ ，利用不动点方法，有

$d\left(f_n,H_n\right)\le \frac{1}{1-\theta }d\left(f_n,J{f}_n\right)\le \frac{1}{{\left(\left|a\right|\right)}^{-1}\left(1-\theta \right)\theta }$

和

$H_n\left(x\right):=N-\underset{k\to \infty }{\lim }{a}^k{f}_n\left(\frac{1}{a^k}x\right).$

剩余部分证明与定理3.1类似。证毕。

推论3.3：设 $\left(\mathcal{A},N\right)$ 是模糊(复) Banach代数，实数 $a,b\ne 0,\pm 1$ 和 ${\rho }_n,{{\rho }^{\prime }}_n\ge 0$ 。假设由函数所组成的序列 $\left\{{\phi }_n:\mathcal{A}\times \mathcal{A}\to \left[0,+\infty \right)\right\}$ 和 $\left\{{\psi }_n:\mathcal{A}\times \mathcal{A}\to \left[0,+\infty \right)\right\}$ ，且当 $0<\left|a\right|<1$ 时 $p>1$ ；当 $\left|a\right|>1$ 时 $0<p<1$ 。如果从 $\mathcal{A}$ 到 $\mathcal{A}$ 的映射所组成的序列为 ${\left\{f_n\right\}}_{n=1}^{\infty }$ (n为正整数)满足 $f_n\left(0\right)=0$ ，且对 $\forall x,y\in \mathcal{A}$ 和 $\forall t>0$ ，有

$N\left(f_n\left(ax+by\right)-a{f}_n\left(x\right)-b{f}_n\left(y\right),t\right)\ge \frac{t}{t+{\rho }_n\left({\Vert x\Vert }^p+{\Vert y\Vert }^p\right)}$

和

$N\left(f_n\left(xy\right)-{\displaystyle \underset{i=1}{\overset{n}{\sum }}{f}_i\left(x\right)f_i\left(y\right)},t\right)\ge \frac{t}{t+{{\rho }^{\prime }}_n{\Vert x\Vert }^p{\Vert y\Vert }^p}$

成立，则存在唯一的高环同态 ${\left\{H_n\right\}}_{n=1}^{\infty }$ 使得对每个正整数n和 $\forall t>0$ ，有

$N\left(f_n\left(x\right)-H_n\left(x\right),t\right)\ge \frac{\left|a\right|\left(1-{\left|a\right|}^{p-1}\right)t}{\left|a\right|\left(1-{\left|a\right|}^{p-1}\right)t+{\rho }_n{\Vert x\Vert }^p}.$

证明：根据定理3.1的证明，令 ${\phi }_n\left(x,y\right)={\rho }_n\left({\Vert x\Vert }^p+{\Vert y\Vert }^p\right)$ 和 ${\psi }_n\left(x,y\right)={{\rho }^{\prime }}_n{\Vert x\Vert }^p{\Vert y\Vert }^p$ 。采取相同方法，选取 $\theta$ ， $\lambda$ 分别为 ${\left|a\right|}^{p-1}$ 和 ${\left|a\right|}^{2p-2}$ ，可证得该推论。

下面将研究高环同态在Banach代数上的模糊连续性。假设定理3.1是成立的，并使用定理3.1中的术语。

定理3.4：若对任意的 $x\in \mathcal{A},u\in ℝ$ ，从 $ℝ\to \mathcal{A}$ 的映射 $u\to f_n\left(ux\right)$ 是模糊连续的和从 $ℝ\to \left[0,+\infty \right)$ 的映射 $u\to {\phi }_n\left(ux,0\right)$ 是模糊连续的，则映射 $u\to H_n\left(ux\right)$ 也是模糊连续的。

证明：固定 $x\in X,u_0\in ℝ,t>0,0<\alpha <1$ ，可得： $\exists k_0\in \mathbb{N}$ ，使得

$\frac{2^{k_0}\left|a\right|\left(1-\theta \right)t}{2^{k_0}\left|a\right|\left(1-\theta \right)t+3{\phi }_n\left(2^{k_0}{u}_{0}x,0\right)}>\alpha .$

于是，根据(5)和 $H_n\left(x\right):=N-\underset{k\to \infty }{\lim }\frac{1}{a^k}{f}_n\left(a^{k}x\right)$ ，利用 $H_n$ 的可加性，推得

$\begin{array}{c}N\left(\frac{1}{2^{k_0}}{f}_n\left(2^{k_0}{u}_{0}x\right)-H_n\left(u_{0}x\right),\frac{t}{3}\right)=N\left(\frac{1}{2^{k_0}}{f}_n\left(2^{k_0}{u}_{0}x\right)-\frac{1}{2^{k_0}}{H}_n\left(2^{k_0}{u}_{0}x\right),\frac{t}{3}\right)\\ \ge \frac{2^{k_0}\left|a\right|\left(1-\theta \right)t}{2^{k_0}\left|a\right|\left(1-\theta \right)t+3{\phi }_n\left(2^{k_0}{u}_{0}x,0\right)}\\ >\alpha .\end{array}$

因为映射 $u\to f_n\left(ux\right)$ 和 $u\to {\phi }_n\left(ux,0\right)$ 是模糊连续的，所以存在 $0<\delta <1$ ，使得当 $0<\left|u-u_0\right|<\delta$ 时，有

$N\left(\frac{1}{2^{k_0}}{f}_n\left(2^{k_0}ux\right)-\frac{1}{2^{k_0}}{f}_n\left(2^{k_0}{u}_{0}x\right),\frac{t}{3}\right)>\alpha$

和

$\left|\frac{2^{k_0}\left|a\right|\left(1-\theta \right)t}{2^{k_0}\left|a\right|\left(1-\theta \right)t+3{\phi }_n\left(2^{k_0}ux,0\right)}-\frac{2^{k_0}\left|a\right|\left(1-\theta \right)t}{2^{k_0}\left|a\right|\left(1-\theta \right)t+3{\phi }_n\left(2^{k_0}{u}_{0}x,0\right)}\right|>\alpha .$

于是，可得

$\begin{array}{c}N\left(\frac{1}{2^{k_0}}{f}_n\left(2^{k_0}ux\right)-H_n\left(ux\right),\frac{t}{3}\right)=N\left(\frac{1}{2^{k_0}}{f}_n\left(2^{k_0}ux\right)-\frac{1}{2^{k_0}}{H}_n\left(2^{k_0}ux\right),\frac{t}{3}\right)\\ \ge \frac{2^{k_0}\left|a\right|\left(1-\theta \right)t}{2^{k_0}\left|a\right|\left(1-\theta \right)t+3{\phi }_n\left(2^{k_0}ux,0\right)}\\ \ge \frac{2^{k_0}\left|a\right|\left(1-\theta \right)t}{2^{k_0}\left|a\right|\left(1-\theta \right)t+3{\phi }_n\left(2^{k_0}ux,0\right)}-\frac{2^{k_0}\left|a\right|\left(1-\theta \right)t}{2^{k_0}\left|a\right|\left(1-\theta \right)t+3{\phi }_n\left(2^{k_0}{u}_{0}x,0\right)}\\ +\frac{2^{k_0}\left|a\right|\left(1-\theta \right)t}{2^{k_0}\left|a\right|\left(1-\theta \right)t+3{\phi }_n\left(2^{k_0}{u}_{0}x,0\right)}\\ >2\alpha .\end{array}$

故而

$\begin{array}{c}N\left(H_n\left(ux\right)-H_n\left(u_{0}x\right),t\right)\ge \min \{N\left(H_n\left(ux\right)-\frac{1}{2^{k_0}}{f}_n\left(2^{k_0}ux\right),\frac{t}{3}\right),N\left(\frac{1}{2^{k_0}}{f}_n\left(2^{k_0}ux\right)-\frac{1}{2^{k_0}}{f}_n\left(2^{k_0}{u}_{0}x\right),\frac{t}{3}\right),\\ N\left(\frac{1}{2^{k_0}}{f}_n\left(2^{k_0}{u}_{0}x\right)-H{}_n\left(u_{0}x\right),\frac{t}{3}\right)\}\\ >\alpha .\end{array}$

因此，结合定义2.8就可证得映射 $u\to H_n\left(ux\right)$ 也是模糊连续的。

推论3.5：在定理3.4满足的情况下，对任意的 $\lambda \in ℝ$ 和 $\forall x\in \mathcal{A}$ ，有 $H_n\left(\lambda ax\right)=\lambda a{H}_n\left(x\right)$ 成立。

证明：在式(8)中，设k为正整数。令 $y=0$ ，得 $H_n\left(ax\right)=a{H}_n\left(x\right)$ ，所以 $k=1$ 时是成立的。

又令 $ax=by$ ，则

$H_n\left(2ax\right)=a{H}_n\left(x\right)+b{H}_n\left(\frac{a}{b}x\right)=a{H}_n\left(x\right)+b\cdot \frac{a}{b}{H}_n\left(x\right)=2a{H}_n\left(x\right),$

所以 $k=2$ 时是成立的。现用数学归纳法，假设 $k\le m\left(m\in \mathbb{N}\right)$ 时是成立的，我们证明当 $k=m+1$ 时，

$H_n\left(kax\right)=ka{H}_n\left(x\right)$ 也是成立的。我们令 $y=\frac{\max }{b}$ ，则

$\begin{array}{c}{H}_n\left(\left(m+1\right)ax\right)=H_n\left(ax+by\right)\\ =a{H}_n\left(x\right)+b{H}_n\left(\frac{ma}{b}x\right)\\ =a{H}_n\left(x\right)+b\cdot \frac{ma}{b}{H}_n\left(x\right)\\ =\left(m+1\right)a{H}_n\left(x\right),\end{array}$

所以 $k=m+1$ 时也是成立的。设 $p,q\in \mathbb{N}$ ，则

$H_n\left(\frac{p}{q}ax\right)=pa{H}_n\left(\frac{1}{q}x\right)=p\frac{1}{q}a{H}_n\left(x\right).$

故对任意的有 $H_n\left(rax\right)=ra{H}_n\left(x\right)$ 。令 $\lambda \in ℝ$ ，则存在一个有理数列 $\left\{r_i\right\}\left(i\in \mathbb{N}\right)$ 使得 $r_i\to \lambda$ 。又

因为 $H_n\left(x\right)$ 的连续性，所以有 $H_n\left(\lambda ax\right)=\underset{i\to \infty }{\lim }{H}_n\left(r_{i}ax\right)=\underset{i\to \infty }{\lim }{r}_{i}a{H}_n\left(x\right)=\lambda a{H}_n\left(x\right)$ 成立。

4. 总结

本文通过利用不动点定理，结合模糊范数的定义与性质，证明了在模糊Banach代数上高环同态的Hyers-Ulam-Rassias稳定性。通过改变控制函数的条件和控制函数的形式，得到了两个推论。此外，我们结合模糊连续的定义，证得了高环同态的模糊连续性。这一结果对于后续研究其它同态在模糊Banach代数上的稳定性和连续性有一定的借鉴作用。

致谢

感谢匿名审稿人的宝贵修改建议，这些大大提高了论文的发表。本论文得到了国家自然科学基金(No. 12061018)的资助。

NOTES

^*通讯作者。