一类带不定位势Kirchoff方程解的存在性

Multiplicity Results for a Kirchhoff Type Equations with General Potential

摘要: 本文主要研究R3中一类带不定位势Kirchhoff方程解的存在性，在关于V的一些假设条件和一般的谱假设下，利用变分方法，得到问题解的存在性结果。

Abstract: In this article, we study a Kirchhoff type equation in R3 with the potential indefinite in sign. Under certain hypotheses on V and general spectral assumption, we obtain the multiplicity results for this problem via variational methods.

1. 简介和主要结论

本文主要研究如下形式的Kirchhoff方程解的存在性

$-\left(a+b{\displaystyle {\int }_{{ℝ}^3}{\left|\nabla u\right|}^2}\text{d}x\right)\Delta u+V\left(x\right)u=Q\left(x\right)f\left(x,u\right),x\in {ℝ}^3.$ (1.1)

其中 $a>0,\text{}\text{}\text{}b\ge 0$ 为常数。

方程(1.1)是一个重要的非局部拟线性问题，如果 $V\left(x\right)=0,Q\left(x\right)=1$ 且 $R^3$ 被有界区域 $\Omega \subset R^3$ 代替，问题(1.1)导出如下形式的Dirichlet问题

$\{\begin{array}{ll}-\left(a+b{\displaystyle \underset{\Omega }{\int }{\left|\nabla u\right|}^2}\text{d}x\right)\Delta u=f\left(x,u\right)\text{,}\hfill & x\in \Omega \text{,}\hfill \\ u=0\hfill & x\in \partial \Omega \text{,}\hfill \end{array}$ (1.2)

这是Kirchhoff首次引入模型 [1] 的推广。更确切地说，问题(1.2)与如下方程的静止模拟相关

$u_{tt}-\left(a+b{\displaystyle {\int }_{\Omega }{\left|\nabla u\right|}^2}\text{d}x\right)\Delta u=f\left(x,u\right),$ (1.3)

它是弹性弦自由振动的经典达朗贝尔波动方程的推广。Kirchhoff模型考虑了横向震动产生的弦长变化，在Lions [2] 提出了一个抽象的问题框架后，问题(1.2)受到了广泛的关注。

本文首先假设 $Q\left(x\right)$ 和 $V\left(x\right)$ 满足以下条件

(Q) ${\inf }_{x\in R^3}Q\left(x\right)=Q_0>0$ ，其中 $Q_0$ 是一个正常数，并且存在一个正常数 $0<\alpha \le 1$ ，使得 ${\sup }_{x\in R^3}Q\left(x\right)\le \alpha$ 。

(V₁) $V\in L_{loc}^q\left(R^3\right)$ 是实函数，定义 $V^{-}:=-\min \left\{V,0\right\}\in L^{\infty }\left(R^3\right)\cap L^q\left(R^3\right)$ 对于 $q\ge 2$ 成立。

由条件(V₁)可知Schröding算子 $A:=-a\Delta +V$ 在 $L^2\left(R^3\right)$ 是有界的自伴算子(见 [8] [9] )。定义 $\sigma \left(A\right)$ 为算子A的谱， ${\sigma }_{ess}\left(A\right)$ 为算子A的本质谱， ${\sigma }_d\left(A\right)$ 为算子A的纯点谱，进一步，作如下的谱假设：

(V₂) $\gamma :=\inf \sigma \left(A\right)$ ， $\beta :=\inf {\sigma }_{ess}\left(A\right)$ ， $-\infty <\gamma <\beta$ ，其中 $\beta >0$ 。

设非线性项f满足

(f₁) $f\in C\left(R^3\times R\right)$ ，且 $\frac{f\left(x,u\right)}{u}$ 是 $R^3\times \left(R\backslash \left\{0\right\}\right)$ 上的有界函数。

(f₂) $f^{*}:=\lim {\sup }_{\left|x\right|\to +\infty }{\sup }_{u\ne 0}\frac{f\left(x,u\right)}{u}<\beta$ 。

显然，当(f₁)满足时，条件(f₂)有意义，定义如下集合：

$\Lambda :=\left\{B\left(x\right)|B\left(x\right)是有界连续实函数，B^{*}:=\underset{\left|x\right|\to +\infty }{\lim \sup }B\left(x\right)<\beta \right\}$ (1.4)

设存在 $B_1\left(x\right)$ ， $B_2\left(x\right)\in \Lambda$ 使得

(f₃) $f\left(x,u\right)=B_1\left(x\right)u+o\left(\left|u\right|\right)$ 当 $u\to 0$ ，对几乎处处 $x\in R^3$ 一致成立。

(f₄) $f\left(x,u\right)=B_2\left(x\right)u+R_u\left(x,u\right)$ ，且对任意 $\left(x,u\right)\in R^3\times R$ ，都有 $R\left(x,u\right)\le 0$ ，其中 $R\left(x,u\right)={\displaystyle {\int }_0^u{R}_u\left(x,t\right)\text{d}t}$ 。

对任意 $B\in \Lambda$ ，都存在整数对 $\left(i\left(B\right),\nu \left(B\right)\right)$ 与如下的线性Schröding系统相关联

$-a\Delta u+V\left(x\right)u=B\left(x\right)u，x\in R^3.$

其中 $i\left(B\right)$ 被称为B的指数函数， $\nu \left(B\right)$ 被称为B的零化度。定义

$\nu \left(B\right)=\ker \left(-a\Delta +V-B\right)$ .

指数函数 $i\left(B\right)$ 可以被定义为算子 $-a\Delta +V-B$ 负本征空间的维数。那么， $i\left(B\right)$ 是非增函数，文章在第二部分提出了一些关于B的性质，更多详细内容可以参考文献 [1] 。

考虑问题(1.1)解的存在性，本文有如下的主要结论：

定理1.1 假设条件(Q)，(V₁)，(V₂)和(f₁)~(f₄)满足，则问题(1.1)至少存在一个非平凡解。

在研究哈密顿系统的周期解时，指数理论得到了广泛的应用(见 [2] [3] [4] )，本文介绍的分类理论与上述的指标理论有很大的相关性，从理论上来说，本文的分类结构与文献( [2] [3] [4] )中提到的又有所不同，由于基本谱的出现，还需要克服更多复杂的问题。

考虑到Rayleigh-Ritz商的标准定义和结果，定义极小极大序列

${\lambda }_n:=\underset{Y_n}{\inf }\underset{u\in Y_n\backslash \left\{0\right\}}{\sup }\frac{{\displaystyle \underset{{ℝ}^3}{\int }\left(a{\left|\nabla u\right|}^2+V\left(x\right)u^2\right)\text{d}x}}{{\displaystyle \underset{{ℝ}^3}{\int }{u}^2}\text{d}x},$

其中 $Y_n$ 定义为 $C_0^{\infty }\left(R^3\right)$ 的n-维子空间族，那么

${\lambda }_{\infty }:=\underset{n\to \infty }{\lim }{\lambda }_n$ .

如果 ${\lambda }_{\infty }$ 是有限数，进一步有，

${\lambda }_{\infty }=\inf {\sigma }_{ess}\left(A\right),$

由不等式 ${\lambda }_n<{\lambda }_{\infty }$ 可知 ${\lambda }_n\in {\sigma }_d\left(A\right)$ 。因此，假设 ${\lambda }_{\infty }>0$ ，易知Schröding算子A满足条件(V₂)。

当 ${\lambda }_k<0\le {\lambda }_{k+1}$ ，问题(1.1)已经取得了一些解的存在性结果，在文章( [5] [6] [7] )中，作者通过Clark定理、三临界点定理以及Clark定理的变体形式研究了两个非平凡解和无穷多平凡解的存在性。

2. 简介和主要结论

通常情况下，令 $L^p\left(R^3\right)$ 为标准的 $L^p$ 空间，其中 $1\le p<\infty$ ，且定义范数为

${\left|u\right|}_p={\left({\displaystyle \underset{R^3}{\int }{\left|u\right|}^p\text{d}x}\right)}^{1/p},u\in L^p\left(R^3\right).$

令 $H^1\left(R^3\right)$ ， $D^{1,2}\left(R^3\right)$ 为通常的Sobblev空间，定义范数为

${\Vert u\Vert }_{H^1\left(R^3\right)}={\left({\displaystyle \underset{R^3}{\int }\left[{\left|\nabla u\right|}^2+u^2\right]\text{d}x}\right)}^{1/2},{\Vert u\Vert }_{D^{1,2}(R^3)}={\left({\displaystyle \underset{R^3}{\int }{\left|\nabla u\right|}^2}\text{d}x\right)}^{1/2}$

由于0是至多有限重特征值，假设 $0\in \sigma \left(A\right)$ 。那么根据谱性质(V₂)，可以得到如下的正交分解

$L^2=L^{-}\oplus L^{+},u=u^{-}+u^{+}.$

使得A在 $L^{-}$ 空间上为负定的，在 $L^{+}$ 空间上为正定的。定义算子A的绝对值为 $\left|A\right|$ ，令 $E=D\left({\left|A\right|}^{1/2}\right)$ 为Hilbert空间，并且定义内积为

$\left(u,v\right)={\left({\left|A\right|}^{1/2}u,{\left|A\right|}^{1/2}v\right)}_2,$

那么其中的范数为

$\left|\left|u\right|\right|={\left(u,u\right)}^{1/2},$

其中 ${\left(\cdot \cdot \right)}_2$ 为通常的L²-范数。一般地可以把E空间正交分解为

$E:=E^{-}\oplus E^{+}.$

其中

$E^{\pm }=E\cap L^{\pm },$

那么E连续嵌入到 $H^1\left(R^3\right)$ ，则E连续嵌入到 $L^p\left(R^3\right)$ 对于 $p\in \left[2,6\right]$ 。

问题(1.1)具有如下形式的能量泛函

$I\left(u\right)=\frac{1}{2}{\left|\left|u^{+}\right|\right|}^2-\frac{1}{2}{\left|\left|u^{-}\right|\right|}^2+\frac{b}{4}{\left({\displaystyle {\int }_{{ℝ}^3}{\left|\nabla u\right|}^2}\text{d}x\right)}^2-{\displaystyle {\int }_{{ℝ}^3}Q}\left(x\right)F\left(x,u\right)\text{d}x,u\in E.$ (1.5)

其中

$F\left(x,u\right)={\displaystyle {\int }_0^{u}f\left(x,t\right)\text{d}t,}$

并且，I是E中的 $C^1$ 泛函，以及I的导函数为

$\left(I^{\prime }\left(u\right),v\right)=\left(u^{+},v^{+}\right)-\left(u^{-},v^{-}\right)+b{\displaystyle {\int }_{{ℝ}^3}{\left|\nabla u\right|}^2}\text{d}x{\displaystyle {\int }_{{ℝ}^3}\nabla }u\cdot \nabla v\text{d}x-{\displaystyle {\int }_{{ℝ}^3}Q}\left(x\right)f\left(x,u\right)v\text{d}x.$ (1.6)

由变分原理可知问题(1.1)的弱解为能量泛函I的临界点。

回忆在(1.4)定义的 $\Lambda$ ，定义如下形式的二次型

$q_B\left(u,v\right)=\frac{1}{2}\left(u^{+},v^{+}\right)-\frac{1}{2}\left(u^{-},v^{-}\right)-\frac{1}{2}{\left(Bu,v\right)}_2,\forall u,v\in E.$ (1.7)

$q_B$ 的欧拉方程为

$-a\Delta u+V\left(x\right)u+B\left(x\right)u=0.$

为了研究I的临界点，需要利用文献 [8] 中提到的临界点理论。

定义2.1 称 $I\in C^1\left(E,R\right)$ 满足 ${\left(PS\right)}_c$ 条件，如果E中任意序列 $\left\{u_n\right\}$ 使得

$I\left(u_n\right)\to c,I^{\prime }\left(u_n\right)\to 0\text{,}当n\to \infty \text{,}$

都有收敛的子列。

命题2.2 ( [9] ) 1)空间E可以被分解为三个子空间

$E=E^{+}\left(B\right)\oplus E^0\left(B\right)\oplus E^{-}(\; B\; )$

使得 $q_B$ 分别在 $E^{+}\left(B\right)$ ， $E^0\left(B\right)$ ， $E^{-}\left(B\right)$ 是正定的，零，负定的。此外， $E^0\left(B\right)$ 和 $E^{-}\left(B\right)$ 为有限维子空间。

1) 定义 $i\left(B\right)=\dim E^{-}\left(B\right)$ ， $\nu \left(B\right)=\dim E^0\left(B\right)$ 。称 $i\left(B\right)$ 为B的指数， $\nu \left(B\right)$ 为B的零化度。 $i\left(B\right)={\displaystyle \underset{\lambda <0}{\sum }\nu \left(B+\lambda \right)}$ ，其中 $i\left(B\right)$ 是 $q_B$ 在E中的Morse指数； $\nu =\ker \dim \left(A-B\right)$ 。

2) 对任意 $B_m$ ， $B_n\in \Lambda$ ，当 $B_m<B_n$ 时，都有

$i\left(B_n\right)-i\left(B_m\right)={\displaystyle \underset{\lambda \in \left[0,1\right)}{\sum }\nu }\left(B_m+\lambda \left(B_n-B_m\right)\right).$

3) 存在 ${\epsilon }_0$ 使得对任意 $\epsilon \in \left(0,{\epsilon }_0\right]$ ，都有

$\begin{array}{l}\nu \left(B+\epsilon \right)=0=v\left(B-\epsilon \right),\\ i\left(B-\epsilon \right)=i\left(B\right),\\ i\left(B+\epsilon \right)=i\left(B\right)+v\left(B\right).\end{array}$

4) ${\left(-q_B\left(u,u\right)\right)}^{1/2}$ 是 $E^{-}\left(B\right)$ 上的等价范数，且存在 $c>0$ 使得

${\left(q_B\left(u,u\right)\right)}^{1/2}\ge c{\Vert u\Vert }^2,\forall u\in E^{+}\left(B\right).$

3. 主要结论的证明

为了完成定理的证明，需要以下的引理：

引理3.1 假设(V₁)，(V₂)，(Q)和(f₄)满足，则泛函I是强制的，即

$I\left(u\right)\to +\infty ,当\Vert u\Vert \to +\infty$

证明：假设结论不正确，则可以选择序列 $\left\{u_n\right\}\subset E$ ，以及 $M>0$ 使得 $I\left(u_n\right)\le M$ ，当 $\Vert u_n\Vert \to +\infty$ 时。令 $v_n=\frac{u_n}{\Vert u_n\Vert }$ ，则有 $\Vert v_n\Vert =1$ ，由条件(Q)和(f₄)，易知存在 $B_{\infty }\in \Lambda$ 使得

$\begin{array}{l}\frac{M}{{\left|\left|u_n\right|\right|}^2}\ge \frac{I\left(u_n\right)}{{\left|\left|u_n\right|\right|}^2}\\ =\frac{\frac{1}{2}{\left|\left|u_n^{+}\right|\right|}^2-\frac{1}{2}{\left|\left|u_n^{-}\right|\right|}^2+\frac{b}{4}{\left({\displaystyle \underset{{ℝ}^3}{\int }{\left|\nabla u_n\right|}^2}\text{d}x\right)}^2-{\displaystyle \underset{{ℝ}^3}{\int }Q}\left(x\right)F\left(x\text{,}{u}_n\right)\text{d}x}{{\left|\left|u_n\right|\right|}^2}+\frac{b{\left({\displaystyle \underset{{ℝ}^3}{\int }{\left|\nabla u_n\right|}^2}\text{d}x\right)}^2}{4{\left|\left|u_n\right|\right|}^2}\\ =q_{B_{\infty }}\left(v_n,v_n\right)-\frac{{\displaystyle \underset{{ℝ}^3}{\int }Q}\left(x\right)R\left(x,u_n\right)\text{d}x}{{\left|\left|u_n\right|\right|}^2}+\frac{b{\left({\displaystyle \underset{{ℝ}^3}{\int }{\left|\nabla u_n\right|}^2}\text{d}x\right)}^2}{4{\left|\left|u_n\right|\right|}^2}.\end{array}$ (1.8)

根据 $R\left(x,u_n\right)\le 0$ ，因此

$o\left(1\right)\ge q_{B_{\infty }}\left(v_n,v_n\right).$

由 $\Lambda$ 集的定义以及命题2.2(iv)，选择足够小的 $\epsilon >0$ 使得 $B_{\infty }+\epsilon \in \Lambda$ ， $\nu \left(B_{\infty }+\epsilon \right)=0$ 。此外，容易计算得出

$q_{B_{\infty }+\epsilon }\left(v_n,v_n\right)=q_{B_{\infty }}\left(v_n,v_n\right)-\frac{\epsilon }{2}{\left|v_n\right|}_2^2\le o\left(1\right)$ (1.9)

由命题2.2以及 $\nu \left(B_{\infty }+\epsilon \right)=0$ ，有如下的关于 $v_n$ 的 $q_{B_{\infty }+\epsilon }$ -正交分解

$v_n=v_{n,1}+v_{n,2}\in E^{-}\left(B_{\infty }+\epsilon \right)\oplus E^{+}\left(B_{\infty }+\epsilon \right),$

和

$q_{B_{\infty }+\epsilon }\left(v_n,v_n\right)=q_{B_{\infty }+\epsilon }\left(v_{n,1},v_{n,1}\right)+q_{B_{\infty }+\epsilon }\left(v_{n,2},v_{n,2}\right).$

则，由(1.9)可知

$-q_{B_{\infty }+\epsilon }\left(v_{n,1},v_{n,1}\right)+o\left(1\right)\ge q_{B_{\infty }+\epsilon }\left(v_{n,2},v_{n,2}\right).$

显然 $\Vert v_n\Vert =1$ ，则在E中可设 $v_n\rightharpoonup v$ ，因为 $\dim E^{-}\left(B_{\infty }+\epsilon \right)<+\infty$ ，则有 $v_{n,1}\to v_1$ ， $v_{n,2}\rightharpoonup v_2$ 。

断言 $v_1\ne 0$ ，如果 $v_1=0$ ，则 $v_{n,1}\to 0$ 在E中，以及 $q_{B_{\infty }+\epsilon }\left(v_{n,1},v_{n,1}\right)\to 0$ 。根据命题2.2(v)，存在常数c使得

$q_{B_{\infty }}\left(v_{n,2},v_{n,2}\right)\ge c{\left|\left|v_{n,2}\right|\right|}^2,$

这就意味着 $v_{n,2}\to v_2=0$ ， $v_n\to 0$ 。这是与 $\Vert v_n\Vert =1$ 矛盾的。因此， $v_1\ne 0$ 和 $v\ne 0$ 。由Fatou引理，设 $n\to \infty$ 可得

$\begin{array}{l}o\left(1\right)=\frac{I\left(u_n\right)}{{\left|\left|u_n\right|\right|}^4}\\ =\frac{q_{B_{\infty }}\left(u_n,u_n\right)-{\displaystyle \underset{{ℝ}^3}{\int }Q}\left(x\right)R\left(x,u_n\right)\text{d}x+\frac{b}{4}{\left({\displaystyle \underset{{ℝ}^3}{\int }{\left|\nabla u_n\right|}^2}\text{d}x\right)}^2}{{\left|\left|u_n\right|\right|}^4}\\ \ge o\left(1\right)+\frac{b}{4}{\left({\displaystyle {\int }_{{ℝ}^3}{\left|\nabla v\right|}^2}\text{d}x\right)}^2\\ >\text{0}\end{array}$ (1.10)

这是矛盾的，假设不成立，则引理得证。

引理3.2 设条件(V₁)，(V₂)，(Q)，以及(f₁)~(f₃)满足，则存在 $\epsilon ,\rho >0$ 以及 $B_0\left(x\right)\in \Lambda$ 使得

$\underset{E^{-}(B_0-\epsilon )\cap S_{\rho }}{\sup }I\left(u\right)<0.$

证明：由(f₃)可得

$f\left(x,u\right)=B_1\left(x\right)u+f_1\left(x,u\right)$

且

$f_1\left(x,u\right)=o\left(\left|u\right|\right)$

当 $\left|u\right|\to 0$ 几乎处处对 $x\in R^3$ 一致成立，设

$F_1\left(x,u\right)={\displaystyle {\int }_0^u{f}_1\left(x,t\right)\text{d}t.}$

固定 $s\in \left(2,6\right)$ ，对任意 $\epsilon >0$ ，存在常数 $C_{\epsilon }>0$ 使得

$f_1\left(x,u\right)\ge -\epsilon u-C_{\epsilon }{\left|u\right|}^{s-1},$

这就意味着

$F_1\left(x,u\right)\ge -\frac{\epsilon }{2}{\left|u\right|}^2-\frac{C_{\epsilon }}{s}{\left|u\right|}^s.$

由 $E\to L^s\left(R^3\right)$ 是连续嵌入，则存在依赖于s的正常数 $C_{\epsilon }^{*}$ ，使得

${\displaystyle {\int }_{R^3}{F}_1}\left(x,u\right)\text{d}x\ge -\frac{\epsilon }{2}{\left|u\right|}_2^2-C_{\epsilon }^{*}{\left|\left|u\right|\right|}^s.$

令 $B_0\left(x\right)=Q\left(x\right)B_1\left(x\right)$ ，则 $B_0\left(x\right)\in \Lambda$ 。注意到 $E^{-}\left(B_0-\epsilon \right)$ 为有限维，由命题2.2(v)，存在常数 $c_1$ ， $c_2$ 使得

$c_1{\left|\left|u\right|\right|}^2\le -q_{B_0-\epsilon }\left(u,u\right)\le c_2{\left|\left|u\right|\right|}^2.$

因为在有限维空间中所有范数都是等价的，则存在常数 $C>0$ 使得对任意 $u\in E^{-}\left(B_0-\epsilon \right)$ ，都有

$\begin{array}{l}I\left(u\right)=\frac{1}{2}{\left|\left|u^{+}\right|\right|}^2-\frac{1}{2}{\left|\left|u^{-}\right|\right|}^2+\frac{b}{4}{\left({\displaystyle {\int }_{{ℝ}^3}{\left|\nabla u\right|}^2}\text{d}x\right)}^2-{\displaystyle {\int }_{{ℝ}^3}Q}\left(x\right)F\left(x,u\right)\text{d}x\\ \le q_{B_0-\epsilon }\left(u,u\right)+\frac{b}{4}{\left|\nabla u\right|}_2^4+C_{\epsilon }^{*}{\left|\left|u\right|\right|}^s\\ \le -c_1{\left|\left|u\right|\right|}^2+C{\left|\left|u\right|\right|}^4+C_{\epsilon }^{*}{\left|\left|u\right|\right|}^s.\end{array}$ (1.11)

因此，通过选取足够小的 $\rho >0$ 可以使得引理成立。

定理1.1的证明 由引理3.1可知I是强制的，那么I是下方有界的；由引理3.2可知 ${\inf }_{E}I<0$ ，下需证I是弱下半连续的。令 $u_n\rightharpoonup u$ ，由 $q_{B_{\infty }}$ -分解，设

$\begin{array}{l}{u}_n=u_{n,1}+u_{n,2}\in E^{-}\left(B_{\infty }\right)\oplus E^{+}\left(B_{\infty }\right)\\ u_{n,1}\to u_1\text{,}{u}_{n,2}\rightharpoonup u_2.\end{array}$

根据Fatou引理，可得

$\underset{n\to \infty }{\lim \inf }{q}_{B_{\infty }}\left(u_{n,2},u_{n,2}\right)\ge q_{B_{\infty }}\left(u_2,u_2\right).$

以及

$\begin{array}{l}\underset{n\to \infty }{\lim \inf }I\left(u_n\right)=\underset{n\to \infty }{\lim \inf }\left\{q_{B_{\infty }}\left(u_{n,1},u_{n,1}\right)+q_{B_{\infty }}\left(u_{n,2},u_{n,2}\right)+\frac{b}{4}{\left({\displaystyle {\int }_{{ℝ}^3}{\left|\nabla u_n\right|}^2}dx\right)}^2+{\displaystyle {\int }_{{ℝ}^3}\left(\frac{1}{2}{B}_{\infty }{u}_n^2-Q\left(x\right)F\left(x,u_n\right)\right)\text{d}x}\right\}\\ \ge q_{B_{\infty }}\left(u_1,u_1\right)+q_{B_{\infty }}\left(u_2,u_2\right)+\frac{b}{4}{\left({\displaystyle {\int }_{{ℝ}^3}{\left|\nabla u\right|}^2}\text{d}x\right)}^2+{\displaystyle {\int }_{{ℝ}^3}\frac{1}{2}}{B}_{\infty }{u}^2-Q\left(x\right)F\left(x,u\right)\text{d}x\\ =I(\; u\; )\end{array}$

因此，I是弱下半连续的，由经典的变分原理可知，存在 $u\in E$ 使得

$I\left(u\right)={\inf }_{E}I<0.$

那么全局最小值点就是问题(1.1)的一个非平凡解。