一类酉Virasoro顶点算子代数扩张的Zhu代数

Zhu Algebras of a Class of Unitary Virasoro Vertex Operator Algebras Extension

摘要: 本文主要研究一类酉Virasoro顶点算子代数扩张的Zhu代数。Zhu在博士论文中证明了顶点算子代数的不可约模和顶点算子代数相应的Zhu代数的不可约模有一一对应关系，因此本文将通过其不可约模决定Zhu代数。

Abstract: In this paper, we mainly study the Zhu algebras of one-of-a-kind unitary Virasoro vertex operator algebras. Zhu proved in his doctoral thesis that there is a one-to-one correspondence between the irreducible modules of vertex operator algebras and the corresponding Zhu algebras of vertex operator algebras. Therefore, in this paper, Zhu algebras are determined by their irreducible mod-ules.

1. 引言

Frenkel，Lepowsky，Meurman三人在构造moonshine模 [1] 和Borcherd研究Kac-Moody代数与魔群的过程中 [2] 分别得到了顶点算子代数的概念。顶点算子代数的本质是物理上二维共形场论中的手性代数，后由Frenkel，Lepowsky，Meurman三人给出了精确的定义 [1] 。物理上会把弦对应为不可约模，而两个弦相互作用之后散射出一堆新的弦，数学上会对应为两个不可约模的表示作张量以后分解成不可约模的直和，这些弦出现的概率对应于顶点算子代数中的fusion rule。顶点算子代数在物理和数学中都有着很强的研究价值，特别是和李代数有着紧密的联系，学者们期望一对同构顶点算子代数及其表示是建立某类型共形场论所需要的基本对象，如Heisenberg顶点算子代数相应于物理中自由玻色子手性代数，Lattice顶点算子代数相应于环面上的自由玻色子手性代数，Virasoro顶点算子代数是相应于最小模型。

Zhu在研究顶点算子代数的模不变性时 [3] ，引入了相应于顶点算子代数V的一类结合代数 $A\left(V\right)$ ，并深入讨论了结合代数 $A\left(V\right)$ 的若干性质，特别是得到关于表示理论的一些结论，其中重要的结论如：顶点算子代数V的不可约模范畴和结合代数 $A\left(V\right)$ 模范畴等价，因此我们可以把VOA的表示转化为较为熟悉的结合代数的表示来研究。结合代数 $A\left(V\right)$ 的结构比V简单得多，例如，一对一对应定理表明，如果V是有理的，那么 $A\left(V\right)$ 是半单的。结合代数 $A\left(V\right)$ 在模不变性的证明中也起着至关重要的作用 [3] 。由于 $A\left(V\right)$ 在研究顶点算子代数理论中的重要作用，许多学者对结合代数 $A\left(V\right)$ 进行了进一步的研究和推广 [4] [5] [6] 。Virasoro顶点算子代数是一类简单且重要的顶点算子代数，起源于Virasoro无限维李代数的表示。许多学者进行了研究。Dong，Mason，Zhu研究了一类Virasoro离散序列 [7] ，特别是计算了酉Virasoro

代数 $L\left(\frac{1}{2},0\right)$ 不可约模和Zhu代数 $A\left(L\left(\frac{1}{2},0\right)\right)$ ，并证明了V的有理性。Wang在文章中 [8] ，证明了Virasoro顶点算子代数 $L\left(c,0\right)$ 是有理的当且仅当中心载荷c满足

$c=c_{p,q}=1-\frac{6{\left(p-q\right)}^2}{pq},$

这里 $p,q\in \left\{2,3,4,\cdots \right\}$ 且p和q互素，并且给出了 $L\left(c_{p,q},0\right)$ 的所有不可约模 $L\left(c_{p,q},h_{m,n}\right)$ ，这里

$h_{m,n}=\frac{{\left(np-mq\right)}^2-{\left(p-q\right)}^2}{4pq},0<m<q,0<n<p,$

也计算了Zhu代数 $A\left(L\left(c_{p.q},0\right)\right)$ 。Kitazume，Miyamoto，Yamada在考虑一类编码顶点算子代数 [9] ，得到了 $L\left(\frac{4}{5},0\right)\oplus L\left(\frac{4}{5},3\right)$ 的顶点算子代数结构和不可约模，计算了顶点算子代数 $L\left(\frac{4}{5},0\right)\oplus L\left(\frac{4}{5},3\right)$ 的Zhu代数，并证明了该顶点算子代数是有理的。对于更一般的Virasoro代数 $L\left(c,0\right)$ 的扩张，Lam，Yamauchi

等人考虑了酉Virasoro代数情形下的扩张 [10] ，给出了扩张顶点算子代数的结构，并分类了该顶点算子代数的不可约模。基于上述研究背景，为进一步探讨Virasoro顶点算子代数扩张的性质，本文将考虑一类酉Virasoro顶点算子代数扩张的Zhu代数。

主要思路是先证明Zhu代数A(V)是两部分多项式代数商代数的直和，其次，V的不可约模W分类已经知道 [10] ，着重考虑模W的最低权，并且酉Virasoro离散序列的融合律也已知 [11] ，通过融合律的计算来决定哪些权出现在Zhu代数的因子中，并且出现的重数是多少。

本文结构如下。第一节是引言，给出了研究背景和研究问题。第二节是预备知识，给出相关的定义和已有的结果。第三节是主要结论，给出一些新的结果。

2. 预备知识

定义2.1 设 $\mathbb{F}$ 是代数闭域，构造 $\mathbb{F}$ 上的无限维向量空间： $Vir={\oplus }_{n\in \mathbb{Z}}\mathbb{F}{L}_n\oplus \mathbb{F}C$ ，它有基： $L_n,C,n\in \mathbb{Z}$ ；定义向量空间 $Vir$ 中的双线性，反对称运算[,]，使得

$\left[L_m,L_n\right]=\left(m-n\right)L_{m+n}+\frac{m^3-m}{12}{\delta }_{m+n,0}C,\left[L_n,C\right]=0,m,n\in \mathbb{Z},$

则 $Vir$ 是域 $\mathbb{F}$ 上的一个无限维李代数，称为Virasoro代数。

给定复数c和h，李代数 $Vir$ 的Verma模 $M\left(c,h\right)$ 是一个由1生成的自由 $U\left(L_{-}\right)$ 模，使得 $L_{+}1=0,L_{0}1=h\cdot 1$ 和 $C\cdot 1=c\cdot 1$ 。 $M\left(c,h\right)$ 存在一个唯一的极大真子模称为 $J\left(c,h\right)$ 。用 $L\left(c,h\right)$ 表示 $M\left(c,h\right)/J\left(c,h\right)$ 。如果 $L_{+}v=0$ 且v是算子 $L_0$ 的特征向量，称 $v\in M\left(c,h\right)$ 是一个极大向量。例如， $L_{-1}1$ 是 $M\left(c,0\right)$ 一个极大向量。把 $M\left(c,0\right)/\langle L_{-1}1\rangle$ 记为 $M_c$ ，这里 $\langle L_{-1}1\rangle$ 是模 $M\left(c,0\right)$ 通过极大向量 $L_{-1}1$ 生成的子模。

定理2.2 $M_c$ 和 $L\left(c,0\right)$ 有自然的顶点算子代数结构，其中Virasoro元素 $\omega =L_{-2}1$ 。有时会用 $V_c$ 代替 $L\left(c,0\right)$ ，来强调其VOA结构。

令

$c_{p,q}=1-6\frac{\left(p-q\right)}{pq},p,q\in \left\{2,3,4,\cdots \right\}$ ,

$h_{m,n}=\frac{{\left(np-mq\right)}^2-{\left(p-q\right)}^2}{4pq}.$

最高权表示 $L\left(c,h\right)$ 是酉的当且仅当或者 $\left(c,h\right)$ 满足 $c\ge 1$ 和 $h\ge 0$ ，或者 $\left(c,h\right)$ 满足下列条件：

$c=c_m=1-\frac{6}{\left(m+2\right)\left(m+3\right)},\left(m=0,1,2,\cdots \right)$

$h=h_{r,s}^m=\frac{{\left[\left(m+3\right)r-\left(m+2\right)s\right]}^2-1}{4\left(m+2\right)\left(m+3\right)}\left(r,s\in \mathbb{N},1\le s\le r\le m+1\right),$

对上面离散列中的 $\left(c_m,h_{r,s}^m\right)$ 的酉表示 $L\left(c_m,h_{r,s}^m\right)$ ，称为Virasoro代数的离散列。

定义2.3 顶点算子代数V是有理的，如果V有有限多个不可约模并且任意 $\mathbb{N}$ 分次的V模是完全可约的。

定义2.4 对于顶点算子代数V，定义双线性运算 $\ast$ 如下。对任意的齐次元 $a\in V$ ，令

$a\ast b=re{s}_{z}Y\left(a,z\right)\frac{{\left(z+1\right)}^{\mathrm{deg}a}}{z}b,b\in V.$

用 $O\left(V\right)$ 表示下列元素的线性张成

$re{s}_{z}Y\left(a,z\right)\frac{{\left(z+1\right)}^{\mathrm{deg}a}}{z^2}b,b\in V.$

那么 $O\left(V\right)$ 关于运算*是作为V的双边理想，并有结合代数 $A\left(V\right)=V/O\left(V\right)$ 。

3. 主要结论

本节将要给出一类酉Virasoro代数扩张Zhu代数的具体结构。首先，由引理3.1，可以得到酉Virasoro代数扩张VOA的存在性。

引理3.1 [10] 令 $U^0=L\left(c_m,0\right)$ 和 $U^1=L\left(c_m,h^m\right)$ ，这里 $h^m$ 是指 $h_{r,s}^m$ 中的最大值 $h_{m+1,1}^m$ ，那么有

如果 $m\equiv 0或3\mathrm{mod}4$ ，那么 $U^0\oplus U^1$ 具有唯一的单VOA结构。

如果 $m\equiv 1或2\mathrm{mod}4$ ，那么 $U^0\oplus U^1$ 具有唯一的单SVOA结构。

令四元组 $\left(U,Y,1,\omega \right)$ 是顶点算子代数使得 $U=U^0\oplus U^1$ ，这里 $U^0$ 是同构于 $L\left(c_m,0\right)$ 的顶点算子代数并且带有相同的Virasoro元素 $\omega$ ，并且 $U^1$ 作为 $U^0$ 模是同构于 $L\left(c_m,h^m\right)$ ，这里 $m\equiv 0或3\mathrm{mod}4$ ，本文中如果不特别说明，那么m均为此条件。

参考 [9] 中类似的思路，利用Zhu代数的基本性质。通过 $O\left(U^0\right)$ 和 $O\left(U^1\right)$ 的定义，易知 $O\left(U\right)$ 包含二者。Zhu代数 $A\left(U^0\right)$ 是多项式代数 $ℂ\left[x\right]$ 的同态像 [7] ；

$\frac{ℂ\left[x\right]}{{\displaystyle \underset{h}{\prod }\left(x-h\right)}}\cong A\left(U^0\right);x^n\to {\left[\omega \right]}^n$ ，这里 $h\in \left\{h_{r,s}^m|1\le s\le r\le m+1\right\}$ ,

作为 $A\left(U^0\right)$ 的双模， $A\left(U^1\right)$ 是代数 $ℂ\left[x,y\right]$ 的同态像且 $A\left(U^0\right)$ 的左作用和右作用如下给出

$x^m{y}^n\to {\left[\omega \right]}^m*\left[q\right]**{\left[\omega \right]}^n,$

这里q是 $U^1$ 的最高权向量 [9] 。由于 $A\left(U^0\right)$ 在 $A\left(U^1\right)$ 上的左作用和右作用在模去 $O\left(U\right)$ 是等同的，且 $\left[\omega \right]$ 是Zhu代数 $A\left(U\right)$ 中的中心元，因此有

引理3.2 $A\left(U\right)$ 是可交换的并且 $A\left(U\right)$ 是

$\frac{ℂ\left[x\right]}{{\displaystyle \underset{h}{\prod }\left(x-h\right)}}\oplus \frac{ℂ\left[x\right]}{{\displaystyle \underset{h}{\prod }\left(x-h\right)}}$

的同态像。

为了方便叙述，这里给出一些记号。设 $m\equiv 0或3\mathrm{mod}4$ ，若 $m\equiv 0\mathrm{mod}4$ ，即 $m=4k,k\ge 1$ 时，记

${\Lambda }_1=\left\{h_{r,s}^m|r=\left(m+2\right)/2=2k+1,s=1,2,\cdots ,2k+1\right\}$ ,

${\Lambda }_2=\left\{h_{r,s}^m|r=1,3,\cdots ,2k-1,1\le s\le 2k+1,r\ge s\right\}\cup \left\{h_{r,s}^m|r=2k+3,\cdots ,4k+1,2k+2\le s\le 4k+1,r\ge s\right\},$

${\Lambda }_3=\left\{h_{m-r+2,s}^m|r=1,3,\cdots ,2k-1,1\le s\le 2k+1,r\ge s\right\}\cup \left\{h_{m-r+2,s}^m|r=2k+3,\cdots ,4k+1,2k+2\le s\le 4k+1,r\ge s\right\},$

$\Lambda =\left\{h_{r,s}^m|1\le s\le r\le m+1\right\}-{\Lambda }_1-{\Lambda }_2-{\Lambda }_3,$

同理若 $m\equiv 3\mathrm{mod}4$ ，即 $m=4k-1,k\ge 1$ ，记

${\Lambda }_1=\left\{h_{r,s}^m|s=\left(m+3\right)/2=2k+1,r=2k+1,2k+2,\cdots ,4k\right\}$ ,

${\Lambda }_2=\left\{h_{r,s}^m|1\le r\le 2k,s=1,\cdots ,2k-3,2k-1且r\ge s\right\}\cup \left\{h_{r,s}^m|2k+1\le r\le 4k,s=2k+3,\cdots ,4k-1且r\ge s\right\},$

${\Lambda }_3=\left\{h_{m-r+2,s}^m|1\le r\le 2k,s=1,\cdots ,2k-3,2k-1且r\ge s\right\}\cup \left\{h_{m-r+2,s}^m|2k+1\le r\le 4k,s=2k+3,\dots ,4k-1且r\ge s\right\},$

$\Lambda =\left\{h_{r,s}^m|1\le s\le r\le m+1\right\}-{\Lambda }_1-{\Lambda }_2-{\Lambda }_3.$

引理3.3和引理3.4来自文献 [10] ，我们将用新的记号重新叙述这两个引理。

引理3.3 任取不可约U模，作为 $U^0$ 模，必定同构于下列之一

$W\left(h_{r,s}^m\right)\cong L\left(c_m,h_{r,s}^m\right),h_{r,s}^m\in {\Lambda }_1,$

$W\left(h_{r,s}^m\right)\cong L\left(c_m,h_{r,s}^m\right)\oplus L\left(c_m,h_{r-m+2,s}^m\right),h_{r,s}^m\in {\Lambda }_2$ .

引理3.4 单顶点算子代数 $U\cong L\left(c_m,0\right)\oplus L\left(c_m,h^m\right)$ 有以下的不可约模的同构类，可以表示为

$W\left(h_{r,s}^m\right),h_{r,s}^m\in {\Lambda }_2,W\left(h_{r,s}^m,+\right),W\left(h_{r,s}^m,-\right),h_{r,s}^m\in {\Lambda }_1,$

如果 $m=4k-1,k\ge 1$ ，这些不可约模的个数为 $2k^2+4k$ ；如果 $m=4k,k\ge 1$ 不可约模的个数为 $2k^2+5k+2$ 。这些不可约U模，作为 $U^0$ 模同构于

$W\left(h_{r,s}^m\right)\cong L\left(c_m,h_{r,s}^m\right)\oplus L\left(c_m,h_{m-r+2,s}^m\right),h_{r,s}^m\in {\Lambda }_2,$

$W\left(h_{r,s}^m,+\right)\cong W\left(h_{r,s}^m,-\right)\cong L\left(c_m,h_{r,s}^m\right),h_{r,s}^m\in {\Lambda }_1.$

所有的预备工作都已完成，接下来给出本文的主要定理，这里采用了 [9] 中类似的想法。

定理3.5 顶点算子代数U的Zhu代数 $A\left(U\right)$ 同构于

$\frac{ℂ\left[x\right]}{{\displaystyle \underset{h_{r,s}^m\in {\Lambda }_1}{\prod }\left(x-h_{r,s}^m\right)}{\displaystyle \underset{h_{r,s}^m\in {\Lambda }_2}{\prod }\left(x-h_{r,s}^m\right)}}\oplus \frac{ℂ\left[x\right]}{{\displaystyle \underset{h_{r,s}^m\in {\Lambda }_1}{\prod }\left(x-h_{r,s}^m\right)}},$

$U^0$ 在 $A\left(U\right)$ 中的像 $U^0+O\left(U\right)/O\left(U\right)$ 同构于 $ℂ\left[x\right]/{\displaystyle \underset{h_{r,s}^m\in {\Lambda }_1}{\prod }\left(x-h_{r,s}^m\right)}{\displaystyle \underset{h_{r,s}^m\in {\Lambda }_2}{\prod }\left(x-h_{r,s}^m\right)}$ 并且 $U^1$ 在 $A\left(U\right)$ 中的像 $U^1+O\left(U\right)/O\left(U\right)$ 同构于 $ℂ\left[x\right]/{\displaystyle \underset{h_{r,s}^m\in {\Lambda }_1}{\prod }\left(x-h_{r,s}^m\right)}$ 。

证明：因为U的不可约模的同构类和Zhu代数 $A\left(U\right)$ 的不可约模的同构类是一一对应的。将通过上述引理决定 $A\left(U\right)$ 。事实上如果 $\phi :A\left(U\right)\to EndN$ 是一个结合代数的表示，那么存在一个U的模M，使得模M的最低权为h的空间 $M_h$ 等于N，并且作用如下给出： $\phi \left(\left[v\right]\right)w=o\left(v\right)w$ ，对于 $w\in N$ 和 $v\in U$ ，其中这里 $\left[v\right]$ 指的是v在 $A\left(U\right)=U/O\left(U\right)$ 中的像，并且 $o\left(v\right)=v_{wtv-1}$ 是 $z^{-wtv}$ 在 $Y\left(v,z\right)$ 中的系数。

令W是一个不可约U模，那么W中的最低权h属于 ${\Lambda }_1+{\Lambda }_2$ 。现在，我们将W视作 $U^0$ 模，那么 $A\left(U^0\right)$ 在 $W_h$ 上的作用是 $\left[\omega \right]$ 的作用，即乘以h，因此 $U^0$ 在 $A\left(U\right)$ 中的像为 $ℂ\left[x\right]/{\displaystyle \underset{h_{r,s}^m\in {\Lambda }_1}{\prod }\left(x-h_{r,s}^m\right)}{\displaystyle \underset{h_{r,s}^m\in {\Lambda }_2}{\prod }\left(x-h_{r,s}^m\right)}$ 。由

于 $U^1$ 在 $A\left(U\right)$ 中的像是由 $\left[q\right]$ 作为 $U^0+O\left(U\right)/O\left(U\right)$ 模生成的，所以 $U^1$ 在 $A\left(U\right)$ 中的像是 $U^0+O\left(U\right)/O\left(U\right)$ 的同态像。考虑 $h_{r,s}^m\in {\Lambda }_2$ ， $W=W\left(h_{r,s}^m\right)=W^1\oplus W^2$ ，这里 $W^1\cong L\left(c_m,h_{r,s}^m\right)$ ，并且 $W^2\cong L\left(c_m,h_{m-r+2,s}^m\right)$ ，我们对融合律进行计算，有 $Y^W\left(v,z\right)W^1\subset W^2\left[\left[z,z^{-1}\right]\right]$ ，对某个 $v\in U^1$ 。因为 $W^1$ 和 $W^2$ 的最低权是不同的，并且由于算子 $o\left(v\right)$ 保持权不变，这意味着 $o\left(v\right)w=0$ ，对所有权为 $h_{r,s}^m\in {\Lambda }_2$ 的齐

次元素 $w\in W^1$ 成立，因此在 $U^1+O\left(U\right)/O\left(U\right)$ 中，不含有同构于 $ℂ\left[x\right]/{\displaystyle \underset{h_{r,s}^m\in {\Lambda }_2}{\prod }\left(x-h_{r,s}^m\right)}$ 的因子。若 $h_{r,s}^m\in {\Lambda }_1$ ，两种不可约U模 $W\left(h_{r,s}^m,+\right)$ 和 $W\left(h_{r,s}^m,-\right)$ 作为 $U^0$ 模是同构的，由于 $U^1$ 的作用方式不同，因此同构于 $ℂ\left[x\right]/{\displaystyle \underset{h_{r,s}^m\in {\Lambda }_1}{\prod }\left(x-h_{r,s}^m\right)}$ 的因子必须出现在 $U^1+O\left(U\right)/O\left(U\right)$ 之中。

注记3.6 定理3.5是本文的主要结果，顶点算子代数的Zhu代数本是一个相对复杂的构造，而定理3。5说明顶点算子代数U的Zhu代数不过是一个多项式代数商代数的直和，并且商掉的理想也是被U清楚的所决定，因此对U模W的研究，可以转化为该多项式代数商代数的直和去研究，把问题进行了简化。

例3.7 术语如上，当 $m=3$ 时，有 $U^0\cong L\left(\frac{4}{5},0\right)$ ， $U^1\cong L\left(\frac{4}{5},3\right)$ ，因此， $U^0\oplus U^1\cong L\left(\frac{4}{5},0\right)\oplus L\left(\frac{4}{5},3\right)$ 。这时 $k=1$ ，根据记号中的描述有 ${\Lambda }_1=\left\{\frac{1}{15},\frac{2}{3}\right\}$ 和 ${\Lambda }_2=\left\{0,\frac{2}{5}\right\}$ 根据定理3.6有

$A\left(L\left(\frac{4}{5},0\right)\oplus L\left(\frac{4}{5},3\right)\right)\cong \frac{ℂ\left[x\right]}{\left(x\left(x-\frac{2}{5}\right)\left(x-\frac{1}{15}\right)\left(x-\frac{2}{3}\right)\right)}\oplus \frac{ℂ\left[x\right]}{\left(\left(x-\frac{1}{15}\right)\left(x-\frac{2}{3}\right)\right)},$

这与文献 [9] 中计算的特例一致。