极小模原理的一类三阶全对称张量不等式应用

Application of the Minimal Normal Tensors to a Class of Third-Order Fully Symmetric Tensor Inequalities

摘要: 本文研究了共形形式Φ消失的三阶全对称张量A_i,j,k的极小模张量，我们利用极小模的非负性证明了不等式。

Abstract: In this paper, we study the minimal norm tensors of the third order full symmetry tensors A_i,j,k, with vanishes from the conformal form Φ. We prove the inequality by using the non-negativity of the minimal norm.

1. 引言

张量在微分几何的研究中起着非常重要的作用。对张量的trace-free分解就是研究之一。J. T. Alexander在 [1] 中研究了张量分解存在的条件，H. Weyl在 [2] 中利用trace-free分解得到了正交群的表示理论。D. Krupka在 [3] [4] [5] [6] [7] 中对张量的trace-free分解做了很多研究，得到了(2,2)型和(1,3)型Riemann曲率张量的trace-free分解。J. Mikes，M. jukl，L. Juklová，L. Lakomá在 [8] [9] [10] [11] 中推广了D. Krupka的一些结果，应用在近复结构空间和一些特殊的微分算子。V. T. Toth，S. G. Turyshev在 [12] 中计算了三阶协变张量的trace-free张量和部分高阶trace-free的全对称协变张量。最近，郭震提出了极小模张量的研究，管山林和郭震合作在 [13] 中得到了三阶和四阶张量的极小模张量。

Blaschke张量A是单位球面中子流形的Möbius微分几何的一个基本不变量。王长平在 [14] 中利用光锥模型，引入了4个基本的Möbius不变量，即：Möbius度量g，Möbius第二基本形式B，Blaschke张量A和Möbius形式Φ。此后，Möbius子流形几何得到了许多研究，其中包含了Möbius形式消失的超曲面分类 [15] ，Möbius迷向子流形的分类 [16] ，具有常Möbius截面曲率的超曲面的分类 [17] 以及对Blaschke张量线性依赖于Möbius度量和Möbius第二基本形式超曲面的分类 [18] 。钟定兴和肖卫玲等人在 [19] 中研究了具有两个互异Blaschke特征值的超曲面与Blaschke等参超曲面的关系。李兴校和宋虹儒在 [20] 中对单位球面中具有3个不同Blaschke特征值的Blaschke平行子流形进行了完全的分类。郭震和李虹在 [21] 中得到了一般Riemann空间中子流形的四个共形不变量及其可积条件，并推导出外围空间有常截面曲率时的可积条件。Möbius形式消失和Blaschke平行子流形的分类都得到了研究，因此非常自然地想到研究一般Riemann空间中共形形式消失时Blaschke张量的不等式。本文从极小模张量出发，利用 [13] 三阶协变张量的极小模张量的一般公式，得到了三阶协变张量 $A_{ij,k}$ 在共形形式Φ消失时极小模表达式。因此，利用极小模的非负性，我们得到了以下定理：

定理1设n维黎曼流形M等距浸入到 $n+p$ 维具有常截面曲率c的黎曼流形 $N\left(c\right)$ 。若共形形式Φ消失，则Blaschke张量A满足

${\left|\nabla A\right|}^2\ge \frac{3}{4{\left(n-1\right)}^2\left(n+2\right)}\left|\nabla R\right|$ ，

其中R是关于度量 $g$ (见(2.8))的纯量曲率。

2. 预备知识

设n维黎曼流形M等距浸入到 $n+p$ 维度量为g的黎曼流形 $N\left(c\right)$ ，c为N的截面曲率。我们选择局部正交基 $e_1,\cdots ,e_{n+p}$ ，使得 $e_1,\cdots ,e_n$ 切于M， $e_{n+1},\cdots ,e_{n+p}$ 法于M。我们使用的指标范围如下：

$1\le A,B,C,\cdots \le n+p$ ， $1\le i,j,k,\cdots \le n$ ， $n+1\le \alpha ,\beta ,\gamma ,\cdots \le n+p$ .

我们约定重复的指标在各自取值范围内求和。设 ${\omega }_1,\cdots ,{\omega }_{n+p}$ 是 $e_1,\cdots ,e_{n+p}$ 的对偶标架场。于是，我们可以写出N的结构方程

$d{\omega }_{AB}={\omega }_B\wedge {\omega }_{BA},{\omega }_{AB}+{\omega }_{BA}=0$ , (2.1)

$d{\omega }_{AB}-{\omega }_{AC}\wedge {\omega }_{CB}=-\frac{1}{2}{K}_{ABCD}{\omega }_C\wedge {\omega }_D$ , (2.2)

其中 ${\omega }_{AB}$ 和 $K_{ABCD}$ 分别是由N的度量g诱导的联络分量和曲率分量。限制在M上，我们有

${\omega }_{\alpha }=0$ , (2.3)

${\omega }_j\wedge {\omega }_{j\alpha }=0$ , (2.4)

$d{\omega }_{ij}-{\omega }_{ik}\wedge {\omega }_{kj}=-\frac{1}{2}{K}_{ijkl}{\omega }_k\wedge {\omega }_l$ . (2.5)

由(2.4)，利用Cartan引理有

${\omega }_{i\alpha }=h_{ij}^{\alpha }{\omega }_j$ ， $h_{ij}^{\alpha }=h_{ji}^{\alpha }$ . (2.6)

我们定义1-形式 ${\theta }_i$ 和 ${\theta }_{i\alpha }$ 为

${\theta }_i=\rho {\omega }_i$ ， ${\theta }_{i\alpha }={\omega }_{i\alpha }-H^{\alpha }{\omega }_i$ (2.7)

其中 ${\rho }^2=\frac{n}{n-1}{\displaystyle {\sum }_{i,j,\alpha }{\left(h_{ij}^{\alpha }-H^{\alpha }{\delta }_{ij}\right)}^2}$ ， $H^{\alpha }={\displaystyle {\sum }_i{h}_{ii}^{\alpha }}$ 。

于是，我们可以定义

$g={\displaystyle {\sum }_i{\left({\theta }_i\right)}^2}={\rho }^{2}g$ , (2.8)

和

$B={\rho }^{-1}{\theta }_{i\alpha }{\theta }_i{e}_{\alpha }=B_{ij}^{\alpha }{\theta }_i{\theta }_j{\rho }^{-1}{e}_{\alpha }$ , (2.9)

其中

$B_{ij}^{\alpha }={\rho }^{-1}\left(h_{ij}^{\alpha }-H^{\alpha }{\delta }_{ij}\right)$ . (2.10)

我们称 $A=A_{ij}{\theta }_i{\theta }_j$ 为子流形M的Blaschke张量， $\Phi ={\rho }^{-1}{C}_i^{\alpha }{\theta }_i{e}_{\alpha }$ 为M的共形形式，其中

$A_{ij}=-{\rho }^{-2}\left[{\left(\log \rho \right)}_{i,j}-{\left(\log \rho \right)}_i{\left(\log \rho \right)}_j-H^{\alpha }{h}_{ij}^{\alpha }+\frac{1}{2}\left({\Vert \nabla \log \rho \Vert }^2+{\Vert H\Vert }^2-c\right){\delta }_{ij}\right]$ ， (2.11)

$C_i^{\alpha }=-{\rho }^{-2}\left[H_{,i}^{\alpha }+\left(h_{il}^{\alpha }-H^{\alpha }{\delta }_{il}\right)\left(\log \rho \right)\right]$ , (2.12)

其中 $\nabla$ 和 ${\left(,\right)}_{i,j}$ 分别表示关于g的梯度算子和二阶协变导数。

推论2.1 [14] 设 $M^n$ 是有常截面曲率c的黎曼流形 $N^{n+p}\left(c\right)$ 的黎曼子流形，则我们有

$R_{ijkl}=B_{ik}^{\alpha }{B}_{jl}^{\alpha }-B_{il}^{\alpha }{B}_{jk}^{\alpha }+A_{ik}{\delta }_{jl}+A_{jl}{\delta }_{ik}-A_{il}{\delta }_{jk}-A_{jk}{\delta }_{il}$ , (2.13)

$R_{\alpha \beta ij}^{\perp }=B_{ik}^{\alpha }{B}_{kj}^{\beta }-B_{ik}^{\beta }{B}_{kj}^{\alpha }$ , (2.14)

$B_{ij,k}^{\alpha }-B_{ik,j}^{\alpha }={\delta }_{ij}{C}_k^{\alpha }-{\delta }_{ik}{C}_j^{\alpha }$ , (2.15)

$C_{i,j}^{\alpha }-C_{j,i}^{\alpha }=B_{ik}^{\alpha }{A}_{kj}-B_{jk}^{\alpha }{A}_{ki}$ , (2.16)

$A_{ij,k}-A_{ik,j}=B_{ik}^{\alpha }{C}_j^{\alpha }-B_{ij}^{\alpha }{C}_k^{\alpha }$ . (2.17)

其中 $R_{ijkl}$ 和 $R_{\alpha \beta ij}^{\perp }$ 分别是关于度量 $g$ 的曲率张量分量和法曲率分量。

在(2.16)中令 $j=l$ 求和，我们有

$R_{ik}=-B_{ij}^{\alpha }{B}_{jk}^{\alpha }+\left(n-2\right)A_{ik}+tr\left(A\right){\delta }_{ik}$ , (2.18)

在(2.18)中令 $i=k$ 求和，有

$R=-{\displaystyle {\sum }_{i,k,\alpha }{\left(B_{ik}^{\alpha }\right)}^2}+2\left(n-1\right)tr\left(A\right)$ , (2.19)

注意到

${\displaystyle {\sum }_{i,j,\alpha }{\left(B_{ij}^{\alpha }\right)}^2}=\frac{n-1}{n}$ , (2.20)

于是，我们有

$tr\left(A\right)=\frac{1}{2\left(n-1\right)}\left(R-\frac{n-1}{n}\right)$ , (2.21)

下面我们定义极小模。

定义1设V是n维向量，T为定义在V上的三阶全对称张量。若对于任意 $x\in ℝ$ ，三阶张量 $F\left(x\right)$ 满足如下关系

$F_{ijk}\left(x\right)=T_{ijk}+x\left(T_i{\delta }_{jk}+T_j{\delta }_{ik}+T_k{\delta }_{ij}\right)$ , (2.22)

其中 $T_{ijk}$ 和 $F_{ijk}\left(x\right)$ 分别表示张量T和 $F\left(x\right)$ 的分量， $T_i={\displaystyle {\sum }_{j=k=1}{T}_{ijk}}$ .

定义2若对于任意的 $x\in ℝ$ ，函数 $f\left(x\right)$ 满足

$f\left(x\right)={\Vert F\left(x\right)\Vert }^2={\displaystyle {\sum }_{i,j,k}{F}_{ijk}^2\left(x\right)}$ , (2.23)

则称 $f\left(x\right)$ 为 $F\left(x\right)$ 的模函数。

定义3若存在 $x_0\in ℝ$ ，使得

$f\left(x_0\right)=\underset{x\in ℝ}{\min }f\left(x\right)$ , (2.24)

则称 $F\left(x_0\right)$ 是T的极小模张量。

3. 定理1的证明

由(2.22)和(2.23)，我们有

$f\left(x\right)={\displaystyle {\sum }_{i,j,k}{F}_{ijk}^2}={\displaystyle {\sum }_{i,j,k}{T}_{ijk}^2}+3\left[\left(n+2\right)x^2+2x\right]{\displaystyle {\sum }_i{T}_i^2}$ , (3.1)

从(3.1)可以看出 $f\left(x\right)$ 在 $x\in ℝ$ 有极小值。

当 $T_i=0$ 时， ${\Vert F\Vert }^2={\displaystyle {\sum }_{i,j,k}{T}_{ijk}^2}$ 。当 $T_i\ne 0$ 时， $\frac{\text{d}f}{\text{d}x}=6\left[\left(n+2\right)x+1\right]{\displaystyle \underset{i}{\sum }{T}_i^2}$ ，令 $\frac{\text{d}f}{\text{d}x}=0$ ，我们得到 $\left(n+2\right)x+1=0$ ，即 $x=-\frac{1}{n+2}$ 是 $f\left(x\right)$ 的唯一的极小值点。于是，极小模为

${\Vert F\Vert }^2={\displaystyle {\sum }_{i,j,k}{T}_{ijk}^2}-\frac{3}{n+2}{\displaystyle {\sum }_i{T}_i^2}$ . (3.2)

若 $\Phi =0$ ，由(2.17)我们有 $A_{ij,k}=A_{ik,j}$ ，即三阶张量 $A_{ij,k}$ 是全对称的。我们令 $T_{ijk}=A_{ij,k}$ ， $T_i={\displaystyle {\sum }_j{A}_{ij,j}}={\displaystyle {\sum }_j{A}_{jj,i}}={\left[tr\left(A\right)\right]}_i$ 。通过(2.21)，我们有

${\left[tr\left(A\right)\right]}_{,i}={\left[\frac{1}{2\left(n-1\right)}\left(R+\frac{n-1}{n}\right)\right]}_{,i}=\frac{1}{2\left(n-1\right)}{R}_{,i}$ . (3.3)

带入(3.2)，我们有

${\Vert F\Vert }^2={\displaystyle {\sum }_{i,j,k}{A}_{ij,k}^2}-\frac{3}{4{\left(n-1\right)}^2\left(n+2\right)}{\displaystyle {\sum }_i{R}_{,i}^2}$ ,

由极小模的非负性，即： ${\Vert F\Vert }^2\ge 0$ 。于是，我们有

${\displaystyle {\sum }_{i,j,k}{A}_{ij,k}^2}-\frac{3}{4{\left(n-1\right)}^2\left(n+2\right)}{\displaystyle {\sum }_i{R}_{,i}^2}\ge 0$ ，

即

${\Vert \nabla A\Vert }^2\ge \frac{3}{4{\left(n-1\right)}^2\left(n+2\right)}{\Vert \nabla R\Vert }^2$ .

这就完成了定理的证明。

本文优点

在 [13] 中给出了极小模原理，但其应用很少。本文给出了一类三阶全对称张量的一个应用，证明了一般Riemann空间中共形形式消失时Blaschke张量的一个不等式估计。

展望

由于本文用极小模原理只证明了一般Riemann空间中共形形式消失时Blaschke张量的不等式，没有给出不等式成立的条件。