速度有旋的无磁阻抗轴对称Hall-MHD系统的正则性判别准则

doi:10.12677/PM.2024.142076

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速度有旋的无磁阻抗轴对称Hall-MHD系统的正则性判别准则
On Regularity Criteria of Non-Resistive Axi-ally Symmetric Hall-MHD System with a Non-Vanishing Swirl Component of Velocity

DOI: 10.12677/PM.2024.142076, PDF, HTML, XML, 科研立项经费支持
作者: 杨美鲜：南京信息工程大学数学与统计学院，江苏南京
关键词: 无磁阻抗；Hall-MHD系统；轴对称；正则性判别准则；Non-Resistive； Hall-MHD System； Axially Symmetric； Regularity Criteria

摘要: 本文研究速度有旋的无磁阻抗轴对称Hall-MHD系统的正则性判别准则。我们证明了：如果磁场的旋度分量满足一个Beale-Kato-Majda型准则，且速度的水平旋度分量满足一个Prodi-Serrin型准则时，系统的强解可以光滑地延拓到可能的爆破时间之外。

Abstract: In this paper, we consider the regularity criteria for the non-resistive axially symmetric Hall-MHD system whose swirl component of velocity is non-trivial. We show that if the swirl component of the magnetic field satisfies a Beale-Kato-Majda-type criterion, and the swirl component of the velocity satisfies a Prodi-Serrin-type criterion, then the strong solution can smoothly extend beyond a possible blow-up time.

文章引用：杨美鲜. 速度有旋的无磁阻抗轴对称Hall-MHD系统的正则性判别准则[J]. 理论数学, 2024, 14(2): 783-798. https://doi.org/10.12677/PM.2024.142076

1. 引言

1.1. 研究背景与意义

磁流体动力学(简称MHD)主要研究等离子体等导流体在电磁场作用下的运动规律，其理论广泛应用于航空航天等工程领域中。与经典的MHD系统相比，Hall-MHD系统可以用于描述等离子体、恒星形成、太阳耀斑、中子星中的磁重联现象(见 [1] [2] [3] )。但Hall效应项是一个包含未知函数二阶导数的非线性项，这让Hall-MHD系统比经典的MHD系统更加复杂。

近年来，学者们对Hall-MHD系统的适定性和正则性做了很多研究。值得一提的是，Chae-Degond-Liu [4] 建立了弱解的全局存在性和Sobolev空间 $H^{s} (ℝ^{3}) (s > 5 / 2)$ 的光滑解的局部适定性。随后，Chae-Wan-Wu [5] 证明了具有分数阶磁扩散的Hall-MHD方程的局部适性。Benvenutti-Ferreira [6] 证明了 $H^{2}$ 强解的局部适定性。Dai [7] 改进了 $H^{s} (ℝ^{n}) (s > n / 2)$ 空间的局部适定性理论。更多大初值解的正则性准则，以及小初值解的全局适定性和渐近性在 [8] [9] [10] [11] [12] 中可以找到。最近，Li-Pan [13] 证明了一类无磁阻抗和热扩散率的三维轴对称MHD-Boussinesq系统，如果其磁场只包含水平旋度分量，则三维MHD-Boussinesq系统的轴对称强解可以光滑地延拓到可能的爆破时间 $T_{*}$ 之外，当且仅当速度的水平旋度分量满足Prodi-Serrin型准则：

$\int_{0}^{T_{*}} {‖ \frac{u_{θ}}{r^{s}} (t, \cdot) ‖}_{L^{p}}^{q} d t < \infty, 其中 s \geq 0, \frac{3}{p} + \frac{2}{q} \leq 1 + s, \frac{3}{1 + s} < p \leq \infty .$

本文旨在运用类似的方法，得出无磁阻抗速度有旋的Hall-MHD系统在 $H^{m} (ℝ^{3}) (m \geq 3)$ 空间的解的正则性判别准则。我们希望通过探索这些问题，为现代偏微分方程理论注入新的思维和元素，同时加深我们对流体动力学中物理现象的理解，为流体力学、实验物理学等领域建立严格的理论数学基础。

1.2. 主要工作

本文考虑三维无磁阻抗的Hall-MHD系统：

${\begin{array}{l} \partial_{t} u + u \cdot \nabla u + \nabla p - μ Δ u = \frac{1}{μ_{0}} h \cdot \nabla h, \\ \partial_{t} h + u \cdot \nabla h + ν_{0} \nabla \times [(\nabla \times h) \times h] = h \cdot \nabla u, \\ \nabla \cdot u = 0, \\ \nabla \cdot h = 0, \end{array}$ (1.1)

它描述了在磁场洛伦兹力和霍尔效应的双重作用下，不可压缩磁流体的运动规律以及相应磁场的变化规律。

其中 $u : ℝ^{3} \to ℝ^{3}$ 代表速度， $h : ℝ^{3} \to ℝ^{3}$ 代表磁场， $p : ℝ^{3} \to ℝ$ 代表压力。 $μ, μ_{0}, ν_{0} > 0$ 分别表示恒定粘度、真空渗透率和霍尔效应的比值。不失一般性，我们在本文中假设 $μ = μ_{0} = ν_{0} = 1$ 。

大部分的证明是在柱坐标 $(r, θ, z)$ 中进行的。对于 $x = (x_{1}, x_{2}, x_{3}) \in ℝ^{3}$ ，令：

$r = \sqrt{x_{1}^{2} + x_{2}^{2}}, θ = \arctan \frac{x_{2}}{x_{1}}, z = x_{3} .$

当

${\begin{array}{l} u = u_{r} (t, r, z) e_{r} + u_{θ} (t, r, z) e_{θ} + u_{z} (t, r, z) e_{z}, \\ h = h_{θ} (t, r, z) e_{θ}, \end{array}$

满足系统(1.1)时，我们称解 $(u, h)$ 为系统(1.1)的一个轴对称解。其中，基向量 $e_{r}, e_{θ}, e_{z}$ 为

$e_{r} = (\frac{x_{1}}{r}, \frac{x_{2}}{r}, 0), e_{θ} = (- \frac{x_{2}}{r}, \frac{x_{1}}{r}, 0), e_{z} = (0, 0, 1) .$

则系统(1.1)可重写为：

${\begin{array}{l} \partial_{t} u_{r} + (u_{r} \partial_{r} + u_{z} \partial_{z}) u_{r} - \frac{u_{θ}^{2}}{r} + \partial_{r} p = (Δ - \frac{1}{r^{2}}) u_{r} - \frac{h_{θ}^{2}}{r}, \\ \partial_{t} u_{θ} + (u_{r} \partial_{r} + u_{z} \partial_{z}) u_{θ} + \frac{u_{r} u_{θ}}{r} = (Δ - \frac{1}{r^{2}}) u_{θ}, \\ \partial_{t} u_{z} + (u_{r} \partial_{r} + u_{z} \partial_{z}) u_{z} + \partial_{z} p = Δ u_{z}, \\ \partial_{t} h_{θ} + (u_{r} \partial_{r} + u_{z} \partial_{z}) h_{θ} - \frac{2}{r} h_{θ} \partial_{z} h_{θ} = \frac{h_{θ} u_{r}}{r}, \\ \partial_{r} u_{r} + \frac{u_{r}}{r} + \partial_{z} u_{z} = 0. \end{array}$ (1.2)

轴对称速度 $u$ 的涡度 $w$ 为：

$w = \nabla \times u = - \partial_{z} u_{θ} \cdot e_{r} + (- \partial_{r} u_{z} + \partial_{z} u_{r}) \cdot e_{θ} + (\frac{u_{θ}}{r} + \partial_{r} u_{θ}) \cdot e_{z},$

其中

$w_{r} = - \partial_{z} u_{θ}, w_{θ} = \partial_{z} u_{r} - \partial_{r} u_{z}, w_{z} = \partial_{r} u_{θ} + \frac{u_{θ}}{r} .$

它们满足：

${\begin{array}{l} \partial_{t} w_{θ} - \frac{u_{r}}{r} w_{θ} + (u_{z} \partial_{z} + u_{r} \partial_{r}) w_{θ} - \frac{2 u_{θ}}{r} \partial_{z} u_{θ} = - \frac{1}{r} \partial_{z} {(h_{θ})}^{2} + (Δ - \frac{1}{r^{2}}) w_{θ}, \\ \partial_{t} w_{r} + (u_{r} \partial_{r} + u_{z} \partial_{z}) w_{r} = (w_{z} \partial_{z} + w_{r} \partial_{r}) u_{r} + (Δ - \frac{1}{r^{2}}) w_{r}, \\ \partial_{t} w_{z} + (u_{r} \partial_{r} + u_{z} \partial_{z}) w_{z} = Δ w_{z} + (w_{r} \partial_{r} + w_{z} \partial_{z}) u_{z} . \end{array}$ (1.3)

下面定义四个在证明主要定理时用到的量：

$H : = \frac{h_{θ}}{r}, Ω : = \frac{w_{θ}}{r}, J : = \frac{w_{r}}{r}, Γ = : r u_{θ} .$

直接计算可知，它们满足如下方程组：

${\begin{array}{l} \partial_{t} Ω + u \cdot \nabla Ω = \frac{\partial_{z} u_{θ}^{2}}{r^{2}} - \partial_{z} H^{2} + (Δ + \frac{2}{r} \partial_{r}) Ω, \\ \partial_{t} J + (u_{r} \partial_{r} + u_{z} \partial_{z}) J = (Δ + \frac{2}{r} \partial_{r}) J + (w_{r} \partial_{r} + w_{z} \partial_{z}) (\frac{u_{r}}{r}), \\ \partial_{t} H + (u_{z} \partial_{z} + u_{r} \partial_{r}) H = \partial_{z} H^{2}, \\ \partial_{t} Γ + (u_{r} \partial_{r} + u_{z} \partial_{z}) Γ = Δ Γ - \frac{2}{r} \partial_{r} Γ . \end{array}$ (1.4)

本文所使用的符号和约定如下： $≲$ 等价于 $C \leq$ ，其中C是任意常数。我们用 $C_{a, b, c, \dots}$ 来表示一个与 $a, b, c, \dots$ 相关的正常数。对于 $l_{1}, l_{2}, l_{3} \in ℕ \cup {0}$ ，我们规定 $\nabla^{L} = \partial_{x_{1}}^{l_{1}} \partial_{x_{2}}^{l_{2}} \partial_{x_{3}}^{l_{3}}$ ，其中 $| L | = l_{1} + l_{2} + l_{3}$ ，为一个多重指标。 $L^{p}$ 代表一般的带范数的勒贝格空间。 $W^{k, p}$ 表示经典的Sobolev空间， ${\dot{W}}^{k, p}$ 表示一般的齐次Sobolev空间，它们对应的范数和半范数如下：

$\begin{array}{l} {‖ f ‖}_{W^{k, p}} : = \sum_{0 \leq | L | \leq k} {‖ \nabla^{L} f ‖}_{L^{p}}, \\ {| f |}_{{\dot{W}}^{k, p}} : = \sum_{| L | = k} {‖ \nabla^{L} f ‖}_{L^{p}}, \end{array}$

其中， $1 \leq p \leq \infty$ 且 $k \in ℕ$ 。当 $p = 2$ 时，我们分别用 $H^{k}$ 和 ${\dot{H}}^{k}$ 来代表 $W^{k, p}$ 和 ${\dot{W}}^{k, p}$ 。对于任意Banach空间X，如果 ${‖ v (t, \cdot) ‖}_{X} \in L^{p} (0, T)$ ，那么我们说 $v : [0, T] \times ℝ^{3} \to ℝ$ 属于Banach空间 $L^{p} (0, T; X)$ 。

同时，将 $L^{p} (0, T; X)$ 简记为 $L_{T}^{p} X$ 。若一个函数f属于两个Banach空间 $X_{1}$ 与 $X_{2}$ 的交集，则将f的Yudovich-型范数表示为：

${‖ f ‖}_{X_{1} \cap X_{2}} : = {‖ f ‖}_{X_{1}} + {‖ f ‖}_{X_{2}} .$

本文的主要结论如下：

定理1.1对任意 $0 < T_{*} < \infty$ ，令 $(u, h) \in C ([0, T_{*}]; H^{m} (ℝ^{3})) (m \geq 3)$ 为系统(1.1)的强解，假设初始值 $(u_{0}, h_{0}, \frac{h_{0} \cdot e_{θ}}{r}) \in H^{m} (ℝ^{3})$ 是轴对称的，且满足 $\nabla \cdot u_{0} = 0$ 。如果

$\int_{0}^{T_{*}} {‖ \frac{\partial_{z} h_{θ}}{r} (t, \cdot) ‖}_{L^{\infty}} d t + \int_{0}^{T_{*}} {‖ \frac{u_{θ}}{r^{s}} (t, \cdot) ‖}_{L^{p}}^{q} d t < \infty,$

那么 $(u, h) (t, \cdot)$ 在 $T_{*}$ 时刻之前一直属于 $H^{m} (ℝ^{3})$ ， $\frac{3}{p} + \frac{2}{q} \leq 1 + s$ ， $p > \frac{3}{1 + s}$ 。

推论1.2对任意 $0 < T_{*} < \infty$ ，令 $(u, h) \in C ([0, T_{*}]; H^{m} (ℝ^{3})) (m \geq 3)$ 为系统(1.1)的强解，假设初始值 $(u_{0}, h_{0}, \frac{h_{0} \cdot e_{θ}}{r}) \in H^{m} (ℝ^{3})$ 是轴对称的，且满足 $\nabla \cdot u_{0} = 0$ 。如果

$\int_{0}^{T_{*}} {‖ \frac{\partial_{z} h_{θ}}{r} (t, \cdot) ‖}_{L^{\infty}} d t + \int_{0}^{T_{*}} {‖ \nabla \times (u_{θ} e_{θ}) ‖}_{L^{p}}^{q} d t < \infty,$

那么 $(u, h) (t, \cdot)$ 在 $T_{*}$ 时刻之前一直属于 $H^{m} (ℝ^{3})$ ，其中 $\frac{3}{p} + \frac{2}{q} \leq 2$ ， $p > \frac{3}{2}$ 。

1.3. 创新点与拓展的方向

创新点：关于Hall-MHD系统的研究结果有很多，然而无磁阻抗的Hall-MHD系统研究结果几乎没有。其主要原因是：对于无磁阻抗的Hall-MHD系统，不能像处理有磁阻尼的Hall-MHD系统那样利用耗散项 $- ν Δ h$ 控制高阶非线性霍尔效应项 $ν_{0} \nabla \times [(\nabla \times h) \times h]$ 。即使是速度场 $u \equiv 0$ ，系统(1.4)也会在有限时间内爆破。为了解决这一困难，我们在之前研究无磁阻抗无旋系统的论文 [14] [15] 中，引入了磁场量相关量 $H : = h_{θ} / r$ 与速度场相关量 $Ω : = w_{θ} / r$ ，并对 $(H, Ω)$ 所组成的系统进行能量估计。然而，对于无磁阻抗有旋的Hall-MHD系统，其初始速度的旋度分量不为0，从而 $w_{r} = - \partial_{z} u_{θ}$ 与 $w_{z} = \partial_{r} u_{θ} + u_{θ} / r$ 也不为零，因此不能像无旋系统那样仅利用 $(H, Ω)$ 的系统进行能量估计。为此，本文额外引入速度场相关量 $J : = w_{r} / r$ ，对 $(H, Ω, J)$ 所组成的系统进行能量估计，最终给出系统(1.4)的解的正则性判别准则。

拓展的方向：本文给出了无磁阻抗的Hall-MHD系统在Sobolev空间 $H^{m} (ℝ^{3}) (m \geq 3)$ 的正则性判别条件，但Hall-MHD系统在Sobolev空间 $H^{m} (ℝ^{3}) (m \geq 3)$ 的全局适定性问题仍未解决。此外，无磁阻抗的Hall-MHD系统在更低阶的Sobolev空间中的正则性判别准则，也是我们需要考虑的问题。

接下来，将在第2节中介绍一些必要的引理，主要结果的证明将在第3节和第4节中进行。

2. 准备工作

在本节中，我们将列出一些基本估计和不等式，它们将在本文剩余部分中经常用到。第一个是Sobolev-Hardy不等式：

引理2.1 (Sobolev-Hardy不等式) 设 $ℝ^{n} = ℝ^{k} \times ℝ^{n - k}$ 且 $2 \leq k \leq n$ ，记 $x = (x^{'}, z) \in ℝ^{k} \times ℝ^{n - k}$ 。对任意 $θ < k$ ， $1 < q < n$ ， $0 \leq θ \leq q$ ，令 $q^{*} \in [q, \frac{q (n - θ)}{n - q}]$ 。则存在一个正常数 $C = C (θ, q, n, k)$ ，使得对所有 $f \in C_{0}^{\infty} (ℝ^{n})$ ，有

$\int_{ℝ^{n}} \frac{| f |^{q^{*}}}{{| x^{'} |}^{θ}} d x \leq C {‖ f ‖}_{L^{q}}^{\frac{n - θ}{q^{*}} - \frac{n}{q} + 1} {‖ \nabla f ‖}_{L^{q}}^{\frac{n}{q^{*}} - \frac{n - θ}{q^{*}}} .$

特别地，令 $n = 3$ ， $k = 2$ ， $q = 2$ ， $q^{*} \in [2, 2 (3 - θ)]$ ，并假设 $0 \leq θ < 2$ ， $r = \sqrt{x_{1}^{2} + x_{2}^{2}}$ 。那么存在一个常数 $C = C (q^{*}, θ)$ 使得对所有 $f \in C_{0}^{\infty} (ℝ^{n})$ ，有

${‖ \frac{f}{r^{\frac{θ}{q^{*}}}} ‖}_{L^{q^{*}}} \leq C {‖ f ‖}_{L^{2}}^{\frac{3 - θ}{q^{*}} - \frac{1}{2}} {‖ \nabla f ‖}_{L^{2}}^{\frac{3}{2} - \frac{3 - θ}{q^{*}}} .$

这里我们省略过程，感兴趣的读者参考 [16] 的引理2.4。接下来，我们说 $\nabla \frac{u_{r}}{r}$ 可以由 $\frac{w_{θ}}{r}$ 的 $L^{p}$ 边界控制。这个证明可以在 [14] 中的命题2.5找到。

引理2.2 定义 $Ω : = \frac{w_{θ}}{r}$ ，对任意 $1 < p < + \infty$ ，存在一个绝对常数 $C_{p} > 0$ ，使得：

${‖ \nabla \frac{u_{r}}{r} ‖}_{L^{p}} \leq C_{p} {‖ Ω ‖}_{L^{p}} .$

下面是著名的Gagliardo-Nirenberg不等式(参见 [17] )：

引理2.3 (Gagliardo-Nirenberg) 固定 $q, r \in [1, \infty]$ ，同时 $j, m \in ℕ \cup {0}$ ， $j \leq m$ 。假设 $f \in L^{q} \cap {\dot{W}}^{m, r}$ ，且存在一个实数 $α \in [j / m, 1]$ 使得

$\frac{1}{p} = \frac{j}{3} + α (\frac{1}{r} - \frac{m}{3}) + \frac{1 - α}{q} .$

那么 $f \in {\dot{W}}^{j, p}$ 并且存在一个常数 $C > 0$ 使得

${‖ \nabla^{j} f ‖}_{L^{p}} \leq C {‖ \nabla^{m} f ‖}_{L^{r}}^{α} {‖ f ‖}_{L^{q}}^{1 - α} .$

以下两种情况除外：

1) $j = 0$ ， $m r < d$ 且 $q = \infty$ ；(这种情况下需要假设，要么在无穷远处 $u \to 0$ ，要么 $u \in L^{s}$ 对于 $s < \infty$ 。)

2) $1 < r < \infty$ 且 $m - j - 3 / r \in ℕ$ 。(这种情况下需要另外假设 $α < 1$ 。)

下面的结果可以由Biot-Savart定律和Calderon-Zygmund奇异积分算子的 $L^{p}$ 有界性得到，在 [18] 中有详细的证明。

引理2.4 令 $u = u_{r} e_{r} + u_{θ} e_{θ} + u_{z} e_{z}$ 为一个轴对称的散度为零的向量场， $w = \nabla \times u = w_{r} e_{r} + w_{θ} e_{θ} + w_{z} e_{z}$ ， $b = u_{r} e_{r} + u_{z} e_{z}$ ，对任意 $1 < p < \infty$ ，我们有

${‖ \nabla b ‖}_{L^{p}} \leq C_{p} {‖ w_{θ} ‖}_{L^{p}}, {‖ \nabla^{2} b ‖}_{L^{p}} \leq C_{p} ({‖ \nabla w_{θ} ‖}_{L^{p}} + {‖ \frac{w_{θ}}{r} ‖}_{L^{p}})$

以及

${‖ \nabla u ‖}_{L^{p}} \leq C_{p} {‖ w ‖}_{L^{p}}, {‖ \nabla^{2} u ‖}_{L^{p}} \leq C_{p} {‖ \nabla w ‖}_{L^{p}} .$

下面我们将介绍一个在研究Navier-Stokes方程中经常用到的时空插值。它通过在 $L^{2}$ 和 $L^{6}$ 之间插值 $L^{p} (2 \leq p \leq 6)$ 范数得到，证明过程可参考 [13] 引理2.2。

引理2.5 如果 $u \in L^{\infty} (0, T; L^{2} (ℝ^{3})) \cap L^{2} (0, T; {\dot{H}}^{1} (ℝ^{3}))$ ，那么 $u \in L^{q} (0, T; L^{p} (ℝ^{3}))$ ，其中 $\frac{2}{q} + \frac{3}{p} \geq \frac{3}{2}$ ， $2 \leq p \leq 6$ 。

下面的引理陈述了 $L_{T}^{r} L^{p}$ -型空间中热流的标准最大正则性。可以在 [19] 的定理7.3中找到证明。

引理2.6 (热流的最大 $L_{T}^{q} L^{p}$ 正则性) 算子 $A$ 定义为：

$A : f \mapsto \int_{0}^{t} \nabla^{2} e^{(t - s) Δ} f (s, \cdot) d s .$

则对所有 $T \in (0, \infty]$ ， $1 < p$ 且 $q < \infty$ ， $L^{q} (0, T; L^{p} (ℝ^{d}))$ 到它本身是有界的，并且有：

${‖ A f ‖}_{L^{q} (0, T; L^{p} (ℝ^{d}))} \leq C {‖ f ‖}_{L^{q} (0, T; L^{p} (ℝ^{d}))} .$ (2.1)

最后，我们聚焦下列三重线性形式的估计，这在最后的证明中将经常用到。参阅 [15] 了解引理的证明过程。

引理2.7 令 $m \in ℕ$ ，且 $m \geq 2$ ， $f, g, k \in C_{0}^{\infty} (ℝ^{3})$ ，那么有下面估计式：

$| \int_{ℝ^{3}} [\nabla^{m}, f \cdot \nabla] g \nabla^{m} k d x | \leq C {‖ \nabla^{m} (f, g, k) ‖}_{L^{2}}^{2} {‖ \nabla (f, g) ‖}_{L^{\infty}} .$

3. 定理1.1的证明

我们将定理1.1的证明分解为以下步骤。首先，由引理3.1，我们得到了 $L^{p}$ 空间中 $H$ 的守恒定律。其次，我们需要分别处理 $Ω$ 和J的方程，并结合两个方程来估计组合量 $(Ω, J)$ 。下一步是做 $\frac{u_{r}}{r}$ 的 $L_{t}^{1} L^{\infty}$ 估计。接下来，估计 $h_{θ}$ 和 $w$ 。由涡度 $w$ 的 $L_{T_{*}}^{\infty} L^{2}$ 估计和引理2.4的结果 ${‖ \nabla u ‖}_{L^{p}} \leq C_{p} {‖ w ‖}_{L^{p}}$ ，我们可以得到 $u$ 的 $L_{T_{*}}^{1} L^{\infty}$ 估计。然后得到 $\nabla h$ 和 $\nabla H$ 的 $L_{T_{*}}^{\infty} L^{\infty}$ 有界性。最后， $(u, h, H)$ 的高阶估计完成了整个证明。

3.1. 基本能量估计

下面的引理是 [13] 的引理3.1和 [15] 的引理3.1的直接推论：

引理3.1 (基本能量估计) 令 $(u, h)$ 为系统(1.2)的一个光滑解，我们有：

1) 对任意 $p \in [1, \infty]$ ， $t \in ℝ_{+}$ ，

$\begin{array}{l} {‖ H (t, \cdot) ‖}_{L^{p}} = {‖ H_{0} ‖}_{L^{p}}; \\ {‖ Γ (t, \cdot) ‖}_{L^{p}} \leq {‖ Γ_{0} ‖}_{L^{p}} . \end{array}$ (3.1)

2) 对于 $u_{0}, h_{0} \in L^{2}$ 且 $t \in ℝ_{+}$ ，我们有

${‖ (u (t, \cdot), h (t, \cdot)) ‖}_{L^{2}}^{2} + \int_{0}^{t} {‖ \nabla u (s, \cdot) ‖}_{L^{2}}^{2} d s \leq C_{0} {(1 + t)}^{2},$ (3.2)

其中 $C_{0}$ 只依赖于 ${‖ (u_{0}, h_{0}) ‖}_{L^{2}}$ 。

3.2. $(Ω, J)$ 的 $L_{t}^{\infty} L^{2} \cap L_{t}^{2} {\dot{H}}^{1}$ 估计与 $\frac{u_{r}}{r}$ 的 $L_{t}^{1} L^{\infty}$ 估计

3.2 3.2定义 $Ω : = \frac{w_{θ}}{r}$ ， $J : = \frac{w_{r}}{r}$ 。令 $(u, h)$ 为系统的唯一局部轴对称解，初值 $(u_{0}, h_{0}) \in H^{m} (ℝ^{3}) (m \geq 3)$ ，则下面 $(Ω, J)$ 的 $L_{t}^{\infty} L^{2} \cap L_{t}^{2} {\dot{H}}^{1}$ 估计成立：

$\sup_{0 \leq t \leq T_{*}} {‖ (Ω, J) (t, \cdot) ‖}_{L^{2}}^{2} + \int_{0}^{T_{*}} {‖ \nabla (Ω, J) (t, \cdot) ‖}_{L^{2}}^{2} < \infty .$

证明我们从 $Ω$ 开始估计，在方程(1.4)₁两边乘以 $Ω$ ，并在 $ℝ^{3}$ 上积分得到：

$\frac{1}{2} \frac{d}{d t} {‖ Ω (t, \cdot) ‖}_{L^{2}}^{2} + {‖ \nabla Ω (t, \cdot) ‖}_{L^{2}}^{2} = - \underset{O_{1}}{\underset{︸}{\frac{1}{2} \int_{ℝ^{3}} u \cdot \nabla Ω^{2} d x}} + \underset{O_{2}}{\underset{︸}{\int_{ℝ^{3}} \frac{\partial_{r} Ω^{2}}{r} d x}} - \underset{O_{3}}{\underset{︸}{\int_{ℝ^{3}} Ω \cdot \partial_{z} H^{2} d x}} + \underset{O_{4}}{\underset{︸}{\int_{ℝ^{3}} \frac{\partial_{z} {(u_{θ})}^{2} \cdot Ω}{r^{2}} d x}} .$

首先处理 $O_{1}$ ， $O_{2}$ 和 $O_{3}$ 。

$O_{1} = \frac{1}{2} \int_{ℝ^{3}} \nabla \cdot u \cdot Ω^{2} d x = 0.$

$O_{2} = \int_{0}^{2 π} d θ \int_{0}^{\infty} \int_{ℝ} \frac{\partial_{r} Ω^{2}}{r} \cdot r d z d r = 2 π \int_{ℝ} Ω^{2} (t, \infty, z) - Ω^{2} (t, 0, z) d z = - 2 π \int_{ℝ} Ω^{2} (t, 0, z) \leq 0.$

最后一个等式是由 $u$ 在边界上为0得到的。

$O_{3} = | \int_{ℝ^{3}} \partial_{z} Ω \cdot H^{2} | \leq {‖ \partial_{z} Ω (t, \cdot) ‖}_{L^{2}} {‖ H (t, \cdot) ‖}_{L^{4}}^{2} \leq \frac{1}{2} {‖ \partial_{z} Ω (t, \cdot) ‖}_{L^{2}}^{2} + \frac{1}{2} {‖ H (t, \cdot) ‖}_{L^{4}}^{4} .$

接下来估计 $O_{4}$ 。

$\begin{matrix} O_{4} = \int_{ℝ^{3}} \frac{2 u_{θ} \partial_{z} u_{θ}}{r^{2}} Ω d x = - \int \frac{2 u_{θ}}{r} \cdot J \cdot Ω d x \\ \leq 2 \int_{ℝ^{3}} {| \frac{u_{θ}}{r} |}^{\frac{1}{2}} | J | d x \cdot \int {| \frac{u_{θ}}{r} |}^{\frac{1}{2}} | Ω | d x \\ \leq \int_{ℝ^{3}} | \frac{u_{θ}}{r} | {| J |}^{2} d x + \int_{ℝ^{3}} | \frac{u_{θ}}{r} | {| Ω |}^{2} d x \\ ≜ O_{41} + O_{42} . \end{matrix}$

上面结果是由Cauchy-Schwartz不等式和Young不等式得到的。接下来，分别对 $O_{41}$ 与 $O_{42}$ 进行估计，从而得到 $O_{4}$ 的估计。

$O_{41} = \int_{ℝ^{3}} \frac{| u_{θ} |}{r^{s}} \frac{{| J |}^{2}}{r^{1 - s}} d x \leq C {‖ \frac{u_{θ}}{r^{s}} ‖}_{L^{p}} {‖ \frac{| J |^{2}}{r^{1 - s}} ‖}_{L^{p^{'}}} .$

这里我们运用了Hölder不等式，其中 $p^{'} = \frac{p}{p - 1}$ 。

情形1： $0 \leq s \leq 1$

利用引理2.1，我们有：

$\begin{matrix} {‖ \frac{{| J (t, \cdot) |}^{2}}{r^{1 - s}} ‖}_{L^{p^{'}}} = {(\int_{ℝ^{3}} \frac{{| J |}^{2 p^{'}}}{r^{(1 - s) p^{'}}} d x)}^{\frac{1}{p^{'}}} = {(\int_{ℝ^{3}} \frac{{| J |}^{2 p^{'}}}{r^{\frac{(1 - s) p^{'}}{2 p^{'}} \cdot 2 p^{'}}})}^{\frac{1}{2 p^{'}} \cdot 2} \\ \leq {(C {‖ J (t, \cdot) ‖}_{L^{2}}^{\frac{1}{2} + \frac{s}{2} - \frac{3}{2 p}} {‖ \nabla J (t, \cdot) ‖}_{L^{2}}^{\frac{1}{2} - \frac{s}{2} + \frac{3}{2 p}})}^{2}, \end{matrix}$

其中， $θ = (1 - s) p^{'}$ ， $q^{*} = 2 p^{'}$ 。因此，通过Young不等式， $O_{41}$ 可以估计如下。

当 $p > \frac{3}{1 + s}$ ：

$O_{41} \leq C {‖ \frac{u_{θ}}{r^{s}} ‖}_{L^{p}} {‖ J (t, \cdot) ‖}_{L^{2}}^{1 + s - \frac{3}{p}} {‖ \nabla J (t, \cdot) ‖}_{L^{2}}^{1 - s + \frac{3}{p}} \leq C {‖ \frac{u_{θ}}{r^{s}} ‖}_{L^{p}}^{\frac{2 p}{p (1 + s) - 3}} {‖ J (t, \cdot) ‖}_{L^{2}}^{2} + \frac{1}{4} {‖ \nabla J (t, \cdot) ‖}_{L^{2}}^{2} .$

当 $p = \frac{3}{1 + s}$ ：

$O_{41} \leq C_{s} {‖ \frac{u_{θ}}{r^{s}} ‖}_{L^{p}} {‖ \nabla J (t, \cdot) ‖}_{L^{2}}^{2} .$

类似地， $O_{42}$ 可以估计如下：

$O_{42} \leq {\begin{array}{l} C_{s, p} {‖ \frac{u_{θ}}{r^{s}} (t, \cdot) ‖}_{L^{p}}^{\frac{2 p}{(1 + s) p - 3}} {‖ Ω (t, \cdot) ‖}_{L^{2}}^{2} + \frac{1}{4} {‖ \nabla Ω (t, \cdot) ‖}_{L^{2}}^{2}, & 当 p > \frac{3}{1 + s}; \\ C_{s} {‖ \frac{u_{θ}}{r^{s}} (t, \cdot) ‖}_{L^{p}} {‖ Ω (t, \cdot) ‖}_{L^{2}}^{2}, & 当 p = \frac{3}{1 + s} . \end{array}$ s

情形2： $s > 1$

当 $p > \frac{3}{1 + s}$ ：

$\begin{matrix} O_{41} = \int_{ℝ^{3}} {| \frac{u_{θ}}{r^{s}} |}^{\frac{2}{s + 1}} \cdot {(r u_{θ})}^{\frac{s - 1}{s + 1}} \cdot {| J (t, \cdot) |}^{2} d x \leq {‖ Γ_{0} ‖}_{L \frac{2 p (1 + s)}{(1 + s) (p - 2) + 2}}^{\frac{s - 1}{s + 1}} {‖ \frac{u_{θ}}{r^{s}} ‖}_{L^{p}}^{\frac{2}{s + 1}} {‖ J (t, \cdot) ‖}_{L^{\frac{2 p (1 + s)}{p (1 + s) - 2}}}^{2} \\ \leq {‖ Γ_{0} ‖}_{L \frac{2 p (1 + s)}{(1 + s) (p - 2) + 2}}^{\frac{s - 1}{s + 1}} {‖ \frac{u_{θ}}{r^{s}} ‖}_{L^{p}}^{\frac{2}{s + 1}} {‖ J (t, \cdot) ‖}_{L^{2}}^{1 - \frac{3}{p (1 + s)}} {‖ \nabla J (t, \cdot) ‖}_{L^{2}}^{\frac{3}{p (1 + s)}} \leq C_{{‖ Γ_{0} ‖}_{L^{\infty}}, s, p} {‖ \frac{u_{θ}}{r^{s}} ‖}_{L^{p}}^{\frac{2 p}{(1 + s) p - 3}} {‖ J (t, \cdot) ‖}_{L^{2}}^{2} + \frac{1}{4} {‖ \nabla J (t, \cdot) ‖}_{L^{2}}^{2} . \end{matrix}$

这里，第一个不等式使用了Hölder不等式和引理3.1，第二个和第三个不等式分别使用引理2.1和Young不等式。

当 $p = \frac{3}{1 + s}$ ：

$O_{41} \leq C_{s} {‖ \frac{u_{θ}}{r^{s}} ‖}_{L^{p}} {‖ \nabla J (t, \cdot) ‖}_{L^{2}}^{2} .$

类似地，我们得到 $O_{42}$ 的估计。

当 $p > \frac{3}{1 + s}$ ：

$O_{42} \leq C_{{‖ Γ_{0} ‖}_{L^{\infty}}, s, p} {‖ \frac{u_{θ}}{r^{s}} ‖}_{L^{p}}^{\frac{2 p}{(1 + s) p - 3}} {‖ Ω (t, \cdot) ‖}_{L^{2}}^{2} + \frac{1}{4} {‖ \nabla Ω (t, \cdot) ‖}_{L^{2}}^{2} .$

当 $p = \frac{3}{1 + s}$ ：

$O_{42} \leq C_{s} {‖ \frac{u_{θ}}{r^{s}} ‖}_{L^{p}} {‖ \nabla Ω (t, \cdot) ‖}_{L^{2}}^{2} .$

由此可得：

当 $p > \frac{3}{1 + s}$ ：

$\frac{1}{2} \frac{d}{d t} {‖ Ω (t, \cdot) ‖}_{L^{2}}^{2} + \frac{1}{4} {‖ \nabla Ω (t, \cdot) ‖}_{L^{2}}^{2} \leq \frac{1}{2} {‖ H (t, \cdot) ‖}_{L^{4}}^{4} + \frac{1}{4} {‖ \nabla J (t, \cdot) ‖}_{L^{2}}^{2} + C_{{‖ Γ_{0} ‖}_{L^{\infty}}, s, p} {‖ \frac{u_{θ}}{r^{s}} ‖}_{L^{p}}^{\frac{2 p}{(1 + s) p - 3}} ({‖ Ω (t, \cdot) ‖}_{L^{2}}^{2} + {‖ J (t, \cdot) ‖}_{L^{2}}^{2}) .$

那么，由引理3.1的方程(3.1)₁，推导出

$\frac{d}{d t} {‖ Ω (t, \cdot) ‖}_{L^{2}}^{2} + \frac{1}{2} {‖ \nabla Ω (t, \cdot) ‖}_{L^{2}}^{2} \leq C + \frac{1}{2} {‖ \nabla J (t, \cdot) ‖}_{L^{2}}^{2} + C_{{‖ Γ_{0} ‖}_{L^{\infty}}, s, p} {‖ \frac{u_{θ}}{r^{s}} ‖}_{L^{p}}^{\frac{2 p}{(1 + s) p - 3}} ({‖ Ω (t, \cdot) ‖}_{L^{2}}^{2} + {‖ J (t, \cdot) ‖}_{L^{2}}^{2}) .$ (3.3)

当 $\begin{array}{l} p = \frac{3}{1 + s} \end{array}$ ：

$\frac{1}{2} \frac{d}{d t} {‖ Ω (t, \cdot) ‖}_{L^{2}}^{2} + {‖ \nabla Ω (t, \cdot) ‖}_{L^{2}}^{2} \leq \frac{1}{2} {‖ \nabla Ω (t, \cdot) ‖}_{L^{2}}^{2} + \frac{1}{2} {‖ H (t, \cdot) ‖}_{L^{4}}^{4} + C_{{‖ Γ_{0} ‖}_{L^{\infty}}, s, p} {‖ \frac{u_{θ}}{r^{s}} ‖}_{L^{p}} ({‖ \nabla Ω (t, \cdot) ‖}_{L^{2}}^{2} + {‖ \nabla J (t, \cdot) ‖}_{L^{2}}^{2}) .$

这等价于下面这个方程。

$\frac{d}{d t} {‖ Ω (t, \cdot) ‖}_{L^{2}}^{2} + {‖ \nabla Ω (t, \cdot) ‖}_{L^{2}}^{2} \leq C_{{‖ Γ_{0} ‖}_{L^{\infty}}, s, p} (1 + {‖ \frac{u_{θ}}{r^{s}} ‖}_{L^{p}} ({‖ \nabla Ω (t, \cdot) ‖}_{L^{2}}^{2} + {‖ \nabla J (t, \cdot) ‖}_{L^{2}}^{2})) .$ (3.4)

接下来，处理J的方程。类似于 $Ω$ 方程的处理，我们将方程(1.4)乘以J，并对 $ℝ^{3}$ 积分，得到以下结果。

$\begin{matrix} \frac{1}{2} \frac{d}{d t} {‖ J (t, \cdot) ‖}_{L^{2}}^{2} + {‖ \nabla J (t, \cdot) ‖}_{L^{2}}^{2} \leq \int_{ℝ^{3}} (\nabla \times (u_{θ} \cdot e_{θ})) \cdot \nabla (\frac{u_{r}}{r}) \cdot J d x \\ = \int_{ℝ^{3}} u_{θ} \cdot e_{θ} \cdot (\nabla J \times \nabla \frac{u_{r}}{r}) d x \\ = \int_{ℝ^{3}} u_{θ} (\partial_{r} \frac{u_{r}}{r} \partial_{z} J - \partial_{z} \frac{u_{r}}{r} \partial_{r} J) d x \\ \leq \frac{1}{2} \int_{ℝ^{3}} {| u_{θ} |}^{2} {| \nabla \frac{u_{r}}{r} |}^{2} d x + \frac{1}{2} {‖ \nabla J (t, \cdot) ‖}_{L^{2}}^{2} . \end{matrix}$

第一个不等式使用了下列计算结果。

$\begin{array}{l} \int_{ℝ^{3}} u \cdot \nabla J \cdot J d x = 0 . \\ \int_{ℝ^{3}} \frac{1}{r} \partial_{r} {(\frac{\partial_{z} u_{θ}}{r})}^{2} d x = \int_{0}^{2 π} d θ \int_{0}^{\infty} \int_{ℝ} \frac{\partial_{r}}{r} {(\frac{\partial_{z} u_{θ}}{r})}^{2} d z d r \leq 0 . \end{array}$

$\int_{ℝ^{3}} (w_{r} \partial_{r} + w_{z} \partial_{z}) (\frac{u_{r}}{r}) J d x = \int_{ℝ^{3}} (\nabla \times (u_{θ} \cdot e_{θ})) \cdot \nabla (\frac{u_{r}}{r}) \cdot J d x .$

所以我们得到了以下的不等式：

$\frac{d}{d t} {‖ J (t, \cdot) ‖}_{L^{2}}^{2} + {‖ \nabla J (t, \cdot) ‖}_{L^{2}}^{2} ≲ \int_{ℝ^{3}} {| u_{θ} |}^{2} {| \nabla \frac{u_{r}}{r} |}^{2} d x .$

然后用与估计 $O_{41}$ 相同的方法对J的方程进行处理。

当 $p > \frac{3}{1 + s}$ ：

$\frac{d}{d t} {‖ J (t, \cdot) ‖}_{L^{2}}^{2} + {‖ \nabla J (t, \cdot) ‖}_{L^{2}}^{2} \leq {‖ Γ_{0} ‖}_{L^{\infty}}^{\frac{2 s}{s + 1}} \int_{ℝ^{3}} {| \frac{u_{θ}}{r^{s}} |}^{\frac{2}{s + 1}} {| \nabla \frac{u_{r}}{r} |}^{2} d x .$

接下来，我们使用Hölder不等式和引理2.2得到以下估计。

$\begin{matrix} \frac{d}{d t} {‖ J (t, \cdot) ‖}_{L^{2}}^{2} + {‖ \nabla J (t, \cdot) ‖}_{L^{2}}^{2} \leq {‖ Γ_{0} ‖}_{L^{\infty}}^{\frac{2 s}{s + 1}} {‖ \frac{u_{θ}}{r^{s}} ‖}_{L^{p}}^{\frac{2}{s + 1}} {‖ \nabla \frac{u_{r}}{r} ‖}_{L^{2}}^{2 - \frac{6}{p (1 + s)}} {‖ \nabla \frac{u_{r}}{r} ‖}_{L^{6}}^{\frac{6}{p (1 + s)}} \\ \leq {‖ Γ_{0} ‖}_{L^{\infty}}^{\frac{2 s}{s + 1}} {‖ \frac{u_{θ}}{r^{s}} ‖}_{L^{p}}^{\frac{2}{s + 1}} \cdot {‖ Ω ‖}_{L^{2}}^{2 - \frac{6}{p (1 + s)}} {‖ \nabla Ω ‖}_{L^{6}}^{\frac{6}{p (1 + s)}} \\ \leq C_{{‖ Γ_{0} ‖}_{L^{\infty}, s, p}} {‖ \frac{u_{θ}}{r^{s}} ‖}_{L^{p}}^{\frac{2 p}{(1 + s) p - 3}} {‖ Ω ‖}_{L^{2}}^{2} + \frac{1}{4} {‖ \nabla Ω ‖}_{L^{2}}^{2} . \end{matrix}$ (3.5)

当 $p = \frac{3}{1 + s}$ ：

$\frac{d}{d t} {‖ J (t, \cdot) ‖}_{L^{2}}^{2} + {‖ \nabla J (t, \cdot) ‖}_{L^{2}}^{2} \leq C_{{‖ Γ_{0} ‖}_{L^{\infty}}, s, p} {‖ \frac{u_{θ}}{r^{s}} ‖}_{L^{\frac{3}{1 + s}}}^{\frac{2}{s + 1}} {‖ \nabla Ω ‖}_{L^{2}}^{2} .$ (3.6)

结合(3.3)与(3.5)很容易得到：

当 $p > \frac{3}{1 + s}$ ：

$\frac{d}{d t} ({‖ Ω (t, \cdot) ‖}_{L^{2}}^{2} + {‖ J (t, \cdot) ‖}_{L^{2}}^{2}) + ({‖ \nabla Ω ‖}_{L^{2}}^{2} + {‖ \nabla J ‖}_{L^{2}}^{2}) \leq C + C_{{‖ Γ_{0} ‖}_{L^{\infty}}, s, p} {‖ \frac{u_{θ}}{r^{s}} ‖}_{L^{p}}^{\frac{2 p}{(1 + s) p - 3}} ({‖ Ω ‖}_{L^{2}}^{2} + {‖ J ‖}_{L^{2}}^{2}) .$

对上述两个方程应用Gronwall不等式和定理1.1中的条件 $\int_{0}^{T_{*}} {‖ \frac{u_{θ}}{r^{s}} (t, \cdot) ‖}_{L^{p}}^{q} d t < \infty$ 得到：

$\begin{array}{l} {‖ Ω (t, \cdot) ‖}_{L^{2}}^{2} + {‖ J (t, \cdot) ‖}_{L^{2}}^{2} + \int_{0}^{t} {‖ \nabla Ω (k, \cdot) ‖}_{L^{2}}^{2} + {‖ \nabla J (k, \cdot) ‖}_{L^{2}}^{2} d k \\ \leq e^{C_{{‖ Γ_{0} ‖}_{L^{\infty}}, s, p} \int_{0}^{t} {‖ \frac{u_{θ}}{r^{s}} (k, \cdot) ‖}_{L^{p}}^{\frac{2 p}{(1 + s) p - 3}} d k} \cdot [\int_{0}^{t} C d k + {‖ Ω_{0} ‖}_{L^{2}}^{2} + {‖ J_{0} ‖}_{L^{2}}^{2}] < \infty . \end{array}$ (3.7)

同样，结合(3.4)和(3.6)，并用上述方法处理得到：

当 $p = \frac{3}{1 + s}$ ：

$\begin{array}{l} {‖ Ω (t, \cdot) ‖}_{L^{2}}^{2} + {‖ J (t, \cdot) ‖}_{L^{2}}^{2} + \int_{0}^{t} {‖ \nabla Ω (k, \cdot) ‖}_{L^{2}}^{2} + {‖ \nabla J (k, \cdot) ‖}_{L^{2}}^{2} d k \\ \leq e^{\int_{0}^{t} C d k} [C + C_{{‖ Γ_{0} ‖}_{L^{\infty}}, s, p} (1 + {‖ \frac{u_{θ}}{r^{s}} (0, r, z) ‖}_{L^{p}} ({‖ \nabla Ω_{0} ‖}_{L^{2}}^{2} + {‖ \nabla J_{0} ‖}_{L^{2}}^{2}))] < \infty . \end{array}$ (3.8)

结合方程(3.7)和(3.8)，命题3.2得证。

与 [15] 中对推论3.3的证明一样，根据引理2.2，并利用如下插值不等式：

${‖ \frac{u_{r}}{r} (t, \cdot) ‖}_{L^{\infty}} \leq C {‖ \frac{u_{r}}{r} (t, \cdot) ‖}_{L^{6}}^{1 / 2} {‖ \nabla \frac{u_{r}}{r} (t, \cdot) ‖}_{L^{6}}^{1 / 2},$

我们可以得到命题3.2的如下推论。

3.3 3.3在与命题3.2相同的假设下，对于任何 $t \in (0, T_{*}]$ ， $\frac{u_{r}}{r}$ 满足：

$\int_{0}^{t} {‖ \frac{u_{r}}{r} (s, \cdot) ‖}_{L^{\infty}} d s < \infty .$

3.3. $h_{θ}$ 和 $w_{θ}$ 的 $L_{T_{*}}^{\infty} L^{p}$ -有界性

接下来，我们的目标是推导出 $h_{θ}$ 和 $w_{θ}$ 的 $L_{T_{*}}^{\infty} L^{p}$ 估计。我们有以下结果：

3.4 3.4在与定理1.1相同的假设下，我们对 $h_{θ}$ 和 $w_{θ}$ 的估计如下

$\begin{array}{l} {‖ h_{θ} (t, \cdot) ‖}_{L^{p}} \leq {‖ h_{0} ‖}_{L^{p}} \exp (C \int_{0}^{t} [{‖ \frac{u_{r}}{r} (s, \cdot) ‖}_{L^{\infty}} + {‖ \partial_{z} H (s, \cdot) ‖}_{L^{\infty}}] d s) < \infty, \\ \sup_{0 \leq t \leq T_{*}} {‖ w_{θ} (t, \cdot) ‖}_{L^{2}}^{2} + \int_{0}^{T_{*}} {‖ \nabla w_{θ} (t, \cdot) ‖}_{L^{2}}^{2} d t + \int_{0}^{T_{*}} {‖ \frac{w_{θ}}{r} (t, \cdot) ‖}_{L^{2}}^{2} d t < \infty . \end{array}$ (3.9)

其中 $C > 0$ 是一个通用常数。

证明 (3.9) ₁的第一个不等式在 [15] 中有详细的证明过程，我们不在这里展开。然后利用推论3.3以及判别条件 $\int_{0}^{T_{*}} {‖ \frac{\partial_{z} h_{θ}}{r} (t, \cdot) ‖}_{L^{\infty}} d t < \infty$ ，可以导出(3.9)₁的第二个不等式。

接下来，对(1.3)₁执行标准 $L^{2}$ 内积，推导出

$\frac{d}{d t} {‖ w_{θ} (t, \cdot) ‖}_{L^{2}}^{2} + {‖ \nabla w_{θ} (t, \cdot) ‖}_{L^{2}}^{2} + {‖ \frac{w_{θ}}{r} (t, \cdot) ‖}_{L^{2}}^{2} \leq C ({‖ u_{θ} (t, \cdot) ‖}_{L^{2}} {‖ \nabla u_{θ} (t, \cdot) ‖}_{L^{2}} {‖ J (t, \cdot) ‖}_{L^{2}}^{2} + {‖ H (t, \cdot) ‖}_{L^{\infty}}^{2} {‖ h_{θ} (t, \cdot) ‖}_{L^{2}}^{2}) .$

在 $[0, T_{*}]$ 上关于t积分，由 $u_{θ}$ 和 $h_{θ}$ 的 $L_{T}^{\infty} L^{2}$ 估计、 $H$ 的 $L_{T}^{\infty} L^{\infty}$ 估计以及命题3.2中 $(Ω, J)$ 的 $L_{T}^{\infty} L^{2}$ 估计推导出以下最终不等式

$\begin{array}{l} \sup_{0 \leq t \leq T_{*}} {‖ w_{θ} (t, \cdot) ‖}_{L^{2}}^{2} + \int_{0}^{T_{*}} {‖ \nabla w_{θ} (t, \cdot) ‖}_{L^{2}}^{2} d t + \int_{0}^{T_{*}} {‖ \frac{w_{θ}}{r} (t, \cdot) ‖}_{L^{2}}^{2} d t \\ ≲ \sup_{0 \leq t \leq T_{*}} {‖ u_{θ} (t, \cdot) ‖}_{L^{2}} \sup_{0 \leq t \leq T_{*}} {‖ J (t, \cdot) ‖}_{L^{2}}^{2} \int_{0}^{T_{*}} {‖ \nabla u_{θ} (t, \cdot) ‖}_{L^{2}}^{2} d t + {‖ H_{0} ‖}_{L^{\infty}}^{2} T_{*} \sup_{0 \leq t \leq T_{*}} {‖ h_{θ} (t, \cdot) ‖}_{L^{2}}^{2} < \infty . \end{array}$

3.4. w的 $L_{T}^{\infty} L^{2} \cap L_{T}^{2} H^{1}$ 估计与 $\nabla u$ 的 $L_{T}^{1} L^{\infty}$ 估计

命题3.5 在与定理1.1相同的假设下，我们有 $w$ 的 $L_{T}^{\infty} L^{2} \cap L_{T}^{2} H^{1}$ 估计。

证明在方程(1.3)₂和(1.3)₃分别做 $L^{2}$ 能量估计，并将得到的结果式子相加，再利用Gronwall不等式即可得到：

$\begin{array}{l} \sup_{0 \leq t \leq T_{*}} {‖ (w_{r}, w_{z}) (t, \cdot) ‖}_{L^{2}}^{2} + \int_{0}^{T_{*}} (‖ (\nabla w_{r} (t, \cdot), \nabla w_{z} (t, \cdot)) ‖ + {‖ \frac{w_{r}}{r} (t, \cdot) ‖}_{L^{2}}) d t \\ \leq {‖ (w_{r} (0, \cdot), w_{z} (0, \cdot)) ‖}_{L^{2}}^{2} \exp (C \int_{0}^{T_{*}} {‖ b (t, \cdot) ‖}_{L^{\infty}}^{2} d t) . \end{array}$ (3.10)

这里 $b = u_{r} e_{r} + u_{z} e_{z}$ 。对于(3.10)右边指数函数的内部，可以利用Gagliardo-Nirenberg插值不等式、引理2.4和Hölder不等式，以及估计式(3.10)₂推导出：

$\begin{array}{l} \int_{0}^{T_{*}} {‖ \nabla b (t, \cdot) ‖}_{L^{\infty}}^{2} d t \\ \leq C {\int_{0}^{T_{*}} ‖ \nabla b (t, \cdot) ‖}_{L^{2}} {‖ \nabla^{2} b (t, \cdot) ‖}_{L^{2}} d t \\ \leq C {\int_{0}^{T_{*}} ‖ w_{θ} (t, \cdot) ‖}_{L^{2}} ({‖ \nabla w_{θ} (t, \cdot) ‖}_{L^{2}} + {‖ \frac{w_{θ}}{r} (t, \cdot) ‖}_{L^{2}}) d t \\ \leq C {(\int_{0}^{T_{*}} {‖ w_{θ} (t, \cdot) ‖}_{L^{2}}^{2} d s)}^{1 / 2} {(\int_{0}^{T_{*}} ({‖ \nabla w_{θ} (t, \cdot) ‖}_{L^{2}}^{2} + {‖ \frac{w_{θ}}{r} (t, \cdot) ‖}_{L^{2}}^{2}) d t)}^{1 / 2} \\ < \infty . \end{array}$

因此，我们有

$\sup_{0 \leq t \leq T_{*}} {‖ (w_{r}, w_{z}) (t, \cdot) ‖}_{L^{2}}^{2} + \int_{0}^{T_{*}} ({‖ \nabla (w_{r}, w_{z}) (t, \cdot) ‖}_{L^{2}}^{2} + {‖ \frac{w_{r}}{r} (t, \cdot) ‖}_{L^{2}}^{2}) d t < \infty .$ (3.11)

结合(3.9)₂和(3.11)得到我们的结论。

3.6 3.6 在与定理1.1相同的条件下，我们有 $\nabla u$ 的 $L_{T}^{1} L^{\infty}$ 估计。

首先回顾 $w$ 的方程。

${\begin{array}{l} \partial_{t} w - Δ w = \nabla \times (u \cdot \nabla u) - \nabla \times (h \cdot \nabla h), \\ w (0, x) = \nabla \times u_{0} (x) . \end{array}$

为了简化证明过程，我们把 $w$ 拆成三个部分：

$w : = w_{0} + w_{1} + w_{2},$

其中， $w_{0}$ 为初值为 $\nabla \times u_{0} (x)$ 的线性抛物型方程的解：

${\begin{array}{l} \partial_{t} w_{0} - Δ w_{0} = 0, \\ w (0, x) = \nabla \times w_{0} (x) . \end{array}$

当 $t > 0$ 时，我们只需要考虑 $w_{1}$ 和 $w_{2}$ ，因为 $w_{0}$ 已经满足证明所需的正则性。同时，具有齐次初始值的 $w_{1}$ 和 $w_{2}$ 分别满足

$\partial_{t} w_{1} - Δ w_{1} = - \nabla \times (h \cdot \nabla h)$

和

$\partial_{t} w_{2} - Δ w_{2} = \nabla \times (u \cdot \nabla u) .$

直接计算可知：

$h \cdot \nabla h = - H h_{θ} e_{r} .$

再由引理3.1中 $H$ 的基本能量估计和命题3.4中 $h_{θ}$ 的估计，推导出

$h \cdot \nabla h \in L^{\infty} (0, T_{*}; L^{4} (ℝ^{3})) \subset L^{4 / 3} (0, T_{*}; L^{p} (ℝ^{3})) .$

因此通过应用引理2.6中热流的最大规律性， $\nabla w_{1}$ 满足

$\nabla w_{1} \in L^{4 / 3} (0, T_{*}; L^{4} (ℝ^{3})) .$

对于 $w_{2}$ ，通过引理2.5中的在 $L_{T}^{2} H^{1}$ 与 $L_{T}^{\infty} L^{2}$ 之间插值范数，得到

$\nabla u \in L^{8 / 3} (0, T_{*}; L^{4} (ℝ^{3})) .$

根据引理2.3，我们有

${‖ u (t, \cdot) ‖}_{L^{\infty}} ≲ {‖ \nabla u (t, \cdot) ‖}_{L^{4}}^{6 / 7} {‖ u (t, \cdot) ‖}_{L^{2}}^{1 / 7} .$

接下来，考虑引理3.1中 $u$ 的基本能量估计，可以得到

$\int_{0}^{T_{*}} {‖ u (t, \cdot) ‖}_{L^{\infty}}^{8 / 3} d t ≲ {‖ u (t, \cdot) ‖}_{L^{\infty} (0, T_{*}; L^{2})}^{8 / 21} \int_{0}^{T_{*}} {‖ \nabla u (t, \cdot) ‖}_{L^{4}}^{16 / 7} d t ≲ {‖ u (t, \cdot) ‖}_{L^{\infty} (0, T_{*}; L^{2})}^{8 / 21} {(\int_{0}^{T_{*}} {‖ \nabla u (t, \cdot) ‖}_{L^{4}}^{8 / 3} d t)}^{6 / 7} T_{*}^{1 / 7} < \infty .$

我们有

$u \cdot \nabla u \in L^{4 / 3} (0, T_{*}; L^{4} (ℝ^{3})) .$

根据引理2.6中的(2.1)，显然有

$\nabla w_{2} \in L^{4 / 3} (0, T_{*}; L^{4} (ℝ^{3})) .$

然后是 $w_{1}$ 的估计和 $w_{2}$ 的估计

$\begin{matrix} w \in L^{4 / 3} (0, T_{*}; L^{4} (ℝ^{3})) . \end{matrix}$ (3.12)

现在结合引理2.3和引理2.4得到

${‖ \nabla u (t, \cdot) ‖}_{L^{\infty}} ≲ {‖ \nabla u (t, \cdot) ‖}_{L^{2}}^{1 / 7} {‖ \nabla^{2} u (t, \cdot) ‖}_{L^{4}}^{6 / 7} ≲ {‖ w (t, \cdot) ‖}_{L^{2}}^{1 / 7} {‖ \nabla w (t, \cdot) ‖}_{L^{4}}^{6 / 7} .$

利用(3.12)，即可得到命题3.6，因为：

$\int_{0}^{T_{*}} {‖ \nabla u (t, \cdot) ‖}_{L^{\infty}} d t ≲ {‖ w ‖}_{L^{\infty} (0, T_{*}; L^{2})}^{1 / 7} \int_{0}^{T_{*}} {‖ \nabla w (t, \cdot) ‖}_{L^{4}}^{6 / 7} d t \leq {‖ w ‖}_{L^{\infty} (0, T_{*}; L^{2})}^{1 / 7} {(\int_{0}^{T_{*}} {‖ \nabla w (t, \cdot) ‖}_{L^{4}}^{4 / 3} d t)}^{14 / 9} T_{*}^{5 / 14} < \infty .$

3.5. $\nabla h$ 和 $\nabla H$ 的 $L_{T_{*}}^{\infty} L^{\infty}$ -有界性

3.7 3.7 与定理1.1相同的假设条件，则下列 $\nabla h$ 与 $\nabla H$ 的 $L^{\infty}$ 估计在 $t \leq T_{*}$ 上一致成立：

$\begin{array}{l} {‖ \nabla h (t, \cdot) ‖}_{L^{\infty}} \leq {‖ \nabla h_{0} ‖}_{L^{\infty}} \exp (C \int_{0}^{t} ({‖ \nabla u (s, \cdot) ‖}_{L^{\infty}} + {‖ \partial_{z} H (s, \cdot) ‖}_{L^{\infty}}) d s), \\ {‖ \nabla H (t, \cdot) ‖}_{L^{\infty}} \leq {‖ \nabla H_{0} ‖}_{L^{\infty}} \exp (C \int_{0}^{t} ({‖ \nabla u (s, \cdot) ‖}_{L^{\infty}} + {‖ \partial_{z} H (s, \cdot) ‖}_{L^{\infty}}) d s) . \end{array}$ (3.13)

其中 $C > 0$ 是一个通用常数。

证明首先，注意到

$| \nabla h | ≃ | \partial_{r} h_{θ} | + | \partial_{z} h_{θ} | + | H | .$

$H$ 的 $L_{T_{*}}^{\infty} L^{\infty}$ 估计已经在引理3.1中得到，因此我们只需要关注剩下的两项 $\partial_{r} h_{θ}$ 和 $\partial_{z} h_{θ}$ 。对方程(1.2)₄分别应用 $\bar{\nabla} = (\partial_{r}, \partial_{z})$ ，然后对得到的两个结果方程分别执行 $L^{p} (2 \leq p < \infty)$ 能量估计，得到：

${‖ \bar{\nabla} h_{θ} (t, \cdot) ‖}_{L^{p}}^{p} \leq C p {‖ \bar{\nabla} h_{θ} (t, \cdot) ‖}_{L^{p}}^{p - 1} ({‖ \nabla u (t, \cdot) ‖}_{L^{\infty}} + {‖ \partial_{z} H (t, \cdot) ‖}_{L^{\infty}}) \times ({‖ \bar{\nabla} h_{θ} (t, \cdot) ‖}_{L^{p}} + {‖ H (t, \cdot) ‖}_{L^{p}}) .$ (3.14)

在方程(3.14)两边同时除以 $p {‖ \bar{\nabla} h_{θ} (t, \cdot) ‖}_{L^{p}}^{p - 1}$ ，并注意到 $\frac{d}{d t} {‖ H (t, \cdot) ‖}_{L^{p}} \equiv 0$ ，我们有

$\frac{d}{d t} {‖ \nabla h (t, \cdot) ‖}_{L^{p}} \leq C ({‖ \nabla u (t, \cdot) ‖}_{L^{\infty}} + {‖ \partial_{z} H (t, \cdot) ‖}_{L^{\infty}}) {‖ \nabla h (t, \cdot) ‖}_{L^{p}} .$

由此，通过Gronwall不等式，我们有以下估计：

${‖ \nabla h (t, \cdot) ‖}_{L^{p}} \leq {‖ \nabla h_{0} ‖}_{L^{p}} \exp (C \int_{0}^{t} ({‖ \nabla u (s, \cdot) ‖}_{L^{\infty}} + {‖ \partial_{z} H (s, \cdot) ‖}_{L^{\infty}}) d s), \forall t \in (0, T_{*}] .$

上面的常数C与 $p \in [2, \infty)$ 无关。令 $p \to \infty$ ，我们得到(3.13)₁。

对方程(1.4)₃两边同时应用 $\partial_{r}$ ，然后两边乘以 $p \partial_{r} H {| \partial_{r} H |}^{p - 2}$ ，并在 $ℝ^{3}$ 上积分，我们得到：

$\begin{array}{l} \frac{d}{d t} {‖ \partial_{r} H (t, \cdot) ‖}_{L^{p}}^{p} \leq 2 p \int_{ℝ^{3}} \partial_{z} H {| \partial_{r} H |}^{p} d x + \underset{N_{H}}{\underset{︸}{2 p \int_{ℝ^{3}} H \partial_{r} \partial_{z} H \partial_{r} H {| \partial_{r} H |}^{p - 2} d x}} \\ + C p \int_{ℝ^{3}} | \nabla u | | \nabla H | {| \partial_{r} H |}^{p - 1} d x, p \geq 2. \end{array}$ (3.15)

通过分部积分， $N_{H}$ 可以被估计如下：

$N_{H} = 2 \int_{ℝ^{3}} H \partial_{z} {| \partial_{r} H |}^{p} d x = - 2 \int_{ℝ^{3}} \partial_{z} H {| \partial_{r} H |}^{p} d x .$

把上述结果代入方程(3.15)，然后应用Hölder不等式得到：

$\frac{d}{d t} {‖ \partial_{r} H (t, \cdot) ‖}_{L^{p}}^{p} ≲ p ({‖ \nabla u (s, \cdot) ‖}_{L^{\infty}} + {‖ \partial_{z} H (s, \cdot) ‖}_{L^{\infty}}) {‖ \nabla H (t, \cdot) ‖}_{L^{p}}^{p} .$ (3.16)

用同样的方法，对(1.4)₃两边关于z求导，并做执行 $L^{p}$ 估计，得到以下结果：

$\frac{d}{d t} {‖ \partial_{z} H (t, \cdot) ‖}_{L^{p}}^{p} ≲ p ({‖ \nabla u (s, \cdot) ‖}_{L^{\infty}} + {‖ \partial_{z} H (s, \cdot) ‖}_{L^{\infty}}) {‖ \nabla H (t, \cdot) ‖}_{L^{p}}^{p} .$ (3.17)

结合方程(3.16)和(3.17)，在不等式两边同时除以 $p {‖ \nabla H (t, \cdot) ‖}_{L^{p}}^{p - 1}$ ，我们可以得到：

$\frac{d}{d t} {‖ \nabla H (t, \cdot) ‖}_{L^{p}} ≲ ({‖ \nabla u (s, \cdot) ‖}_{L^{\infty}} + {‖ \partial_{z} H (s, \cdot) ‖}_{L^{\infty}}) {‖ \nabla H (t, \cdot) ‖}_{L^{p}} .$

注意到上述估计与 $p \geq 2$ 是一致的。利用Gronwall不等式，令 $p \to \infty$ ，即证引理。

3.6. 高阶估计

最后，我们推导出了系统(1.1)的高阶估计。我们通过联合系统(1.1)和 $H$ 的能量估计，从而克服缺乏磁场阻尼所产生的困难。具体证明可参见 [15] 3.7节。我们在这里仅给出证明关键步骤：

${\begin{array}{l} \partial_{t} u + u \cdot \nabla u + \nabla p - Δ u = h \cdot \nabla h, \\ \partial_{t} h + u \cdot \nabla h - h \cdot \nabla u = 2 H \partial_{z} h, \\ \partial_{t} H + u \cdot \nabla H - 2 H \partial_{z} H = 0. \end{array}$ (3.18)

对上面三个方程做 ${\dot{H}}^{m}$ 能量估计，有

$\begin{array}{l} \frac{1}{2} \frac{d}{d t} {‖ \nabla^{m} (u, h, H) (t, \cdot) ‖}_{L^{2}}^{2} + {‖ \nabla^{m + 1} u (t, \cdot) ‖}_{L^{2}}^{2} \\ = - \underset{I_{1}}{\underset{︸}{\int_{ℝ^{3}} [\nabla^{m}, u \cdot \nabla] u \nabla^{m} u d x}} + \underset{I_{2}}{\underset{︸}{\int_{ℝ^{3}} [\nabla^{m}, h \cdot \nabla] h \nabla^{m} u d x}} - \underset{I_{3}}{\underset{︸}{\int_{ℝ^{3}} [\nabla^{m}, u \cdot \nabla] h \nabla^{m} h d x}} + \underset{I_{4}}{\underset{︸}{\int_{ℝ^{3}} [\nabla^{m}, h \cdot \nabla] u \nabla^{m} h d x}} \\ + \underset{I_{5}}{\underset{︸}{\int_{ℝ^{3}} [\nabla^{m}, u \cdot \nabla] H \nabla^{m} H d x}} + \underset{I_{6}}{\underset{︸}{2 \int_{ℝ^{3}} \nabla^{m} (H \partial_{z} h) \nabla^{m} h d x}} + \underset{I_{7}}{\underset{︸}{2 \int_{ℝ^{3}} \nabla^{m} (H \partial_{z} H) \nabla^{m} H d x}} . \end{array}$ (3.19)

利用引理2.7、Hölder不等式，对于 $I_{j}, j = 1, \dots, 7$ 有

$I_{j} ≲ {‖ \nabla (u, h) (t, \cdot) ‖}_{L^{\infty}} {‖ \nabla^{m} (u, h) (t, \cdot) ‖}_{L^{2}}^{2}, \forall j = 1, 2, 3, 4;$

$I_{5} ≲ {‖ \nabla (u, H) (t, \cdot) ‖}_{L^{\infty}} {‖ \nabla^{m} (u, H) (t, \cdot) ‖}_{L^{2}}^{2};$

$I_{6} ≲ {‖ \partial_{z} H (t, \cdot) ‖}_{L^{\infty}} {‖ \nabla^{m} h (t, \cdot) ‖}_{L^{2}}^{2} + {‖ \nabla (h, H) (t, \cdot) ‖}_{L^{\infty}} {‖ \nabla^{m} (h, H) (t, \cdot) ‖}_{L^{2}}^{2};$

$I_{7} = - \int_{ℝ^{3}} \partial_{z} H {| \nabla^{m} H |}^{2} d x + 2 \int_{ℝ^{3}} [\nabla^{m}, H \partial_{z}] H \nabla^{m} H d x ≲ {‖ \nabla H (t, \cdot) ‖}_{L^{\infty}} {‖ \nabla^{m} H (t, \cdot) ‖}_{L^{2}}^{2} .$

将 $I_{j}, j = 1, \dots, 7$ 代入方程(3.19)得到

$\frac{d}{d t} {‖ (u, h, H) (t, \cdot) ‖}_{{\dot{H}}^{m}}^{2} \leq C {‖ \nabla (u, h, H) (t, \cdot) ‖}_{L^{\infty}} {‖ (u, h, H) (t, \cdot) ‖}_{{\dot{H}}^{m}}^{2} .$

结合引理3.1的(3.1)和(3.2)，并应用插值得出对全Sobolev范数的估计如下：

$\frac{d}{d t} {‖ (u, h, H) (t, \cdot) ‖}_{H^{m}}^{2} \leq C {‖ \nabla (u, h, H) (t, \cdot) ‖}_{L^{\infty}} {‖ (u, h, H) (t, \cdot) ‖}_{H^{m}}^{2} .$

最后，由Gronwall不等式和命题3.6、命题3.7的结论，定理1.1得证。

4. 推论1.2的证明

由于 $\frac{u_{θ}}{r}$ 是张量 $\nabla (u_{θ} e_{θ})$ 的一部分，我们可以得到

$\begin{array}{l} {‖ \nabla (u_{θ} e_{θ}) ‖}_{L^{p}} \geq {‖ \frac{u_{θ}}{r} ‖}_{L^{p}} . \end{array}$ (4.1)

通过Biot-Savart定律，对于 $1 < p < \infty$ 都有：

${‖ \nabla (u_{θ} e_{θ}) ‖}_{L^{p}} ≲ {‖ \nabla \times (u_{θ} e_{θ}) ‖}_{L^{p}} .$ (4.2)

结合方程(4.1)和(4.2)，对于 $1 < p < \infty$ 有

${‖ \frac{u_{θ}}{r} ‖}_{L^{p}} ≲ {‖ \nabla \times (u_{θ} e_{θ}) ‖}_{L^{p}} .$

这相当于原始爆破准则中 $s = 1$ 的情况。因此，我们可以得到 $\nabla \times (u_{θ} e_{θ})$ 的爆破准则：

$\int_{0}^{T_{*}} {‖ \frac{\partial_{z} h_{θ}}{r} ‖}_{L^{\infty}} d t + \int_{0}^{T_{*}} {‖ \nabla (u_{θ} e_{θ}) ‖}_{L^{p}}^{q} d t < \infty, \frac{3}{p} + \frac{2}{q} \leq 2,$

和

$\int_{0}^{T_{*}} {‖ \frac{\partial_{z} h_{θ}}{r} ‖}_{L^{\infty}} d t + \int_{0}^{T_{*}} {‖ \nabla \times (u_{θ} e_{θ}) ‖}_{L^{p}}^{q} d t < \infty, \frac{3}{p} + \frac{2}{q} \leq 2.$

基金项目

江苏省研究生科研与实践创新计划项目(批准号：KYCX23_1290)。

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