可压缩非等温向列相液晶流的大时间行为

The Large Time Behavior for Compressible Non-Isothermal Nematic Liquid Crystal Flows with Vacuum at Infinity

摘要: 本文主要研究可压缩非等温向列相液晶流的大时间行为，该结论是在以初始质量很小为前提的强解的条件下，得到可方程的大时间行为。我们的结论在无穷远处可能有大的震荡并且包含真空状态。

Abstract: This paper mainly studies the large time behavior of compressible non-isothermal nematic liquid crystal flow. The conclusion is that the large time behavior of the equation can be obtained under the condition of strong solution with small mass as the premise. Our conclusion may have large oscillations at infinity and contain a vacuum state.

1. 引言

本文主要研究了三维可压缩非等温向列相液晶流方程，其形式如下：

$\{\begin{array}{l}{\rho }_t+div\left(\rho u\right)=0\\ \rho u_t+\rho u\cdot \nabla u-\mu \Delta u-\left(\lambda +\mu \right)\nabla divu+\nabla P=-\nabla d\cdot \Delta d\\ c_v\rho \left({\theta }_t+u\cdot \nabla \theta \right)+Pdivu-k\Delta \theta =\frac{\mu }{2}{\left|\nabla u+{\left(\nabla u\right)}^{\text{T}}\right|}^2+\lambda {\left(divu\right)}^2+{\left|\Delta d+{\left|\nabla d\right|}^{2}d\right|}^2\\ d_t+u\cdot \nabla d=\Delta d+{\left|\nabla d\right|}^{2}d,\left|d\right|=1,\text{}\text{}\end{array}$ (1.1)

其中 $\rho =\rho \left(x,t\right)$ ， $u=u\left(x,t\right)=\left(u_1,u_2,u_3\right)\left(x,t\right)$ 和 $\theta =\theta \left(x,t\right)$ 分别是密度、速度和绝对温度， $d\in S^2$ 为向列相液晶方向场的宏观平均值。 $P=R\rho \theta \left(R>0\right)$ 是压强。常数 $\mu$ 和 $\lambda$ 是粘度系数，它们满足下面的物理限制

$\mu >0,\lambda +\frac{2}{3}\mu \ge 0$

常数 $c_v$ 和k分别是热容和导热系数除以热容的比值。接下来，因为压强函数中的常数R和内能中的常数 $c_v$ 在分析中不起作用，我们假设 $R=c_v=1$ 。

此时(1.1)可以重写为如下式子

$\{\begin{array}{l}{\rho }_t+div\left(\rho u\right)=0\\ \rho u_t+\rho u\cdot \nabla u-\mu \Delta u-\left(\lambda +\mu \right)\nabla divu+\nabla P=-\nabla d\cdot \Delta d\\ \rho \left({\theta }_t+u\cdot \nabla \theta \right)+Pdivu-k\Delta \theta =\frac{\mu }{2}{\left|\nabla u+{\left(\nabla u\right)}^{\text{T}}\right|}^2+\lambda {\left(divu\right)}^2+{\left|\Delta d+{\left|\nabla d\right|}^{2}d\right|}^2\\ d_t+u\cdot \nabla d=\Delta d+{\left|\nabla d\right|}^{2}d,\left|d\right|=1,\text{}\text{}\end{array}$ (1.2)

其中 $\left(\rho ,u,\theta ,d\right)$ 的初值为：

${\left(\rho ,u,\theta ,d\right)|}_{t=0}=\left({\rho }_0,u_0,{\theta }_0,d_0\right)\left(x\right),x\in {ℝ}^3$ (1.3)

远场条件为： $t\ge 0$ ，当 $\left|x\right|\to \infty$ 时，

$\rho \left(x,t\right)\to 0,u\left(x,t\right)\to 0,\theta \left(x,t\right)\to 0,d\left(x,t\right)\to 1$ (1.4)

且我们假设初始值满足兼容条件

$\{\begin{array}{l}-\mu \Delta u_0-\left(\mu +\lambda \right)\nabla div{u}_0+R\nabla \left({\rho }_0{\theta }_0\right)+\nabla d_0\cdot \Delta d_0=\sqrt{{\rho }_0}{g}_1\\ k\Delta {\theta }_0+\frac{\mu }{2}{\left|\nabla u_0+{\left(\nabla u_0\right)}^{\text{T}}\right|}^2+\lambda {\left(div{u}_0\right)}^2+{\left|\Delta d_0+{\left|\nabla d_0\right|}^2{d}_0\right|}^2=\sqrt{{\rho }_0}{g}_2\end{array}$ (1.5)

其中 $g_1,g_2\in L^2$ 。

液晶的连续介质理论最早是由Ericksen [1] 和Leslie [2] 在半个世纪前提出。Lin [3] 从向列液晶理论中的原始方程推导出简化Ericksen-Lesile模型。此后，出现了许多关于该模型和相关模型的数学分析的结果。关于不可压缩的情况，读者可以参考 [4] - [9] 。

关于可压缩非等温向列相液晶流的大时间行为已经有了一定的研究。 [10] 中初始能量很小的前提下，Li、Xu和Zhang在三维空间中建立了(1.1) Cauchy问题经典解的存在性，进一步得到了解的大时间行为。同时在初始能量很小的前提下， [11] Liu和Zhong在内部和远场条件真空的状态下，在三维空间中研究了(1.1)强解的全局存在唯一性，同时展示了解的代数衰减估计。最近， [12] 中Gao、Tao和Yao在初始数据接近 $H^N\left({ℝ}^3\right)$ 的恒定平衡态条件下，建立了可压缩向列相液晶流经典解的存在性，并得到了解的大时间行为。同时Gao、Tao和Yao也在 [13] 中研究了三维整体空间中可压缩向列相液晶流的大时间行为，与 [12] 不同的是， [13] 通过谱分析和能量估计的方法建立了该方程的时间衰减率。Gao、Guo和Xi [14] 中在 $H^2$ 框架中恒定平衡态的条件下，用标准能量法得到了三维整体空间中可压缩向列液晶流动强解的整体存在性和大时间行为。

除此之外对于向列相液晶流方程还有一些其他的结论：在 [15] 中，Guo、Xie和Xi证明了有界域中具有大数据的向列液晶的非等温可压缩模型弱解的存在性。另外，Guo、Xi和Xie [16] 也在初始数据接近稳定状态 $\left(\bar{\rho },0,\bar{\theta },\bar{d}\right)$ 的情况下，研究了可压缩向列相液晶流光滑解的全局时间存在性。

本文主要研究三维可压缩非等温向列相液晶流在初始质量很小前提下解的大时间行为。

2. 符号说明和一些引理

对于 $1\le l\le \infty$ ，我们记标准线性与非线性的索伯列夫空间如下：

$L^l=L^l\left({ℝ}^3\right),D^{k,l}=\left\{u\in L_{loc}^1\left({ℝ}^3\right):{\Vert {\nabla }^{k}u\Vert }_{L^l}<\infty \right\},{\Vert u\Vert }_{D^{k,l}}={\Vert {\nabla }^{k}u\Vert }_{L^l},$

$W^{k,l}=L^l\cap D^{k,l},D^k=D^{k,2},D_0^1=\left\{u\in L^6:{\Vert \nabla u\Vert }_{L^2}<\infty \right\},H^k=W^{k,2}$

此外 $G:=\left(2\mu +\lambda \right)divu-P$ 是有效粘性通量， $\stackrel{\dot{}}{h}:=h_t+u\cdot \nabla h$ 是物质导数， $m_0:={\displaystyle {\int }_{{ℝ}^3}{\rho }_0\left(x\right)\text{d}x}$ 是初始质量。

值得注意的是在文献 [17] 中，Wen和Zhu通过能量方法得到了Navier-Stokes方程在初始质量很小的时候的全局强解，并进一步得到了它的大时间行为，受此启发，我们用同样的方法研究可压缩向列相液晶流的大时间行为。

首先通过文献 [17] 类似地我们得到了在初始质量很小的时候可压缩向列相液晶流的强解。并对任意 $C\in ℝ$ ，有如下的式子成立

${\displaystyle {\int }_{{ℝ}^3}\left(\rho {\left|u\right|}^2+{\left|\nabla d\right|}^2\right)\text{d}x}+{\displaystyle {\int }_0^T{\displaystyle {\int }_{{ℝ}^3}\left(\mu {\left|\nabla u\right|}^2+{\left|d_t\right|}^2+{\left|{\nabla }^{2}d\right|}^2\right)\text{d}x\text{d}\tau }}\le C$ (2.1)

$\underset{0\le t\le T}{\sup }{\Vert {\nabla }^{2}d\Vert }_{L^2}^2+{\displaystyle {\int }_0^T\left({\Vert \nabla d_t\Vert }_{L^2}^2+{\Vert {\nabla }^{3}d\Vert }_{L^2}^2\right)\text{d}\tau }\le C$ (2.2)

$\underset{0\le t\le T}{\sup }{\displaystyle {\int }_{{ℝ}^3}\rho {\theta }^2\text{d}x}+{\displaystyle {\int }_0^T{\displaystyle {\int }_{{ℝ}^3}k{\left|\nabla \theta \right|}^2\text{d}x}}\text{d}\tau \le C$ (2.3)

$\underset{0\le t\le T}{\sup }{\displaystyle {\int }_{{ℝ}^3}{\left|\nabla u\right|}^2\text{d}x}+{\displaystyle {\int }_0^T{\displaystyle {\int }_{{ℝ}^3}\frac{\rho {\left|\stackrel{\dot{}}{u}\right|}^2}{\mu }\text{d}x\text{d}\tau }}\le C$ (2.4)

$0<\rho \le \frac{3}{2}\bar{\rho }$ (2.5)

现在陈述椭圆系统的一些基本 $L^q$ 估计，它可以通过 [18] 中类似的方法证明。

引理1 设 $\left(\rho ,u,\theta ,d\right)$ 是系统(1.2)~(1.5)的光滑解，则存在常数C有如下式子成立

${\Vert \nabla u\Vert }_{L^6}\le C\left({\Vert \rho \stackrel{\dot{}}{u}\Vert }_{L^2}+{\Vert \nabla \theta \Vert }_{L^2}+{\Vert \left|\nabla d\right|\left|{\nabla }^{2}d\right|\Vert }_{L^2}\right)$ (2.6)

本文主要结果如下：

定理1设 $m_0\le {\epsilon }_0$ ，假设初始数据 $\left({\rho }_0,u_0,{\theta }_0,d_0\right)$ 满足

$\begin{array}{l}{\Vert \nabla u_0\Vert }_{L^2}\le \sqrt{K_2},{\Vert \sqrt{{\rho }_0}{\theta }_0\Vert }_{L^2}\le \sqrt{K_3}\\ 0\le \inf {\rho }_0\left(x\right)\le \sup {\rho }_0\left(x\right)\le \bar{\rho },0\le {\theta }_0(\; x\; )\end{array}$

$\begin{array}{l}{\rho }_0\ge 0,{\theta }_0\ge 0\in {ℝ}^3,{\rho }_0\in L^1\cap H^1\cap W^{1,q},\left(u_0,{\theta }_0,\nabla d_0\right)\in D^2\cap D_0^1\\ {\Vert \nabla d_0\Vert }_{L^2}^2\le m_0^{\frac{1}{2}},{\Vert {\nabla }^2{d}_0\Vert }_{L^2}^2=K_1,\left|d_0\right|=1,\end{array}$ (2.7)

和兼容条件

$-\mu \Delta u_0-\left(\mu +\lambda \right)\nabla div{u}_0+R\nabla \left({\rho }_0{\theta }_0\right)+\nabla d_0\cdot \Delta d_0=\sqrt{{\rho }_0}{g}_1$

$k\Delta {\theta }_0+\frac{\mu }{2}{\left|\nabla u_0+{\left(\nabla u_0\right)}^{\text{T}}\right|}^2+\lambda {\left(div{u}_0\right)}^2+{\left|\Delta d_0+{\left|\nabla d_0\right|}^2{d}_0\right|}^2=\sqrt{{\rho }_0}{g}_2$

$\left(\rho ,u,\theta ,d\right)$ 是可压缩向列相液晶流的强解，则存在常数C和大时间t，有如下式子成立：

${\Vert {\nabla }^{2}d\Vert }_{L^2}^{}+{\Vert \nabla d_t\Vert }_{L^2}^{}+{\Vert {\nabla }^{3}d\Vert }_{L^2}^{}\le C{t}^{-\frac{1}{2}}$

${\Vert \sqrt{\rho }u\Vert }_{L^2}^{}\le C{t}^{-\frac{1}{4}}$

3. 主要定理的证明

第一步： ${\Vert {\nabla }^{2}d\Vert }_{L^2}$ 的估计：

由(1.2)₄、Gagliardo-Nirenberg不等式和Hölder不等式可得

$\begin{array}{l}\frac{\text{d}}{\text{d}t}{\Vert {\nabla }^{2}d\Vert }_{L^2}^2+{\Vert \nabla d_t\Vert }_{L^2}^2+{\Vert {\nabla }^{3}d\Vert }_{L^2}^2\\ ={\displaystyle {\int }_{{ℝ}^3}{\left|\nabla d_t-\nabla \Delta d\right|}^2\text{d}x}\\ ={\displaystyle {\int }_{{ℝ}^3}{\left|-\nabla \left(u\cdot \nabla d\right)+\nabla \left({\left|\nabla d\right|}^{2}d\right)\right|}^2\text{d}x}\\ \le C{\Vert \nabla \left(u\cdot \nabla d\right)\Vert }_{L^2}^2+C{\Vert \nabla \left({\left|\nabla d\right|}^{2}d\right)\Vert }_{L^2}^2\end{array}$

$\begin{array}{l}\le C{\Vert \nabla u\Vert }_{L^2}^2{\Vert \nabla d\Vert }_{L^{\infty }}^2+C{\Vert u\Vert }_{L^6}^2{\Vert {\nabla }^{2}d\Vert }_{L^3}^2+C{\Vert \nabla d\Vert }_{L^6}^6+C{\Vert \nabla d\Vert }_{L^6}^2{\Vert {\nabla }^{2}d\Vert }_{L^3}^2\\ \le C{\Vert \nabla u\Vert }_{L^2}^2{\Vert {\nabla }^{2}d\Vert }_{L^2}^{}{\Vert {\nabla }^{3}d\Vert }_{L^2}^{}+C{\Vert {\nabla }^{2}d\Vert }_{L^2}^6+C{\Vert {\nabla }^{2}d\Vert }_{L^2}^2{\Vert {\nabla }^{2}d\Vert }_{L^2}^{}{\Vert {\nabla }^{3}d\Vert }_{L^2}^{}\\ \le \frac{1}{4}{\Vert {\nabla }^{3}d\Vert }_{L^2}^2+C{\Vert \nabla u\Vert }_{L^2}^4{\Vert {\nabla }^{2}d\Vert }_{L^2}^2+C{\Vert {\nabla }^{2}d\Vert }_{L^2}^6.\end{array}$ (3.1)

由(3.1)、(2.2)和(2.4)可得

$\frac{\text{d}}{\text{d}t}{\Vert {\nabla }^{2}d\Vert }_{L^2}^2+{\Vert \nabla d_t\Vert }_{L^2}^2+{\Vert {\nabla }^{3}d\Vert }_{L^2}^2\le C\left({\Vert {\nabla }^{2}d\Vert }_{L^2}^2+{\Vert \nabla u\Vert }_{L^2}^2\right){\Vert {\nabla }^{2}d\Vert }_{L^2}^2$ (3.2)

由此我们可以推导出

$\frac{\text{d}}{\text{d}t}\left(t{\Vert {\nabla }^{2}d\Vert }_{L^2}^2\right)+t\left({\Vert \nabla d_t\Vert }_{L^2}^2+{\Vert {\nabla }^{3}d\Vert }_{L^2}^2\right)\le C\left({\Vert {\nabla }^{2}d\Vert }_{L^2}^2+{\Vert \nabla u\Vert }_{L^2}^2\right)\left(t{\Vert {\nabla }^{2}d\Vert }_{L^2}^2\right)+{\Vert {\nabla }^{2}d\Vert }_{L^2}^2$ (3.3)

由Gronwall不等式和(2.1)可得

$\underset{0\le t\le T}{\sup }\left(t{\Vert {\nabla }^{2}d\Vert }_{L^2}^2\right)+{\displaystyle {\int }_0^{T}t}\left({\Vert \nabla d_t\Vert }_{L^2}^2+{\Vert {\nabla }^{3}d\Vert }_{L^2}^2\right)\le C.$ (3.4)

第二步： ${\Vert \sqrt{\rho }u\Vert }_{L^2}$ 的估计：

对(1.2)₂等式两边同乘以u，在 ${ℝ}^3$ 上分部积分，由Hölder不等式可得

$\begin{array}{l}\frac{1}{2}\frac{\text{d}}{\text{d}t}{\displaystyle \int {}_{{ℝ}^3}\rho {\left|u\right|}^2\text{d}x}+{\displaystyle {\int }_{{ℝ}^3}\left(\mu {\left|\nabla u\right|}^2+\left(\mu +\lambda \right){\left|divu\right|}^2\right)\text{d}x}\\ ={\displaystyle {\int }_{{ℝ}^3}Pdivu\text{d}x}-{\displaystyle {\int }_{{ℝ}^3}u\cdot \left(\nabla d\cdot \Delta d\right)\text{d}x}\\ \le \left(\mu +\lambda \right){\displaystyle {\int }_{{ℝ}^3}{\left|divu\right|}^2\text{d}x}+\frac{1}{4\left(\mu +\lambda \right)}{\displaystyle {\int }_{{ℝ}^3}{P}^2\text{d}x}-{\displaystyle {\int }_{{ℝ}^3}u\cdot \left(\nabla d\cdot \Delta d\right)\text{d}x}\end{array}$ (3.5)

由(3.5)、Hölder不等式、Sobolev不等式、(2.5)可得

$\begin{array}{l}\frac{1}{2}\frac{\text{d}}{\text{d}t}{\Vert \sqrt{\rho }u\Vert }_{L^2}^2+\mu {\Vert \nabla u\Vert }_{L^2}^2\\ \le \frac{1}{4\left(\mu +\lambda \right)}{\Vert \rho \Vert }_{L^3}^2{\Vert \theta \Vert }_{L^6}^2+{\Vert u\Vert }_{L^6}^{}{\Vert \nabla d\Vert }_{L^3}^{}{\Vert {\nabla }^{2}d\Vert }_{L^2}^{}\\ \le \frac{1}{4\left(\mu +\lambda \right)}{\Vert \rho \Vert }_{L^3}^2{\Vert \theta \Vert }_{L^6}^2+C{\Vert \nabla u\Vert }_{L^2}^{}{\Vert \nabla d\Vert }_{L^2}^{\frac{1}{2}}{\Vert {\nabla }^{2}d\Vert }_{L^2}^{\frac{3}{2}}\end{array}$ (3.6)

由(2.5)、Hölder不等式可得

$\begin{array}{l}\frac{1}{2}\frac{\text{d}}{\text{d}t}{\Vert \sqrt{\rho }u\Vert }_{L^2}^2+\mu {\Vert \nabla u\Vert }_{L^2}^2\\ \le C{\Vert \nabla \theta \Vert }_{L^2}^2+\frac{\mu }{2}{\Vert \nabla u\Vert }_{L^2}^2+C{\Vert \nabla d\Vert }_{L^2}^{}{\Vert {\nabla }^{2}d\Vert }_{L^2}^3\end{array}$ (3.7)

对上式化简可得

$\frac{\text{d}}{\text{d}t}{\Vert \sqrt{\rho }u\Vert }_{L^2}^2+{\Vert \nabla u\Vert }_{L^2}^2+{\Vert \nabla \theta \Vert }_{L^2}^2\le C{\Vert \nabla d\Vert }_{L^2}^{}{\Vert {\nabla }^{2}d\Vert }_{L^2}^3$ (3.8)

(3.8)式乘以 $t^{\frac{1}{2}}$ 并在[0, T]上积分，再由(2.1)、(2.2)和(2.3)可得

$\begin{array}{l}\underset{0\le t\le T}{\sup }\left(t^{\frac{1}{2}}{\Vert \sqrt{\rho }u\Vert }_{L^2}^2\right)+{\displaystyle {\int }_0^T{t}^{\frac{1}{2}}}\left({\Vert \nabla u\Vert }_{L^2}^2+{\Vert \nabla \theta \Vert }_{L^2}^2\right)\text{d}t\\ \le \underset{0\le t\le T}{\sup }{\Vert \sqrt{\rho }u\Vert }_{L^2}^2{\displaystyle {\int }_0^{t_0}{t}^{-\frac{1}{2}}}\text{d}t+C{\displaystyle {\int }_{t_0}^T\left({\Vert \nabla u\Vert }_{L^2}^2+{\Vert \nabla \theta \Vert }_{L^2}^2\right)\text{d}t}\\ +\underset{0\le t\le T}{\sup }{\left(t{\Vert {\nabla }^{2}d\Vert }_{L^2}^2\right)}^{\frac{1}{2}}{\displaystyle {\int }_0^T{\Vert \nabla d\Vert }_{L^2}^{}{\Vert {\nabla }^{2}d\Vert }_{L^2}^2\text{d}t}\\ \le C\end{array}$ (3.9)

第三步： ${\Vert \nabla d_t\Vert }_{L^2}^{}$ 的估计。

(1.2)₄关于t求导我们可得

$\begin{array}{c}{d}_{tt}-\Delta d_t={\left(-u\cdot \nabla d+{\left|\nabla d\right|}^{2}d\right)}_t\\ =-u_t\cdot \nabla d-u\cdot \nabla d_t+{\left|\nabla d\right|}^2{d}_t+{\left({\left|\nabla d\right|}^2\right)}_{t}d\end{array}$ (3.10)

由Hölder不等式、Sobolev不等式、Gagliardo-Nirenberg不等式可得

$\begin{array}{l}\frac{\text{d}}{\text{d}t}{\displaystyle \int {\left|\nabla d_t\right|}^2\text{d}x}+{\displaystyle \int \left({\left|d_{tt}\right|}^2+{\left|{\nabla }^2{d}_t\right|}^2\right)\text{d}x}\\ ={\displaystyle \int {\left|d_{tt}-\Delta d_t\right|}^2\text{d}x}\\ \le C{\displaystyle \int {\left|u_t\right|}^2{\left|\nabla d\right|}^2}\text{d}x+C{\displaystyle \int {\left|u\right|}^2{\left|\nabla d_t\right|}^2}\text{d}x+C{\displaystyle \int {\left|\nabla d\right|}^4{\left|d_t\right|}^2}\text{d}x+C{\displaystyle \int {\left|\nabla d\right|}^2{\left|\nabla d_t\right|}^2}\text{d}x\\ \le \frac{1}{2}{\Vert {\nabla }^2{d}_t\Vert }_{L^2}^2+C\left({\Vert \nabla \stackrel{\dot{}}{u}\Vert }_{L^2}^2+{\Vert \nabla u\Vert }_{L^2}^2\right){\Vert {\nabla }^{2}d\Vert }_{L^2}^{}+C{\Vert \nabla u\Vert }_{L^4}^4+C\left({\Vert {\nabla }^{2}d\Vert }_{L^2}^2+{\Vert \nabla u\Vert }_{L^2}^2\right){\Vert \nabla d_t\Vert }_{L^2}^2\end{array}$ (3.11)

由(2.6)，Gagliardo-Nirenberg不等式，Young不等式可得

$\begin{array}{c}{\Vert \nabla u\Vert }_{L^4}^4\le {\Vert \nabla u\Vert }_{L^2}^{}{\Vert \nabla u\Vert }_{L^6}^3\\ \le C{\Vert \nabla u\Vert }_{L^2}^{}{\left({\Vert \sqrt{\rho }\stackrel{\dot{}}{u}\Vert }_{L^2}^{}+{\Vert \nabla \theta \Vert }_{L^2}^{}+{\Vert \nabla d\Vert }_{L^{\infty }}^{}{\Vert {\nabla }^{2}d\Vert }_{L^2}^{}\right)}^3\\ \le C{\Vert \nabla u\Vert }_{L^2}^4+C{\Vert \sqrt{\rho }\stackrel{\dot{}}{u}\Vert }_{L^2}^4+C{\Vert \nabla \theta \Vert }_{L^2}^4+C{\Vert {\nabla }^{2}d\Vert }_{L^2}^2{\Vert {\nabla }^{3}d\Vert }_{L^2}^2\end{array}$ (3.12)

(3.11)乘以t结合(3.12)式可得

$\begin{array}{l}\frac{\text{d}}{\text{d}t}\left(t{\Vert \nabla d_t\Vert }_{L^2}^2\right)+t{\Vert d_{tt}\Vert }_{L^2}^2+t{\Vert {\nabla }^2{d}_t\Vert }_{L^2}^2\\ \le C\left({\Vert {\nabla }^{2}d\Vert }_{L^2}^2+{\Vert \nabla u\Vert }_{L^2}^2\right)\left(t{\Vert \nabla d_t\Vert }_{L^2}^2\right)+Ct\left(\Vert \nabla \stackrel{\dot{}}{u}\Vert +{\Vert \nabla u\Vert }_{L^2}^2\right){\Vert {\nabla }^{2}d\Vert }_{L^2}^{}\\ +Ct\left({\Vert \nabla u\Vert }_{L^2}^4+{\Vert \sqrt{\rho }\stackrel{\dot{}}{u}\Vert }_{L^2}^4+{\Vert \nabla \theta \Vert }_{L^2}^4\right)+Ct{\Vert {\nabla }^{2}d\Vert }_{L^2}^2{\Vert {\nabla }^{3}d\Vert }_{L^2}^2+{\Vert \nabla d_t\Vert }_{L^2}^2\end{array}$ (3.13)

对(3.13)式积分，结合(2.1)、(2.2)和(2.4)可得

$\begin{array}{l}\underset{0\le t\le T}{\sup }\left(t{\Vert \nabla d_t\Vert }_{L^2}^2\right)+{\displaystyle {\int }_0^{T}t\left({\Vert d_{tt}\Vert }_{L^2}^2+{\Vert {\nabla }^2{d}_t\Vert }_{L^2}^2\right)}\\ \le {\displaystyle {\int }_0^T{\Vert \nabla d_t\Vert }_{L^2}^2}\text{d}t+\underset{0\le t\le T}{\sup }\left(t{\Vert {\nabla }^{2}d\Vert }_{L^2}^{}\right){\displaystyle {\int }_0^T\left({\Vert \nabla \stackrel{\dot{}}{u}\Vert }_{L^2}^2+{\Vert \nabla u\Vert }_{L^2}^2\right)\text{d}t}\\ +\underset{0\le t\le T}{\sup }t\left({\Vert \nabla u\Vert }_{L^2}^2+{\Vert \sqrt{\rho }\stackrel{\dot{}}{u}\Vert }_{L^2}^2+{\Vert \nabla \theta \Vert }_{L^2}^2\right){\displaystyle {\int }_0^T\left({\Vert \nabla u\Vert }_{L^2}^2+{\Vert \sqrt{\rho }\stackrel{\dot{}}{u}\Vert }_{L^2}^2+{\Vert \nabla \theta \Vert }_{L^2}^2\right)\text{d}t}\\ +\underset{0\le t\le T}{\sup }\left(t{\Vert {\nabla }^{2}d\Vert }_{L^2}^2\right){\displaystyle {\int }_0^T{\Vert {\nabla }^{3}d\Vert }_{L^2}^2}\text{d}t\\ \le C\end{array}$ (3.14)

第四步： ${\Vert {\nabla }^{3}d\Vert }_{L^2}^{}$ 的估计。

在(1.2)₄作用 $\nabla$ ，我们可得

$\nabla d_t-\nabla \Delta d=-\nabla \left(u\cdot \nabla d\right)+\nabla \left({\left|\nabla d\right|}^{2}d\right)$ (3.15)

由椭圆方程的 $L^2$ 估计、Gagliardo-Nirenberg不等式和Sobolev不等式可得

$\begin{array}{c}{\Vert {\nabla }^{3}d\Vert }_{L^2}\le C{\Vert \nabla d_t\Vert }_{L^2}+C{\Vert \left|u\right|\left|{\nabla }^{2}d\right|\Vert }_{L^2}+C{\Vert \left|\nabla u\right|\left|\nabla d\right|\Vert }_{L^2}+C{\Vert \nabla d\Vert }_{L^6}^3+C{\Vert \left|\nabla d\right|\left|{\nabla }^{2}d\right|\Vert }_{L^2}^{}\\ \le C{\Vert \nabla d_t\Vert }_{L^2}+C\left({\Vert \nabla u\Vert }_{L^2}+{\Vert {\nabla }^{2}d\Vert }_{L^2}\right){\Vert {\nabla }^{2}d\Vert }_{L^2}^{\frac{1}{2}}{\Vert {\nabla }^{3}d\Vert }_{L^2}^{\frac{1}{2}}+C{\Vert {\nabla }^{2}d\Vert }_{L^2}^3\\ \le C{\Vert \nabla d_t\Vert }_{L^2}+\frac{1}{2}{\Vert {\nabla }^{3}d\Vert }_{L^2}^{}+C{\Vert \nabla u\Vert }_{L^2}^2{\Vert {\nabla }^{2}d\Vert }_{L^2}^{}+C{\Vert {\nabla }^{2}d\Vert }_{L^2}^3\end{array}$ (3.16)

因此我们得到

${\Vert {\nabla }^{3}d\Vert }_{L^2}\le C{\Vert \nabla d_t\Vert }_{L^2}+C{\Vert \nabla u\Vert }_{L^2}^2{\Vert {\nabla }^{2}d\Vert }_{L^2}^{}+C{\Vert {\nabla }^{2}d\Vert }_{L^2}^3$ (3.17)

由(2.2)和(2.3)可得

${\Vert {\nabla }^{3}d\Vert }_{L^2}^2\le C{\Vert \nabla d_t\Vert }_{L^2}^2+C{\Vert {\nabla }^{2}d\Vert }_{L^2}^2$ (3.18)

根据(3.4)、(3.14)，有如下式子成立

$\underset{0\le t\le T}{\sup }\left(t{\Vert {\nabla }^{3}d\Vert }_{L^2}^2\right)\le C$ (3.19)

通过以上四步的估计，我们可以得到如下的结论

${\Vert {\nabla }^{2}d\Vert }_{L^2}^{}+{\Vert \nabla d_t\Vert }_{L^2}^{}+{\Vert {\nabla }^{3}d\Vert }_{L^2}^{}\le C{t}^{-\frac{1}{2}}$

${\Vert \sqrt{\rho }u\Vert }_{L^2}^{}\le C{t}^{-\frac{1}{4}}$

证毕。

4. 本论文的研究意义

本篇论文研究了可压缩向列相液晶流方程的大时间行为，在初始质量很小的前提下，得到了解的一些估计，是该方程系统研究上的一些完善，是可压缩向列相液晶流方程的一大进步。