Γ-函数及相关函数的单调性与凹凸性

Some Monotonicity and Concavity and Convexity Properties of Gamma Function and Its Related Functions

摘要: 文中运用求导、对数求导等分析方法，获得了Γ-函数及相关函数的若干单调性和凹凸性，从而推广或改进了一些已有的相关结果。

Abstract: In this paper, some monotonicity and concavity and convexity properties of Gamma function and its related functions are obtained by analytical methods such as differentiation and logarithmic differentiation, and from which some known related results are generalized or improved.

1. 引言

对于正实数x和y，Γ-函数、B-函数、ψ-函数以及Ramanujan R-函数 $R\left(x,y\right)$ 分别定义 [1] 为

$\Gamma \left(x\right)={\displaystyle {\int }_0^{\infty }{\text{e}}^{-t}{t}^{x-1}\text{d}t,B\left(x,y\right)=\frac{\Gamma \left(x\right)\Gamma \left(y\right)}{\Gamma \left(x+y\right)}},\psi \left(x\right)=\frac{{\Gamma }^{\prime }\left(x\right)}{\Gamma \left(x\right)},$ (1)

$R\left(x,y\right)=-2\gamma -\psi \left(x\right)-\psi \left(y\right),$ (2)

其中， $\gamma =\underset{n\to \infty }{\lim }\left[{\displaystyle \underset{k=1}{\overset{n}{\sum }}\left(1/k\right)}-\log n\right]=0.57721566\cdots$ 为Euler-Mascheroni常数。

当 $y=1-x$ 时， $R\left(x\right)\equiv R\left(x,1-x\right)$ 称为Ramanujan常数。

给定复数 $a,b$ 和 $c\left(c\ne 0,-1,-2,\cdots \right)$ ，Gauss超几何函数定义 [1] 为

$F\left(a,b;c;z\right)={}_{2}F{}_1\left(a,b;c;z\right)={\displaystyle \underset{n=0}{\overset{\infty }{\sum }}\frac{\left(a,n\right)\left(b,n\right)}{\left(c,n\right)}\frac{z^n}{n!}},\left|z\right|<1,$ (3)

其中，当 $a\ne 0$ 时， $\left(a,0\right)=1$ ，当 $n\in N$ 时，

$\left(a,n\right)=a\left(a+1\right)\left(a+2\right)\cdots \left(a+n-1\right)=\frac{\Gamma \left(a+n\right)}{\Gamma \left(a\right)}.$

众所周知，Γ-函数在概率论、统计学、物理学和工程技术等领域中有广泛且重要的应用，Γ-函数与B-函数、ψ-函数、Gauss超几何函数等特殊函数有密切的联系 [1] [2] [3] [4] [5] 。2000年后，国内外诸多学者广泛研究了上述函数的性质、应用以及不等式，可参见文献 [6] - [14] 。而Ramanujan常数(R-函数)在Gauss 超几何函数和Ramanujan模方程的研究中占有重要的地位 [1] [14] 。故研究Γ-函数、B-函数、ψ-函数及Ramanujan R-函数的性质在理论上和应用上具有重要意义。

在文献 [4] 中，G.D. Anderson等证明了关于Γ-函数的如下四个重要的引理。

引理1 ( [4] , Lemma2.9)对 $a,b,c,d\in \left(0,+\infty \right),a\le b,c<d,0<\delta <a$ ，且 $n\in N$ ，数列

$P\left(n\right)=\frac{\Gamma \left(n+a-\delta \right)\Gamma \left(n+b+\delta \right)\left[\left(a-\delta \right)\left(b+\delta \right)+\left(c/d\right)\left(n+a+b\right)\right]}{\Gamma \left(n+a\right)\Gamma \left(n+b\right)\left(n+ab+a+b\right)}$

关于n严格单调递减，且 $\underset{n\to \infty }{\lim }P\left(n\right)=c/d$ 。

引理2 ( [4] , Lemma2.10)对 $a,b,u,v\in \left(0,\infty \right),a+b=u+v,n\in N$ ，令

$Q\left(n\right)=\frac{\Gamma \left(n+u\right)\Gamma \left(n+v\right)}{\Gamma \left(n+a\right)\Gamma \left(n+b\right)}$

则：(i) 当 $uv=ab$ 时，对所有 $n\in N$ ，则 $Q\left(n\right)=1$ ；

(ii) 当 $uv<ab\left(uv>ab\right)$ 时，则 $Q\left(n\right)$ 关于n严格单调递减(增)，且 $\underset{n\to \infty }{\lim }Q\left(n\right)=1$ 。

引理3 ( [4] , Lemma2.11)对 $a,b\in \left(0,\infty \right)$ 且 $a\le b$ ，则函数

$f_1\left(x\right)=\Gamma \left(a-x\right)\Gamma \left(b+x\right),f_2\left(x\right)=B\left(a-x,b+x\right),f_3\left(x\right)=R\left(a-x,b+x\right)$

在 $\left(0,a\right)$ 上均是严格单调递增且向下凸的。

引理4 ( [4] , Lemma2.13(1))对 $n\in N,c\in \left(0,\infty \right)$ ，函数

$f_n\left(a\right)=\psi \left(a+n\right)-\psi \left(c-a+n\right)-\psi \left(a\right)+\psi \left(c-a\right)$

关于 $a$ 在 $\left(0,c\right)$ 上严格递减，且 $f_n\left(c/2\right)=0$ 。

本文的主要目的是利用求导、对数求导等分析方法获得Γ-函数、B-函数、ψ-函数及Ramanujan R-函数的一些单调性和凹凸性，从而推广或改进引理1~引理4。作者获得了如下主要结果：

定理1 对 $a,b,u,v\in \left(0,\infty \right),a+b=u+v$ ，且 $x\in R^{+}$ ，令

$S\left(x\right)=\frac{\Gamma \left(x+u\right)\Gamma \left(x+v\right)}{\Gamma \left(x+a\right)\Gamma \left(x+b\right)}$

则：(i) 当 $uv=ab$ 时， $S\left(x\right)=1$ ；

(ii) 当 $uv<ab\left(uv>ab\right)$ 时， $S\left(x\right)$ 关于 $x$ 严格递减且是向下凸(递增)的，且 $\underset{x\to \infty }{\lim }S\left(x\right)=1$ 。

定理2 对 $a,b,c,d\in \left(0,\infty \right),a\le b,c<d,0<\delta <a$ ，且 $\left(a-\delta \right)\left(b+\delta \right)d\ge abc$ ，函数

$T\left(x\right)=\frac{\Gamma \left(x+a-\delta \right)\Gamma \left(x+b+\delta \right)\left[\left(a-\delta \right)\left(b+\delta \right)+\left(c/d\right)\left(x+a+b\right)\right]}{\Gamma \left(x+a\right)\Gamma \left(x+b\right)\left(x+ab\text{+}a+b\right)}$

在 $\left(0,\infty \right)$ 上严格单调递减，且 $\underset{x\to \infty }{\lim }T\left(x\right)=c/d$ 。

定理3 对 $a,b\in \left(0,\infty \right)$ ，函数

$f_1\left(x\right)=\Gamma \left(a-x\right)\Gamma \left(b+x\right),f_2\left(x\right)=B\left(a-x,b+x\right),f_3\left(x\right)=R\left(a-x,b+x\right)$

在 $\left(\left(a-b\right)/2,a\right)$ 上严格递增且向下凸的，在 $\left(-b,\left(a-b\right)/2\right)$ 上严格递减且向下凸的。

定理4 对 $c,p\in \left(0,\infty \right)$ ，函数

$f\left(x\right)=\psi \left(x+p\right)-\psi \left(c-x+p\right)-\psi \left(x\right)+\psi \left(c-x\right)$

从 $\left(0,c\right)$ 到 $\left(-\infty ,\infty \right)$ 上严格递减，且 $f\left(c/2\right)=0$ 。而且，函数 $f$ 在 $\left(0,c/2\right]$ 上向下凸，在 $\left[c/2,c\right)$ 上向上凸。

2. 引理

本节主要给出第三部分主要结果的证明中所需要的一个引理。首先，给出有关Γ-函数和ψ-函数的两个公式。

引理2.1 [1] 著名的Stirling渐近公式

$\underset{x\to +\infty }{\lim }{\text{e}}^x{x}^{1/2-x}\Gamma \left(x\right)=\sqrt{2\pi },x\in R.$ (4)

引理2.2 [1] 对所有的 $z\ne 0,-1,-2,\cdots$ ，ψ-函数具有下述性质：

${\psi }^{(n)}\left(z\right)=\{\begin{array}{c}-\gamma -\frac{1}{z}+{\displaystyle \underset{k=1}{\overset{\infty }{\sum }}\frac{z}{k\left(z+k\right)},n=0,}\\ {\left(-1\right)}^{n+1}n!{\displaystyle \underset{k=0}{\overset{\infty }{\sum }}\frac{1}{{\left(z+k\right)}^{n+1}},n\ge 1.}\end{array}$ (5)

即对 $n\in N\cup \left\{0\right\}$ ，

${\psi }^{(n)}\{\begin{array}{c}单调递增，n是偶数\\ 单调递减，n是奇数。\end{array}$ (6)

引理 2.3 对 $a,b\in \left(0,\infty \right),a\le b,x\in R^{+}$ ，且 $0<\delta <a$ ，函数

$F\left(\delta \right)=\psi \left(x+a-\delta \right)+\psi \left(x+b+\delta \right)$

在 $\left(0,a\right)$ 上严格单调递减。

证明 令 $u=a-\delta ,v=b+\delta ,p=a+b$ ，结合引理2.2的式(5)，对函数 $F\left(\delta \right)$ 求导得

$\begin{array}{l}{F}^{\prime }\left(\delta \right)=-{\displaystyle \underset{k=0}{\overset{\infty }{\sum }}\frac{1}{{\left(x+u+k\right)}^2}+}{\displaystyle \underset{k=0}{\overset{\infty }{\sum }}\frac{1}{{\left(x+v+k\right)}^2}}\\ \begin{array}{cc}& \end{array}={\displaystyle \underset{k=0}{\overset{\infty }{\sum }}\frac{\left(u-v\right)\left(2x+p+2k\right)}{{\left(x+u+k\right)}^2{\left(x+v+k\right)}^2}}\\ \begin{array}{cc}& \end{array}=\left(u-v\right){\displaystyle \underset{k=0}{\overset{\infty }{\sum }}\frac{2x+p+2k}{{\left(x+u+k\right)}^2{\left(x+v+k\right)}^2}},\end{array}$

由于 $u<v$ ，因此 $F^{\prime }\left(\delta \right)<0$ 。从而得 $F\left(\delta \right)$ 在 $\left(0,a\right)$ 上严格单调递减。

3. 主要结果的证明

本节将给出第一部分定理1~定理4的证明。

定理1的证明 为了方便起见，不失一般性，假设 $a\le b$ 且 $u\le v$ 。

(i) 由 $uv=ab$ 且 $a+b=u+v$ ，可得 $u=a,v=b$ 。显然，对 $x\in R^{+}$ ，则 $S\left(x\right)=1$ ；

(ii) 利用 $uv<ab\left(uv>ab\right)$ 且 $a+b=u+v$ ，可得： $\left(u-a\right)\left(b-u\right)<0\left(\left(u-a\right)\left(b-u\right)>0\right)$ 。

结合引理2.2的式(5)，对 $S\left(x\right)$ 进行对数求导得

$\begin{array}{l}\frac{S^{\prime }\left(x\right)}{S\left(x\right)}=\psi \left(x+u\right)+\psi \left(x+v\right)-\psi \left(x+a\right)-\psi \left(x+b\right)\\ \begin{array}{cc}& \end{array}=-\frac{1}{x+u}+{\displaystyle \underset{k=1}{\overset{\infty }{\sum }}\frac{x+u}{k\left(x+u+k\right)}-\frac{1}{x+v}+}{\displaystyle \underset{k=1}{\overset{\infty }{\sum }}\frac{x+v}{k\left(x+v+k\right)}}\\ \begin{array}{cc}& \end{array}+\frac{1}{x+a}-{\displaystyle \underset{k=1}{\overset{\infty }{\sum }}\frac{x+a}{k\left(x+a+k\right)}}+\frac{1}{x+b}-{\displaystyle \underset{k=1}{\overset{\infty }{\sum }}\frac{x+b}{k\left(x+b+k\right)}}\\ \begin{array}{cc}& \end{array}={\displaystyle \underset{k=0}{\overset{\infty }{\sum }}\left[\frac{u-a}{\left(x+a+k\right)\left(x+u+k\right)}+\frac{v-b}{\left(x+b+k\right)\left(x+v+k\right)}\right]}\end{array}$

$\begin{array}{l}\begin{array}{cc}& \end{array}={\displaystyle \underset{k=0}{\overset{\infty }{\sum }}\left[\frac{u-a}{\left(x+a+k\right)\left(x+u+k\right)}-\frac{u-a}{\left(x+b+k\right)\left(x+v+k\right)}\right]}\\ \begin{array}{cc}& \end{array}={\displaystyle \underset{k=0}{\overset{\infty }{\sum }}\frac{\left(u-a\right)\left[\left(b+v-a-u\right)\left(x+k\right)+bv-au\right]}{\left(x+a+k\right)\left(x+u+k\right)\left(x+b+k\right)\left(x+v+k\right)}}\\ \begin{array}{cc}& \end{array}={\displaystyle \underset{k=0}{\overset{\infty }{\sum }}\frac{\left(u-a\right)\left[2\left(b-u\right)\left(x+k\right)+b\left(a+b-u\right)-au\right]}{\left(x+a+k\right)\left(x+u+k\right)\left(x+b+k\right)\left(x+v+k\right)}}\\ \begin{array}{cc}& \end{array}=\left(u-a\right)\left(b-u\right){\displaystyle \underset{k=0}{\overset{\infty }{\sum }}\frac{2\left(x+k\right)+a+b}{\left(x+a+k\right)\left(x+u+k\right)\left(x+b+k\right)\left(x+v+k\right)}},\end{array}$

从而可得S在 $\left(0,\infty \right)$ 上的单调性(见表1)。

Table 1. The monotonicity of S ( x )

表1. $S\left(x\right)$ 的单调性

记 $S_1\left(x\right)={\displaystyle \underset{k=0}{\overset{\infty }{\sum }}\frac{2\left(x+k\right)+a+b}{\left(x+a+k\right)\left(x+u+k\right)\left(x+b+k\right)\left(x+v+k\right)}},$ 则

$S^{\prime }\left(x\right)=\left(u-a\right)\left(b-u\right)S\left(x\right)S_1\left(x\right).$

显然， $S_1>0$ 且在 $\left(0,\infty \right)$ 上严格单调递减。若 $uv<ab$ ，则 $\left(u-a\right)\left(b-u\right)<0$ ，又 $S>0$ 且严格递减，故 $S^{\prime }$ 在上 $\left(0,\infty \right)$ 严格递增，即 $S$ 在 $\left(0,\infty \right)$ 上向下凸(见表2)。

Table 2. The convexity of S ( x )

表2. $S\left(x\right)$ 的凹凸性

由引理2.1的式(4)可得

$\begin{array}{l}\underset{x\to \infty }{\lim }S\left(x\right)=\underset{x\to \infty }{\lim }\frac{\Gamma \left(x+u\right)\Gamma \left(x+v\right)}{\Gamma \left(x+a\right)\Gamma \left(x+b\right)}\\ =\underset{x\to \infty }{\lim }{\left[\frac{\left(x+u\right)\left(x+v\right)}{\left(x+a\right)\left(x+b\right)}\right]}^x\frac{{\left(x+u\right)}^{a+b-v}{\left(x+v\right)}^v}{{\left(x+a\right)}^a{\left(x+b\right)}^b}\\ =\underset{x\to \infty }{\lim }{\left[1+\frac{uv-ab}{x^2+\left(a+b\right)x+ab}\right]}^x{\left(\frac{x+u}{x+a}\right)}^a{\left(\frac{x+u}{x+b}\right)}^b{\left(\frac{x+v}{x+u}\right)}^v\\ =1.\end{array}$

定理2的证明 令 $u=a-\delta ,v=b+\delta ,p=a+b$ ，对 $T\left(x\right)$ 进行对数求导得

$\begin{array}{l}\frac{T^{\prime }\left(x\right)}{T\left(x\right)}=\psi \left(x+u\right)+\psi \left(x+v\right)-\psi \left(x+a\right)-\psi \left(x+b\right)+\frac{c/d}{uv+\left(c/d\right)\left(x+p\right)}-\frac{1}{x+ab+p}\\ \begin{array}{cc}& \end{array}=\psi \left(x+u\right)+\psi \left(x+v\right)-\psi \left(x+a\right)-\psi \left(x+b\right)+\frac{1}{\left(duv/c\right)+x+p}-\frac{1}{x+ab+p}\\ \begin{array}{cc}& \end{array}=\left[\psi \left(x+u\right)+\psi \left(x+v\right)\right]-\left[\psi \left(x+a\right)+\psi \left(x+b\right)\right]+\left(\frac{1}{x+\left(duv/c\right)+p}-\frac{1}{x+ab+p}\right)\\ \begin{array}{cc}& \end{array}=F\left(\delta \right)-F\left(0^{+}\right)+\left(\frac{1}{x+\left(duv/c\right)+p}-\frac{1}{x+ab+p}\right),\end{array}$

其中， $F$ 由引理2.3中定义。根据引理2.3， $F\left(\delta \right)-F\left(0^{+}\right)<0$ ，又 $uvd\ge abc$ ，可得 $T^{\prime }\left(x\right)<0$ ，故函数 $T$ 在 $\left(0,\infty \right)$ 上是严格单调递减的。

因为 $uv<ab$ ，根据定理1，可得

$\underset{x\to \infty }{\lim }T\left(x\right)=\frac{c}{d}\underset{x\to \infty }{\lim }\frac{\Gamma \left(x+a-\delta \right)\Gamma \left(x+b+\delta \right)}{\Gamma \left(x+a\right)\Gamma \left(x+b\right)}=\frac{c}{d}.$

定理3的证明 对 $f_1\left(x\right)$ 进行对数求导得

${f^{\prime }}_1\left(x\right)=f_1\left(x\right)\left[\psi \left(b+x\right)-\psi \left(a-x\right)\right],$

当 $x\in \left(\frac{a-b}{2},a\right)$ 时，由(6)式知， ${f^{\prime }}_1\left(x\right)>0$ ，且 ${f^{\prime }}_1\left(x\right)$ 为两个正的且严格递增函数的乘积。

当 $x\in \left(-b,\frac{a-b}{2}\right)$ 时，由(6)式知， ${f^{\prime }}_1\left(x\right)<0$ ，且 $-{f^{\prime }}_1\left(x\right)=f_1\left(x\right)\left[\psi \left(a-x\right)-\psi \left(b+x\right)\right]$ 为两个正的且严格递减函数的乘积。因此，可得 $f_1$ 的单调性和凹凸性(见表3)。

Table 3. The monotonicity and convexity of f 1 ( x )

表3. $f_1\left(x\right)$ 的单调性和凹凸性

由于 $f_2\left(x\right)=f_1\left(x\right)/\Gamma \left(a+b\right)$ ，故关于 $f_2$ 的结论成立。

结合式(2)，则 $f_3\left(x\right)=R\left(a-x,b+x\right)=-2\gamma -\psi \left(a-x\right)-\psi \left(b+x\right)$ ，

进一步求导得 ${f^{\prime }}_3\left(x\right)={\psi }^{\prime }\left(a-x\right)-{\psi }^{\prime }\left(b+x\right)$ ，由(6)式知，当 $x\in \left(\frac{a-b}{2},a\right)$ 时， ${f^{\prime }}_3\left(x\right)$ 为正的且严格递增。当 $x\in \left(-b,\frac{a-b}{2}\right)$ 时， ${f^{\prime }}_3\left(x\right)$ 为负的且严格递增。从而，可得 $f_3$ 的结论(见表4)。

Table 4. The monotonicity and convexity of f 3 ( x )

表4. $f_3\left(x\right)$ 的单调性和凹凸性

定理4的证明 根据( [6] ，引理2.14(1))，可知函数f单调性的证明。下面只证明f的凹凸性。

对f进行求导，得

$\begin{array}{l}{f}^{\prime }\left(x\right)={\psi }^{\prime }\left(x+p\right)+{\psi }^{\prime }\left(c-x+p\right)-{\psi }^{\prime }\left(x\right)-{\psi }^{\prime }\left(c-x\right),\\ f^{″}\left(x\right)={\psi }^{″}\left(x+p\right)-{\psi }^{″}\left(c-x+p\right)-{\psi }^{″}\left(x\right)+{\psi }^{″}\left(c-x\right),f^{″}\left(c/2\right)=0,\\ f^{‴}\left(x\right)=\left[{\psi }^{‴}\left(x+p\right)-{\psi }^{‴}\left(x\right)\right]+\left[{\psi }^{‴}\left(c-x+p\right)-{\psi }^{‴}\left(c-x\right)\right],\end{array}$

由(6)式可知， ${\psi }^{‴}$ 单调递减，故 $f^{‴}\left(x\right)<0$ 。从而， $f^{″}$ 单调递减，进而可获得f的凹凸性(见表5)。

Table 5. The convexity of f ( x )

表5. $f\left(x\right)$ 的凹凸性

4. 结论

本文主要获得了Γ-函数、B-函数、ψ-函数及Ramanujan R-函数的一些单调性和凹凸性，从而推广或改进了引理1~引理4。这一研究具有一定的理论和应用意义，对于深入理解特殊函数的性质、改进不等式及解决相关问题有一定的推动作用。然而，仍有几个问题尚待解决。例如，

(1) 定理1 (ii)中，当 $uv>ab$ 时，S在 $\left(0,\infty \right)$ 上的凹凸性如何？

(2) 定理2中，当 $\left(a-\delta \right)\left(b+\delta \right)d<abc$ 时，T在 $\left(0,\infty \right)$ 上单调性如何？

通过定理1~定理4的证明，不难发现上述函数的性质都与ψ-函数的n阶导数有关，揭示ψ-函数的有意义的性质是值得进一步研究的内容。

致谢

在此特别感谢评审专家给予的宝贵意见，同时感谢编辑提供的优质服务。

基金项目

浙江理工大学科技与艺术学院科研基金项目(KY2022003)，浙江省高等学校访问学者项(FX2023103)，浙江机电职业技术学院科教融合重点项目(A027123212)和浙江机电职业技术学院科技创新团队项目(A207421008)。

参考文献

NOTES

^*通讯作者。