I、II类工况下堆芯预计发生DNB燃料棒数量的统计学计算方法

Statistical Calculation Methodology of the Expected Number of Fuel Rods Experiencing DNB in Core under Condition I and Condition II

摘要: 偏离泡核沸腾(DNB, Departure from Nucleate Boiling)设计准则用于确保在I、II类工况下，极限燃料棒表面不发生DNB。然而DNB设计准则考虑了95/95原则，因此即使验证了堆芯在特定工况下满足DNB设计准则，堆芯发生DNB燃料棒数量的期望值仍然可能大于1根。为了验证满足DNB设计准则的I、II类工况下堆芯发生DNB燃料棒数量的期望值小于1根，一种全新的用于计算I、II类工况下堆芯发生DNB燃料棒数量的统计学方法被建立。CPR1000堆型的一种典型II类事故工况通过这种方法进行了分析。结果显示堆芯预计发生DNB燃料棒数量的期望值小于1，即从统计学角度认为在该工况下堆芯不会发生DNB。

Abstract: Departure from nucleate boiling (DNB, Departure from Nucleate Boiling) design basis is used to ensure that DNB does not occur on fuel rods under condition I and condition II. However, 95/95 principle is used in DNB design basis, so that the expected number of fuel rods experiencing DNB may still be greater than 1, even if the core meets DNB design basis under a specific condition. In order to verify that the expected number of fuel rods experiencing DNB in core which meets DNB design basis under condition I and condition II is less than 1, a new statistical methodology for calculating the expected number of fuel rods experiencing DNB under condition I and condition II is established. And a typical condition II of CPR1000 unit is analyzed with this methodology. The result shows that the expected number of fuel rods experiencing DNB under this typical condition is less than 1, which means that DNB does not occur in core from a statistical point of view.

1. 引言

在反应堆热工水力设计中，为了确保堆芯的安全性，在设计上必须满足一定的设计准则，其中包含了DNB设计准则：在正常运行、运行瞬态以及由中等频率故障引起的任何瞬态(I、II类工况)中，极限燃料棒不发生DNB的概率至少为95%，并具有95%的置信度(简称95/95原则) [1] 。进而根据DNB设计准则设计出DNBR (Departure from Nucleate Boiling Ratio)设计限值。

目前对于I、II类工况，只需验证堆芯最小DNBR大于DNBR设计限值即可认为堆芯满足DNB设计准则。由于DNB设计准则考虑了95/95原则，当某根燃料棒表面的最小DNBR接近DNBR设计限值时，这根燃料棒的表面在95%置信度水平下仍然有接近5%的概率会发生DNB。当足够多的燃料棒处于或者接近极限功率时(燃料棒表面最小DNBR接近DNBR设计限值时)，在95%置信度水平下，堆芯预计发生DNB燃料棒数量的期望值仍然可能大于1，即从统计学角度认为堆芯仍然可能发生DNB。

在压水堆安全分析中，对于部分Ⅲ、Ⅳ类工况，需要评估堆芯发生DNB的燃料棒份额 [2] [3] 。本文借鉴Ⅲ、Ⅳ类工况下堆芯发生DNB的燃料棒份额的计算方法，推导了计算堆芯燃料棒发生DNB概率的公式，建立了I、II类工况堆芯发生DNB燃料棒数量的统计学计算方法。此外，本文采用保守的假设条件，针对CPR1000核电厂的一个典型II类事故工况进行分析，论证了该工况下堆芯预计发生DNB的燃料棒数量的期望值小于1。

2. 统计学方法论

2.1. 方法论主要步骤

堆芯预计发生DNB燃料棒数量计算的统计学方法论主要分为以下几个步骤：

1) 选取需要分析的特定工况，确定堆芯各个功率水平的燃料棒数量；

2) 使用堆芯热工水力子通道程序计算该工况下堆芯各处燃料棒表面的最小DNBR；

3) 使用统计学方法计算95%置信度水平下每根燃料棒表面最小DNBR处发生DNB的概率；

4) 计算堆芯预计发生DNB燃料棒数量的期望值。

此统计学方法论的核心步骤在于计算95%置信度水平下最小DNBR处发生DNB概率。

2.2. DNB概率计算

如果将真实DNBR记为z，那么z可以写为以下形式：

$z=\frac{{\text{CHF}}_{\text{M}}}{\Phi }$ (1)

其中：是试验测得的临界热流密度(CHF, Critical Heat Flux)；是实际热流密度。

z是一个随机变量，包含了以下几个方面的不确定度：

1) CHF关系式的不确定度；

2) 热工参数的不确定度；

3) 瞬态的不确定度；

4) 程序的不确定度。

其中热工参数的不确定度主要考虑以下热工参数：

1) 堆芯功率；

2) 一回路压力；

3) 反应堆压力容器(RPV, Reactor Pressure Vessel)入口冷却剂温度；

4) 核焓升热管因子；

5) 工程焓升热管因子。

对于给定的不确定度 $U_i$ ，其对应的标准差 ${\sigma }_i$ 由不确定度的分布类型决定：

-正态分布：

${\sigma }_i=\frac{U_i}{1.645}$ (2)

-均匀分布：

${\sigma }_i=\frac{U_i}{\sqrt{3}}$ (3)

CHF关系式的不确定度与热工参数的不确定度一并计算。CHF关系式与参数的不确定度、瞬态的不确定度和程序的不确定度彼此独立。因此，总的不确定度所对应的标准差 ${\sigma }_z$ 可以写为以下形式：

${\sigma }_z=\sqrt{{\sigma }_{参数-关系式}^2+{\sigma }_{程序}^2+{\sigma }_{瞬态}^2}$ (4)

其中： ${\sigma }_{参数-关系式}$ 是CHF关系式和参数的标准差； ${\sigma }_{程序}$ 是程序的标准差； ${\sigma }_{瞬态}$ 是瞬态的标准差。

对于选定的工况， ${\sigma }_{参数-关系式}$ 通过以下统计方法计算：

1) 以选定工况的热工参数初始值为平均值，按照热工参数的分布类型和标准差，采用拉丁超立方的方法随机生成n (例如1000)个热工参数组(新的工况)；

2) 使用堆芯热工水力子通道程序计算选定工况和第1步随机生成的n个工况的最小DNBR；

3) 为了考虑CHF关系的不确定度，需要对第2步随机生成的n个工况的最小DNBR按以下算法进行修正：

${\text{DNBR}}_{修正}=\text{DNBR}\times \left[{\mu }_c+{\sigma }_{关系式}\times C\right]$ (5)

其中：DNBR为随机生成工况的最小DNBR计算值； ${\mu }_c$ 为随机变量 $\frac{{\text{CHF}}_{\text{M}}}{{\text{CHF}}_{\text{P}}}$ 的平均值， ${\text{CHF}}_{\text{P}}$ 是依据CHF关系式预测得到的CHF； ${\sigma }_{关系式}$ 为CHF关系式的标准差；C为符合标准正态分布的随机变量； ${\text{DNBR}}_{修正}$

为修正之后的DNBR值。

1) 基于n个修正之后的DNBR值，计算出随机变量 ${\text{DNBR}}_{修正}$ 样本的标准差 ${\sigma }_{all}$ ；

2) 基于随机变量 ${\text{DNBR}}_{修正}$ 样本的标准差 ${\sigma }_{all}$ ，保守计算出CHF关系式与参数的标准差：

${\sigma }_{参数-关系式}=\left(\sqrt{\left(n-1\right)/{\chi }_{n-1,95}^2}\right)\times {\sigma }_{all}$ (6)

其中： ${\chi }_{n-1,95}^2$ 是95%概率和n-1自由度对应的卡方分布值 [4] 。

z符合平均值为 ${\mu }_z$ ，标准差为 ${\sigma }_z$ 的正态分布：

$z~N\left({\mu }_z,{\sigma }_z^2\right)$ (7)

基于堆芯热工水力子通道程序和CHF关系计算得到的DNBR的定义如下：

$\text{DNBR}=\frac{{\text{CHF}}_{\text{P}}}{\Phi }$ (8)

在堆芯热工水力子通道程序和CHF关系式确定之后，DNBR的计算结果只取决于上述热工参数的取值。依据中心极限定理可知，无论上述热工参数符合何种分布，DNBR都符合正态分布。而DNBR分布的均值 $\overline{\text{DNBR}}$ 就等于当各个热工参数都取其最佳估算值时计算得到的DNBR。

由(1)式和(8)式可知，z可以写为以下形式：

$z=\frac{{\text{CHF}}_{\text{M}}}{{\text{CHF}}_{\text{P}}}\times \text{DNBR}$ (9)

根据CHF试验能够得到 $\frac{{\text{CHF}}_{\text{M}}}{{\text{CHF}}_{\text{P}}}$ 的数据库。 $\frac{{\text{CHF}}_{\text{M}}}{{\text{CHF}}_{\text{P}}}$ 数据库的平均值 $m_c$ 和标准差 $s_c$ 直接计算即可。然而随机变量 $\frac{{\text{CHF}}_{\text{M}}}{{\text{CHF}}_{\text{P}}}$ 真实的平均值 ${\mu }_c$ 和标准差 ${\sigma }_c$ 则是基于 $m_c$ 和 $s_c$ 计算得到。在95%置信水平下， ${\mu }_c$ 和 ${\sigma }_c$

可以按照以下公式保守计算得到：

${\mu }_c=m_c-\left(\left|t_{n-1,95}\right|/\sqrt{n}\right)s_c$ (10)

其中： $t_{n-1.95}$ 是95%概率和n-1自由度对应的Student分布值 [5] 。

${\sigma }_c=\left(\sqrt{\left(n-1\right)/{\chi }_{n-1,95}^2}\right)s_c$ (11)

当一根燃料棒表面的最小真实DNBR为z时，这根燃料棒表面发生DNB的概率 $P\left(\text{DNB}\right)$ 有如下形式：

$P\left(\text{DNB}\right)=P\left(z<I\right)$ (12)

其中：I是燃料棒弯曲的设计惩罚因子，I大于1。

由(7)式可知随机变量 $\frac{z-{\mu }_z}{{\sigma }_z}$ 符合标准正态分布：

$\frac{z-{\mu }_z}{{\sigma }_z}~N\left(0,1\right)$ (13)

由于 ${\sigma }_z$ 是非0正数，所以(12)式可以转化为如下形式：

$P\left(\text{DNB}\right)=P\left(\frac{z-{\mu }_z}{{\sigma }_z}<\frac{I-{\mu }_z}{{\sigma }_z}\right)$ (14)

标准正态分布的概率密度函数如下：

$f\left(t\right)=\frac{1}{\sqrt{2\pi }}{\text{e}}^{-\frac{t^2}{2}}$ (15)

由(14)式和(15)式可知：

$P\left(\text{DNB}\right)=\frac{1}{\sqrt{2\pi }}{\displaystyle {\int }_{-\infty }^{\frac{I-{\mu }_z}{{\sigma }_z}}{\text{e}}^{-\frac{t^2}{2}}}\text{d}t$ (16)

由(9)式可知：

${\mu }_z={\mu }_c\times \overline{\text{DNBR}}$ (17)

将(17)式代入(16)式可得：

$P\left(\text{DNB}\right)=\frac{1}{\sqrt{2\pi }}{\displaystyle {\int }_{-\infty }^{\frac{I-{\mu }_c\times \overline{DNBR}}{{\sigma }_z}}{\text{e}}^{-\frac{t^2}{2}}\text{d}t}$ (18)

根据以上推导，当一根燃料棒表面的最小DNBR值(最佳估算值)确定时，将其带入(18)式即可计算对应的此根燃料棒表面发生DNB的概率。

当堆芯内每一根燃料棒表面的最小DNBR值确定时，堆芯预计发生DNB燃料棒数量的期望值 $E\left(\text{DNB}\right)$ 表达式如下：

$E\left(\text{DNB}\right)={\displaystyle \underset{i}{\sum }{P}_i\left(\text{DNB}\right)}$ (19)

其中i为燃料棒的编号， $P_i\left(\text{DNB}\right)$ 为编号为i的燃料棒发生DNB的概率。

3. 典型工况分析

本文针对CPR1000核电厂的一个II类典型事故工况，按照第2章的统计学方法论计算了预计表面发生DNB的燃料棒数量。

3.1. 运行参数及不确定度

选取的典型工况为I、II类工况中非常恶劣的工况。该工况的运行参数如下表1所示。

Table 1. Operating conditions of typical condition

表1. 典型工况运行参数

各种热工参数的分布类型和不确定度如下表2所示。

Table 2. Distribution type and uncertainty of thermal parameters

表2. 热工参数的分布及不确定度

3.2. 功率分布

堆芯轴向功率分布采用峰值为1.55的截尾余弦分布。

堆芯径向功率分布采用一种包络的参考堆芯径向功率分布，热组件在堆芯中心，热组件及其相邻组件的组件F_ΔH为1.52，子通道的峰值F_ΔH为1.59。

3.3. 燃料统计曲线

燃料棒统计曲线反映了堆芯内高于某一种棒功率水平的燃料棒份额。与典型工况分析采用的堆芯径向功率分布对应的燃料棒统计曲线如图1所示。图中横坐标表示F_ΔH数值，纵坐标表示堆芯中功率高于该F_ΔH数值的燃料棒份额。

Figure 1. Fuel rod census

图1. 燃料棒统计曲线

3.4. 计算结果

按照第2章介绍的统计学方法结合相关输入，计算了典型工况对应的预计发生DNB燃料棒的数量，如图2所示。

Figure 2. Expected number of fuel rods experiencing DNB

图2. 预计发生DNB燃料棒的数量

由图2可知，对于此典型工况，当F_ΔH为1.519时，预计发生DNB燃料棒数量的期望值最大，为0.205根。除此之外，其他F_ΔH值对应的预计发生DNB燃料棒数量的期望值均小于0.1根。图2的计算结果取决于各个F_ΔH值对应的燃料棒表面发生DNB的概率和燃料棒的数量。整个堆芯预计发生DNB的燃料棒数量的期望值仅为0.389根。

4. 结论

本文推导了计算堆芯燃料棒发生DNB概率的公式，建立了I、II类工况堆芯发生DNB燃料棒数量的统计学计算方法。此外，本文采用保守的假设条件，针对CPR1000核电厂的一个典型II类事故工况进行分析。计算结果显示在该典型工况下，堆芯预计发生DNB燃料棒数量的期望值小于1，即统计学角度认为堆芯不会发生DNB。这种统计学方法也适用于其他压水堆堆型I、II类工况下堆芯发生DNB燃料棒数量的计算。