PM  >> Vol. 8 No. 2 (March 2018)

    广义Gronwall不等式及相关注记
    The Generalized Gronwall Inequalities and Related Notes

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作者:  

孔志宏:太原师范学院数学系,山西 晋中

关键词:
广义Gronwall不等式积分Generalized Gronwall Inequalities Integral

摘要:

给出了(准确的)广义Gronwall不等式及其证明,并指出了文献[1]和[2]中的错误。

In this paper, the accurate generalized Gronwall inequalities are presented and proved. In addition, we pointed out the mistakes in the literature [1] and [2].

1. 引言

Gronwall不等式是一个重要的积分不等式,在研究和论证诸如Cauchy问题解的唯一性、解对初值和参数的连续性和可微性等方面起着重要的作用。详见 [1] [2] [3] [4] [5] 等诸多文献。本文给出了(准确的)广义Gronwall不等式及其证明,并指出了文献 [1] 和 [2] 中的错误。

定理(广义Gronwall不等式)假设函数 ψ ( t ) 满足

ψ ( t ) α ( t ) + 0 t β ( s ) ψ ( s ) d s , t [ 0 , T ] (1)

其中 α ( t ) R β ( t ) 0 。则有下面两个不等式成立:

ψ ( t ) α ( t ) + 0 t α ( s ) β ( s ) exp ( s t β ( r ) d r ) d s , t [ 0 , T ] (2)

ψ ( t ) | α ( t ) | exp ( 0 t β ( s ) d s ) , t [ 0 , T ] (3)

2. 不等式(2)的另一种证法

R ( t ) = α ( t ) + 0 t β ( s ) ψ ( s ) d s (4)

R ( t ) = α ( t ) + β ( t ) ψ ( t ) α ( t ) + β ( t ) R (t)

上式两端同乘以 exp ( 0 t β ( s ) d s ) ,得

R ( t ) exp ( 0 t β ( s ) d s ) β ( t ) R ( t ) exp ( 0 t β ( s ) d s ) α ( t ) exp ( 0 t β ( s ) d s )

d d t [ R ( t ) exp ( 0 t β ( s ) d s ) ] α ( t ) exp ( 0 t β ( s ) d s )

上式两端从0到t积分,得

R ( t ) exp ( 0 t β ( s ) d s ) R ( 0 ) 0 t exp ( 0 s β ( r ) d r ) d α (s)

由(4)知 R ( 0 ) = α ( 0 ) ,于是

R ( t ) exp ( 0 t β ( s ) d s ) α ( 0 ) α ( t ) exp ( 0 t β ( s ) d s ) α ( 0 ) + 0 t α ( s ) β ( s ) exp ( 0 s β ( r ) d r ) d s

R ( t ) α ( t ) + 0 t α ( s ) β ( s ) exp ( s t β ( r ) d r ) d s

再次用已知条件 ψ ( t ) R ( t ) ,即得式(2)。

3. 不等式(3)的证明

ψ ( t ) 0 的情形,因 β ( t ) 0 ,所以 0 t β ( s ) ψ ( s ) d s 0 。 再由条件 ψ ( t ) R ( t ) ,我们有

α ( t ) + β ( t ) ψ ( t ) α ( t ) + 0 t β ( s ) ψ ( s ) d s α ( t ) α ( t ) + β ( t ) (5)

式(5)两端从0到t积分,得

ln | α ( t ) + 0 t β ( s ) ψ ( s ) d s | ln | α ( 0 ) | ln | α ( t ) | ln | α ( 0 ) | + 0 t β ( s ) d s

即有

ln | α ( t ) + 0 t β ( s ) ψ ( s ) d s | | α ( t ) | 0 t β ( s ) d s

由于 ln ψ ( t ) ln | α ( t ) + 0 t β ( s ) ψ ( s ) d s | ,故当 α ( t ) ± 1

ln ψ ( t ) | α ( t ) | 0 t β ( s ) d s

从而

ψ ( t ) | α ( t ) | exp ( 0 t β ( s ) d s )

α ( t ) = ± 1 时,由上面的过程可推得 ψ ( t ) exp ( 0 t β ( s ) d s )

α ( 0 ) = 0 时,由所设条件(1)知, ψ ( 0 ) = 0 = α ( 0 )

此时式(3)中等号成立。又由于 | α ( t ) | exp ( 0 t β ( s ) d s ) 0 ,因此当 ψ ( t ) < 0 时,式(3)显然成立。至此式(3)得证。

4. 相关注记

文献 [1] 中,式(2-33)中指数函数里 β ( r ) 的积分区间是错误的,不是 [ 0 , t ] ,应是 [ s , t ] ;同时,其式(2-34)成立的条件:“如果,另外对 s t α ( s ) α ( t ) ”是不需要的,这一点,从上述式(3)的证明过程中可以看出;还有,其式(2-34)中 α ( t ) 应改为 | α ( t ) |

文献 [2] 中,b)的条件:“若 ψ ( x ) 还是非负的单调不减函数”是不需要的,只需将结论中不等式右端的 ψ ( x ) 改为 | ψ ( x ) | 即可,或者,将上述条件中的“单调不减函数”的假设去掉,同样能保证其结论成立。

参考文献

文章引用:
孔志宏. 广义Gronwall不等式及相关注记[J]. 理论数学, 2018, 8(2): 132-135. https://doi.org/10.12677/PM.2018.82017

参考文献

[1] 盖拉德•泰休. 常微分方程与动力系统[M]. 金成桴, 译. 北京: 机械工业出版社, 2011: 31-33.
[2] 周尚仁, 权宏顺. 常微分方程习题集[M]. 北京: 高等教育出版社, 1980: 75-76.
[3] 张锦炎, 冯贝叶. 常微分方程几何理论与分支问题[M]. 北京: 北京大学出版社, 2000: 12-15.
[4] 陆启韶, 彭临平, 杨卓琴. 常微分方程与动力系统[M]. 北京: 北京航空航天大学出版社, 2010: 16-20.
[5] 范进军. 常微分方程续论[M]. 济南: 山东大学出版社, 2009: 30-34.