应用数学进展  >> Vol. 7 No. 6 (June 2018)

一类捕食系统中的Hopf分岔
Hopf Bifurcation in a Class of Predator-Prey Systems

DOI: 10.12677/AAM.2018.76081, PDF, HTML, XML, 下载: 559  浏览: 754  国家自然科学基金支持

作者: 李自尊:百色学院,广西 百色

关键词: 捕食系统Lyapunov系数Hopf分岔Predator-Prey System Lyapunov Coefficient Hopf Bifurcation

摘要: 本文研究了食饵具有防御机制的一类捕食系统。通过计算Lyapunov系数证明内部平衡点为一阶细焦点, 并给出了Hopf分岔的参数条件。
Abstract: In this paper, we studied a class of predator-prey system with a defense mechanism of the prey. By calculating the Lyapunov coefficient, the internal equilibrium point is proved to be a first order weak focus, and the parameter conditions of Hopf bifurcation are given.

文章引用: 李自尊. 一类捕食系统中的Hopf分岔[J]. 应用数学进展, 2018, 7(6): 680-684. https://doi.org/10.12677/AAM.2018.76081

1. 引言

Ajraldi [1] 研究了如下的食饵具有牧群行为的广义Holling-II功能函数反应

d x d t = r x ( 1 x n ) α x y 1 + t h α x , d y d t = s y + c α x y 1 + t h α x .

Braza [2] 研究了简化的食饵含有二次根号防御机制的函数反应

d x d t = x ( 1 x ) x y , d y d t = s y + c x y ,

给出了内部平衡定的稳定性分析,在给出Hopf分岔分析时,并未计算Lyapunov系数,所以并不清楚在Hopf临界值时细焦点的阶数。

本文在上述研究成果的基础上,研究了一类食饵具有三次根号防御机制的函数反应

d x d t = x ( 1 x ) x 3 y , d y d t = s y + c x 3 y . (1)

给出了内部平衡点的稳定性分析,并在判断Hopf分岔时给出了Lyapunov系数的值,计算出平衡点的类型为一阶稳定细焦点,改变参数后系统会发生Hopf分岔,平衡点的稳定性改变,分岔出一个稳定的极限环(参考 [3] [4] [5] )。

2. 主要结果

方程(1)的内部平衡点为 E ( x * , y * ) = ( ( s c ) 3 , s 2 c 2 ( 1 s 3 c 3 ) ) ,其Jacobian矩阵为

J ( x , y ) = [ 1 2 x 1 3 x 2 3 y x 1 3 1 3 c x 2 3 y s + c x 1 3 ] . (2)

定理2.1 假设 s < s 0 = ( 2 5 ) 1 3 c ,即为 x * < 1 3 ,则系统(1)在 R + 2 有一个从平衡点E经过

Hopf分岔出的稳定的极限环。

证明 由(2),可得

J ( E ( x * , y * ) ) = [ 2 c 3 5 s 3 3 c 3 s c c 3 s 3 3 c 2 0 ] . (3)

σ ( s ) = t r J ( E ( x * , y * ) ) , Δ ( s ) = det J ( E ( x * , y * ) ) , μ ( s ) = 1 2 σ ( s ) , ω ( s ) = 1 2 4 Δ ( s ) σ 2 ( s )

由(3),可得

μ ( s ) = 1 2 σ ( s ) = 2 c 3 5 s 3 6 c 3 ,

s 0 = ( 2 5 ) 1 3 c 时, μ ( s 0 ) = 0 ,可得

ω ( s 0 ) = c 5 × ( 2 5 ) 1 3 > 0.

我们可以检验如下横截条件

μ ( s 0 ) = 5 2 c × ( 2 5 ) 2 3 < 0.

s = s 0 时,平衡点 E ( x * , y * ) 的坐标为

E ( x * , y * ) = ( 2 5 , 3 5 × ( 2 5 ) 2 3 ) .

为了把平衡点坐标移到原点 ( 0 , 0 ) ,我们作平移变换

x = 2 5 + ξ 1 , y = 3 5 × ( 2 5 ) 2 3 + ξ 2 .

则系统(1)变换为

ξ 1 = ( 2 5 ) 1 3 ξ 2 5 6 ξ 1 2 1 3 × ( 2 5 ) 2 3 ξ 1 ξ 2 25 108 ξ 1 3 + 1 9 ( 2 5 ) 5 3 ξ 1 2 ξ 2 + o ( | ξ 1 , ξ 2 | 4 ) , ξ 2 = c 5 ξ 1 c 6 ξ 1 2 + c 3 × ( 2 5 ) 2 3 ξ 1 ξ 2 + 25 c 108 ξ 1 3 c 9 × ( 2 5 ) 5 3 ξ 1 2 ξ 2 + o ( | ξ 1 , ξ 2 | 4 ) . (4)

我们可以把系统(4)写成如下形式

ξ = A ξ + 1 2 B ( ξ , ξ ) + 1 6 C ( ξ , ξ , ξ ) ,

其中B,C为向量函数,令 ξ = ( ξ 1 , ξ 2 ) T , η = ( η 1 , η 2 ) T , δ = ( δ 1 , δ 2 ) T ,则由(4),可得

B ( ξ , η ) = ( 5 3 ξ 1 η 1 1 3 ( 2 5 ) 2 3 ( ξ 1 η 2 + ξ 2 η 1 ) c 3 ξ 1 η 1 + c 3 ( 2 5 ) 2 3 ( ξ 1 η 2 + ξ 2 η 1 ) ) , (5)

C ( ξ , η , δ ) = ( 25 16 ξ 1 η 1 δ 1 + 2 9 ( 2 5 ) 5 3 ( ξ 1 η 1 δ 2 + ξ 1 η 2 δ 1 + ξ 2 η 1 δ 1 ) 25 16 ξ 1 η 1 δ 1 2 c 9 ( 2 5 ) 5 3 ( ξ 1 η 1 δ 2 + ξ 1 η 2 δ 1 + ξ 2 η 1 δ 1 ) ) (6)

其中 A = J ( E ( s 0 ) ) ,即为

A = ( 0 ( 2 5 ) 1 3 c 5 0 ) = ( 0 ( 2 5 ) 1 3 ω 2 ( 5 2 ) 1 3 0 ) , (7)

其中 ω 2 = ω 2 ( s 0 ) = c 5 × ( 2 5 ) 1 3

方程 A q = i ω q , A T p = i ω p 的复特征向量为

q = ( 2 1 3 i ω 5 1 3 ) , p = 1 2 ω 5 1 3 2 1 3 ( 5 1 3 ω i 2 1 3 ) , (8)

p , q = 1 。由(5),(6),(8)可得

B ( q , q ) = ( 5 3 × 2 2 3 + 5 i ω 3 × 2 2 3 c 3 × 2 2 3 5 c i ω 3 × 2 2 3 ) , B ( q , q ¯ ) = ( 5 3 × 2 2 3 c 3 × 2 2 3 ) , (9)

C ( q , q , q ¯ ) = ( 25 9 25 i ω 9 25 c 9 + 25 c i w 9 ) . (10)

由(8),(9),(10),可得

g 20 = p , B ( q , q ) = 5 3 × 2 2 3 + 5 i ω 3 i c 3 × 2 1 3 5 1 3 ω + 5 2 3 × 2 1 3 c 3 , g 11 = 5 3 × 2 2 3 i c 3 × 2 1 3 5 1 3 ω , g 21 = 27 16 27 8 i ω + 9 3 c i 16 ω 9 3 c 8 .

Figure 1. Stable limit cycle phase diagram of bifurcation from equilibrium point, bifurcation parameter is s = 0.734 , c = 1

图1. 从平衡点 E ( x * , y * ) 分岔出的稳定的极限环相图,其中分岔参数为 s = 0.734 , c = 1

我们可以计算参数在 s = s 0 = ( 2 5 ) 1 3 c 时的平衡点E的第一Lyapunov系数为

l 1 ( s 0 ) = 1 2 ω 2 Re ( i g 20 g 11 + ω g 21 ) = 5 2 3 c 18 ω 3 < 0 ,

E ( s 0 ) 为一阶细焦点,所以,当 s < s 0 时,从平衡点 E ( x * , y * ) 分岔出一个稳定的极限环,参看图1

基金项目

国家自然科学基金项目(11561019);中央高校基本科研业务费专项资金资助(2012017yjsy141)。

参考文献

[1] Ajraldi, V., Pittavino, M. and Venturino, E. (2011) Modeling Herd Behavior in Population Systems. Nonlinear Analysis: Real World Applications, 12, 2319-2338.
https://doi.org/10.1016/j.nonrwa.2011.02.002
[2] Braza, P.A. (2012) Predator-Prey Dynamics with Square Root Functional Responses. Nonlinear Analysis: Real World Applications, 13, 1837-1843.
https://doi.org/10.1016/j.nonrwa.2011.12.014
[3] Kuznetsov, Y.A. (2004) Elements of Applied Bifurcation Theory. Spring-er-Verlag, New York.
https://doi.org/10.1007/978-1-4757-3978-7
[4] 张芷芬, 丁同仁, 黄文灶, 董镇喜, 微分方程定性理论[M]. 北京: 科学出版社, 1981.
[5] 张伟年, 杜正东, 徐冰, 常微分方程[M]. 北京: 高等教育出版社, 2006.