1. 引言
近年来,四阶微分方程边值问题广泛出现在医学、物理学、生物学等领域,受到了学者的密切关注。由于四阶边值问题起源于弹性梁状态问题的数学模型,此类问题研究比较活跃,有很多学者对四阶方程两点边值问题运用锥拉伸锥压缩不动点定理,上下解方法,单调迭代方法等进行了很好的研究 [1] - [7] ,但是有关复合型的微分方程组边值问题的研究并不多见。文献 [8] 研究了如下四阶复合型微分方程组边值问题多个正解的存在性:
其中非线性项
,
,且
。
受以上文献的启发,本文将考察如下含有
的一类耦合奇异半正微方程组的两点边值问题,通过讨论
的取值,得出
对其正解的存在性及多解性的影响。方程如下:
(1)
假设方程满足如下条件:
(H1)
,且
连续;
(H2)
,
,对
,
,其中
;
(H3)
,且为常数。
定义
为定义在闭区间
上全体连续函数构成的集合,在
上定义范数
,
,在E中取范数
。为了叙述方便,我们引入下列记号
显然K为E中的正规锥。
2. 预备知识
引理1 [1] :(锥拉伸与锥压缩不动点定理)设
与
是无穷维实Banach空间E中的两个有界开集,并且
,
是全连续算子,如果下列条件之一满足:
1)
。
2)
。
则算子A在
中有不动点。
引理2 [4] :边值问题
的格林函数为:
且具有下列性质:
1、当
时,有
,
。
2、
。
由此问题(1)的解等价于
的解。
记
定义算子:
显见问题(1)的解等价于算子T的不动点。
引理3:若方程满足(H1)-(H3),则算子T是全连续的,且
。
证明:由全连续算子的定义易证算子T全连续,下证
。由引理1性质2得
,
,
,则
,当
时,有
即
,
,所以
。
引理4 [9] :设L:
为线性全连续算子,且
,其中K是
中的锥,如果存在
及常数
,使得
,则L的谱半径
且L有一个相应于第一个特征值
的正特征函数
,即
。
引理5:设(H1)-(H3)成立,则算子T的谱半径
,且T有一个对应于第一个特征值
的正特征函数。
证明:因为T为全连续算子,且
。由条件(H1),(H2)知存在
,使得
因此,存在
,使得对于
,满足
,
。
取
,满足
且
,则
又由(H3):
,以及
可得,存在常数
,使得
。由引理4得算子T的谱半径
,且T有一个对应于第一个特征值
的正特征函数。
设
为线性边值问题
的第一个特征值,
为线性边值问题
的第一个特征值,则
。从而
的谱半径
,
的谱半径
。假设它们相对应的特征函数分别为
。则满足
,否则如果
,则
其中
,从而矛盾,不妨设
.在E上定义泛函:
则对
,
。令
,
则
(2)
并且满足:
即
(3)
3. 主要结果
定理1:若条件(H1)~(H3)成立,且
,则问题(1)至少有一个正解。
证明:以下证明分两步
1) 由
可得
且充分小,使得当
时,对,恒有。
令,假设存在和满足,则由(3)式得
即,由(2)式得,即,这与d充分小矛盾。根据不动点指数的同伦不变性得。
2) 由可得,,使得当时,有,。又当时,有界,故存在常数,使得当时,对,恒有
取,令,假设存在和满足,其中,则由(3)可得
所以,这与矛盾,从而假设不成立。故当R充分大时。再由不动点指数的可加性,得。从而算子T至少有一个不动点,即方程至少有一个解。
定理2:若条件(H1)~(H3)成立,且,则问题(1)至少有一个正解。
证明:以下证明分两步
1) 由可得,使得当时,对,有
假设存在和,满足,其中,则由(3)可得
即,这与(2)式矛盾,从而假设不成立。由不动点指数的缺方向性知,当d充分小时,有。
2) 又由可得,,使得时,有
取R充分大,满足,假设存在和满足,则由(3)式得
所以
又因为,从而。这与R的选取矛盾,故当R充分大时,有。再由不动点指数的可加性得。从而算子T至少有一个不动点,即方程至少有一个解。
定理3:若条件(H1)~(H3)成立,对于,若存在数,使得当时,恒有
成立,其中,那么问题(1)至少有两个正解。
证明:令,其中,若存在和,满足,由可得
从而,故由锥压缩定理知。
利用定理1的第二步和定理2的第一步证明及不动点指数的可加性可得
,
由不动点指数的可解性知,算子T在和中分别至少有一个不动点,所以问题(1)至少有两个正解。
定理4:若条件(H1)-(H3)成立,对于,若存在数,使当,时,恒有
成立,其中,则问题(1)至少有两个正解。
证明:若存在和,满足,得
即,故由锥压缩定理知,。
利用定理1的第一步和定理2的第二步证明及不动点指数的可加性可得
,
由不动点指数的可解性知,算子T在和中分别至少有一个不动点,所以问题(1)至少有两个正解。
致谢
感谢导师陈芳启教授的悉心指导!
基金项目
国家自然科学基金(11872201)。