整数阶Choquard方程三解的存在性

Existence of Three Solutions for a Choquard Equation

摘要: 应用[1]中的Theorem 1.1来研究下面的方程 其中， 是具有光滑边界的有界开集，h∈L²(Ω)，0＜μ＜3,4＜p＜6，β＞0，λ＞0。非线性函数f∈C（ℝ，ℝ）在满足一定条件下得出该方程至少有三个弱解。

Abstract:

We study the following Choquard equation by the Theorem 1.1 in [1]

where,   is an open, and bounded domain with a smooth boundary, h∈L²(Ω)，0＜μ＜3,4＜p＜6，β＞0，λ＞0 . Under suitable assumption f∈C（ℝ，ℝ） , we prove this problem at least three weak solutions.

1. 引言

近年来，越来越多的人开始关注整数阶Choquard方程

$\begin{array}{l}-{\epsilon }^2\Delta u+V\left(x\right)u\\ ={\epsilon }^{\mu -N}\left(\frac{1}{{\left|x\right|}^{\mu }}\ast F\left(u\right)\right)f\left(u\right)+h\left(u\right),x\in {ℝ}^N\end{array}$ (1.1)

此外，也有很多人研究(1.1)式中 $\epsilon =1$ 时的经典问题。当， $V=1$ ， 且 $h=0$ 时，(1.1)式就会是著名的Choquard-Pekar方程

(1.2)

当 $N=3$ ， $q=2$ 且 $\mu =1$ 时的情况，是1954年Pekar在 [2] 中用来描述极化子静止时的量子理论时提出的。(1.2)式是1976年Choquard在 [3] 中描述单组分等离子体的Hartree-Fock理论时提出的。Lions在 [4] 中由临界点定理得到方程在 $H^1\left({ℝ}^N\right)$ 中有无穷多镜像解的存在性。对于基态解的一些性质，L. Ma和L. Zhao在 [5] 中证明了对于 $q\ge 2$ 时，广义的Choquard方程(1.2)式的每个正解都是径向对称的，并且单调递减到某一点。后来Moroz和Schaftingen在 [6] [7] 中消除了这种限制，并得出最佳参数的、基态的正则性和径向对称性，并推导出这些解在无限远处渐近衰减。还有一些人专注于半经典问题，即(1.1)式中的 $\epsilon \to 0$ 。非局部问题(1.1)的半经典解的存在性已经在 [8] 中给出。

在证明解的存在性时，临界点理论是解决问题的基本工具之一。1978年P. H. Rabinowitz在文献 [9] 介绍了鞍点理论，这迅速成为临界点理论的基础，也是极大极小原理之一。Jonas Volek在文献 [1] 中提出，如果泛函满足P. H. Rabinowitz的鞍形假设，再满足PS紧性条件以及下方有界，就可以得出方程至少有三个临界点。到目前为止，人们主要研究关于整数阶Choquard方程解的存在性、多重性以及集中性，据我们掌握的文献来看，还没有人研究Choquard方程的三临界点问题。因此受文献 [1] 中方法的启发，本文就对如下整数阶Choquard方程进行研究

$\{\begin{array}{l}-\Delta u=\beta \left(\frac{1}{{\left|x\right|}^{\mu }}\ast F\left(u\right)\right)f\left(u\right)+\lambda u-{\left|u\right|}^{p-2}u+h\left(x\right),x\in \Omega \\ u=0,x\in \partial \Omega \end{array}$ (1.3)

其中， $\Omega \subset R^3$ 是具有光滑边界的有界开集， $h\in L^2\left(\Omega \right)$ ， $0<\mu <3$ ， $4<p<6$ ， $\beta >0$ ， $\lambda >0$ 。非线性函数 $f\in C\left(ℝ,ℝ\right)$ ， $f\ge 0$ ，在 $t\le 0$ 时有 $f\left(t\right)=0$ ，且满足：

(f₁) $\underset{t\to 0}{\lim }\frac{f\left(t\right)}{t}=0$ .

(f₂) $\exists q\in \left(\frac{6-\mu }{3},\min \left\{6-\mu ,\frac{p}{2}\right\}\right)s.t.\underset{t\to \infty }{\lim }\frac{f\left(t\right)}{t^{q-1}}=0$ .

得出如下结论：

定理1.1 设 ${\lambda }_k<\lambda <{\lambda }_{k+1}$ ，存在 ${\alpha }_0>0$ ， ${\beta }_0>0$ 使得 ${\Vert h\Vert }_2<{\alpha }_0$ ， $\beta \in \left(0,{\beta }_0\right)$ 时，方程(1.3)式至少有三个弱解。

2. 泛函设置

设 $\Omega \in {ℝ}^3$ 是具有光滑边界的有界开集，Sobolev空间 $W_0^{1,2}\left(\Omega \right)$ 的范数为

${\Vert u\Vert }_{1,2}={\left({\displaystyle {\int }_{\Omega }{\left|\nabla u\right|}^2\text{d}x}\right)}^{\frac{1}{2}}$

Lebesgue空间 $L^p\left(\Omega \right)\left(p\ge 1\right)$ 的范数为

接下来介绍一些本文用到的结论。

引理2.1 (Hardy-Littlewood-Sobolev不等式) 令 $t,r>1$ 且 $0<\mu <N$ 使得 $\frac{1}{r}+\frac{\mu }{N}+\frac{1}{t}=2$ 。若 $f\in L^r\left({ℝ}^N\right)$ 且 $h\in L^t\left({ℝ}^N\right)$ 。则存在一个与都无关的常数 $C\left(r,N,\mu ,t\right)>0$ ，使得

${\displaystyle {\iint }_{{ℝ}^{2N}}\frac{f\left(x\right)h\left(y\right)}{{\left|x-y\right|}^{\mu }}\text{d}x\text{d}y}\le C\left(r,N,\mu ,t\right){\Vert f\Vert }_r{\Vert h\Vert }_t$

引理2.2 ( [1] , Theorem1.1) 设X是实Banach空间， $X=Y\oplus Z$ 其中 $Y\ne 0$ 维数有限。假设 $J\in C^1\left(X,ℝ\right)$ 有下界，并且满足

(R) $\exists R>0s.t.\underset{u\in \partial B_Y\left(R\right)}{\max }J\left(u\right)<\underset{u\in Z}{\inf }J(u)$

(PS) 对任意的序列 $\left\{u_n\right\}\subset X$ 使得 $\left\{J\left(u_n\right)\right\}\subset ℝ$ 有界，并且 ${\Vert J^{\prime }\left(u_n\right)\Vert }_{X^{\ast }}\to 0$ 有收敛子列。

则J至少有三个临界点。

经过计算可以推出方程(1.3)相应的能量泛函为

$J\left(u\right)=\frac{1}{2}{\displaystyle {\int }_{\Omega }{\left|\nabla u\right|}^2\text{d}x}-\frac{\beta }{2}{\displaystyle {\int }_{\Omega }\left(\frac{1}{{\left|x\right|}^{\mu }}\ast F\left(u\right)\right)F\left(u\right)\text{d}x}-\frac{\lambda }{2}{\displaystyle {\int }_{\Omega }{\left|u\right|}^2\text{d}x}+\frac{1}{p}{\displaystyle {\int }_{\Omega }{\left|u\right|}^p\text{d}x}-\frac{1}{2}{\displaystyle {\int }_{\Omega }{\left|h\left(x\right)\right|}^2\text{d}x}$

引理2.3 设 $h\in L^2\left(\Omega \right)$ ，则泛函J满足：

a) $J\in C^1\left(W_0^{1,2}\left(\Omega \right),ℝ\right)$ 并且满足

$\langle J^{\prime }\left(u\right),\phi \rangle ={\displaystyle {\int }_{\Omega }\nabla u\nabla \phi \text{d}x}-\beta {\displaystyle {\int }_{\Omega }\left(\frac{1}{{\left|x\right|}^{\mu }}\ast F\left(u\right)\right)f\left(u\right)\phi \text{d}x}-\lambda {\displaystyle {\int }_{\Omega }u\phi \text{d}x}+{\displaystyle {\int }_{\Omega }{\left|u\right|}^{p-2}u\phi \text{d}x}-{\displaystyle {\int }_{\Omega }h\left(x\right)\phi \text{d}x}$

其中 $u,\phi \in W_0^{1,2}\left(\Omega \right)$ 。

b) $u\in W_0^{1,2}\left(\Omega \right)$ 是(1.3)的弱解，当且仅当 $u\in W_0^{1,2}\left(\Omega \right)$ 是J的临界点。

由上述引理可知，想要证明定理1.1只需证明J有至少三个临界点。

引理2.4 设 $h\in L^2\left(\Omega \right)$ 则泛函J在 $W_0^{1,2}\left(\Omega \right)$ 上弱强制，即当 ${\Vert u\Vert }_{1,2}\to \infty$ 时，有且J有下界。

证明：根据(f₁)以及(f₂)可以得出，对任意的 $\xi >0$ 存在 $C_{\xi }>0$ 使得下式成立

$f\left(t\right)\le \xi \left|t\right|+C_{\xi }{\left|t\right|}^{q-1},F\left(t\right)\le \xi {\left|t\right|}^2+C_{\xi }{\left|t\right|}^q$ (2.1)

根据(2.1)以及引理2.1，可以推出下面不等式成立

$\begin{array}{c}\left|{\displaystyle {\int }_{\Omega }\left(\frac{1}{{\left|x\right|}^{\mu }}\ast F\left(u\right)\right)F\left(u\right)\text{d}x}\right|\le C{\Vert F\left(u\right)\Vert }_t{\Vert F\left(u\right)\Vert }_t\\ \le C{\left({\displaystyle {\int }_{\Omega }{\left({\left|u\right|}^2+{\left|u\right|}^q\right)}^t\text{d}x}\right)}^{\frac{2}{t}}\\ \le C\left({\Vert u\Vert }_{2t}^4+{\Vert u\Vert }_{qt}^{2q}\right)\end{array}$ (2.2)

其中 $t=\frac{6}{6-\mu }$ 。注意到 $t<2$ 则有 $2t<p$ ， $tq<2q<p$ 。故结合(2.1)和(2.2)式可以推出

$\begin{array}{c}J\left(u\right)=\frac{1}{2}{\displaystyle {\int }_{\Omega }{\left|\nabla u\right|}^2\text{d}x}-\frac{\beta }{2}{\displaystyle {\int }_{\Omega }\left(\frac{1}{{\left|x\right|}^{\mu }}\ast F\left(u\right)\right)F\left(u\right)\text{d}x}-\frac{\lambda }{2}{\displaystyle {\int }_{\Omega }{\left|u\right|}^2\text{d}x}\\ +\frac{1}{p}{\displaystyle {\int }_{\Omega }{\left|u\right|}^p\text{d}x}-\frac{1}{2}{\displaystyle {\int }_{\Omega }{\left|h\left(x\right)\right|}^2\text{d}x}\\ \ge \frac{1}{2}{\Vert u\Vert }_{1,2}^2-C\left({\Vert u\Vert }_{2t}^4+{\Vert u\Vert }_{qt}^{2q}\right)-\frac{\lambda }{2}{\Vert u\Vert }_2^2+\frac{1}{p}{\Vert u\Vert }_p^p-\frac{1}{2}{\Vert h\Vert }_2^2\\ \ge \frac{1}{2}{\Vert u\Vert }_{1,2}^2-C\left({\Vert u\Vert }_p^4+{\Vert u\Vert }_p^{2q}+\frac{\lambda }{2}{\Vert u\Vert }_p^2\right)+\frac{1}{p}{\Vert u\Vert }_p^p-\frac{1}{2}{\Vert h\Vert }_2^2\end{array}$ (2.3)

当 ${\Vert u\Vert }_{1,2}\to \infty$ 时，有以下两种情况:

i) 若 ${\Vert u\Vert }_p$ 有界，则有 $J\left(u\right)\to \infty$ 。

ii) 若 ${\Vert u\Vert }_p\to \infty$ ，则由 $p>2q$ 以及 $p>4$ 可知~ $J\left(u\right)\to \infty$ 。

故J是弱强制的。此外，由(2.3)式可推出

$J\left(u\right)\ge -C\left({\Vert u\Vert }_p^4+{\Vert u\Vert }_p^{2q}+\frac{\lambda }{2}{\Vert u\Vert }_p^2\right)+\frac{1}{p}{\Vert u\Vert }_p^p-\frac{1}{2}{\Vert h\Vert }_2^2$

不等式右边是与 ${\Vert u\Vert }_p$ 有关的函数，又因为 $p>2q$ 且 $p>4$ ，所以不等式右边是有下界的，故出J有下界。

因为J是 $C^1$ 且下方有界，由文献 [10] 知J存在PS序列。又因为J是弱强制的，所以PS序列 $\left\{u_n\right\}$ 有界，因此有下面引理成立。

引理2.5 如果序列 $\left\{u_n\right\}\subset W_0^{1,2}\left(\Omega \right)$ 有界且 $J^{\prime }\left(u_n\right)\to 0$ ，则 $\left\{u_n\right\}$ 有收敛子列。

证明：由 $\left\{u_n\right\}\subset W_0^{1,2}\left(\Omega \right)$ 有界可知，在子列意义下有

$u_n\stackrel{弱}{\to }u于W_0^{1,2}，u_n\to u于L^t\left(\Omega \right)\forall t\in \left[1,2^{\ast }\right)$

注意到

$\begin{array}{c}{o}_n\left(1\right)=\langle J^{\prime }\left(u_n\right),u_n\rangle \\ ={\Vert u_n\Vert }_{1,2}^2-\beta {\displaystyle {\int }_{\Omega }\left(\frac{1}{{\left|x\right|}^{\mu }}\ast F\left(u_n\right)\right)f\left(u_n\right)u_n\text{d}x}\\ -\lambda {\displaystyle {\int }_{\Omega }{u}_n^2\text{d}x}+{\displaystyle {\int }_{\Omega }{\left|u_n\right|}^p\text{d}x}-{\displaystyle {\int }_{\Omega }h\left(x\right)u_n\text{d}x}\end{array}$

故

${\Vert u_n\Vert }_{1,2}^2=\beta {\displaystyle {\int }_{\Omega }\left(\frac{1}{{\left|x\right|}^{\mu }}\ast F\left(u_n\right)\right)f\left(u_n\right)u_n\text{d}x}+\lambda {\Vert u_n\Vert }_2^2-{\Vert u_n\Vert }_p^p+{\displaystyle {\int }_{\Omega }h\left(x\right)u_n\text{d}x}+o_n\left(1\right)$ (2.4)

此外

故

${\Vert u\Vert }_{1,2}^2=\beta {\displaystyle {\int }_{\Omega }\left(\frac{1}{{\left|x\right|}^{\mu }}\ast F\left(u_n\right)\right)f\left(u_n\right)u\text{d}x}+\lambda {\Vert u\Vert }_2^2-{\Vert u\Vert }_p^p+{\displaystyle {\int }_{\Omega }h\left(x\right)u\text{d}x}+o_n\left(1\right)$ (2.5)

因为 $\left\{u_n\right\}$ 有界，由(f₁)-(f₂)，引理2.1以及Hölder不等式可得出

$\begin{array}{l}\left|{\displaystyle {\int }_{\Omega }\left(\frac{1}{{\left|x\right|}^{\mu }}\ast F\left(u_n\right)\right)f\left(u_n\right)u_n\text{d}x}-{\displaystyle {\int }_{\Omega }\left(\frac{1}{{\left|x\right|}^{\mu }}\ast F\left(u_n\right)\right)f\left(u_n\right)u\text{d}x}\right|\\ \le {\displaystyle {\int }_{\Omega }\left(\frac{1}{{\left|x\right|}^{\mu }}\ast \left|F\left(u_n\right)\right|\right)\left|f\left(u_n\right)\right|\left|u_n-u\right|\text{d}x}\\ \le C{\left({\displaystyle {\int }_{\Omega }{\left|F\left(u_n\right)\right|}^t\text{d}x}\right)}^{\frac{1}{t}}{\left({\displaystyle {\int }_{\Omega }{\left|f\left(u_n\right)\right|}^t{\left|u_n-u\right|}^t\text{d}x}\right)}^{\frac{1}{t}}\\ \le C{\left({\displaystyle {\int }_{\Omega }{\left(\xi \left|u_n\right|+C_{\xi }{\left|u_n\right|}^{q-1}\right)}^t{\left|u_n-u\right|}^t\text{d}x}\right)}^{\frac{1}{t}}\end{array}$

$\begin{array}{l}\le C{\left({\displaystyle {\int }_{\Omega }{\left|u_n\right|}^t{\left|u_n-u\right|}^t\text{d}x+{\displaystyle {\int }_{\Omega }{\left|u_n\right|}^{(q-1)t}{\left|u_n-u\right|}^t\text{d}x}}\right)}^{\frac{1}{t}}\\ \le C{\left({\left({\displaystyle {\int }_{\Omega }{\left|u_n-u\right|}^{2t}\text{d}x}\right)}^{\frac{1}{2}}+{\left({\displaystyle {\int }_{\Omega }{\left|u_n-u\right|}^{qt}\text{d}x}\right)}^{\frac{1}{q}}\right)}^{\frac{1}{t}}\\ =o_n(1)\end{array}$

其中 $t=\frac{6}{6-\mu }$ 。结合(2.4)，(2.5)和(2.6)式可知 ${\Vert u_n\Vert }_{1,2}\to {\Vert u\Vert }_{1,2}$ 。又因为 $u_n\stackrel{弱}{\to }u$ 于 $W_0^{1,2}\left(\Omega \right)$ ，所以有 $u_n\to u$ 于 $W_0^{1,2}\left(\Omega \right)$ 。

3. 定理1.1的证明

由引理2.4和引理2.5，我们有下面的引理成立。

引理3.1 设 $h\in L^2\left(\Omega \right)$ ，则泛函J满足PS条件，即引理2.2的条件(PS)成立。

接下来证明J至少存在三个临界点，设 ${\phi }_i\left(i\in \mathbb{N}\right)$ 为 $W_0^{1,2}\left(\Omega \right)$ 中对应的特征值 ${\lambda }_i$ ( $-\Delta$ 算子的特征值)的特征函数且

${\rm B}=\left\{{\phi }_i:i\in \mathbb{N}\right\}$

是 $W_0^{1,2}\left(\Omega \right)$ 的规范正交基(参见文献 [11] 的Thm. 2.2.16)，并且 ${\lambda }_k<{\lambda }_{k+1}$ 。将 $W_0^{1,2}\left(\Omega \right)$ 分解为 $Y\oplus Z$ ，其中

$Y=\left\{{\displaystyle \underset{i=1}{\overset{k}{\sum }}{a}_i{\phi }_i}:a_i\in ℝ,{\phi }_i\in {\rm B}\right\},Z=\left\{{\displaystyle \underset{i=k+1}{\overset{\infty }{\sum }}{a}_i{\phi }_i}:a_i\in ℝ,{\phi }_i\in {\rm B}\right\}=Y^{\perp }$ (3.1)

引理3.2 设 ${\lambda }_k<\lambda <{\lambda }_{k+1}$ ，则存在 $\alpha >0$ 对任意的且 ${\Vert h\Vert }_2<\alpha$ ，都有泛函J满足引理2.2中的条件(R)，其中 $Y,Z$ 满足(3.1)式。

证明：设 $u\in Z$ 结合Parseval等式有下式成立

$u={\displaystyle \underset{i=k+1}{\overset{\infty }{\sum }}{a}_i{\phi }_i},{\Vert u\Vert }_{1,2}^2={\displaystyle \underset{i=k+1}{\overset{\infty }{\sum }}{a}_i^2}$

注意到 ${\phi }_i$ 满足

${\lambda }_i{\displaystyle {\int }_{\Omega }{\left|{\phi }_i\left(x\right)\right|}^2\text{d}x}={\displaystyle {\int }_{\Omega }{\left|\nabla {\phi }_i\left(x\right)\right|}^2\text{d}x}=1\forall i\in \mathbb{N}$ (3.2)

因为 $\lambda <{\lambda }_{k+1}$ 所以有

${\displaystyle {\int }_{\Omega }{\left|\nabla u\left(x\right)\right|}^2\text{d}x}-\lambda {\displaystyle {\int }_{\Omega }{\left|u\left(x\right)\right|}^2\text{d}x}={\displaystyle \underset{i=k+1}{\overset{\infty }{\sum }}{a}_i^2\left(1-\frac{\lambda }{{\lambda }_i}\right)}\ge \left(1-\frac{\lambda }{{\lambda }_{k+1}}\right){\Vert u\Vert }_{1,2}^2$ (3.3)

因此，对 $u\in Z$ 由(3.3)以及嵌入定理可以得到

$\begin{array}{c}J\left(u\right)\ge \frac{1}{2}\left(1-\frac{\lambda }{{\lambda }_{k+1}}\right){\Vert u\Vert }_{1,2}^2-\frac{\beta }{2}{\displaystyle {\int }_{\Omega }\left(\frac{1}{{\left|x\right|}^{\mu }}\ast F\left(u\right)\right)F\left(u\right)\text{d}x}+\frac{1}{p}{\displaystyle {\int }_{\Omega }{\left|u\right|}^2\text{d}x}-\frac{1}{2}{\displaystyle {\int }_{\Omega }{\left|h\left(x\right)\right|}^2\text{d}x}\\ \ge C_1\left(1-\frac{\lambda }{{\lambda }_{k+1}}\right){\Vert u\Vert }_p^2-\beta C_2\left({\Vert u\Vert }_p^2+{\Vert u\Vert }_p^{2q}\right)+\frac{1}{p}{\Vert u\Vert }_p^p-\frac{1}{2}{\Vert h\Vert }_2^2\\ \ge -\frac{1}{2}{\Vert h\Vert }_2^2+{\alpha }_{\beta }\end{array}$ (3.4)

上式中 ${\alpha }_{\beta }=\underset{t\ge 0}{\inf }{g}_{\beta }\left(t\right)$ ，其中

$g_{\beta }\left(t\right)=C_1\left(1-\frac{\lambda }{{\lambda }_{k+1}}\right)t^2+\frac{1}{p}{t}^p-\beta C_2\left(t^4+t^{2q}\right)\text{,}t\ge 0$

我们断言，存在 ${\beta }_0>0$ ，当 时， ${\alpha }_{\beta }\ge 0$ 。又因为 $2q<p$ 且 $p>4$ ，因此存在 $t_0>0$ ，当， $\beta <1$ 时，有

$g_{\beta }\left(t\right)\ge C_1\left(1-\frac{\lambda }{{\lambda }_{k+1}}\right)t^2+\frac{1}{p}{t}^p-C_2\left(t^2+t^{2q}\right)>1$

则 $g_{\beta }\left(t\right)$ 的最小值只能在区间 $\left[0,t_0\right]$ 上达到。因为 $\lambda <{\lambda }_{k+1}$ ，所以存在 ${\beta }_0>0$ ，当 $\beta \in \left(0,{\beta }_0\right)$ 时，对任意 $t\in \left(0,t_0\right)$ 有

$\begin{array}{c}{g}_{\beta }\left(t\right)=t^2\left(C_1\left(1-\frac{\lambda }{{\lambda }_{k+1}}\right)+\frac{1}{p}{t}^{p-2}-\beta C_2\left(t^2+t^{2q-2}\right)\right)\\ \ge t^2\left(C_1\left(1-\frac{\lambda }{{\lambda }_{k+1}}\right)-\beta C_2\left(t_0^2+t_0^{2q-2}\right)\right)\\ \ge 0\end{array}$ (3.5)

所以 ${\alpha }_{\beta }\ge 0$ 。当取 $u\in Y$ 时，有下式成立

$u={\displaystyle \underset{i=1}{\overset{k}{\sum }}{a}_i{\phi }_i},{\Vert u\Vert }_{1,2}^2={\displaystyle \underset{i=1}{\overset{k}{\sum }}{a}_i^2}$

由 ${\lambda }_k<\lambda$ ，以及(3.2)式可以推出

${\displaystyle {\int }_{\Omega }{\left|\nabla u\left(x\right)\right|}^2\text{d}x}-\lambda {\displaystyle {\int }_{\Omega }{\left|u\left(x\right)\right|}^2\text{d}x}={\displaystyle \underset{i=1}{\overset{k}{\sum }}{a}_i^2\left(1-\frac{\lambda }{{\lambda }_i}\right)}\le \left(1-\frac{\lambda }{{\lambda }_k}\right){\Vert u\Vert }_{1,2}^2$ (3.6)

因此，对任意的 $u\in Y$ 由Sobolev嵌入定理以及(3.6)有下式成立

$\begin{array}{c}J\left(u\right)\le \frac{1}{2}\left(1-\frac{\lambda }{{\lambda }_k}\right){\Vert u\Vert }_{1,2}^2-\frac{\beta }{2}{\displaystyle {\int }_{\Omega }\left(\frac{1}{{\left|x\right|}^{\mu }}\ast F\left(u\right)\right)F\left(u\right)\text{d}x}+\frac{1}{p}{\Vert u\Vert }_p^p-\frac{1}{2}{\displaystyle {\int }_{\Omega }{\left|h\left(x\right)\right|}^2\text{d}x}\\ \le \frac{1}{2}\left(1-\frac{\lambda }{{\lambda }_k}\right){\Vert u\Vert }_{1,2}^2+C{\Vert u\Vert }_{1,2}^p\end{array}$ (3.7)

因此，结合(3.5)和(3.7)式可知，如果要证明引理2.3中条件(R)成立，当且仅当存在 $R>0$ 使得对 $u\in Y$ ， ${\Vert u\Vert }_{1,2}=R$ 时要有下式成立

$\frac{1}{2}\left(1-\frac{\lambda }{{\lambda }_{k+1}}\right){\Vert u\Vert }_{1,2}^2+C{\Vert u\Vert }_{1,2}^p<-\frac{1}{2}{\Vert h\Vert }_2^2$

记 ${\Vert u\Vert }_{1,2}=r$ 整理得出下式

记

$\Lambda \left(r\right)=\frac{1}{2}\left(1-\frac{\lambda }{{\lambda }_k}\right)r^2+C{r}^p$

因为 $\Lambda \left(r\right)$ 与 ${\Vert u\Vert }_2$ 无关，并且 ${\lambda }_k<\lambda$ 。故存在某个 $R>0$ 使得 $\Lambda \left(R\right)$ 为 $\Lambda \left(r\right)$ 的严格负的极小值。因此存在一个充分小的 ${\alpha }_0>0$ 使得

$\Lambda \left(R\right)<-\frac{1}{2}{\Vert h\Vert }_2^2\forall {\Vert h\Vert }_2<{\alpha }_0$

因此，对任意的 $h\in L^2\left(\Omega \right)$ 且 ${\Vert h\Vert }_2<{\alpha }_0$ 以及 $u\in Y$ 且 ${\Vert u\Vert }_{1,2}=R$ 有

$J\left(u\right)<-\frac{1}{2}{\Vert h\Vert }_2^2\le \underset{u\in Z}{\inf }J(u)$

因此满足引理2.2中的条件(R)。

综上所述，验证出引理2.2的所有条件都成立，所以泛函J至少存在三个临界点，即定理1.1成立。