# 一类三次多项式系统的定性分析Qualitative Analysis of a Class of Cubic Polynomial Systems

• 全文下载: PDF(502KB)    PP.205-212   DOI: 10.12677/DSC.2019.83022
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In this paper, the classical method of qualitative analysis is used to analyze the existence, type and local stability of a class of planar cubic polynomial differential system dx/dt=-y+a1x+a2x2+a3y3+a4xy2dy/dt=x(1+a5y). And the formal series method is used to determine the center-focus of the singular point. Finally, the conditions of the existence of limit cycles of the system are obtained by using the Hopf bifurcation method.

1. 引言

(1)

2. 预备知识

2.1. 奇点定义 [13] [14]

2.2. 奇点的类型 [13] [14]

2.3. Hopf分支问题 [15] [16]

$\left\{\begin{array}{l}\frac{\text{d}x}{\text{d}t}=P\left(x,y,\lambda \right)\\ \frac{\text{d}y}{\text{d}t}=Q\left(x,y,\lambda \right)\end{array}$ (2)

3. 奇点分析

$\left\{\begin{array}{l}-y+{a}_{1}x+{a}_{2}{x}^{2}+{a}_{3}{y}^{3}+{a}_{4}x{y}^{2}=0\\ x\left(1+{a}_{5}y\right)=0\end{array}$ (3)

2) 若 ${a}_{3}>0$ ，则系统(1)有奇点 ${A}_{1}\left(0,{y}_{0}\right)$${A}_{2}\left(0,-{y}_{0}\right)$ ，其中 ${y}_{0}=\frac{1}{\sqrt{{a}_{3}}}$

3) 若 ${a}_{5}\ne 0$ ，则系统(1)有奇点${A}_{4}\left({x}_{2},-\frac{1}{{a}_{5}}\right)$ ，其中 ${x}_{1}=\frac{-\left({a}_{1}+\frac{{a}_{4}}{{a}_{5}^{2}}\right)+\sqrt{\Delta }}{2{a}_{2}}$${x}_{2}=\frac{-\left({a}_{1}+\frac{{a}_{4}}{{a}_{5}^{2}}\right)-\sqrt{\Delta }}{2{a}_{2}}$$\Delta ={\left({a}_{1}+\frac{{a}_{4}}{{a}_{5}^{2}}\right)}^{2}-4{a}_{2}\left(\frac{1}{{a}_{5}}-\frac{{a}_{3}}{{a}_{5}^{3}}\right)$

3.1. 奇点 $O\left(0,0\right)$

2) 当 ${a}_{1}\le -2$$O\left(0,0\right)$ 为系统(1)的稳定结点， ${a}_{1}\ge 2$ 时为不稳定结点。

3) 当 ${a}_{1}=0$$O\left(0,0\right)$ 为系统(1)的中心型奇点(中心或者细焦点)。

3.2. 奇点 ${A}_{1}\left(0,{y}_{0}\right)$

2) 若 ${a}_{5}>-\sqrt{{a}_{3}}$ ，则特征根为异号实根， ${A}_{1}\left(0,{y}_{0}\right)$ 为系统(1)的鞍点。

3) 若 ${a}_{5}<-\sqrt{{a}_{3}}$ ，则

i) 当 ${\left({a}_{1}+\frac{{a}_{4}}{{a}_{3}}\right)}^{2}+8\left(1+\frac{{a}_{5}}{\sqrt{{a}_{3}}}\right)>0$ 时特征根为同号实根， ${A}_{1}\left(0,{y}_{0}\right)$ 为系统(1)的结点， ${a}_{1}+\frac{{a}_{4}}{{a}_{3}}>0$ 时不稳定， ${a}_{1}+\frac{{a}_{4}}{{a}_{3}}<0$ 时稳定。

ii) 当 ${\left({a}_{1}+\frac{{a}_{4}}{{a}_{3}}\right)}^{2}+8\left(1+\frac{{a}_{5}}{\sqrt{{a}_{3}}}\right)<0$ 时特征根为共轭复根， ${A}_{1}\left(0,{y}_{0}\right)$ 为系统(1)的焦点， ${a}_{1}+\frac{{a}_{4}}{{a}_{3}}>0$ 时不稳定， ${a}_{1}+\frac{{a}_{4}}{{a}_{3}}<0$ 时稳定。 ${a}_{1}+\frac{{a}_{4}}{{a}_{3}}=0$${A}_{1}\left(0,{y}_{0}\right)$ 为系统(1)的中心型奇点(中心或者细焦点)。

3.3. 奇点 ${A}_{2}\left(0,-{y}_{0}\right)$

2) 若 ${a}_{5}<\sqrt{{a}_{3}}$ ，则特征根为异号实根， ${A}_{2}\left(0,-{y}_{0}\right)$ 为系统(1)的鞍点。

3) 若 ${a}_{5}>\sqrt{{a}_{3}}$ ，则

i) 当 ${\left({a}_{1}+\frac{{a}_{4}}{{a}_{3}}\right)}^{2}+8\left(1+\frac{{a}_{5}}{\sqrt{{a}_{3}}}\right)>0$ 时特征根为同号实根， ${A}_{2}\left(0,-{y}_{0}\right)$ 为系统(1)的结点， ${a}_{1}+\frac{{a}_{4}}{{a}_{3}}>0$ 时不稳定， ${a}_{1}+\frac{{a}_{4}}{{a}_{3}}<0$ 时稳定。

ii) 当 ${\left({a}_{1}+\frac{{a}_{4}}{{a}_{3}}\right)}^{2}+8\left(1+\frac{{a}_{5}}{\sqrt{{a}_{3}}}\right)<0$ 时特征根为共轭复根， ${A}_{2}\left(0,-{y}_{0}\right)$ 为系统(1)的焦点， ${a}_{1}+\frac{{a}_{4}}{{a}_{3}}>0$ 时不稳定，时稳定。 ${a}_{1}+\frac{{a}_{4}}{{a}_{3}}=0$${A}_{2}\left(0,-{y}_{0}\right)$ 为系统(1)的中心型奇点(中心或者细焦点)。

3.4. 奇点 ${A}_{3}\left({x}_{1},-\frac{1}{{a}_{5}}\right)$

2) 当 ${d}_{2}<0$ 时， ${A}_{3}$ 为系统的鞍点。

3) 若 ${d}_{2}>0$ ，则

i) 当 ${d}_{1}^{2}-4{d}_{2}\ge 0$ 时，特征根为同号实根， ${A}_{3}$ 为系统(1)的结点， ${d}_{1}>0$ 时不稳定， ${d}_{1}<0$ 时稳定。

ii) 若 ${d}_{1}^{2}-4{d}_{2}<0$ 时，特征根为共轭复根， ${A}_{3}$ 为系统(1)的焦点， ${d}_{1}>0$ 时不稳定， ${d}_{1}<0$ 时稳定。 ${d}_{1}=0$${A}_{3}$ 为系统(1)的中心型奇点(中心或者细焦点)。

3.5. 奇点 ${A}_{4}\left({x}_{2},-\frac{1}{{a}_{5}}\right)$

2) 当 ${d}_{4}<0$ 时， ${A}_{4}$ 为系统的鞍点。

3) 若 ${d}_{4}>0$ ，则

i) 当 ${d}_{3}^{2}-4{d}_{4}\ge 0$ 时，特征根为同号实根， ${A}_{4}$ 为系统(1)的结点， ${d}_{3}>0$ 时不稳定， ${d}_{3}<0$ 时稳定。

ii) 若 ${d}_{3}^{2}-4{d}_{4}<0$ 时，特征根为共轭复根，为系统(1)的焦点， ${d}_{3}>0$ 时不稳定，时稳定。 ${d}_{3}=0$${A}_{4}$ 为系统(1)的中心型奇点(中心或者细焦点)。

3.6. 细焦点

$\left\{\begin{array}{l}\frac{\text{d}y}{\text{d}t}=-y+{a}_{2}{x}^{2}+{a}_{3}{y}^{3}+{a}_{4}x{y}^{2}\\ \frac{\text{d}y}{\text{d}t}=x+{a}_{5}xy\end{array}$ (4)

2) 当 ${a}_{4}<0$ 时， $O\left(0,0\right)$ 是系统(4)的一阶稳定细焦点。

3) 当 ${a}_{4}=0$ 时， $O\left(0,0\right)$ 为中心。

$\begin{array}{c}{\frac{\text{d}F}{\text{d}t}|}_{\left(1\right)}=\frac{\partial F}{\partial x}\stackrel{˙}{x}+\frac{\partial F}{\partial y}\stackrel{˙}{y}\\ =\left(2x+\frac{\partial {F}_{3}}{\partial x}+\frac{\partial {F}_{4}}{\partial x}+\cdots \right)\left(-y+{a}_{2}{x}^{2}+{a}_{3}{y}^{3}+{a}_{4}x{y}^{2}\right)\\ \text{\hspace{0.17em}}\text{\hspace{0.17em}}+\left(2y+\frac{\partial {F}_{3}}{\partial y}+\frac{\partial {F}_{4}}{\partial y}+\cdots \right)\left(x+{a}_{5}xy\right)\end{array}$ (5)

$\frac{\text{d}{F}_{3}}{\text{d}\theta }=-2\left({a}_{2}{\mathrm{cos}}^{3}\theta +{a}_{5}\mathrm{cos}\theta {\mathrm{sin}}^{2}\theta \right)$ (6)

${\int }_{0}^{2\text{π}}{a}_{3}{\mathrm{cos}}^{3}\theta +{a}_{5}\mathrm{cos}\theta {\mathrm{sin}}^{2}\theta =0$ ，故对(6)式两边进行积分得：

${F}_{3}\left(\mathrm{cos}\theta ,\mathrm{sin}\theta \right)=-\frac{4}{3}{a}_{2}{\mathrm{sin}}^{3}\theta -\frac{2}{3}{a}_{5}{\mathrm{sin}}^{3}\theta -2{a}_{2}\mathrm{sin}\theta {\mathrm{cos}}^{2}\theta$ ，即 ${F}_{3}\left(x,y\right)=-\frac{4}{3}{a}_{2}{y}^{3}-2{a}_{2}{x}^{2}y-\frac{2}{3}{a}_{5}{y}^{3}$

$2{a}_{3}x{y}^{3}+2{a}_{4}{x}^{2}{y}^{2}+{a}_{2}{x}^{2}\frac{\partial {F}_{3}}{\partial x}-y\frac{\partial {F}_{4}}{\partial x}+{a}_{5}xy\frac{\partial {F}_{3}}{\partial y}+x\frac{\partial {F}_{4}}{\partial y}=0$

$\left(2{a}_{3}-4{a}_{2}{a}_{5}-2{a}_{5}^{2}\right)x{y}^{3}-\left(4{a}_{2}^{2}+2{a}_{2}{a}_{5}\right){x}^{3}y+2{a}_{4}{x}^{2}{y}^{2}+x\frac{\partial {F}_{4}}{\partial y}-y\frac{\partial {F}_{4}}{\partial x}=0$ ，将上式取极坐标 $x=r\mathrm{cos}\theta$$y=r\mathrm{sin}\theta$ 并消去 ${r}^{4}$ 得：

$\frac{\text{d}{F}_{4}}{\text{d}\theta }=\left(4{a}_{2}{a}_{5}+2{a}_{5}^{2}-2{a}_{3}\right)\mathrm{cos}\theta {\mathrm{sin}}^{3}\theta +\left(2{a}_{2}{a}_{5}+4{a}_{2}^{2}\right){\mathrm{cos}}^{3}\theta \mathrm{sin}\theta -2{a}_{4}{\mathrm{cos}}^{2}\theta {\mathrm{sin}}^{2}\theta =-{H}_{4}\left(\mathrm{cos}\theta ,\mathrm{sin}\theta \right)$

${a}_{4}\ne 0$ 时， ${\int }_{0}^{2\text{π}}{H}_{4}\left(\mathrm{cos}\theta ,\mathrm{sin}\theta \right)\text{d}\theta =2{a}_{4}{\int }_{0}^{\text{2π}}{\mathrm{cos}}^{2}\theta {\mathrm{sin}}^{2}\theta \text{d}\theta =\frac{{a}_{4}\text{π}}{2}\ne 0$ ，因此当 ${a}_{4}\ne 0$ 时， ${C}_{4}=\frac{1}{\text{2π}}{\int }_{0}^{\text{2π}}{H}_{4}\left(\mathrm{cos}\theta ,\mathrm{sin}\theta \right)\text{d}\theta =\frac{{a}_{4}}{4}\ne 0$ ，且 ${C}_{4}$${a}_{4}$ 同号。

$\phi \left(x,y\right)={x}^{2}+{y}^{2}+{F}_{3}+{F}_{4}$ ，那么 ${\frac{\text{d}\phi }{\text{d}t}|}_{\left(1\right)}={r}^{4}{C}_{4}+ο\left({r}^{4}\right)$ ，进而有结论：

1) 当 ${a}_{4}>0$ 时， $O\left(0,0\right)$ 是系统(1)的不稳定细焦点。

2) 当 ${a}_{4}<0$ 时， $O\left(0,0\right)$ 是系统(1)的稳定细焦点。

${a}_{4}=0$ 时，因 $P\left(-x,y\right)=P\left(x,y\right)$$Q\left(-x,y\right)=-Q\left(x,y\right)$ ，由对称原理得 $O\left(0,0\right)$ 为中心。

4. 极限环的存在性

1) ${a}_{4}>0$${a}_{1}<0$$|{a}_{1}|\ll 1$

2) ${a}_{4}<0$$0<{a}_{1}\ll 2$

${a}_{4}<0$${a}_{1}=0$$O\left(0,0\right)$ 为稳定的细焦点，而当 $0<{a}_{1}<2$ 时系统(1)以 $O\left(0,0\right)$ 为不稳定焦点。由Hopf分支问题的Liapunov第二方法可知在条件(2)下，系统(1)在奇点外至少产生一个稳定极限环。

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