二维射影线性群区传递作用下的5-(q + 1, 6, λ)设计

Two-Dimension Projective Linear Groups Act Block-Transitively on 5-(q + 1, 6, λ) Designs

摘要: 设D = (X, B)是一个5-(q + 1, 6, λ)设计。若G ≤ Aut(D)且区传递作用在D上，利用二维射影线性群在射影直线上作用的轨道证明了：1) 若G = PGL(2, q)，则D为同构意义下唯一的5-(12, 6, 2)设计；2) 若G = PSL(2, q)，则D有两个不同构的5-(12, 6, 1)设计。

Abstract: Let D = (X, B) be a 5-(q + 1, 6, λ) design. Let G ≤ Aut(D) act block-transitively on D. By using the orbits of two-dimension projective linear groups on the projective lines, the results show that: 1) if G = PGL(2, q), then D is a unique 5-(12, 6, 2) design; 2) if G = PSL(2, q), then D has two nonisomorphic 5-(12, 6, 1) designs.

1. 引言

1.1. 研究背景

t-设计是一类非常重要的组合设计。与 $t=2$ 的情形即BIB设计的情形相比，目前对 $t\ge 3$ 时的t-设计理论的研究远非完善。设 $q=p^n$ ，其中p为素数。对于以射影线性群为自同构群的t-设计的存在性及构造问题，文献 [1] 完整解决了以 $PSL\left(2,q\right)$ 为自同构群，区组长度为k的3-设计的存在性问题，这里 $k\cancel{\equiv }0,1\left(\mathrm{mod}p\right)$ 。文献 [2] - [8] 找到了一些 $t\ge 4$ 的t-设计存在的例子。文献 [6] [7] [8] 完整确定了二维射影线性群区传递作用下的 $4\text{-}\left(q+1,5,\lambda \right)$ 与 $4\text{-}\left(q+1,6,\lambda \right)$ 及 $5\text{-}\left(q+1,7,\lambda \right)$ 设计的参数，并构造了相应参数的设计。

参数为 $t\text{-}\left(v,k,\lambda \right)$ 的一个设计，简称t-设计，定义为符合以下条件的一对符号 $\left(X,\mathfrak{B}\right)$ ：

(i) X是一个v-集合；

(ii) $\mathfrak{B}$ 是X的一组k-子集；

(iii) X的任意给定的t-子集都恰好含于 $\mathfrak{B}$ 的 $\lambda$ 个成员之中。

X的元素称为点， $\mathfrak{B}$ 的成员称为区组。设 $\mathfrak{D}=\left(X,\mathfrak{B}\right)$ 为一个 $t\text{-}\left(v,k,\lambda \right)$ 设计。若 $\mathfrak{B}$ 中不包含重复区组，则称 $\mathfrak{D}$ 为单纯的设计。若X的每个k-子集都在 $\mathfrak{B}$ 中出现相同的次数，则称 $\mathfrak{D}$ 为平凡的t-设计。当 $v\le k+t$ 时，任一 $t\text{-}\left(v,k,\lambda \right)$ 设计都是平凡的。本文中我们只考虑非平凡的单纯t-设计。

令 $G\le sym\left(X\right)$ ，对任意的 $g\in G$ ， $S\subseteq X$ ，定义 $S^g=\left\{x^g:x\in S\right\}$ 。 $S^G=\left\{S^g:g\in G\right\}$ 称为S的轨道， $G_S=\left\{g\in G:S^g=S\right\}$ 称为S的稳定子群，且 $\left|G\right|=\left|S^G\right|\left|G_S\right|$ 。 $\left(X,\mathfrak{B}\right)$ 的一个自同构是指具有下述性质的X的置换g：如果 $B\in \mathfrak{B}$ ，则 $B^g\in \mathfrak{B}$ 。由 $\left(X,\mathfrak{B}\right)$ 的自同构组成 $sym\left(X\right)$ 的子群，称为 $\left(X,\mathfrak{B}\right)$ 的自同构群。对任意的 $B,B^{\prime }\in \mathfrak{B}$ ，若存在 $g\in G$ 使得 $B^g=B^{\prime }$ ，则称G区传递作用于 $\mathfrak{D}$ 上。

令q为素数幂， $X=GF\left(q\right)\cup \left\{\infty \right\}$ 为射影直线。对任意的 $a,b,c,d\in GF\left(q\right)$ ，定义函数

$f:X\to X$

其中

$x^f=\frac{ax+b}{cx+d}$ .

定义 $a/0=\infty$ ， $a/\infty =0$ ， $\infty +a=a+\infty =\infty$ ， $\left(a\infty +b\right)/\left(c\infty +d\right)=a/c$ 。f称为线性分式，f的行列式为 $\det f=ad-bc$ 。所有行列式为非零平方元的线性分式的集合构成线性分式群 $LF\left(2,q\right)$ ，它同构于 $PSL\left(2,q\right)$ 。所有行列式非零的线性分式的集合也构成群，同构于 $PGL\left(2,q\right)$ 。

设 $\mathfrak{D}=\left(X,\mathfrak{B}\right)$ 是一个 $5\text{-}\left(q+1,6,\lambda \right)$ 设计， $G\le Aut\left(\mathfrak{D}\right)$ 区传递作用于 $\mathfrak{D}$ 上。令 $GF\left(q\right)$ 表示q元有限域， $X=GF\left(q\right)\cup \left\{\infty \right\}$ 为射影直线。本文证明了若 $G=PSL\left(2,q\right)$ ，则 $\mathfrak{D}$ 有两个不同构的 $5\text{-}\left(12,6,\text{1}\right)$ 设计。并且用一个新的方法证明了文献 [3] 中的一个结论：若 $G=PGL\left(2,q\right)$ ，则存在唯一的 $5\text{-}\left(12,6,2\right)$ 设计。

1.2. 预备知识

引理1 [9] ：设 $t\ge 2$ ， $\mathfrak{D}=\left(X,\mathfrak{B}\right)$ 为一个 $t\text{-}\left(v,k,\lambda \right)$ 设计。再设 $1\le i\le t$ ，则 $\mathfrak{D}$ 也是一个 $i\text{-}\left(v,k,{\lambda }_i\right)$ 设计，此处

${\lambda }_i=\lambda \left(\begin{array}{l}v-i\\ t-i\end{array}\right)/\left(\begin{array}{l}k-i\\ t-i\end{array}\right)$ .

引理2 [9] ：一个 $t\text{-}\left(v,k,\lambda \right)$ 设计的区组个数

$b=\lambda \left(\begin{array}{l}v\\ t\end{array}\right)/\left(\begin{array}{l}k\\ t\end{array}\right)$ .

引理3 [6] ：设 $\mathfrak{D}=\left(X,\mathfrak{B}\right)$ 为一个 $4\text{-}\left(12,6,\lambda \right)$ 设计， $X=GF\left(11\right)\cup \left\{\infty \right\}$ ，如果 $G=PGL\left(2,11\right)$ 区传递作用于 $\mathfrak{D}$ 上，则存在唯一的 $4\text{-}\left(12,6,8\right)$ 设计。

引理4 [6] ：设 $\mathfrak{D}=\left(X,\mathfrak{B}\right)$ 为一个 $4\text{-}\left(12,6,\lambda \right)$ 设计， $X=GF\left(11\right)\cup \left\{\infty \right\}$ ，如果 $G=PSL\left(2,11\right)$ 区传递作用于 $\mathfrak{D}$ 上，则 $\mathfrak{D}$ 是一个 $4\text{-}\left(12,6,4\right)$ 设计。

引理5 [10] ：设 $g\in PSL\left(2,q\right)$ ，g的阶为d且 $d>1$ ，则g有a个不动点和 $b=\left(q+1-a\right)/d$ 个d圈。当 $q\equiv 3\left(\mathrm{mod}4\right)$ 时， $PSL\left(2,q\right)$ 的置换特征如表1所示。

Table 1. The permutation character of P S L ( 2 , q ) where q ≡ 3 ( mod 4 )

表1. $q\equiv 3\left(\mathrm{mod}4\right)$ 时 $PSL\left(2,q\right)$ 的置换特征

2. 定理的证明

引理6：设 $\mathfrak{D}=\left(X,\mathfrak{B}\right)$ 为一个 $5\text{-}\left(q+1,6,\lambda \right)$ 设计， $X=GF\left(q\right)\cup \left\{\infty \right\}$ 。若 $G=PGL\left(2,q\right)$ 区传递作用于 $\mathfrak{D}$ 上，则 $\lambda \left|G_B\right|\left(q-2\right)\left(q-3\right)=720$ 。可能出现的情形： $q=11$ ， $\lambda =2$ 。

证明：由于 $\mathfrak{D}=\left(X,\mathfrak{B}\right)$ 为G区传递作用下的 $5\text{-}\left(q+1,6,\lambda \right)$ 设计，可设 $\mathfrak{B}=B^G$ ，则 $b=\left|B^G\right|=\left|G\right|/\left|G_B\right|$ 。由引理2知

$b=\lambda \left(\begin{array}{l}q+1\\ 5\end{array}\right)/\left(\begin{array}{l}6\\ 5\end{array}\right)=\frac{\left(q+1\right)q\left(q-1\right)}{\left|G_B\right|}$ .

故 $\lambda \left|G_B\right|\left(q-2\right)\left(q-3\right)=720$ 。由于q为素数幂且 $v>k+t$ ，可得 $q=11$ 。

当 $q=11$ 时， $\lambda \left|G_B\right|=10$ 。由于 $\lambda$ 为正整数，故 $\lambda \in \left\{1,2,5,10\right\}$ 。由引理1知，若 $\mathfrak{D}$ 为一个 $5\text{-}\left(12,6,1\right)$ 设计，则 $\mathfrak{D}$ 也为一个 $4\text{-}\left(12,6,4\right)$ 设计；若 $\mathfrak{D}$ 为一个 $5\text{-}\left(12,6,2\right)$ 设计，则 $\mathfrak{D}$ 也为一个 $4\text{-}\left(12,6,8\right)$ ；若 $\mathfrak{D}$ 为一个 $5\text{-}\left(12,6,5\right)$ 设计，则 $\mathfrak{D}$ 也为一个 $4\text{-}\left(12,6,\text{2}0\right)$ 设计；若 $\mathfrak{D}$ 为一个 $5\text{-}\left(12,6,10\right)$ 设计，则 $\mathfrak{D}$ 也为一个 $4\text{-}\left(12,6,40\right)$ 设计。再由引理3知 $\lambda$ 的值可能为2。

下用一个新的方法证明文献 [3] 中的一个结论。

定理1：设 $\mathfrak{D}=\left(X,\mathfrak{B}\right)$ 为一个 $5\text{-}\left(q+1,6,\lambda \right)$ 设计， $X=GF\left(q\right)\cup \left\{\infty \right\}$ 。如果 $G=PGL\left(2,q\right)$ 区传递作用于 $\mathfrak{D}$ 上，则存在唯一的 $5\text{-}\left(12,6,2\right)$ 设计。

证明：设 $\mathfrak{B}=B^G$ 。由引理6知若 $\lambda =2$ ，则 $\left|G_B\right|=5$ 。令 $G_B=\langle f\rangle$ 。由于B为X的6-子集，故B中包含f的一个5-圈和一个不动点。由于G在X上的作用是精确3重传递的，可设 $B=\left\{\infty ,0,1,\alpha ,\beta ,\gamma \right\}$ ，其中

$\left(\infty 01\alpha \beta \right)$ 为f的一个5-圈， $\gamma$ 为f的一个不动点。设 $x^f=\frac{ax+b}{cx+d}$ ，其中 $a,b,c,d\in GF\left(11\right)$ 。由 ${\infty }^f=0$ 及 $0^f=1$ 知 $a=0$ 且 $b=d$ ，从而 $x^f=\frac{b}{cx+b}$ 。由于 $b\ne 0$ ，故存在 $e\in GF\left(11\right)$ 使得 $x^f=\frac{1}{ex+1}$ 。由 $1^f=\alpha$ 得 $x^f=\frac{\alpha }{\left(1-\alpha \right)x+\alpha }$ 。又 ${\alpha }^f=\beta$ 及 ${\beta }^f=\infty$ ，从而 $\frac{\alpha \left(2-\alpha \right)}{-{\alpha }^2+\alpha +1}=\infty$ ，即 $-{\alpha }^2+\alpha +1=0$ 。将方程 $-{\alpha }^2+\alpha +1=0$ 在 $GF\left(11\right)$ 中求解，得 $\alpha =4$ 或 $\alpha =8$ 。当 $\alpha =4$ 时， $x^f=\frac{1}{2x+1}$ ， $\beta =5$ ， $\gamma =6$ 或 $\gamma =10$ 。当 $\alpha =8$ 时， $x^f=\frac{2}{x+2}$ ， $\beta =9$ ， $\gamma =4$ 或 $\gamma =5$ 。综上述B可能为如下四种情形： $\left\{\infty ,0,1,4,5,6\right\}$ ， $\left\{\infty ,0,1,4,5,10\right\}$ ，

$\left\{\infty ,0,1,8,9,4\right\}$ ， $\left\{\infty ,0,1,8,9,5\right\}$ 。

取 $B=\left\{\infty ,0,1,4,5,6\right\}$ ，调用程序得到初始区组B在G作用下的轨道 $B^G$ ，发现上述四个区组在同一条轨道中，且 $\left|G_B\right|=5$ 。故只需验证 $\left(X,B^G\right)$ 是否可以构成一个 $5\text{-}\left(12,6,2\right)$ 设计。调用程序知X的任意给定的5-子集都恰好含于 $B^G$ 的两个成员之中。故 $\left(X,B^G\right)$ 为同构意义下满足条件的唯一的 $5\text{-}\left(12,6,2\right)$ 设计。

引理7：设 $\mathfrak{D}=\left(X,\mathfrak{B}\right)$ 为一个 $5\text{-}\left(q+1,6,\lambda \right)$ 设计， $X=GF\left(q\right)\cup \left\{\infty \right\}$ 。若 $G=PSL\left(2,q\right)$ 区传递作用于 $\mathfrak{D}$ 上，则 $\lambda \left|G_B\right|\left(q-2\right)\left(q-3\right)=360$ 。可能出现的情形： $q=11$ ， $\lambda =\text{1}$ 。

证明：由于 $\mathfrak{D}=\left(X,\mathfrak{B}\right)$ 为一个G区传递作用下的 $5\text{-}\left(q+1,6,\lambda \right)$ 设计，设 $\mathfrak{B}=B^G$ ，则 $b=\left|B^G\right|=\left|G\right|/\left|G_B\right|$ 。由引理2知

$b=\lambda \left(\begin{array}{l}q+1\\ 5\end{array}\right)/\left(\begin{array}{l}6\\ 5\end{array}\right)=\frac{\left(q+1\right)q\left(q-1\right)}{\left(\text{2,}q-1\right)\left|G_B\right|}$ .

故 $\lambda \left|G_B\right|\left(q-2\right)\left(q-3\right)\left(2,q-1\right)=720$ 。由于q为素数幂且 $v>k+t$ ，可得 $q=11$ 。即 $\lambda \left|G_B\right|\left(q-2\right)\left(q-3\right)=360$ 。

当 $q=11$ 时， $\lambda \left|G_B\right|=5$ 。由于 $\lambda$ 为正整数，故 $\lambda \in \left\{1,5\right\}$ 。由引理1知，若 $\mathfrak{D}$ 为一个 $5\text{-}\left(12,6,1\right)$ 设计，则 $\mathfrak{D}$ 也为一个 $4\text{-}\left(12,6,4\right)$ 设计；若 $\mathfrak{D}$ 为一个 $5\text{-}\left(12,6,5\right)$ 设计，则 $\mathfrak{D}$ 也为一个 $4\text{-}\left(12,6,\text{2}0\right)$ 设计。再由引理4知 $\lambda$ 的值可能为1。

引理8： $G=PSL\left(2,\text{11}\right)$ 作用在X的6-子集上的轨道及轨道长度分别为：

$O_1={\left\{0,1,2,3,4,5\right\}}^G$ , $\left|O_1\right|=\left|G\right|/2$ ; $O_2={\left\{0,1,2,3,4,6\right\}}^G$ , $\left|O_2\right|=\left|G\right|/5$ ;

$O_3={\left\{0,1,2,3,4,9\right\}}^G$ , $\left|O_3\right|=\left|G\right|/5$ ; $O_4={\left\{0,1,2,3,5,6\right\}}^G$ , $\left|O_4\right|=\left|G\right|/6$ ;

$O_5={\left\{0,1,2,3,5,7\right\}}^G$ , $\left|O_5\right|=\left|G\right|/6$ ; $O_6={\left\{0,1,2,3,5,9\right\}}^G$ , $\left|O_6\right|=\left|G\right|/6$ .

证明：由Cauchy-Frobenius引理知G作用在X的6-子集上的轨道条数为: $t=\frac{1}{\left|G\right|}{\displaystyle \underset{g\in G}{\sum }{\chi }_6}\left(g\right)$ 。由引理

5知 $q=11$ 时只有 $1,2,3,5,6$ 阶元可以固定6-子集，故

$t=\frac{1}{\left|G\right|}\left[\left(\begin{array}{c}q+1\\ 6\end{array}\right)+\frac{\left|G\right|}{q+1}\left(\begin{array}{c}\frac{q+1}{2}\\ 3\end{array}\right)+\frac{2\left|G\right|}{q+1}\left(\begin{array}{c}\frac{q+1}{3}\\ 2\end{array}\right)+\frac{8\left|G\right|}{5}+\frac{\left|G\right|}{3}\right]=6$ .

调用程序得到G作用在X的6-子集上的轨道及轨道长度。

定理2：设 $\mathfrak{D}=\left(X,\mathfrak{B}\right)$ 为一个 $5\text{-}\left(q+1,6,\lambda \right)$ 设计， $X=GF\left(q\right)\cup \left\{\infty \right\}$ 。如果 $G=PSL\left(2,q\right)$ 区传递作用于 $\mathfrak{D}$ 上， $\mathfrak{D}$ 为两个不同构的 $5\text{-}\left(12,6,\text{1}\right)$ 设计。

证明：设 $\mathfrak{B}=S^G$ 。由引理7知若 $\lambda =1$ ，则 $\left|G_S\right|=5$ 。再由引理8，故只需验证 $\left(X,O_2\right)$ 与 $\left(X,O_3\right)$ 是否可以构成 $5\text{-}\left(12,6,\text{1}\right)$ 设计。调用程序知X的任意给定的5-子集都恰好含于 $O_i$ 的一个成员之中，其中 $i=2,3$ 。即 $\left(X,B^G\right)$ 为满足条件的两个不同构的 $5\text{-}\left(12,6,1\right)$ 设计。

NOTES

^*通讯作者。