证明以正交4球半径为4元数欧拉线的算法——四维体积勾股定理的应用(公式四)

The Proof of the Algorithm of Euler Line with Orthogonal Radius of 4 Spheres as 4 Variables—Application of Pythagorean Theorem of Four Dimensional Volume (Formula 4)

摘要: 正交4球心组成的垂心四面体，在欧氏3D坐标系中，仅用四球半径，按勾股4态的4个共球半径、球心坐标、球心距垂心间距均有各自的同构公式。

Abstract: In Euclidean 3D coordinate system, the vertical tetrahedron composed of orthogonal four spherical centers has its own isomorphic formulas according to the four common spherical radius of Py-thagorean four states, the coordinates of spherical centers and the distance between the spherical centers and the vertical centers.

1. 引言

4球正交，球心间的垂心四面体构成勾股4态 [1] 的4个球心点(球)、6个两球间连线(勾股定理)、4个3球心所围面(面积勾股定理 [2] )、1个4球心所围体(四维体积勾股定理 [3] )均有各自的重心和垂心。这15组重心垂心按勾股4态，用4球半径表达的4种共球半径、球心坐标和欧拉线 [4] 间距关系如何？

2. 证明勾股四态的4个共球半径，球心坐标，欧拉线间距 均存在同构公式

4球正交，存在勾股4态，点、线、面、体4个共球，它们交4垂线同时交同态重心和垂心。4个共球球心与垂心共5点共线，即为垂心四面体的欧拉线，4个共球半径以及球心的坐标具有各自的同构的四元数公式。证明如下(为精简起见，各15组重心和垂心代数坐标符号均沿用“重心距离公式” [5]、“垂心距离公式” [6] 中所设)。

2.1. 按勾股4态的4个同态重心垂心共球半径及其球心坐标有 各自的同构公式

2.1.1. 勾股4态的4个同态重心垂心共球半径平方 $R_{O/n}^2$ 的同构公式

定义：正交4球形成的勾股4态，仅用4球半径表达其存在4个同态重心垂心共球半径的平方等于维数平方分子4个重心球半径的平方与垂心球半径平方与维数减2的平方积之差。其公式为：

$R_{O/n}^2=\frac{1}{n^2}\left(4R_G^2-{\left(n-2\right)}^2{r}_H^2\right)$ (1)

这里： $n=1,2,3,4$ ；重心球平方： $R_G^2=\frac{1}{16}\left(a^2+b^2+c^2+d^2\right)$ ；垂心球平方： $r_H^2=\frac{a^2{b}^2{c}^2{d}^2}{v^2}$。

2.1.2. 勾股4态的4个同态重心垂心共球球心坐标O_1/n的同构公式 (即：欧拉线)

定义：勾股4态存在4个共球球心与1点垂心计5点共线的欧拉线，4共球坐标有同构公式为：2倍维数分子4球心坐标和与2倍的垂心坐标与2减维数积之差。其公式为：

(2)

这里 $n\in 1,2,3,4$ 的维数； $O_{1/n}$ 为共球心坐标； $A,B,C,D$ 为4球心，H为垂心；下标 $x,y,z$ 为分坐标。

2.1.3. 勾股4态的4个同态重心垂心共球球心坐标O_1/n与垂心H间距的同构公式(即：欧拉线)

定义：正交4球形成的勾股4态，存在4个同态重心垂心共球球心坐标距垂心距离为算术平均数。各共球与垂心间距得平方等于维数平方分子4与重心球半径与垂心球半径的平方差的积。其公式两边开方后为：

$H{O}_{1/n}=\frac{2}{n}\sqrt{R_G^2-r_H^2}$ (3)

这里： $n=1,2,3,4$ ；重心球平方： $R_G^2=\frac{1}{16}\left(a^2+b^2+c^2+d^2\right)$ ；垂心球平方： $r_H^2=\frac{a^2{b}^2{c}^2{d}^2}{v^2}$。

例：

· 一维点态8点共球半径、球心坐标及距垂心距离：(8点共球在垂心四面体中为外接球。其半径的平方等于4球心至垂心距离平方和的四分之一，也等于4个重心球半径平方与垂心球半径平方差)。

其8点共球半径的平方，将 $n=1$ 代入公式(1)为：

$\begin{array}{c}{R}_O^2=\frac{1}{1^2}\left[4\frac{1}{16}\left(a^2+b^2+c^2+d^2\right)-{\left(1-2\right)}^2\frac{a^2{b}^2{c}^2{d}^2}{v^2}\right]\\ =\frac{1}{4}\left(a^2+b^2+c^2+d^2-\frac{4a^2{b}^2{c}^2{d}^2}{v^2}\right)=\frac{1}{4}\left(A{H}^2+B{H}^2+C{H}^2+D{H}^2\right)\\ =4\left[\frac{1}{16}\left(a^2+b^2+c^2+d^2\right)\right]-\frac{a^2{b}^2{c}^2{d}^2}{v^2}=4R_G^2-r_H^2\end{array}$ (4)

其8点共球球心坐标，将 $n=1$ 代入公式(2)为：

$O=\{\begin{array}{l}x=\frac{1}{2\times 1}\left[a+0+0+bct-2\left(2-1\right)\frac{-a{b}^2{c}^{2}t}{v}\right]=\frac{1}{2}\left(a+bct\frac{v+2abc}{v}\right)\\ y=\frac{1}{2\times 1}\left[0+b+0+act-2\left(2-1\right)\frac{-a^{2}b{c}^{2}t}{v}\right]=\frac{1}{2}\left(b+act\frac{v+2abc}{v}\right)\\ z=\frac{1}{2\times 1}\left[0+0+c+abt-2\left(2-1\right)\frac{-a^2{b}^{2}ct}{v}\right]=\frac{1}{2}\left(c+abt\frac{v+2abc}{v}\right)\end{array}$ (5)

这里： $t=\frac{-d^2}{v+abc}$，本文下同。

其8点共球球心坐标与垂心H距离，将 $n=1$ 代入公式(3)为：

$H{O}_{1/1}=HO=\frac{2}{1}\sqrt{R_G^2-r_H^2}=2\sqrt{R_G^2-r_H^2}=\frac{1}{2}\sqrt{a^2+b^2+c^2+d^2-\frac{16a^2{b}^2{c}^2{d}^2}{v^2}}$ (6)

· 二维线态20点共球半径、球心坐标及距垂心距离：(垂心四面体中交4垂线8点以及交4球心6条连线12点，总计20点共球，其半径和球心坐标同构重心球半径和重心坐标)。

其20点共球半径的平方，将 $n=2$ 代入公式(1)为：

(7)

其20点共球球心坐标，将 $n=2$ 代入公式(2)为：

$O_{1/2}=\{\begin{array}{l}x=\frac{1}{2\times 2}\left[a+0+0+bct-2\left(2-2\right)\frac{-a{b}^2{c}^{2}t}{v}\right]=\frac{1}{4}\left(a+bct\right)\\ y=\frac{1}{2\times 2}\left[0+b+0+act-2\left(2-2\right)\frac{-a^{2}b{c}^{2}t}{v}\right]=\frac{1}{4}\left(b+act\right)\\ z=\frac{1}{2\times 2}\left[0+0+c+abt-2\left(2-2\right)\frac{-a^2{b}^{2}ct}{v}\right]=\frac{1}{4}\left(c+abt\right)\end{array}$ (8)

其20点共球球心坐标与垂心H距离，将 $n=2$ 代入公式(3)为：

$H{O}_{1/2}=\frac{2}{2}\sqrt{R_G^2-r_H^2}=\sqrt{R_G^2-r_H^2}=\frac{1}{4}\sqrt{a^2+b^2+c^2+d^2-\frac{16a^2{b}^2{c}^2{d}^2}{v^2}}$ (9)

· 三维面态12点共球半径、球心坐标及距垂心距离：(垂心四面体中为4垂线8点4平面重心4点，总计12点共球；半径是8点共球的三分之一)。

其12点共球半径的平方，将 $n=3$ 代入公式(1)为：

$\begin{array}{c}{R}_{O/3}^2=\frac{1}{3^2}\left(4\frac{1}{16}\left(a^2+b^2+c^2+d^2\right)-{\left(3-2\right)}^2\frac{a^2{b}^2{c}^2{d}^2}{v^2}\right)\\ =\frac{1}{36}\left(a^2+b^2+c^2+d^2-\frac{4a^2{b}^2{c}^2{d}^2}{v^2}\right)=\frac{1}{9}\left(4R_G^2-r_H^2\right)\end{array}$ (10)

其12点共球球心坐标，将 $n=3$ 代入公式(2)为：

$O_{1/3}=\{\begin{array}{l}x=\frac{1}{2\times 3}\left[a+0+0+bct-2\left(2-3\right)\frac{-a{b}^2{c}^{2}t}{v}\right]=\frac{1}{6}\left(a+bct\frac{v-2abc}{v}\right)\\ y=\frac{1}{2\times 3}\left[0+b+0+act-2\left(2-3\right)\frac{-a^{2}b{c}^{2}t}{v}\right]=\frac{1}{6}\left(b+act\frac{v-2abc}{v}\right)\\ z=\frac{1}{2\times 3}\left[0+0+c+abt-2\left(2-3\right)\frac{-a^2{b}^{2}ct}{v}\right]=\frac{1}{6}\left(c+abt\frac{v-2abc}{v}\right)\end{array}$ (11)

其12点共球球心坐标与垂心H距离，将 $n=3$ 代入公式(3)为：

$H{O}_{1/3}=\frac{2}{3}\sqrt{R_G^2-r_H^2}=\frac{1}{6}\sqrt{a^2+b^2+c^2+d^2-\frac{16a^2{b}^2{c}^2{d}^2}{v^2}}$ (12)

· 四维体态6点共球半径、球心坐标及距垂心距离：(垂心四面体中4垂线5点，其中垂心为4垂线交点，体重心1点，总计为6点共球)。

其6点共球半径的平方，将 n = 4 代入公式(1)为：

$\begin{array}{c}{R}_{O/4}^2=\frac{1}{4^2}\left[4\frac{1}{16}\left(a^2+b^2+c^2+d^2\right)-{\left(4-2\right)}^2\frac{a^2{b}^2{c}^2{d}^2}{v^2}\right]\\ =\frac{1}{64}\left(a^2+b^2+c^2+d^2-\frac{16a^2{b}^2{c}^2{d}^2}{v^2}\right)=\frac{1}{4}\left(R_G^2-r_H^2\right)\end{array}$ (13)

其6点共球球心坐标，将 $n=4$ 代入公式(2)为：

(14)

其6点共球球心坐标与垂心H距离，将 n = 4 代入公式(3)为：

$H{O}_{1/4}=\frac{2}{4}\sqrt{R_G^2-r_H^2}=\frac{1}{8}\sqrt{a^2+b^2+c^2+d^2-\frac{16a^2{b}^2{c}^2{d}^2}{v^2}}$ (15)

上述关系见表1如下。

Table 1. List of 5 points collinear coordinates of Euler line and Pythagoras four states and radius of 4 common spheres

表1. 欧拉线5点共线坐标及其勾股4态4共球半径一览表

表内：这里： $n=1,2,3,4$ ；重心球平方： $R_G^2=\frac{1}{16}\left(a^2+b^2+c^2+d^2\right)$ ；垂心球平方： $r_H^2=\frac{a^2{b}^2{c}^2{d}^2}{v^2}$ ； $t=\frac{-d^2}{v+abc}$，。

2.2. 验证勾股4态4共球半径、球心坐标及算术平均数的欧拉线

2.2.1. 验证勾股4态的4点同构的坐标间距为欧拉线算术平均数

假设上述公式正确：用2点距离公式验算欧拉线之间的距离如下：

· 勾股点态8点共球，球心O点至垂心H点至其间距用2点间距公式为：

$\begin{array}{c}H{O}^2={\left[\frac{1}{2}\left(a+bct\frac{v+2abc}{v}\right)-\frac{-a{b}^2{c}^{2}t}{v}\right]}^2+{\left[\frac{1}{2}\left(b+act\frac{v+2abc}{v}\right)-\frac{-a^{2}b{c}^{2}t}{v}\right]}^2\\ +{\left[\frac{1}{2}\left(c+abt\frac{v+2abc}{v}\right)-\frac{-a^2{b}^{2}ct}{v}\right]}^2\\ =\frac{1}{4}\left(a^2+b^2+c^2+d^2-\frac{16a^2{b}^2{c}^2{d}^2}{v^2}\right)\end{array}$

两边开方公式(16)等于公式(6)为：

$\Rightarrow HO=2\sqrt{R_G^2-r_H^2}=\frac{1}{2}\sqrt{a^2+b^2+c^2+d^2-\frac{16a^2{b}^2{c}^2{d}^2}{v^2}}$ (16)

· 勾股线态20点共球球心 重心点，根据同态垂心与重心间距的平方，可以不用坐标，其间距等于重心球与垂心球半径的平方差。 ${\left|HG\right|}^2=R_G^2-r_H^2$，

两边开方公式(17)等于公式(9)为：

$H{O}_{1/2}=HG=\sqrt{R_G^2-r_H^2}=\frac{1}{4}\sqrt{a^2+b^2+c^2+d^2-16\frac{a^2{b}^2{c}^2{d}^2}{{\text{v}}^2}}=\frac{1}{2}HO$ (17)

· 勾股面态12点共球球心 $O_{1/3}$ 至垂心H点间距，用2点坐标距离公式为；

$\begin{array}{c}H{O}_{1/3}^2={\left[\frac{1}{6}\left(a+bct\frac{v-2abc}{v}\right)-\frac{-a{b}^2{c}^{2}t}{v}\right]}^2+{\left[\frac{1}{6}\left(b+act\frac{v-2abc}{v}\right)-\frac{-a^{2}b{c}^{2}t}{v}\right]}^2\\ +{\left[\frac{1}{6}\left(c+abt\frac{v-2abc}{v}\right)-\frac{-a^2{b}^{2}ct}{v}\right]}^2\\ =\frac{1}{36}\left(a^2+b^2+c^2+d^2-16\frac{a^2{b}^2{c}^2{d}^2}{v^2}\right)\end{array}$

两边开方公式(18)等于公式(12)为：

$\Rightarrow H{O}_{1/3}=\frac{2}{3}\sqrt{R_G^2-r_H^2}=\frac{1}{6}\sqrt{a^2+b^2+c^2+d^2-\frac{16a^2{b}^2{c}^2{d}^2}{v^2}}=\frac{1}{3}HO$ (18)

· 勾股体态6点共球球心 $O_{1/4}$ 至垂心H点，用2点坐标距离公式为；

$\begin{array}{c}H{O}_{1/4}^2={\left[\frac{1}{8}\left(a+bct\frac{v-4abc}{v}\right)-\frac{-a{b}^2{c}^{2}t}{v}\right]}^2+{\left[\frac{1}{8}\left(b+act\frac{v-4abc}{v}\right)-\frac{-a^{2}b{c}^{2}t}{v}\right]}^2\\ +{\left[\frac{1}{8}\left(c+abt\frac{v-4abc}{v}\right)-\frac{-a^2{b}^{2}ct}{v}\right]}^2\\ =\frac{1}{64}\left(a^2+b^2+c^2+d^2-16\frac{a^2{b}^2{c}^2{d}^2}{v^2}\right)\end{array}$

两边开方公式(19)等于公式(15)为：

$\Rightarrow H{O}_{1/4}=\frac{1}{2}\sqrt{R_G^2-r_H^2}=\frac{1}{8}\sqrt{a^2+b^2+c^2+d^2-\frac{16a^2{b}^2{c}^2{d}^2}{v^2}}=\frac{1}{4}HO$ (19)

根据公式(16)、(17)、(18)、(19)结果，验证了4点为垂心至8点共球球心2点共线，其间距为该2点间距为欧拉线算术平均数。

2.2.2. 验证勾股点态重心垂心共球半径及球心坐标(即垂心四面体的外接球 [7]，或称垂心四面体8点共球)

证明了8点共球球面交4垂线共8点共球，其中：8点共球交正交4球心，该球心与4球重心、4球垂心共点，因此该共球在这里称“勾股点态一维重心垂心共球”，共球半径的平方等于正交4球心至垂心距离的平方和的四分之一，也等于重心球半径与垂心球半径的平方差的4倍。

假设公式(4)，公式(5)成立，勾股点态重心垂心共球半径及球心坐标见表1，将4垂线参数方程公式(20)与8点共球半径和球心的球面方程联立公式(21)，即得4垂线交该球面8点，其中4点为正交4球的球心、与4球重心和垂心共点：

验证如下：

例：

· 过A点和垂心H点2点的垂线参数方程为：

$\frac{x-a}{\frac{-a{b}^2{c}^{2}t}{v}-a}=\frac{y-0}{\frac{-a^{2}b{c}^{2}t}{v}-0}=\frac{z-0}{\frac{-a^2{b}^{2}ct}{v}-0}=t_1\Rightarrow A=\{\begin{array}{l}x=a+\left(\frac{-a{b}^2{c}^{2}t}{v}-a\right)t_1\\ y=\frac{-a^{2}b{c}^{2}t}{v}{t}_1\\ z=\frac{-a^2{b}^{2}ct}{v}{t}_1\end{array}$ (20)

8点共球半径的平方见：公式(4)；球心为O见：公式(5)，立球面方程为：将公式(20)代入公式(16)左右式相减：

$\begin{array}{l}{\left[\frac{1}{2}\left(a+bct\frac{v+2abc}{v}\right)-a-\left(\frac{-a{b}^2{c}^{2}t}{v}-a\right)t_1\right]}^2+{\left[\frac{1}{2}\left(b+act\frac{v+2abc}{v}\right)-\frac{-a^{2}b{c}^{2}t}{v}{t}_1\right]}^2\\ +{\left[\frac{1}{2}\left(c+abt\frac{v+2abc}{v}\right)-\frac{-a^2{b}^{2}ct}{v}{t}_1\right]}^2=\frac{1}{4}\left(a^2+b^2+c^2+d^2-\frac{4a^2{b}^2{c}^2{d}^2}{v^2}\right)\end{array}$ (21)

$\Rightarrow 0=a^2{t}_1\left(-2b^2{c}^2{d}^2-v^2-b^2{c}^2{d}^2{t}_1+v^2{t}_1\right)$

得 $\Rightarrow \left\{\left\{t_1\to 0\right\},\left\{t_1\to \frac{2b^2{c}^2{d}^2+v^2}{-b^2{c}^2{d}^2+v^2}\right\}\right\}$

将 $t_1$ 代入公式(20)得8点共球与过A点垂线的2交点坐标为：

与 $A_2=\{\begin{array}{l}x=\frac{a{b}^2{c}^2\left[3d^{2}v+t\left(2b^2{c}^2{d}^2+v^2\right)\right]}{b^2{c}^2{d}^{2}v-v^3}\\ y=\frac{a^{2}b{c}^{2}t\left(2b^2{c}^2{d}^2+v^2\right)}{b^2{c}^2{d}^{2}v-v^3}\\ z=\frac{a^2{b}^{2}ct\left(2b^2{c}^2{d}^2+v^2\right)}{b^2{c}^2{d}^{2}v-v^3}\end{array}$

同理我们可得：

· 过B点和垂心H点2点的垂线参数方程为：

$\frac{x-0}{\frac{-a{b}^2{c}^{2}t}{v}-0}=\frac{y-b}{\frac{-a^{2}b{c}^{2}t}{v}-b}=\frac{z-0}{\frac{-a^2{b}^{2}ct}{v}-0}=t_1\Rightarrow B=\{\begin{array}{l}x=\frac{-a{b}^2{c}^{2}t}{v}{t}_1\\ y=b+\left(\frac{-a^{2}b{c}^{2}t}{v}-b\right)t_1\\ z=\frac{-a^2{b}^{2}ct}{v}{t}_1\end{array}$ (22)

代入共球球面方程：

(23)

$\Rightarrow 0=b^2{t}_1\left(-2a^2{c}^2{d}^2-v^2-a^2{c}^2{d}^2{t}_1+v^2{t}_1\right)$

得 $\left\{\left\{t_1\to 0\right\},\left\{t_1\to \frac{-2a^2{c}^2{d}^2-v^2}{a^2{c}^2{d}^2-v^2}\right\}\right\}$

将参数 $t_1$ 代回公式(22)过B点垂线2交点坐标为：

$B_1=\{\begin{array}{l}x=0\\ y=b\\ z=0\end{array}$ 与 $B_2=\{\begin{array}{l}x=\frac{a{b}^2{c}^{2}t\left(2a^2{c}^2{d}^2+v^2\right)}{a^2{c}^2{d}^{2}v-v^3}\\ y=\frac{a^{2}b{c}^2\left[3d^{2}v+t\left(2a^2{c}^2{d}^2+v^2\right)\right]}{a^2{c}^2{d}^{2}v-v^3}\\ z=\frac{a^2{b}^{2}ct\left(2a^2{c}^2{d}^2+v^2\right)}{a^2{c}^2{d}^{2}v-v^3}\end{array}$

· 过C点和垂心H点2点的垂线参数方程为：

$\frac{x-0}{\frac{-a{b}^2{c}^{2}t}{v}-0}=\frac{y-0}{\frac{-a^{2}b{c}^{2}t}{v}-0}=\frac{z-c}{\frac{-a^2{b}^{2}ct}{v}-c}=t_1\Rightarrow C=\{\begin{array}{l}x=\frac{-a{b}^2{c}^{2}t}{v}{t}_1\\ y=\frac{-a^{2}b{c}^{2}t}{v}{t}_1\\ z=c+\left(\frac{-a^2{b}^{2}ct}{v}-c\right)t_1\end{array}$ (24)

代入共球球面方程：

$\begin{array}{l}{\left[\frac{1}{2}\left(a+bct\frac{v+2abc}{v}\right)-\frac{-a{b}^2{c}^{2}t}{v}{t}_1\right]}^2+{\left[\frac{1}{2}\left(b+act\frac{v+2abc}{v}\right)-\frac{-a^{2}b{c}^{2}t}{v}{t}_1\right]}^2\\ +{\left[\frac{1}{2}\left(c+abt\frac{v+2abc}{v}\right)-c-\left(\frac{-a^2{b}^{2}ct}{v}-c\right)t_1\right]}^2=\frac{1}{4}\left(a^2+b^2+c^2+d^2-\frac{4a^2{b}^2{c}^2{d}^2}{v^2}\right)\end{array}$ (25)

$\Rightarrow 0=c^2{t}_1\left(-2a^2{b}^2{d}^2-v^2-a^2{b}^2{d}^2{t}_1+v^2{t}_1\right)$

得 $\left\{\left\{t_1\to 0\right\},\left\{t_1\to \frac{-2a^2{b}^2{d}^2-v^2}{a^2{b}^2{d}^2-v^2}\right\}\right\}$

将参数 $t_1$ 代回公式(24)过C点垂线2交点坐标为：

$C_1=\{\begin{array}{l}x=0\\ y=0\\ z=c\end{array}$ 与 $C_2=\{\begin{array}{l}x=\frac{a{b}^2{c}^{2}t\left(2a^2{b}^2{d}^2+v^2\right)}{a^2{b}^2{d}^{2}v-v^3}\\ y=\frac{a^{2}b{c}^{2}t\left(2a^2{b}^2{d}^2+v^2\right)}{a^2{b}^2{d}^{2}v-v^3}\\ z=\frac{a^2{b}^{2}c\left[3d^{2}v+t\left(2a^2{b}^2{d}^2+v^2\right)\right]}{a^2{b}^2{d}^{2}v-v^3}\end{array}$

· 过D点和垂心H点2点的垂线参数方程为：

$\frac{x-bct}{\frac{-a{b}^2{c}^{2}t}{v}-bct}=\frac{y-act}{\frac{-a^{2}b{c}^{2}t}{v}-act}=\frac{z-abt}{\frac{-a^2{b}^{2}ct}{v}-abt}=t_1\Rightarrow D=\{\begin{array}{l}x=bct+\left(\frac{-a{b}^2{c}^{2}t}{v}-bct\right)t_1\\ y=act+\left(\frac{-a^{2}b{c}^{2}t}{v}-act\right)t_1\\ z=abt+\left(\frac{-a^2{b}^{2}ct}{v}-abt\right)t_1\end{array}$ (26)

代入共球球面方程：

$\begin{array}{l}{\left[\frac{1}{2}\left(a+bct\frac{v+2abc}{v}\right)-bct-\left(\frac{-a{b}^2{c}^{2}t}{v}-bct\right)t_1\right]}^2\\ +{\left[\frac{1}{2}\left(b+act\frac{v+2abc}{v}\right)-act-\left(\frac{-a^{2}b{c}^{2}t}{v}-act\right)t_1\right]}^2\\ +{\left[\frac{1}{2}\left(c+abt\frac{v+2abc}{v}\right)-abt-\left(\frac{-a^2{b}^{2}ct}{v}-abt\right)t_1\right]}^2\\ =\frac{1}{4}\left(a^2+b^2+c^2+d^2-\frac{4a^2{b}^2{c}^2{d}^2}{v^2}\right)\end{array}$ (27)

$\Rightarrow 0=d^2{t}_1\left(-2a^2{b}^2{c}^2-v^2-a^2{b}^2{c}^2{t}_1+v^2{t}_1\right)$

得 $\left\{\left\{t_1\to 0\right\},\left\{t_1\to \frac{-2a^2{b}^2{c}^2-v^2}{a^2{b}^2{c}^2-v^2}\right\}\right\}$

将参数 $t_1$ 代回公式(26)过D点垂线2交点坐标为：

$D_1=\{\begin{array}{l}x=bct\\ y=act\\ z=abt\end{array}$ 与

因此，验证8点共球半径的平方公式(4)，以及8点共球球心坐标公式(5)成立。且证明了8点共球球面交4垂线共8点共球，其中：8点共球交正交4球心，该球心与4球重心、4球垂心共点，因此该共球在这里称“勾股点态一维重心垂心共球”，共球半径的平方等于正交4球心至垂心距离的平方和的四分之一，也等于重心球半径与垂心球半径的平方差的4倍。

2.2.3. 验证勾股线态20点共球半径及球心坐标(共球面与6棱和4垂线各交2点)

证明“勾股线态二维重心垂心共球”球面交4垂线以及6棱共20点共球，20点共球球心为四维重心；共球半径的平方等于四维重心球半径的平方。

假设公式(7)、公式(8)成立，勾股线态重心垂心共球半径及球心坐标见表1，将4垂线参数方程与20点共球半径和球心的球面方程联立，即得4垂线交该球面8点，同理，将6棱线参数方程与20点共球球面方程联立，可得共球球面交6棱，各棱重心垂心2点，合计12点共球交点，合计20点共球。

验证1：4垂线与该共球交8点：

例：

· 过A点与H垂心的垂线的参数方程见：公式(20)代入公式(28)

20点共球球面方程为：

$\begin{array}{l}{\left[\frac{1}{4}\left(a+bct\right)-a-\left(\frac{-a{b}^2{c}^{2}t}{v}-a\right)t_1\right]}^2+{\left[\frac{1}{4}\left(b+act\right)-\frac{-a^{2}b{c}^{2}t}{v}{t}_1\right]}^2\\ +{\left[\frac{1}{4}\left(c+abt\right)-\frac{-a^2{b}^{2}ct}{v}{t}_1\right]}^2=\frac{1}{16}\left(a^2+b^2+c^2+d^2\right)\end{array}$ (28)

将得到的参数： $\left\{\left\{t_1\to -\frac{2v}{-3v+\sqrt{8b^2{c}^2{d}^2+v^2}}\right\},\left\{t_1\to \frac{2v}{3v+\sqrt{8b^2{c}^2{d}^2+v^2}}\right\}\right\}$ 代入过A点垂线参数方程

公式(20)得2交点为：

$A_1=\{\begin{array}{l}x=\frac{a\left(2b^2{c}^{2}t-v+\sqrt{8b^2{c}^2{d}^2+v^2}\right)}{-3v+\sqrt{8b^2{c}^2{d}^2+v^2}}\\ y=\frac{2a^{2}b{c}^{2}t}{-3v+\sqrt{8b^2{c}^2{d}^2+v^2}}\\ z=\frac{2a^2{b}^{2}ct}{-3v+\sqrt{8b^2{c}^2{d}^2+v^2}}\end{array}$ 和 $A_2=\{\begin{array}{l}x=\frac{a\left(-2b^2{c}^{2}t+v+\sqrt{8b^2{c}^2{d}^2+v^2}\right)}{3v+\sqrt{8b^2{c}^2{d}^2+v^2}}\\ y=-\frac{2a^{2}b{c}^{2}t}{3v+\sqrt{8b^2{c}^2{d}^2+v^2}}\\ z=-\frac{2a^2{b}^{2}ct}{3v+\sqrt{8b^2{c}^2{d}^2+v^2}}\end{array}$

· 过B点与H垂心的垂线的参数方程见：公式(22)代入公式(29)

20点共球球面方程为：

$\begin{array}{l}{\left[\frac{1}{4}\left(a+bct\right)-\frac{-a{b}^2{c}^{2}t}{v}{t}_1\right]}^2+{\left[\frac{1}{4}\left(b+act\right)-b-\left(\frac{-a^{2}b{c}^{2}t}{v}-b\right)t_1\right]}^2\\ +{\left[\frac{1}{4}\left(c+abt\right)-\frac{-a^2{b}^{2}ct}{v}{t}_1\right]}^2=\frac{1}{16}\left(a^2+b^2+c^2+d^2\right)\end{array}$ (29)

将得到的参数： $\left\{\left\{t_1\to \frac{2v}{3v-\sqrt{8a^2{c}^2{d}^2+v^2}}\right\},\left\{t_1\to \frac{2v}{3v+\sqrt{8b^2{c}^2{d}^2+v^2}}\right\}\right\}$ 代入过B点垂线参数方程公

式(22)得2交点为：

$B_1=\{\begin{array}{l}x=\frac{2a{b}^2{c}^{2}t}{-3v+\sqrt{8a^2{c}^2{d}^2+v^2}}\\ y=\frac{b\left(2a^2{c}^{2}t-v+\sqrt{8a^2{c}^2{d}^2+v^2}\right)}{-3v+\sqrt{8a^2{c}^2{d}^2+v^2}}\\ z=\frac{2a^2{b}^{2}ct}{-3v+\sqrt{8a^2{c}^2{d}^2+v^2}}\end{array}$ 和

· 过C点与H垂心的垂线的参数方程见：公式(24)代入公式(30)

20点共球球面方程为：

$\begin{array}{l}{\left[\frac{1}{4}\left(a+bct\right)-\frac{-a{b}^2{c}^{2}t}{v}{t}_1\right]}^2+{\left[\frac{1}{4}\left(b+act\right)-\frac{-a^{2}b{c}^{2}t}{v}{t}_1\right]}^2\\ +{\left[\frac{1}{4}\left(c+abt\right)-c-\left(\frac{-a^2{b}^{2}ct}{v}-c\right)t_1\right]}^2=\frac{1}{16}\left(a^2+b^2+c^2+d^2\right)\end{array}$ (30)

将得到的参数： $\left\{\left\{t_1\to \frac{2v}{3v-\sqrt{8a^2{b}^2{d}^2+v^2}}\right\},\left\{t_1\to \frac{2v}{3v+\sqrt{8a^2{b}^2{d}^2+v^2}}\right\}\right\}$ 代入过C点垂线参数方程公

式(24)得2交点为：

$C_1=\{\begin{array}{l}x=-\frac{2a{b}^2{c}^{2}t}{3v-\sqrt{8a^2{b}^2{d}^2+v^2}}\\ y=-\frac{2a^{2}b{c}^{2}t}{3v-\sqrt{8a^2{b}^2{d}^2+v^2}}\\ z=\frac{c\left(2a^2{b}^{2}t-v+\sqrt{8a^2{b}^2{d}^2+v^2}\right)}{-3v+\sqrt{8a^2{b}^2{d}^2+v^2}}\end{array}$ 和 $C_2=\{\begin{array}{l}x=-\frac{2a{b}^2{c}^{2}t}{3v+\sqrt{8a^2{b}^2{d}^2+v^2}}\\ y=-\frac{2a^{2}b{c}^{2}t}{3v+\sqrt{8a^2{b}^2{d}^2+v^2}}\\ z=\frac{c\left(-2a^2{b}^{2}t+v+\sqrt{8a^2{b}^2{d}^2+v^2}\right)}{3v+\sqrt{8a^2{b}^2{d}^2+v^2}}\end{array}$

· 过D点与H垂心的垂线的参数方程见：公式(26)代入公式(31)

20点共球球面方程为：

(31)

将得到的参数： $\left\{\left\{t_1\to -\frac{2v}{-3v+\sqrt{8a^2{b}^2{c}^2+v^2}}\right\},\left\{t_1\to \frac{2v}{3v+\sqrt{8a^2{b}^2{c}^2+v^2}}\right\}\right\}$ 代入过D点垂线参数方程

公式(26)得2交点为：

$D_1=\{\begin{array}{l}x=\frac{bct\left(4abc-7v-\sqrt{8a^2{b}^2{c}^2+v^2}\right)}{4abc-4v}\\ y=\frac{act\left(4abc-7v-\sqrt{8a^2{b}^2{c}^2+v^2}\right)}{4abc-4v}\\ z=\frac{abt\left(4abc-7v-\sqrt{8a^2{b}^2{c}^2+v^2}\right)}{4abc-4v}\end{array}$ 和 $D_2=\{\begin{array}{l}x=\frac{bct\left(4abc-v-\sqrt{8a^2{b}^2{c}^2+v^2}\right)}{4abc-4v}\\ y=\frac{act\left(4abc-v-\sqrt{8a^2{b}^2{c}^2+v^2}\right)}{4abc-4v}\\ z=\frac{abt\left(4abc-v-\sqrt{8a^2{b}^2{c}^2+v^2}\right)}{4abc-4v}\end{array}$

验证2：6棱重心与该共球交6点：

· 过A点与B点的AB棱的直线的参数方程为：

$\frac{x-a}{0-a}=\frac{y-0}{b-0}=\frac{z-0}{0-0}=t_1\Rightarrow D_{AB}=\{\begin{array}{l}x=a-a{t}_1\\ y=b{t}_1\\ z=0\end{array}$ (32)

将直线参数公式(32)代入20点共球球面方程公式(33)求参数 $t_1$ ：

(33)

将得到的参数： $\left\{\left\{t_1\to \frac{1}{2}\right\},\left\{t_1\to \frac{a^2}{a^2+b^2}\right\}\right\}$ 代入过A、B直线参数方程公式(32)得2交点为：

$D_{AB1}=G_{AB}=\{\begin{array}{l}x=a-a\frac{1}{2}=\frac{a}{2}\\ y=b\frac{1}{2}=\frac{b}{2}\\ z=0\end{array}$ 和 $D_{AB2}=H_{AB}=\{\begin{array}{l}x=a-a\frac{a^2}{a^2+b^2}=\frac{a{b}^2}{a^2+b^2}\\ y=b\frac{a^2}{a^2+b^2}=\frac{a^{2}b}{a^2+b^2}\\ z=0\end{array}$

该共球球面与AB棱交的2点分别为：二维AB直线的重心和垂心。

同理：我们可以得到该共球球面与其它5棱的重心和垂心相交。

∵该共球球心与四维重心共点，而6棱重心为二维重心；

∴其间距可以使用重心间间距可不用使用坐标，直接使用重心球间距公式 [5] 计算。

${\left(P_1{P}_2\right)}^2=r_{p1}^2+r_{p2}^2-2{\left(n_{p1}\times m_{p2}\right)}^{-1}\underset{r_G=p_1\cap p_2}{{\displaystyle \sum }}{r}_G^2$

例：

· $\begin{array}{c}{r}_{O/2}^2=G{H}_{GAB}^2=R_G^2+R_{GAB}^2-2{\left(4\times 2\right)}^{-1}\left(a^2+b^2\right)\\ =\frac{1}{4^2}\left(a^2+b^2+c^2+d^2\right)+\frac{1}{2^2}\left(a^2+b^2\right)-2{\left(4\times 2\right)}^{-1}\left(a^2+b^2\right)\\ =\frac{1}{4^2}\left(a^2+b^2+c^2+d^2\right)=R_G^2\end{array}$

同理可得其它5点二维重心与共球球心间距为：

· $r_{O/2}^2=G{H}_{GAC}^2=\frac{1}{4^2}\left(a^2+b^2+c^2+d^2\right)=R_G^2$

· $r_{O/2}^2=G{H}_{GBC}^2=\frac{1}{4^2}\left(a^2+b^2+c^2+d^2\right)=R_G^2$

· $r_{O/2}^2=G{H}_{GAD}^2=\frac{1}{4^2}\left(a^2+b^2+c^2+d^2\right)=R_G^2$

· $r_{O/2}^2=G{H}_{GBD}^2=\frac{1}{4^2}\left(a^2+b^2+c^2+d^2\right)=R_G^2$

· $r_{O/2}^2=G{H}_{GCD}^2=\frac{1}{4^2}\left(a^2+b^2+c^2+d^2\right)=R_G^2$

验证3：6棱垂心与该共球交6点：用2点坐标距离公式可得：

例：

· $O_{\frac{1}{2}}{H}_{AB}^2={\left[\frac{1}{4}\left(a+bct\right)-\frac{a{b}^2}{a^2+b^2}\right]}^2+{\left[\frac{1}{4}\left(b+act\right)-\frac{a^{2}b}{a^2+b^2}\right]}^2+{\left[\frac{1}{4}\left(c+abt\right)-0\right]}^2=R_G^2$

· $O_{\frac{1}{2}}{H}_{AC}^2={\left[\frac{1}{4}\left(a+bct\right)-\frac{a{c}^2}{a^2+c^2}\right]}^2+{\left[\frac{1}{4}\left(b+act\right)-0\right]}^2+{\left[\frac{1}{4}\left(c+abt\right)-\frac{a^{2}c}{a^2+c^2}\right]}^2=R_G^2$

· $O_{\frac{1}{2}}{H}_{BC}^2={\left[\frac{1}{4}\left(a+bct\right)-0\right]}^2+{\left[\frac{1}{4}\left(b+act\right)-\frac{b{c}^2}{b^2+c^2}\right]}^2+{\left[\frac{1}{4}\left(c+abt\right)-\frac{b^{2}c}{b^2+c^2}\right]}^2=R_G^2$

· $O_{\frac{1}{2}}{H}_{AD}^2={\left[\frac{1}{4}\left(a+bct\right)-\frac{-avt}{a^2+d^2}\right]}^2+{\left[\frac{1}{4}\left(b+act\right)-\frac{a^{3}ct}{a^2+d^2}\right]}^2+{\left[\frac{1}{4}\left(c+abt\right)-\frac{a^{3}bt}{a^2+d^2}\right]}^2=R_G^2$

· $O_{\frac{1}{2}}{H}_{BD}^2={\left[\frac{1}{4}\left(a+bct\right)-\frac{b^{3}ct}{b^2+d^2}\right]}^2+{\left[\frac{1}{4}\left(b+act\right)-\frac{-bvt}{b^2+d^2}\right]}^2+{\left[\frac{1}{4}\left(c+abt\right)-\frac{a{b}^{3}t}{b^2+d^2}\right]}^2=R_G^2$

· $O_{\frac{1}{2}}{H}_{CD}^2={\left[\frac{1}{4}\left(a+bct\right)-\frac{b{c}^{3}t}{c^2+d^2}\right]}^2+{\left[\frac{1}{4}\left(b+act\right)-\frac{a{c}^{3}t}{c^2+d^2}\right]}^2+{\left[\frac{1}{4}\left(c+abt\right)-\frac{-cvt}{c^2+d^2}\right]}^2=R_G^2$

通过上述验证：20点共球球心以及半径验证成立。

(其中：二维棱12点：各棱重心与垂心2点，并与4垂线8点：各垂线交2点共，合计20点共球。)

2.2.4. 验证勾股面态12点共球 [8] 半径及球心坐标(即4面重心垂心各2点；以及4垂线各另1交点)

证明“勾股面态三维重心垂心共球”球面交4垂线8点(含4面垂心)以及4面重心共12点共球，三维面态12点共球半径等于一维点态8点共球半径的三分之一。

假设公式(10)、公式(11)成立，勾股面态重心垂心共球半径及球心坐标见表1，将4垂线参数方程与12点共球半径和球心的球面方程联立，即得4垂线交该球面8点；将各面4点重心与12点共球球心按2点坐标距离公式验算，可得勾股面态12点共球及半径。

验证1：4垂线与该共球交8点：

例：

· 过A点与H垂心的垂线的参数方程见：公式(20)代入公式(34)

12点共球球面方程为：

$\begin{array}{l}{\left[\frac{1}{6}\left(a+bct\frac{v-2abc}{v}\right)-a-\left(\frac{-a{b}^2{c}^{2}t}{v}-a\right)t_1\right]}^2+{\left[\frac{1}{6}\left(b+act\frac{v-2abc}{v}\right)-\frac{-a^{2}b{c}^{2}t}{v}{t}_1\right]}^2\\ +{\left[\frac{1}{6}\left(c+abt\frac{v-2abc}{v}\right)-\frac{-a^2{b}^{2}ct}{v}{t}_1\right]}^2=\frac{1}{36}\left(a^2+b^2+c^2+d^2-\frac{4a^2{b}^2{c}^2{d}^2}{v^2}\right)\end{array}$ (34)

将得到的参数： $\left\{\left\{t_1\to \frac{2}{3}\right\},\left\{t_1\to \frac{v^2}{-b^2{c}^2{d}^2+v^2}\right\}\right\}$ 代入过A点垂线参数方程公式(20)得2交点为：

$A_1=\{\begin{array}{l}x=\frac{av-2a{b}^2{c}^{2}t}{3v}\\ y=\frac{-2a^{2}b{c}^{2}t}{3v}\\ z=\frac{-2a^2{b}^{2}ct}{3v}\end{array}$ 和 $A_2=H_{BCD}=\{\begin{array}{l}x=\frac{b^3{c}^{3}t}{s_{BCD}^2}\\ y=\frac{-b{c}^{2}vt}{s_{BCD}^2}\\ z=\frac{-b^{2}cvt}{s_{BCD}^2}\end{array}$

这里： $H_{BCD}$ 为A点对平面的垂心，。

· 过B点与H垂心的垂线的参数方程见：公式(22)代入公式(35)

12点共球球面方程为：

$\begin{array}{l}{\left[\frac{1}{6}\left(a+bct\frac{v-2abc}{v}\right)-\frac{-a{b}^2{c}^{2}t}{v}{t}_1\right]}^2+{\left[\frac{1}{6}\left(b+act\frac{v-2abc}{v}\right)-b-\left(\frac{-a^{2}b{c}^{2}t}{v}-b\right)t_1\right]}^2\\ +{\left[\frac{1}{6}\left(c+abt\frac{v-2abc}{v}\right)-\frac{-a^2{b}^{2}ct}{v}{t}_1\right]}^2=\frac{1}{36}\left(a^2+b^2+c^2+d^2-\frac{4a^2{b}^2{c}^2{d}^2}{v^2}\right)\end{array}$ (35)

将得到的参数： $\left\{\left\{t_1\to \frac{2}{3}\right\},\left\{t_1\to \frac{v^2}{-a^2{c}^2{d}^2+v^2}\right\}\right\}$ 代入过B点垂线参数方程公式(22)得2交点为：

$B_1=\{\begin{array}{l}x=\frac{-2a{b}^2{c}^{2}t}{3v}\\ y=\frac{bv-2a^{2}b{c}^{2}t}{3v}\\ z=\frac{-2a^2{b}^{2}ct}{3v}\end{array}$ 和 $B_2=H_{ACD}=\{\begin{array}{l}x=-\frac{a{c}^{2}tv}{s_{ACD}^2}\\ y=\frac{a^3{c}^{3}t}{s_{ACD}^2}\\ z=-\frac{a^{2}ctv}{s_{ACD}^2}\end{array}$

这里： $H_{ACD}$ 为B点对平面的垂心， 。

· 过C点与H垂心的垂线的参数方程见：公式(24)代入公式(36)

12点共球球面方程为：

$\begin{array}{l}{\left[\frac{1}{6}\left(a+bct\frac{v-2abc}{v}\right)-\frac{-a{b}^2{c}^{2}t}{v}{t}_1\right]}^2+{\left[\frac{1}{6}\left(b+act\frac{v-2abc}{v}\right)-\frac{-a^{2}b{c}^{2}t}{v}{t}_1\right]}^2\\ +{\left[\frac{1}{6}\left(c+abt\frac{v-2abc}{v}\right)-c-\left(\frac{-a^2{b}^{2}ct}{v}-c\right)t_1\right]}^2=\frac{1}{36}\left(a^2+b^2+c^2+d^2-\frac{4a^2{b}^2{c}^2{d}^2}{v^2}\right)\end{array}$ (36)

将得到的参数： $\left\{\left\{t_1\to \frac{2}{3}\right\},\left\{t_1\to \frac{v^2}{-a^2{b}^2{d}^2+v^2}\right\}\right\}$ 代入过C点垂线参数方程公式(24)得2交点为：

$C_1=\{\begin{array}{l}x=\frac{-2a{b}^2{c}^{2}t}{3v}\\ y=\frac{-2a^{2}b{c}^{2}t}{3v}\\ z=\frac{cv-2a^2{b}^{2}ct}{3v}\end{array}$ 和 $C_2=H_{ABD}=\{\begin{array}{l}x=\frac{-a{b}^{2}tv}{s_{ABD}^2}\\ y=\frac{-a^{2}btv}{s_{ABD}^2}\\ z=\frac{a^3{b}^{3}t}{s_{ABD}^2}\end{array}$

这里： $H_{ABD}$ 为C点对平面的垂心， $s_{ABD}^2=a^2{b}^2+a^2{d}^2+b^2{d}^2$。

· 过D点与H垂心的垂线的参数方程见：公式(26)代入公式(37)

12点共球球面方程为：

$\begin{array}{l}{\left[\frac{1}{6}\left(a+bct\frac{v-2abc}{v}\right)-bct-\left(\frac{-a{b}^2{c}^{2}t}{v}-bct\right)t_1\right]}^2\\ +{\left[\frac{1}{6}\left(b+act\frac{v-2abc}{v}\right)-act-\left(\frac{-a^{2}b{c}^{2}t}{v}-act\right)t_1\right]}^2\\ +{\left[\frac{1}{6}\left(c+abt\frac{v-2abc}{v}\right)-abt-\left(\frac{-a^2{b}^{2}ct}{v}-abt\right)t_1\right]}^2\\ =\frac{1}{36}\left(a^2+b^2+c^2+d^2-\frac{4a^2{b}^2{c}^2{d}^2}{v^2}\right)\end{array}$ (37)

将得到的参数： $\left\{\left\{t_1\to \frac{2}{3}\right\},\left\{t_1\to \frac{v^2}{-a^2{b}^2{c}^2+v^2}\right\}\right\}$ 代入过D点垂线参数方程公式(26)得2交点为：

$D_1=\{\begin{array}{l}x=\frac{bct\left(v-2abc\right)}{3v}\\ y=\frac{act\left(v-2abc\right)}{3v}\\ z=\frac{abt\left(v-2abc\right)}{3v}\end{array}$ 和

这里： $H_{ABC}$ 为D点对平面的垂心， $s_{ABC}^2=a^2{b}^2+a^2{c}^2+b^2{c}^2$。

通过上述验证：12点共球球心以及半径验证成立。

(其中：三维面8点：各面重心与垂心2点，并与4垂线2点中的另1点，4垂线4点；合计12点共球。)

2.2.5. 验证勾股体态6点共球半径及球心坐标

证明“勾股面态四维重心垂心共球”球面交4垂线5点(含1点体垂心)以及1点体重心共6点共球，四维体态6点共球半径平方与6点共球球心至垂心间距平方相同：等于一维点态球心O至4维体态垂心间距的四分之一。

假设公式(13)、公式(14)成立，勾股体态重心垂心共球半径及球心坐标见表1，将4垂线参数方程与6点共球半径和球心的球面方程联立，即得4垂线交该球面5点；将1点体重心与6点共球球心按2点坐标距离公式验算，可得勾股体态6点共球及半径。

验证1：4垂线与该共球交5点：

例：

· 过A点与H垂心的垂线的参数方程见：公式(20)代入公式(38)

6点共球球面方程为：

(38)

将得到的参数： $\left\{\left\{t_1\to 1\right\},\left\{t_1\to \frac{3v^2}{4\left(-b^2{c}^2{d}^2+v^2\right)}\right\}\right\}$ 代入过A点垂线参数方程公式(20)得2交点为：

$A_1=H=\{\begin{array}{l}x=\frac{-a{b}^2{c}^{2}t}{v}\\ y=\frac{-a^{2}b{c}^{2}t}{v}\\ z=\frac{-a^2{b}^{2}ct}{v}\end{array}$ 和 $A_2=\{\begin{array}{l}x=\frac{a\left[4a^2{c}^2{d}^2+\left(3b^2{c}^{2}t-v\right)v\right]}{4a^2{c}^2{d}^2-4v^2}\\ y=\frac{3a^{2}b{c}^{2}tv}{4b^2{c}^2{d}^2-4v^2}\\ z=\frac{3a^2{b}^{2}ctv}{4b^2{c}^2{d}^2-4v^2}\end{array}$

· 过B点与H垂心的垂线的参数方程见：公式(22)代入公式(39)

6点共球球面方程为：

$\begin{array}{l}{\left[\frac{1}{8}\left(a+bct\frac{v-4abc}{v}\right)-\frac{-a{b}^2{c}^{2}t}{v}{t}_1\right]}^2+{\left[\frac{1}{8}\left(b+act\frac{v-4abc}{v}\right)-b-\left(\frac{-a^{2}b{c}^{2}t}{v}-b\right)t_1\right]}^2\\ +{\left[\frac{1}{8}\left(c+abt\frac{v-4abc}{v}\right)-\frac{-a^2{b}^{2}ct}{v}{t}_1\right]}^2\\ =\frac{1}{64}\left(a^2+b^2+c^2+d^2-\frac{16a^2{b}^2{c}^2{d}^2}{v^2}\right)=\frac{1}{4}\left(R_G^2-r_H^2\right)\end{array}$ (39)

将得到的参数： $\left\{\left\{t_1\to 1\right\},\left\{t_1\to \frac{3v^2}{4\left(-a^2{c}^2{d}^2+v^2\right)}\right\}\right\}$ 代入过A点垂线参数方程公式(22)得2交点为：

$B_1=H=\{\begin{array}{l}x=\frac{-a{b}^2{c}^{2}t}{v}\\ y=\frac{-a^{2}b{c}^{2}t}{v}\\ z=\frac{-a^2{b}^{2}ct}{v}\end{array}$ 和 $B_2=\{\begin{array}{l}x=\frac{3a{b}^2{c}^{2}tv}{4a^2{c}^2{d}^2-4v^2}\\ y=\frac{b\left[4a^2{c}^2{d}^2+\left(3a^2{c}^{2}t-v\right)v\right]}{4a^2{c}^2{d}^2-4v^2}\\ z=\frac{3a^2{b}^{2}ctv}{4a^2{c}^2{d}^2-4v^2}\end{array}$

· 过C点与H垂心的垂线的参数方程见：公式(24)代入公式(40)

6点共球球面方程为：

$\begin{array}{l}{\left[\frac{1}{8}\left(a+bct\frac{v-4abc}{v}\right)-\frac{-a{b}^2{c}^{2}t}{v}{t}_1\right]}^2+{\left[\frac{1}{8}\left(b+act\frac{v-4abc}{v}\right)-\frac{-a^{2}b{c}^{2}t}{v}{t}_1\right]}^2\\ +{\left[\frac{1}{8}\left(c+abt\frac{v-4abc}{v}\right)-c-\left(\frac{-a^2{b}^{2}ct}{v}-c\right)t_1\right]}^2\\ =\frac{1}{64}\left(a^2+b^2+c^2+d^2-\frac{16a^2{b}^2{c}^2{d}^2}{v^2}\right)=\frac{1}{4}\left(R_G^2-r_H^2\right)\end{array}$ (40)

将得到的参数： $\left\{\left\{t_1\to 1\right\},\left\{t_1\to \frac{3v^2}{4\left(-a^2{b}^2{d}^2+v^2\right)}\right\}\right\}$ 代入过A点垂线参数方程公式(24)得2交点为：

$C_1=H=\{\begin{array}{l}x=\frac{-a{b}^2{c}^{2}t}{v}\\ y=\frac{-a^{2}b{c}^{2}t}{v}\\ z=\frac{-a^2{b}^{2}ct}{v}\end{array}$ 和

· 过D点与H垂心的垂线的参数方程见：公式(26)代入公式(41)

6点共球球面方程为：

$\begin{array}{l}{\left[\frac{1}{8}\left(a+bct\frac{v-4abc}{v}\right)-bct-\left(\frac{-a{b}^2{c}^{2}t}{v}-bct\right)t_1\right]}^2+{\left[\frac{1}{8}\left(b+act\frac{v-4abc}{v}\right)-act-\left(\frac{-a^{2}b{c}^{2}t}{v}-act\right)t_1\right]}^2\\ +{\left[\frac{1}{8}\left(c+abt\frac{v-4abc}{v}\right)-abt-\left(\frac{-a^2{b}^{2}ct}{v}-abt\right)t_1\right]}^2\\ =\frac{1}{64}\left(a^2+b^2+c^2+d^2-\frac{16a^2{b}^2{c}^2{d}^2}{v^2}\right)=\frac{1}{4}\left(R_G^2-r_H^2\right)\end{array}$ (41)

将得到的参数： $\left\{\left\{t_1\to 1\right\},\left\{t_1\to \frac{3v^2}{4\left(-a^2{b}^2{c}^2+v^2\right)}\right\}\right\}$ 代入过D点垂线参数方程公式(26)得2交点为：

$D_1=H=\{\begin{array}{l}x=\frac{-a{b}^2{c}^{2}t}{v}\\ y=\frac{-a^{2}b{c}^{2}t}{v}\\ z=\frac{-a^2{b}^{2}ct}{v}\end{array}$ 和 $D_2=\{\begin{array}{l}x=\frac{bct\left(4abc-v\right)}{4abc-4v}\\ y=\frac{act\left(4abc-v\right)}{4abc-4v}\\ z=\frac{abt\left(4abc-v\right)}{4abc-4v}\end{array}$

验证2：4维重心与该共球球心2点坐标距离

$\begin{array}{l}{\left[\frac{1}{8}\left(a+bct\frac{v-4abc}{v}\right)-\frac{a+bct}{4}\right]}^2+{\left[\frac{1}{8}\left(b+act\frac{v-4abc}{v}\right)-\frac{b+act}{4}\right]}^2\\ +{\left[\frac{1}{8}\left(c+abt\frac{v-4abc}{v}\right)-\frac{c+abt}{4}\right]}^2=\frac{1}{64}\left(a^2+b^2+c^2+d^2-\frac{16a^2{b}^2{c}^2{d}^2}{v^2}\right)\end{array}$

通过上述验证：6点共球球心以及半径验证成立。

(其中：4维体6点：体重心与垂心2点，并与4垂线2点中的另1点，4垂线4点；合计6点共球。)

3. 总结

通过上述验证，证明了4球正交形成的勾股4态 [1]，存在点、线、面、体4个共球，它们交4垂线同时交同态重心和垂心。4个共球半径公式(1)成立、4个共球球心坐标公式(2)成立、4个共球球心坐标与垂心H距离公式(3)成立。且得出如下结论。

3.1. 一至四维重心与垂心4个共球半径符合公式(1)

一至四维重心与垂心4个共球半径的变化规律符合公式(1)，均在重心球与垂心球半径间。

3.2. 一至四维重心与垂心4个共球球心坐标符合公式(2)

一至四维重心与垂心4个共球球心坐标的变化规律符合公式(2)，为4球球心坐标与垂心坐标间。

3.3. 一至四维重心与垂心4个共球球心坐标距垂心坐标间距符合公式(3)

一至四维重心与垂心4个共球球心坐标距垂心坐标5点共线，即欧拉线，4个共球球心距垂心间距为算术平均数。