理论数学  >> Vol. 10 No. 2 (February 2020)

从Finsler流形到Riemann流形的调和映射梯度估计
Gradient Estimate for Harmonic Maps from Finsler Manifolds to Riemannian Manifolds

DOI: 10.12677/PM.2020.102013, PDF, HTML, XML, 下载: 154  浏览: 264 

作者: 范振海, 任益斌*:浙江师范大学,数学与计算机科学学院,浙江 金华

关键词: 梯度估计调和映射Liouville型定理Landsberg流形Gradient Estimate Harmonic Map Liouville Theorem Landsberg Manifold

摘要: 本文主要研究了从Finsler流形到Riemann流形的调和映射的梯度估计,并由此得到从弱Landsberg流形到Cartan-Hadamard流形的调和映射Liouville型定理。此外,我们还将这一定理推广至目标流形为正则球的情形。
Abstract: In this paper, we study gradient estimate for harmonic maps from Finsler manifolds to Riemannian manifolds. As an application, we obtain Liouville type theorem of harmonic maps from a weak Landsberg manifold to a Cartan-Hadamard manifold. Moreover, we generalize the Liouville type theorem to a regular ball of Riemannian manifold.

文章引用: 范振海, 任益斌. 从Finsler流形到Riemann流形的调和映射梯度估计[J]. 理论数学, 2020, 10(2): 80-90.

1. 引言

1975年,丘成桐 [1] 建立了非负Ricci曲率完备Riemann流形上正调和函数的梯度估计,并给出了相应的Liouville型定理。之后,郑绍远 [2] 和H.I.Choi [3] 分别推导了从Ricci曲率有下界的完备Riemann流形到Cartan-Hadamard流形和正则球的调和映射的梯度估计,同时得到了相应的Liouville型定理。他们主要运用了Bochner技巧和最大值原理。

夏超 [4] 将Cheng-Yau [6] 在Riemann流形上调和函数的梯度估计推广到了Finsler流形。Ohata-Sturm [5] 研究了Finsler流形上的热方程全局解的梯度估计。莫小欢 [7] 定义了从Finsler流形到Riemann流形的调和映射并研究了它的第一变分公式。之后,Shen-Zhang [8] 计算了这类映射的能量泛函的第二变分公式。一个自然的问题是研究Finsler流形上这类调和映射的梯度估计和Liouville型定理。设M是Finsler流形,SM是其上的射影球丛,N是Riemann流形,光滑映射 φ : M N 的能量为

E ( φ ) = 1 c S M 1 2 | d φ | 2 Π ,

我们称映射 φ 是调和映射,如果它是能量泛函E的极值点 [7]。它的张力场表示为:

τ ( φ ) = t r a c e d φ + d φ , J Γ ( φ * T N ) , (1)

本文将推导 φ 的Bochner公式:

1 2 Δ H | d φ | 2 = | H d φ | 2 + H τ ( φ ) , d φ + d φ ( R ˜ ) , d φ i , j = 1 m R ^ ( d φ ( e i ) , d φ ( e j ) , d φ ( e i ) , d φ ( e j ) ) d φ , J d φ .

其中 R ˜ 是M上Riemann曲率张量R的对称化(具体见(6)式), Δ H 是水平Laplacian。由于水平Laplacian具有极大值原理,因此我们可以将调和映射的梯度估计推广到Finsler流形上来。具体结果如下:

定理1 设 ( M , F ) 是非紧的弱Landsberg流形满足

R ˜ k 1 ,

其中 k 1 0 ,设 ( N , h ) 是Cartan-Hadamard流形。如果M上存在一个满足比较定理性质的正函数 r C 2 ( S M ) (具体见定义1),那么任意限制在 Ω 2 R = { x M | r ( x ) < 2 R } 上的调和映射 φ : M N 有如下梯度估计

max x Ω R | d φ | 2 ( C 1 R + k 1 ) b R 2 . (2)

其中 b R = 2 sup { ρ φ ( x ) | x Ω 2 R } ρ 是定义在 y 0 N 的距离函数,且 C 1 由r决定。

我们称调和函数 φ 满足次线性增长条件,如果

lim R + ¯ 1 R sup { ρ φ ( x ) | x Ω 2 R } = 0 ,

由定理1,我们可直接得到如下的Liouville型定理:

定理 2设 ( M , F ) 是非紧的弱Landsberg流形满足 R ˜ 0 ,设 ( N , h ) 是Cartan-Hadamard流形。如果M 上存在一个满足比较定理性质的正函数 r C 2 ( S M ) ,那么任意满足次线性增长条件的调和映射 φ : M N 必定是常值映射。

当目标流形具有正截面曲率时,我们也可以得到类似梯度估计。设N是Riemann流形且截曲率有上

k 2 k 2 0 ,若落在 y 0 N 的割迹之内且 D < π 2 k 2 ,则我们称 B D ( y 0 ) 是Rieman流形N的正则球,当 k 2 = 0 时,我们要求 D < +

定理3 设 ( M , F ) 是非紧的弱Landsberg流形满足

R ˜ k 1 ,

其中 k 1 0 。设N是Riemann流形且截曲率有上界 k 2 k 2 0 B D ( y 0 ) 是N的正则球。如果M上存在一个满足比较定理性质的正函数 r C 2 ( S M ) ,那么任意限制在 Ω 2 R = { x M | r ( x ) < 2 R } 上的调和映射 φ : M B D ( y 0 )

max x Ω R | d φ | 2 C 2 ( k 1 + 1 R ) . (3)

其中 C 2 由r, k 2 和D决定。

进而,由定理3我们得到相应的Liouville型定理:

定理4 设 ( M , F ) 是非紧的弱Landsberg流形满足 R ˜ 0 。如果M上存在一个满足比较定理性质的正函数 r C 2 ( S M ) ,那么从M到正则球的调和映射必是常值映射。

2. 预备知识

在这一节,我们介绍Finsler几何的一些基础知识和Finsler流形到Riemann流形的调和映射。另外,我们还将推导最大值原理和Bochner公式。

设M是m维光滑流形, ( x i , y i ) 是切丛TM上的局部坐标,若函数 F : T M [ 0 , + ) 满足:

i) 正齐性: F ( x , λ y ) = λ F ( x , y ) , λ > 0

ii) 光滑性: F | T M \ { 0 } C 的;

iii) 正定性:对于任意向量 y T M \ { 0 }

g i j ( x , y ) = 1 2 2 F 2 y i y j ( x , y ) = 1 2 ( F 2 ) y i y j .

是正定矩阵,则称F为流形M上的Finsler度量。具备Finsler度量的光滑流形M称为Finsler流形,记为 ( M , F ) 。记M的射影球丛为SM,切丛TM的自然投影确定了射影球丛SM上的一个投影 π : S M M

我们仍用 ( x i , y i ) 表示球丛上的局部坐标,其中 ( y i ) 是齐次坐标。记 π * T M 是切丛TM的拉回,其局部自然标架为 { x i } 。我们用 { d x i } 表示自然标架 { x i } 的对偶。基本张量g定义为

g = i , j = 1 m g i j ( x , y ) d x i d x j ,

其中 g i j = [ 1 2 F 2 ] y i y j 。如果 g i j ( x , y ) 不依赖于向量y的选取,那么F是Riemann度量。令

ω = i = 1 m F y i d x i Γ ( π * T * M ) ,

称为Hilbert形式。其对偶向量场记为

l = i = 1 m y i F x i Γ ( π * T M ) .

Cartan张量C是定义在 π * T M 上的三阶对称张量:

C = i , j , k = 1 m C i j k ( x , y ) d x i d x j d x k ,

其中 C i j k = 1 4 [ F 2 ] y i y j y k = 1 2 g i j y k 。它的平均值 η 称为Cartan形式:

η = i , j , k = 1 m C i j k g j k d x i ,

其中 g j k = ( g j k ) 1 。Deicke定理 [9] 表明,正定的Finsler度量是Riemann度量的充要条件为Cartan形式消失。

( M , F ) 是m维Finsler流形,由于l是单位长的向量场,因此总存在 π * T M 上的局部正交标架场 { e i } 使得 e n = l ,它的对偶标架场记为 { ω i } 。在此标架下陈联络 的结构方程可表为:

d ω i = j = 1 m ω j ω j i , ω j i + ω i j = 2 λ = 1 m 1 H i j λ ω n λ (4)

其中 ω i j ’s是陈联络1形式, H i j k ’s是Cartan张量在 { e i } 下的分量。曲率形式 Ω j i 可表示为:

Ω j i = k , s = 1 m 1 2 R j k s i ω k ω s + k = 1 m λ = 1 m 1 P j k λ i ω k ω n λ .

其中 R j k s i 分别称为Finsler流形M的Riemann曲率和Minkowski曲率。记Riemann曲率张量

R = R j k s i ω j ω k ω s e i , (5)

由于 t r R ( X , ) , Y 一般不具有对称性 [9],因此我们定义对称张量 R ˜ 如下:

R ˜ ( X , Y ) = 1 2 t r [ R ( X , ) , Y + R ( Y , ) , X ] . (6)

Landsberg曲率L和平均Landsberg曲率J分别定义为:

L = l C , J = l η .

若(平均)Landsberg曲率恒为零,则称Finsler流形 ( M , F ) 是(弱) Landsberg流形。众所周知, { ω i , ω n λ } T * S M 上的局部标架场 [7],它的对偶标架场记为 { ε i , η λ } 。球丛 SM上的Sasaki型Riemann度量定义为:

G = i = 1 m ω i ω i + α = 1 m 1 ω n α ω n α .

它与局部坐标系的选取无关。为简便起见,我们规定指标 1 i , j , k , m 1 α , β , λ , m 1 遵循Einstein 求和约定。记垂直子丛 V S M = K e r ( d π ) ,其中 d π : T S M T M 是自然投影 π 的切映射。在Sasaki 型Riemann度量G之下,切丛TSM可以分解为

T S M = H S M V S M ,

其中HSM称为水平子丛。局部上, { η λ } 是垂直子丛VSM的一组基, { ε i } 是水平子丛HSM的一组基。

( N , h ) 是Riemann流形, { θ a } T * N 上的局部正交标架场,它的对偶向量场记为 { v a } 。Levi-Civita

联络的结构方程可表示为:

d θ a = θ b θ b a , θ b a + θ a b = 0 , d θ b a = θ b c θ c a + 1 2 R ^ b c d a θ c θ d (7)

其中 R ^ b c d a 是Riemann流形N的Riemann曲率张量。

φ : M N 是光滑映射。它在SM上的提升仍然记为 φ ,能量定义为:

E ( φ ) = 1 c S M 1 2 | d φ | 2 Π ,

这里c是 ( m 1 ) 维标准球面的体积, Π 是G下的标准体积形式。值得注意的是, φ 是水平的,i.e. d φ ( V ) = 0 对任意 V Γ ( V S M ) 都成立。由引言可知能量泛函的极值点是调和映射,它具有如下重要性质:

定理5 [7] 设 φ 是从Finsler流形M到Riemann流形N的光滑映射。则 φ 是调和映射当且仅当 φ 具有消失的张力场。

f : S M R 是光滑函数。水平Laplace算子定义为

Δ H f = d i v G ( d H f ) = g i j ( δ 2 f δ x i δ x j δ f δ x k Γ i j k + δ f δ x k L i j k ) . (8)

其中

δ δ x i = x i N i j y j , N i k = γ i j k y j C i j k γ r s j y r y s , γ i j k = 1 2 g k l ( g l j x i + g l i x j g i j x l ) .

这里是HSM的局部标架场。若f是流形M上的函数的提升 [10] [11],则 Δ H f = τ ( f ) 。水平

Laplace算子同样满足最大值原理。

引理1 设 A n × n 是半正定矩阵, B n × n 是半负定矩阵,那么 t r ( A B ) 0

证明 因为A是一个半正定矩阵,所以存在一个 n × n 矩阵C使得 A = C C T ,又因为B是一个半负定矩阵,我们有,

t r ( A B ) = t r ( C C T B ) = t r ( C T B C ) 0.

引理2 (最大值原理)设 f : S M R 是光滑函数。若 x 0 M 是函数f的最大值点,则 Δ H f 0

证明 在最大值点 x 0 处, f x i f y i 恒为零。因此,利用(8),我们有在 x 0

Δ H f = g i j δ 2 f δ x i δ x j = g i j 2 f x i x j g k j N k i 2 f x j y i g i k N k j 2 f x i y j + N k i g k l N l j 2 f x i x j

它的系数矩阵:

( A A N T N A N A N T )

是半正定的,这里 A = ( g i j ) , N = ( N k i ) 。根据引理1,得证。

现在,我们将推导Bochner公式。光滑映射的提升 φ : S M N 的协变导数可表示为:

d φ = φ i a ω i v a (9)

d φ = φ i | j a ω i ω j v a + φ i ; λ a ω i ω n λ v a (10)

2 d φ = φ i | j | k a ω i ω j ω k v a + φ i | j ; λ a ω i ω j ω n λ v a . (11)

引理3 设 φ : M N 是光滑映射,我们有如下交换关系:

φ i | j a = φ j | i a , φ i ; λ a = 0 , (12)

φ i | j | k a = φ i | k | j a + φ s a R i j k s φ i b φ j c φ k d R ^ b c d a , (13)

φ j | k ; λ a = φ i a P j k λ i . (14)

证明 利用(9),可得

φ * θ a = φ i a ω i . (15)

对(15)两边外微分得到,

( d φ i a φ j a ω i j + φ i b φ * θ b a ) ω i = 0 ,

因为

d φ i a φ j a ω i j + φ i b φ * θ b a = φ i | j a ω j + φ i ; λ a ω n λ , (16)

所以,

φ i | j a ω j ω i + φ i ; λ a ω n λ ω i = 0.

于是(12)成立。

再对(16)两边外微分得到,

1 2 φ i a R j k s i ω k ω s φ i a P j k λ i ω k ω n λ + 1 2 φ i b φ j c φ k d R ^ b c d a ω j ω k = ( d φ i | j a φ i | k a ω j k φ k | j a ω i k + φ i | j b φ * θ b a ) ω j , (17)

因为

d φ i | j a φ i | k a ω j k φ k | j a ω i k + φ i | j b φ * θ b a = φ i j | k a ω k + φ i j ; λ a ω n λ , (18)

所以

1 2 φ i a R j k s i ω k ω s + 1 2 φ i b φ j c φ k d R ^ b c d a ω j ω k = φ i j | k a ω k ω j ,

φ j | k ; λ a ω k ω n λ = φ i a P j k λ i ω k ω n λ .

即(13)和(14)得证。

为了证明Bochner公式,我们先介绍如下结论:

引理4 [7] 对 S = S i ω i Γ ( π * T * M ) ,我们有

d i v S = i S i | i + λ , μ S μ L λ λ μ ,

其中 d i v S 表示S关于度量G的散度。

引理5 设 φ : M N 是光滑映射,那么

1 2 Δ H | d φ | 2 = | H d φ | 2 + H τ ( φ ) , d φ + d φ ( R ˜ ) , d φ i , j = 1 m R ^ ( d φ ( e i ) , d φ ( e j ) , d φ ( e i ) , d φ ( e j ) ) d φ , J d φ . (19)

证明根据定义

1 2 Δ H | d φ | 2 = 1 2 d i v ( d H | d φ | 2 ) ,

因为

d H | d φ | 2 = e j ( | φ i a | 2 ) ω j = 2 φ i | j a φ i a ω j ,

所以,利用引理3和引理4,可得

1 2 Δ H | d φ | 2 = φ i | j a φ i | j a + φ i a φ j | j | i a + φ i a φ k a R j i j k φ i a φ j b φ i c φ j d R ^ b c d a + L λ λ μ φ i | μ a φ i a . (20)

由于

φ i a φ k a R j i j k = 1 2 ( φ i a φ k a R j i j k + φ i a φ k a R j k j i ) = 1 2 φ i a φ k a ( R j i j k + R j k j i ) = φ i a φ k a R ˜ i k

根据(1),证毕。

引理6 设M是非紧弱Landsberg流形满足 R ˜ k 1 ,其中 k 1 0 ,N是Riemann流形且截曲率有上界 k 2

φ : M N 是调和映射,则

Δ H | d φ | 2 2 | H d φ | 2 2 k 1 | d φ | 2 2 k 2 | d φ | 4 . (21)

证明 由于M是弱Landsberg流形,则 J = 0 。又因为 φ 是调和映射,所以 τ ( φ ) = 0 。从而结合引理5,我们有

1 2 Δ H | d φ | 2 = | H d φ | 2 + d φ ( R ˜ ) , d φ i , j = 1 m R ^ ( d φ ( e i ) , d φ ( e j ) , d φ ( e i ) , d φ ( e j ) ) .

再利用M与N的曲率条件,我们可得

Δ H | d φ | 2 2 | H d φ | 2 2 k 1 | d φ | 2 2 k 2 | d φ | 4 .

在Riemann几何中,距离函数对于梯度估计具有重要作用。为了解决Finsler流形的梯度估计问题,我们需要一些类似的辅助函数。

定义1 我们称 C 2 函数 r : S M R + { 0 } 满足比较定理性质,如果

i) 对于任意 R 0 r 1 ( [ 0 , R ] ) 都是SM上的紧集;

ii) 存在常数 C 3 ,使得 | d H r | C 3 ,且 Δ H r C 3 ( 1 + 1 r )

例1 设 ( M , g ) 是完备非紧Riemann流形, γ 是定义在 x 0 M 处的距离函数。设SM是流形M的射影球丛,自然地,Riemann度量可以诱导一个Finsler度量 F ( x , y ) 。由于M是一个Riemann流形,则陈联络正是Levi-Civita联络。故而 γ 在自然投影 π : S M M 的提升的梯度和Laplace算子满足

d H ( γ π ) = π * d γ , Δ H ( γ π ) = ( Δ γ ) π .

其中 Δ H 是水平Laplace算子。若流形M的Ricci曲率有下界,则根据Laplace比较定理,有 Δ H ( π * γ ) C ( 1 + 1 R ) ,因此, π * γ 满足比较定理性质。

3. 定理1的证明:目标流形是Cartan-Hadamard流形

( M , F ) 是非紧弱Landsberg流形且满足 R ˜ k 1 ,其中 k 1 0 ,设 ( N , h ) 是Cartan-Hadamard流形。设函数r满足比较定理性质, Ω 2 R = { x M | r ( x ) < 2 R } ρ 是定义在 y 0 N 的距离函数。根据Hessian比较定理,可得

H ( ρ 2 φ ) 2 | d φ | 2 , (22)

ψ 是一个光滑函数满足

ψ | [ 0 , 1 ] 1 , ψ | [ 2 , + ) 0 , c | ψ | 1 2 ψ 0 , | ψ | < +

那么截断函数

χ ( x ) = ψ ( r R ) . (23)

满足

| d H χ | 2 χ C 4 R 2 , Δ H χ C 4 R . (24)

为了估计 | d φ | 2 ,我们考虑辅助函数

F = | d φ | 2 b R 2 ρ 2 φ . (25)

这里 b R = 2 sup { ρ ( φ ( x ) ) | x Ω 2 R } 。设 x 0 是函数 χ F 在区域 Ω 2 R 内的最大值点,则结合引理2在 x 0 我们有

0 = d H ln ( χ F ) = d H χ χ + d H | d φ | 2 | d φ | 2 + d H ( ρ 2 φ ) b R 2 ρ 2 φ . (26)

0 | d H χ | 2 χ 2 + Δ H χ χ + Δ H | d φ | 2 | d φ | 2 | d H | d φ | 2 | 2 | d φ | 4 + Δ H ( ρ 2 φ ) b R 2 ρ 2 φ + | d H ( ρ 2 φ ) | 2 ( b R 2 ρ 2 φ ) 2 . (27)

因为N是Cartan-Hadamard流形,并利用引理6 (此时 k 2 = 0 ),我们有

Δ H | d φ | 2 | d φ | 2 | d H | d φ | 2 | 2 2 | d φ | 4 2 k 1 , (28)

将(28)式代入(27)式,可得

0 | d H χ | 2 χ 2 + Δ H χ χ | d H | d φ | 2 | 2 2 | d φ | 4 2 k 1 + Δ H ( ρ 2 φ ) b R 2 ρ 2 φ + | d H ( ρ 2 φ ) | 2 ( b R 2 ρ 2 φ ) 2 . (29)

利用(26)式和Cauchy不等式,我们有在 x 0

| d H | d φ | 2 | 2 | d φ | 4 = | d H χ χ + d H ( ρ 2 φ ) b R 2 ρ 2 φ | 2 2 | d H χ | 2 χ 2 + 2 | d H ( ρ 2 φ ) | 2 ( b R 2 ρ 2 φ ) 2 , (30)

应用上式和(22)式,(29)式可化为

0 Δ H χ χ 2 | d H χ | 2 χ 2 + 2 | d φ | 2 b R 2 ρ 2 φ 2 k 1 , (31)

两边同乘以 1 2 χ ,并结合F的定义,以及 χ 的估计(24),我们可得在 x 0

( χ F ) ( x 0 ) C 1 R + k 1 . (32)

C 1 依赖于r。于是

max x Ω R F ( x ) χ F ( x 0 ) C 1 R + k 1 , (33)

证毕。

4. 定理3的证明:目标流形是正则球

是非紧弱Landsberg流形满足 R ˜ k 1 ,其中 k 1 0 ,设 B D ( y 0 ) 是Riemann流形 N的正则球且截曲率有上界 k 2 ,其中 k 2 0 。设函数r满足比较定理性质, Ω 2 R = { x M | r ( x ) < 2 R } ρ 是定义在 y 0 N 的距离函数。令

σ = { 1 cos ( k 2 ρ ) k 2 k 2 > 0 ρ 2 2 k 2 = 0

根据Hessian比较定理,在上,可得

H e s s ( σ ) ( cos k 2 ρ ) h , (34)

调和映射 φ : M N 满足 φ ( M ) B D ( y 0 ) ,由复合映射求导法则易知,

Δ H ( σ φ ) ( cos k 2 ρ ) | d φ | 2 . (35)

因为 D < π 2 k 2 ,所以存在依赖于D和 k 2 的常数b和 C 5 使得

2 cos k 2 ρ b σ φ 2 k 2 C 5 , (36)

考虑辅助函数

F = | d φ | 2 ( b σ φ ) 2 ,

χ 是由(23)式定义的截断函数。设 x 0 是函数 χ F Ω 2 R 内的最大值点,则结合引理2,在最大值点 x 0 我们有

0 = d H ln ( χ F ) = d H χ χ + d H | d φ | 2 | d φ | 2 + 2 d H ( σ φ ) b σ φ . (37)

0 | d H χ | 2 χ 2 + Δ H χ χ + Δ H | d φ | 2 | d φ | 2 | d H | d φ | 2 | 2 | d φ | 4 + 2 Δ H ( σ φ ) b σ φ + 2 | d H ( σ φ ) | 2 ( b σ φ ) 2 . (38)

由引理6可知

Δ H | d φ | 2 | d φ | 2 | d H | d φ | 2 | 2 2 | d φ | 4 2 k 1 2 k 2 | d φ | 2 , (39)

利用上式,(38)式可化为

0 | d H χ | 2 χ 2 + Δ H χ χ 2 k 1 2 k 2 | d φ | 2 | d H | d φ | 2 | 2 2 | d φ | 4 + 2 Δ H ( σ φ ) b σ φ + 2 | d H ( σ φ ) | 2 ( b σ φ ) 2 . (40)

从(37)式可知

| d H | d φ | 2 | 2 | d φ | 4 | d H χ | 2 χ 2 + 4 | d H χ | | d H ( σ φ ) | χ ( b σ φ ) + 4 | d H ( σ φ ) | 2 ( b σ φ ) 2 , (41)

将(35),(41)式代入(40)式,可得

0 3 | d H χ | 2 2 χ + Δ H χ 2 χ k 1 2 χ k 2 | d φ | 2 + 2 χ ( cos k 2 ρ ) | d φ | 2 b σ φ 2 | d H χ | | d H ( σ φ ) | b σ φ , (42)

利用(24)式和 | d H ( σ φ ) | | d φ | k 2 ,(42)式可化为

0 3 C 4 2 R 2 C 4 R 2 k 1 2 C 4 R k 2 1 b σ φ χ 1 2 | d φ | + C 5 ( χ 1 2 | d φ | ) 2 . (43)

利用一元二次方程解的估计 [3],在 x 0 处我们有,

χ | d φ | 2 C 6 ( k 1 + 1 R ) ,

于是

max x Ω R F ( x ) χ ( x 0 ) | d φ | 2 ( x 0 ) ( b σ φ ( x 0 ) ) 2 C 7 ( k 1 + 1 R ) . (44)

其中 C 7 依赖于 r , k 2 , D 。由上式可立即推出(3)。

NOTES

*通讯作者。

参考文献

[1] Yau, S. (1975) Harmonic Functions on Complete Riemannian Manifolds. Communications on Pure and Applied Mathematics, 28, 201-228.
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