AAM  >> Vol. 9 No. 2 (February 2020)

    8阶分圆类构造几乎差集偶
    Constructions of Almost Difference Set Pairs by Cyclotomic Classes of Order Eight

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作者:  

荀雅昕,亓万锋:辽宁师范大学数学学院,辽宁 大连

关键词:
几乎差集偶分圆类分圆数Almost Difference Set Pairs Cyclotomic Class Cyclotomic Number

摘要:

几乎差集偶因与几乎最佳二元有序偶紧密相关,在众多问题中应用广泛。分圆类方法是构造几乎差集偶的一种重要方法,本文主要利用8阶分圆类构造几类新的几乎差集偶。

Almost difference set pairs are widely used in many problems because they are closely related to almost optimal binary sequence pairs. Cyclotomic classes method is an important method to con-struct almost difference set pairs. In this paper, several new almost difference set pairs are con-structed by using cyclotomic classes of order eight.

1. 引言

具有良好自相关性的序列在雷达、扩频通信、CDMA等众多领域中应用广泛。构造自相关序列可运用差集、差集偶、几乎差集等重要方法。类似于差集、几乎差集的研究,郑鹭亮等人 [1] 提出了几乎差集偶的概念,并研究了几乎差集偶的性质。构造几乎差集偶的一个重要方法是采用分圆类。已有学者利用分圆类构造了许多种类的几乎差集偶,采用二阶分圆类构造几乎差集偶的有申颖 [2],采用4阶和6阶分圆类构造几乎差集偶的有 [1] [2] [3],采用8阶分圆类构造了几乎差集偶的有 [4] [5],采用奇数阶分圆类构造几乎差集偶的有 [6] [7]。黄丹芸 [8] 利用二阶分圆类构造了 G F ( q ) × G F ( q ) 上的几乎差集偶。本文利用8阶分圆类构造出几类新的几乎差集偶。

2. 基础知识

我们首先介绍郑鹭亮等人[1]提出的几乎差集偶的概念。

定义1 [1] :设 Z q = { 0 , 1 , , q 1 } 为模q剩余类环,U,W分别为 Z q k 1 k 2 元子集,e为U,W中的公共元素的个数。称 ( U , W ) 为一个 ( q , k 1 , k 2 , e , λ , t ) 几乎差集偶(almost difference set pairs, ADSP):如果对t个非零元 a Z q ,同余方程 x y a ( mod q ) ( x , y ) U × W 恰有 λ 个解,而对于其他 q 1 t 个非零元恰有 λ + 1 个解。以下把 ( q , k 1 , k 2 , e , λ , t ) 几乎差集偶记为 ( q , k 1 , k 2 , e , λ , t ) ADSP

构造几乎差集偶常用分圆方法,下面是有关分圆的基本概念。

定义2 [9] :设 q = e f + 1 是一个奇素数,此时 Z q 是域。设 θ Z q 的一个本原元, C 0 = θ e 为由 θ e 生成的 Z q * 的f阶乘法子群,则 Z q * 有以下陪集分解

Z q * = i = 0 e 1 C i

其中 C i = θ i C 0 0 i e 1 ,称陪集 C i 为分圆类。把方程 y x 1 ( mod q ) ( x , y ) C l × C m 的解的个数记为 ( l , m ) e ,即 ( l , m ) e = | ( C l + 1 ) C m | ( l , m ) e 为e阶分圆数,简记为 ( l , m )

3. 8阶分圆类构造几乎差集偶

对有限域 Z q ,当 q = 8 f + 1 时,q可分解为 q = x 2 + 4 y 2 = a 2 + 2 b 2 x a 1 ( mod 4 ) [9]。Lehmer [9]指出64个8阶分圆数最多有15个不同的值,称为基本分圆数。表1给出了当f是偶数时64个分圆数与基本分圆数的关系,f是奇数时见 [9]。这15个基本分圆数可以用 q , x , y , a , b 表示,具体依据f是否是偶数以及2是否是 Z q 中的四次剩余共分为四种情况,本文用到了f是偶数且2不是四次剩余的情况(见表2),其余请参见 [9]。

黄丹芸 [4] 利用8阶分圆类 C 0 , C 4 , C 0 { 0 } , C 4 { 0 } 、刘晓惠和王金华 [5] 利用8阶分圆类中的 C 0 C 0 { 0 } 分别构造了若干几乎差集偶。下面采用8阶分圆类中的四个分圆类或其与{0}的并集构造新的几乎差集偶。

定理1:设奇素数 q = 8 f + 1 = x 2 + 4 y 2 = a 2 + 2 b 2 x a 1 ( mod 4 ) 。令 U = C 0 C 4 C 5 C 6 W = C 0 C 1 C 2 C 4 U = U { 0 } W = W { 0 } ,则

1) 当f为偶数且2不是4次剩余,且 b = y , x a = 4 时,

1、 ( U , W ) 构成 ( 8 f + 1 , 4 f , 4 f , 2 f , 2 f 1 , 2 f ) ADSP

Table 1. Relations of cyclotomic numbers of order 8 for even f

表1. f为偶数时8阶分圆数关系 [9]

Table 2. The fifteen basic cyclotomic numbers of order 8 when f is even and 2 is not a quartic residue

表2. f为偶数且2不是四次剩余时8阶分圆数中的15个基本分圆数 [9]

2、 ( U , W ) 构成 ( 8 f + 1 , 4 f + 1 , 4 f , 2 f , 2 f , 6 f ) ADSP

3、 ( U , W ) 构成 ( 8 f + 1 , 4 f , 4 f + 1 , 2 f , 2 f , 6 f ) ADSP

4、 ( U , W ) 构成 ( 8 f + 1 , 4 f , 4 f + 1 , 2 f + 1 , 2 f , 2 f ) ADSP

2) 当f为偶数且2不是4次剩余,且 b = 4 y , x a = 4 时, ( U , W ) 构成 ( 8 f + 1 , 4 f , 4 f , 2 f , 2 f 1 , 2 f ) ADSP

证:我们以 ( U , W ) 为例进行证明,其余情况类似。

首先易知属于同一个等价类 C i 中的两个元素 a 1 , a 2 ,对应的两个同余方程 x y a 1 ( mod q ) x y a 2 ( mod q ) 解的个数一致,因此 C i 中元素对应的解的个数为 Δ i = | ( W + θ i ) U | = | ( C 0 C 1 C 2 C 4 ) + θ i ( C 0 C 4 C 5 C 6 ) | , 0 i 7 ,其中 ( i , j ) e = | ( C i + 1 ) C j | 。从而

Δ i = | ( C 0 + θ i ) C 0 | + | ( C 0 + θ i ) C 4 | + | ( C 0 + θ i ) C 5 | + | ( C 0 + θ i ) C 6 | + | ( C 1 + θ i ) C 0 | + | ( C 1 + θ i ) C 4 | + | ( C 1 + θ i ) C 5 | + | ( C 1 + θ i ) C 6 | + | ( C 2 + θ i ) C 0 | + | ( C 2 + θ i ) C 4 | + | ( C 2 + θ i ) C 5 | + | ( C 2 + θ i ) C 6 | + | ( C 4 + θ i ) C 0 | + | ( C 4 + θ i ) C 4 | + | ( C 4 + θ i ) C 5 | + | ( C 4 + θ i ) C 6 |

= ( i , i ) + ( i , 4 i ) + ( i , 5 i ) + ( i , 6 i ) + ( 1 i , i ) + ( 1 i , 4 i ) + ( 1 i , 6 i ) + ( 1 i , 5 i ) + ( 2 i , i ) + ( 2 i , 4 i ) + ( 2 i , 5 i ) + ( 2 i , 6 i ) + ( 4 i , i ) + ( 4 i , 4 i ) + ( 4 i , 5 i ) + ( 4 i , 6 i )

当f为偶数且2不是4次剩余时,利用表1表2可算得:

Δ 0 = Δ 4 = 16 q 4 x + 16 y + 4 a + 16 b 64 64

Δ 1 = Δ 5 = Δ 2 = Δ 6 = 16 q + 4 x 4 a 32 64

Δ 3 = Δ 7 = 16 q 4 x 16 y + 4 a 16 b 64

因此 ( U , W ) 构成几乎差集偶当且仅当以下3种情况:

Δ 0 = Δ 1 , | Δ 1 Δ 3 | = 1 ,即要满足

16 q 4 x + 16 y + 4 a + 16 b 64 64 = 16 q + 4 x 4 a 32 64

| 16 q + 4 x 4 a 32 64 16 q 4 x 16 y + 4 a 16 b 64 | = 1

计算得 b = y x = a 4 b = 4 y x = a + 4 。当 b = y x = a 4 时,由 x 2 + 4 y 2 = a 2 + 2 b 2 b 2 = 4 ( a 2 ) ,则 a 2 应为正,又由 a = 4 k + 1 ( k Z ) a 2 = 4 ( k 1 ) + 3 ( k Z ) ,所以 a 2 为非完全平方数,与b为整数矛盾,故舍。当 b = 4 y x = a + 4 时, Δ 0 = Δ 1 = Δ 2 = Δ 4 = Δ 5 = Δ 6 = 2 f Δ 3 = Δ 7 = 2 f 1 ,所以此时 ( U , W ) 构成 ( 8 f + 1 , 4 f , 4 f , 2 f , 2 f 1 , 2 f ) ADSP

Δ 0 = Δ 3 , | Δ 1 Δ 3 | = 1 ,即

16 q 4 x + 16 y + 4 a + 16 b 64 64 = 16 q 4 x 16 y + 4 a 16 b 64

| 16 q + 4 x 4 a 32 64 16 q 4 x 16 y + 4 a 16 b 64 | = 1

计算后可知 ( U , W ) 不构成几乎差集偶,具体计算从略。

Δ 1 = Δ 3 , | Δ 0 Δ 1 | = 1 ,即

16 q + 4 x 4 a 32 64 = 16 q 4 x 16 y + 4 a 16 b 64

| 16 q 4 x + 16 y + 4 a + 16 b 64 64 16 q + 4 x 4 a 32 64 | = 1

计算得 b = y x = a + 4 b = 4 y x = a 4 。当 b = 4 y x = a 4 时, Δ 1 不是整数,故舍去。当 b = y x = a + 4 时, Δ 1 = Δ 2 = Δ 3 = Δ 5 = Δ 6 = Δ 7 = 2 f Δ 0 = Δ 4 = 2 f 1 ,此时 ( U , W ) 构成 ( 8 f + 1 , 4 f , 4 f , 2 f , 2 f 1 , 2 f ) ADSP

用类似定理1的方法,还得到以下结论:

定理2:设奇素数 q = 8 f + 1 = x 2 + 4 y 2 = a 2 + 2 b 2 x = a 1 ( mod 4 ) 。令 U = C 0 C 2 C 3 C 4 W = C 0 C 4 C 6 C 7 U = U { 0 } W = W { 0 } ,则

1) 当f为偶数且2不是4次剩余,且 b = y , x a = 4 时,

1、 ( U , W ) 构成 ( 8 f + 1 , 4 f , 4 f , 2 f , 2 f 1 , 2 f ) ADSP

2、 ( U , W ) 构成 ( 8 f + 1 , 4 f + 1 , 4 f , 2 f , 2 f , 6 f ) ADSP

3、 ( U , W ) 构成 ( 8 f + 1 , 4 f , 4 f + 1 , 2 f , 2 f , 6 f ) ADSP

4、 ( U , W ) 构成 ( 8 f + 1 , 4 f + 1 , 4 f + 1 , 2 f + 1 , 2 f , 2 f ) ADSP

2) 当f为偶数且2不是4次剩余,且 b = 4 y , x a = 4 时, ( U , W ) 构成 ( 8 f + 1 , 4 f + 1 , 4 f + 1 , 2 f + 1 , 2 f , 2 f ) ADSP

定理3:设奇素数 q = 8 f + 1 = x 2 + 4 y 2 = a 2 + 2 b 2 x a 1 ( mod 4 ) 。令 U = C 0 C 1 C 2 C 6 W = C 0 C 1 C 3 C 7 U = U { 0 } W = W { 0 } ,则

1) 当f为偶数且2不是4次剩余,且 b = y , x a = 4 时,

1、 ( U , W ) 构成 ( 8 f + 1 , 4 f , 4 f , 2 f , 2 f 1 , 2 f ) ADSP

2、 ( U , W ) 构成 ( 8 f + 1 , 4 f + 1 , 4 f , 2 f , 2 f , 6 f ) ADSP

3、 ( U , W ) 构成 ( 8 f + 1 , 4 f , 4 f + 1 , 2 f , 2 f , 6 f ) ADSP

4、 ( U , W ) 构成 ( 8 f + 1 , 4 f + 1 , 4 f + 1 , 2 f + 1 , 2 f , 2 f ) ADSP

2) 当f为偶数且2不是4次剩余,且 b = 4 y , x a = 4 时, ( U , W ) 构成 ( 8 f + 1 , 4 f + 1 , 4 f , 2 f , 2 f , 6 f ) ADSP

定理4:设奇素数 q = 8 f + 1 = x 2 + 4 y 2 = a 2 + 2 b 2 x a 1 ( mod 4 ) 。令 U = C 0 C 1 C 3 C 5 W = C 0 C 2 C 3 C 6 U = U { 0 } W = W { 0 } ,则

1) 当f为偶数且2不是4次剩余,且 b = y , x a = 4 时,

1、 ( U , W ) 构成 ( 8 f + 1 , 4 f , 4 f , 2 f , 2 f 1 , 2 f ) ADSP

2、 ( U , W ) 构成 ( 8 f + 1 , 4 f + 1 , 4 f , 2 f , 2 f , 6 f ) ADSP

3、 ( U , W ) 构成 ( 8 f + 1 , 4 f , 4 f + 1 , 2 f , 2 f , 6 f ) ADSP

4、 ( U , W ) 构成 ( 8 f + 1 , 4 f + 1 , 4 f + 1 , 2 f + 1 , 2 f , 2 f ) ADSP

2) 当f为偶数且2不是4次剩余类,且 b = y 4 , x a = 4 时, ( U , W ) 构成

定理5:设奇素数 q = 8 f + 1 = x 2 + 4 y 2 = a 2 + 2 b 2 x a 1 ( mod 4 ) 。令 U = C 0 C 1 C 4 C 6 W = C 0 C 2 C 4 C 5 U = U { 0 } W = W { 0 } ,则

1) 当f为偶数且2不是4次剩余, b = y , x a = 4 时,

1、 ( U , W ) 构成 ( 8 f + 1 , 4 f , 4 f , 2 f , 2 f 1 , 2 f ) ADSP

2、 ( U , W ) 构成 ( 8 f + 1 , 4 f + 1 , 4 f , 2 f , 2 f , 6 f ) ADSP

3、 ( U , W ) 构成 ( 8 f + 1 , 4 f , 4 f + 1 , 2 f , 2 f , 6 f ) ADSP

4、 ( U , W ) 构成 ( 8 f + 1 , 4 f + 1 , 4 f + 1 , 2 f + 1 , 2 f , 2 f ) ADSP

2) 当f为偶数且2不是4次剩余,且 b = y 4 , x a = 4 时, ( U , W ) 构成 ( 8 f + 1 , 4 f , 4 f , 2 f , 2 f 1 , 2 f ) ADSP

定理6. 设奇素数 q = 8 f + 1 = x 2 + 4 y 2 = a 2 + 2 b 2 x a 1 ( mod 4 ) 。令 U = C 0 C 2 C 4 C 7 W = C 0 C 3 C 4 C 6 U = U { 0 } W = W { 0 } ,则

1) 当f为偶数且2不是4次剩余,且 b = y , x a = 4 时,

1、 ( U , W ) 构成 ( 8 f + 1 , 4 f , 4 f , 2 f , 2 f 1 , 2 f ) ADSP

2、 ( U , W ) 构成 ( 8 f + 1 , 4 f + 1 , 4 f , 2 f , 2 f , 6 f ) ADSP

3、 ( U , W ) 构成 ( 8 f + 1 , 4 f , 4 f + 1 , 2 f , 2 f , 6 f ) ADSP

4、 ( U , W ) 构成 ( 8 f + 1 , 4 f + 1 , 4 f + 1 , 2 f + 1 , 2 f , 2 f ) ADSP

2) 当f为偶数且2不是4次剩余类,且 b = y 4 , x a = 4 时, ( U , W ) 构成 ( 8 f + 1 , 4 f + 1 , 4 f + 1 , 2 f + 1 , 2 f , 2 f ) ADSP

定理1~定理6所列出的ADSP均不能表达为2阶、4阶分圆类的形式,因而是新的。

例1:当 q = 193 时,选5作为 Z 193 的本原元。 U = C 0 C 4 C 5 C 6 W = C 0 C 1 C 2 C 4 ,计算可得 x = 7 , y = 6 , a = 11 , b = 6 ( U , W ) 构成 ( 193 , 96 , 96 , 48 , 47 , 48 ) ADSP

例2:当 q = 929 时,选3作为 Z 929 的本原元。 U = C 0 C 1 C 3 C 5 W = C 0 C 2 C 3 C 6 ,计算可得 x = 23 , y = 10 , a = 27 , b = 10 ( U , W ) 构成 ( 929 , 464 , 464 , 232 , 231 , 232 ) ADSP

文章引用:
荀雅昕, 亓万锋. 8阶分圆类构造几乎差集偶[J]. 应用数学进展, 2020, 9(2): 172-177. https://doi.org/10.12677/AAM.2020.92020

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