Delannoy类矩阵的行多项式的根

The Zeros of Row Polynomials of Delannoy-Like Matrix

摘要: 本文证明了Delannoy类矩阵的行多项式的根是实根的，其全部实根在开区间内且在对应闭区间上稠密。

Abstract: In this paper, we show that the zeros of row polynomials of Delannoy-like matrix are real in the open interval and are dense in the corresponding closed interval.

1. 引言

Delannoy数 $d\left(n,k\right)$ 是计数从 $\left(0,0\right)$ 到 $\left(n,k\right)$ 且只走上步 $\left(0,1\right)$ 、下步 $\left(1,0\right)$ 和对角步 $\left(1,1\right)$ 的格路数。Delannoy矩阵 $D={\left[t_{n,k}\right]}_{n,k\ge 0}$，其中元素 $t_{n,k}=d\left(n-k,k\right)$，则D是无限下三角矩阵，即当 $n\ge k\ge 0$ 时 $t_{n,k}=0$ 且元素满足递归关系

$t_{n,k}=t_{n-1,k-1}+t_{n-1,k}+t_{n-2,k-1}$,

其中 $t_{0,0}=1$。

Delannoy类矩阵定义为 $D\left(e,h\right)={\left[d_{n,k}\right]}_{n,k\ge 0}$，见图1。

Figure 1. Delannoy-like matrix

图1. Delannoy类矩阵

其中元素满足递归关系 $d_{n,k}=d_{n-1,k-1}+e{d}_{n-1,k}+h{d}_{n-2,k-1}$， $d_{0,0}=d_{1,0}=d_{1,1}=1$， $e,h$ 是非负数，则 $D\left(e,h\right)$ 为无限下三角矩阵，即当 $n\ge k\ge 0$ 时有 $d_{n,k}=0$。Delannoy类矩阵包含组合学中许多常见的矩阵，如Delannoy矩阵 $D\left(1,1\right)$，Pascal矩阵 $D\left(1,0\right)$，Fibonacci矩阵 $D\left(0,1\right)$。Delannoy类矩阵具有很多的组合性质，例如Delannoy类矩阵具有全正性，当一个矩阵的所有子式都非负，则该矩阵为全正矩阵 [1]。Delannoy类矩阵的每一行和对角行都是PF序列，若一个无限非负序列 ${\left(a_n\right)}_{n\ge 0}$ 的Toeplize矩阵 $T={\left[a_{i-j}\right]}_{i,j\ge 0}$ 是全正的，则 ${\left(a_n\right)}_{n\ge 0}$ 是PF序列(详见 [1])。关于Delannoy矩阵和Pascal矩阵的行多项式的实根性已被广泛研究(读者可参考 [2] [3])。本文从Delannoy类矩阵角度统一给出这类矩阵的行多项式实根性的证明并给出根的稠密区间。

2. Delannoy类矩阵的行多项式的根

定义2.1 定义 $d_n\left(x\right)={\displaystyle {\sum }_{k=0}^{n}d\left(n,k\right)x^k},n=0,1,2,\cdots$ 是Delannoy类矩阵的行多项式，则 $d_n\left(x\right)$ 满足下列递归关系

$d_n\left(x\right)=\left(e+x\right)d_{n-1}\left(x\right)+hx{d}_{n-2}\left(x\right),$ (2.1)

其中 $d_0\left(x\right)=1,d_1\left(x\right)=e+x$。

定义2.2 假设 $f,g\in RZ$。令 $\left\{r_i\right\}$ 和 $\left\{s_j\right\}$ 分别是f和g的根的非增序列。如果 $\mathrm{deg}f=\mathrm{deg}g=n$，

$s_n\le r_n\le s_{n-1}\le \cdots \le s_2\le r_2\le s_1\le r_1,$

我们称g交替f的左边(简称g交替f)。若果 $\mathrm{deg}f=\mathrm{deg}g+1=n$，

$r_n\le s_{n-1}\le \cdots \le s_2\le r_2\le s_1\le r_1,$

我们称g交错f。将g交替f或者g交错f记为 $g\preccurlyeq f$。

在给出 $d_n\left(x\right)$ 实根性之前，我们需要下面判断实根性的重要引理。

引理2.3 [4] 令 $F,f,g$ 是三个实多项式，且满足下面条件

a) $F\left(x\right)=a\left(x\right)f\left(x\right)+b\left(x\right)g\left(x\right)$，其中 $a\left(x\right),b\left(x\right)$ 是两个实多项式，有 $\mathrm{deg}F=\mathrm{deg}f$ 或 $\mathrm{deg}f+1$。

b) $f,g\in RZ,g\preccurlyeq f$。

c) F与g有相同的首项系数。

假设当 $f\left(r\right)=0$ 时 $b\left(r\right)\le 0$，则有 $F\in RZ,f\preccurlyeq F$。

定理2.4 设 $r_{n-1,i}$ 和 $r_{n,i}$ 分别是多项式 $d_{n-1}\left(x\right),d_n\left(x\right)$ 的根。 $d_n\left(x\right)$ 的根均为实根且 $d_{n-1}\left(x\right)$ 的根严格交替于 $d_n\left(x\right)$ 的根，即

$r_{n,1}<r_{n-1,1}<r_{n,2}<\cdots <r_{n,n-1}<r_{n-1,n-1}<r_{n,n}.$

证明：由(2.1)递归关系

$d_n\left(x\right)=\left(e+x\right)d_{n-1}\left(x\right)+hx{d}_{n-2}\left(x\right)\left(n\ge 2\right),$

$d_0\left(x\right)=1,d_1\left(x\right)=e+x$ 知

$\mathrm{deg}{d}_n\left(x\right)=\mathrm{deg}{d}_{n-1}\left(x\right)+1.$

下面用归纳假设证明 $d_n\left(x\right)$ 只有实根且 $d_{n-1}\left(x\right)\preccurlyeq d_n\left(x\right)$。

由

$d_1\left(x\right)=e+x,$

$d_2\left(x\right)=e^2+\left(2e+h\right)x+x^2.$

解得其根分别为

$r_{1,1}=-e,$

$r_{2,1}=-\frac{\left(2e+h\right)+\sqrt{{\left(2e+h\right)}^2-4e^2}}{2},$

$r_{2,2}=-\frac{\left(2e+h\right)-\sqrt{{\left(2e+h\right)}^2-4e^2}}{2},$

均为实根且满足 $r_{2,1}<r_{1,1}<r_{2,2}$，即 $d_1\left(x\right)\preccurlyeq d_2\left(x\right)$。现假设 $k<n$ 时 $d_k\left(x\right)$ 的根均为实的且 $d_{n-2}\left(x\right)\preccurlyeq d_{n-1}\left(x\right)$。易知 $d_n\left(x\right)$ 与 $d_{n-2}\left(x\right)$ 的首项系数相同。 $d_{n-1}\left(x\right)$ 的各项系数均为正，故 $d_{n-1}\left(x\right)=0$ 的根全为负数，即 $r_{n-1,k}<0$。因为 $h>0$，所以 $b\left(r_{n-1,k}\right)=h{r}_{n-1,k}<0$。由引理2.3从而有 $d_n\left(x\right)$ 的根为实根且 $d_{n-1}\left(x\right)\preccurlyeq d_n\left(x\right)$。 $\square$

以上证明了 $d_n\left(x\right)$ 的实根性，下面我们给出根的存在区间及在对应的闭区间上稠密的证明。在证明之前，先来介绍一下相关的定义及引理。

定义2.5 假设 ${\left(f_n\left(x\right)\right)}_{n\ge 0}$ 为一个复多项式序列。若存在一个序列 ${\left(z_n\right)}_{n\ge 0}$ 使得 $f_n\left(z_n\right)=0$ 并且当 $n\to +\infty$ 有 $z\to x$ 成立，则我们称复数x为多项式序列 ${\left(f_n\left(x\right)\right)}_{n\ge 0}$ 的零点的极限。

引理2.6 [5] 在非退化的情况下， $f_n\left(x\right)={\displaystyle {\sum }_{j=1}^k{a}_j\left(x\right){\lambda }_j^n\left(x\right)}$ 中的任意一个 $a_j\left(x\right)$ 都不恒为零多项式且使得对于一些单位模的 $\omega \in ℂ$ 有 ${\lambda }_i\left(x\right)=\omega {\lambda }_j\left(x\right)$ 成立的i与j( $i\ne j$ )不存在。则x为 ${\left(f_n\left(x\right)\right)}_{n>0}$ 的零点的极限当且仅当

i) 至少有两个 ${\lambda }_j\left(x\right)$ 是模相等的且严格大于其余 ${\lambda }_i\left(x\right)$ 的模；或者

ii) 对于一些j， ${\lambda }_j\left(x\right)$ 的模严格大于其余 ${\lambda }_i\left(x\right)$ 的模且 $a_j\left(x\right)=0$。

引理2.7 [6] 令 ${\lambda }_1,{\lambda }_2\in ℝ,n\in \mathbb{N}$。

i) 若n为奇数，

${\lambda }_1^n-{\lambda }_2^n=\left({\lambda }_1-{\lambda }_2\right){\displaystyle {\prod }_{s=1}^{\frac{n-1}{2}}\left[{\left({\lambda }_1+{\lambda }_2\right)}^2-4{\lambda }_1{\lambda }_2{\cos }^2\frac{s\pi }{n}\right]}.$

ii) 若n为偶数，

${\lambda }_1^n-{\lambda }_2^n=\left({\lambda }_1-{\lambda }_2\right)\left({\lambda }_1+{\lambda }_2\right){\displaystyle {\prod }_{s=1}^{\frac{n-1}{2}}\left[{\left({\lambda }_1+{\lambda }_2\right)}^2-4{\lambda }_1{\lambda }_2{\cos }^2\frac{s\pi }{n}\right]}.$

定理2.8 Delannoy类矩阵多项式的根都是实互异的，在区间 $\left(-{\left(\sqrt{e+h}+\sqrt{h}\right)}^2,-{\left(\sqrt{e+h}-\sqrt{h}\right)}^2\right)$ 内，且在闭区间上稠密。

证明：由定理2.4知， $d_n\left(x\right)$ 只有实根。由(2.1)式知其特征多项式为

${\lambda }^2-\left(e+x\right)\lambda -hx=0.$

则可得到 $d_n\left(x\right)$ 的Binet形式如下，

$d_n\left(x\right)=\frac{{\lambda }_1^{n+1}-{\lambda }_2^{n+1}}{{\lambda }_1-{\lambda }_2},$

这里

${\lambda }_{1,2}=\frac{e+x\pm \sqrt{{\left(e+x\right)}^2+4hx}}{2}$ (2.2)

是特征方程 ${\lambda }^2-\left(e+x\right)\lambda -hx=0$ 的特征根且 ${\lambda }_1+{\lambda }_2=e+x,{\lambda }_1{\lambda }_2=-hx$。我们对n进行讨论，因为n为偶数与n为奇数的情况结果相同，现只对n为偶数进行分析。由引理2.7知，n + 1为奇数时，有

${\lambda }_1^{n+1}-{\lambda }_2^{n+1}=\left({\lambda }_1-{\lambda }_2\right){\displaystyle {\prod }_{k=1}^{\frac{n}{2}}\left[{\left({\lambda }_1+{\lambda }_2\right)}^2-4{\lambda }_1{\lambda }_2{C}_k^2\right]},$

其中 $C_k=\cos \frac{k\pi }{n+1}$。所以

$d_n\left(x\right)=\frac{{\lambda }_1^{n+1}-{\lambda }_2^{n+1}}{{\lambda }_1-{\lambda }_2}={\displaystyle {\prod }_{k=1}^{\frac{n}{2}}\left[{\left(e+x\right)}^2+4hx{C}_k^2\right]}.$

不难得到

$\left[x+{\left(\sqrt{e+h{C}_k^2}+\sqrt{h}{C}_k\right)}^2\right]\left[x+{\left(\sqrt{e+h{C}_k^2}-\sqrt{h}{C}_k\right)}^2\right]={\left(e+x\right)}^2+4hx{C}_k^2,$

即

$d_n\left(x\right)={\displaystyle {\prod }_{k=1}^{\frac{n}{2}}\left[x+{\left(\sqrt{e+h{C}_k^2}+\sqrt{h}{C}_k\right)}^2\right]\left[x+{\left(\sqrt{e+h{C}_k^2}-\sqrt{h}{C}_k\right)}^2\right]}.$

因为 $C_{n+1-k}=-C_k$，故

$d_n\left(x\right)={\displaystyle {\prod }_{k=1}^n\left[x+{\left(\sqrt{e+h{C}_k^2}+\sqrt{h}{C}_k\right)}^2\right]}.$

则 $d_n\left(x\right)$ 的n个根为

$r_{n,k}=-{\left(\sqrt{e+h{C}_k^2}+\sqrt{h}{C}_k\right)}^2,k=1,2,\cdots ,n.$

设 $f\left(x\right)=-{\left(\sqrt{e+h{x}^2}+\sqrt{h}x\right)}^2,\left(x\in ℝ\right)$。

因为 $f^{\prime }\left(x\right)=-\frac{2\sqrt{h}{\left(\sqrt{e+h{x}^2}+\sqrt{h}x\right)}^2}{\sqrt{e+h{x}^2}}<0$，所以 $f\left(x\right)$ 是严格递减函数。根 $r_{n,k}$ 中 $C_k$ 的值随着k的增大而减小，从而 $r_{n,k}$ 的值逐渐增大，即

$r_{n,1}<r_{n,2}<r_{n,3}<\cdots <r_{n,n}.$

由定理2.4知 $d_{n-1}\left(x\right)\preccurlyeq d_n\left(x\right)$，即 $r_{n,1}<r_{n-1,1}<r_{n,2}<\cdots <r_{n,n-1}<r_{n-1,n-1}<r_{n,n}$。故 $d_n\left(x\right)$ 的最大根随着n增大而增大，最小根随着n的增大而减小。

${\lim }_{n\to +\infty }{r}_{n,1}=-{\left(\sqrt{e+h}+\sqrt{h}\right)}^2,$

而

${\lim }_{n\to +\infty }{r}_{n,n}=-{\left(\sqrt{e+h}-\sqrt{h}\right)}^2.$

所以 $d_n\left(x\right)$ 的根在区间 $\left(-{\left(\sqrt{e+h}+\sqrt{h}\right)}^2,-{\left(\sqrt{e+h}-\sqrt{h}\right)}^2\right)$。下证在闭区间稠密，只需证明对于任意的 $x\in \left[-{\left(\sqrt{e+h}+\sqrt{h}\right)}^2,-{\left(\sqrt{e+h}-\sqrt{h}\right)}^2\right]$ 都是序列 ${\left(d_n\left(x\right)\right)}_{n\ge 0}$ 的根的极限为使得 $\left|{\lambda }_1\left(x\right)\right|=\left|{\lambda }_2\left(x\right)\right|$ 成立的那些x，即

$\left|e+x+\sqrt{{\left(e+x\right)}^2+4hx}\right|=\left|e+x-\sqrt{{\left(e+x\right)}^2+4hx}\right|.$

所以 $\sqrt{{\left(e+x\right)}^2+4hx}\le 0$，即

$-{\left(\sqrt{e+h}+\sqrt{h}\right)}^2\le x\le -{\left(\sqrt{e+h}-\sqrt{h}\right)}^2,$

故任意的 $x\in \left[-{\left(\sqrt{e+h}+\sqrt{h}\right)}^2,-{\left(\sqrt{e+h}-\sqrt{h}\right)}^2\right]$ 都是 ${\left(d_n\left(x\right)\right)}_{n\ge 0}$ 的根的极限。 $\square$

3. 结论

本文应用刘丽和王毅给出的判断实多项式的根的交替性的方法，结合递归关系(2.1)证明了Delannoy类矩阵的行多项式的实根性。并利用Beraha等人给出的不恒为零多项式序列 ${\left(f_n\left(x\right)\right)}_{n>0}$ 的零点的极限判断定理，证明了Delannoy类矩阵的行多项式的根都在区间 $\left(-{\left(\sqrt{e+h}+\sqrt{h}\right)}^2,-{\left(\sqrt{e+h}-\sqrt{h}\right)}^2\right)$ 内，且在闭区间 $\left[-{\left(\sqrt{e+h}+\sqrt{h}\right)}^2,-{\left(\sqrt{e+h}-\sqrt{h}\right)}^2\right]$ 上稠密。