粘性Cahn-Hilliard方程的可解性

Solvability of Viscous Cahn-Hilliard Equation

摘要: 本文研究粘性Cahn-Hilliard方程的可解性问题。通过构造扇形算子并且利用文献中的方法证明了粘性Cahn-Hilliard方程局部解的存在性和整体解的存在性。同时，考虑带有非线性的粘性Cahn-Hilliard方程，研究其可解性问题。

Abstract: In this paper, we study the solvability of the viscous Cahn-Hilliard equation. By constructing sectorial operators and empolying the method in reference, the existence of local solutions and global solutions for viscous Cahn-Hilliard equation are proved. At the same time, the existence of solutions for the viscous Cahn-Hilliard equation with nonlinear term is studied.

1. 引言

考虑如下的粘性Cahn-Hilliard方程及初边值问题：

$\left(1-\nu \right)u_t=\Delta \mu \left(u\right),u=u\left(t,x\right),\left(t,x\right)\in R\times \Omega$, (1)

$\mu \left(u\right)=-\Delta u-f\left(u\right)+\nu u_t$, (2)

$u\left(t,x\right)=\Delta u\left(t,x\right)=0,x\in \partial \Omega$, (3)

$\frac{\partial u}{\partial N}=\frac{\partial \left(\Delta u\right)}{\partial N}=0,x\in \partial \Omega$, (4)

其中 $\nu \in \left[0,1\right]$， $\Omega$ 是 $R^N\left(N=1,2,3\right)$ 上的一个有界开集， $-\Delta$ 为Laplace算子， $u=u\left(t,x\right)$ 是未知函数，f是最高次为 $2p-1$ 的一个多项式，且有如下形式：

$f\left(u\right)={\displaystyle \underset{j=1}{\overset{2p-1}{\sum }}{a}_j}{u}^j,a_{2p-1}>0,p\in N,p\ge 2$ (5)

粘性Cahn-Hilliard方程是描述二元合金分解的典型Cahn-Hilliard模型的推广，由A.Novick-Cohn在文献 [1] 中提出用来分析粘性一阶变相动力学。 $\nu =0$ 时，是适当限制条件下的Cahn-Hilliard方程； $\nu =1$ 时，是我们熟悉的线性热方程； $\nu \in \left(0,1\right)$ 时，是本文所研究的模型。

粘性Cahn-Hilliard 方程解的存在性已有文献研究，例如文献 [2] 研究了广义粘性Cahn-Hilliard方程在R^N中的可解性，这一结果在 [3] 中得到了推广；文献 [4] 考虑粘性Cahn-Hilliard方程的解析解，证明了解的存在唯一性。在Neumann边界条件下的粘性Cahn-Hilliard方程，其动力学性质研究可参考文献 [5] [6]；无界区域上的粘性Cahn-Hilliard方程的动力学性质研究可参考文献 [7]；关于 $\nu \in \left(0,1\right)$ 时方程的渐进行为也有详细研究，例如 [8]。文献 [9] 采用质量守恒的crank-Nicolson型有限差分法，对粘性Cahn-Hilliard方程进行了数值求解。

本文研究粘性Cahn-Hilliard方程可解性问题。首先利用扇形算子及文献 [10] 中解的存在性定理，证明了初边值问题(1.1)~(1.4)局部解的存在性；其次在局部解存在的前提下，借鉴文献 [10] 中全局解的存在性定理，证明了初边值问题(1.1)~(1.4)的全局解在一定条件下的存在性，即任意给定 $u_0\in L^2\left(\Omega \right)$，初边值问题(1.1)~(1.4)的解u，满足 ${\Vert \Delta u\Vert }^2$ 是有界的，从而得到全局解存在。最后我们考虑带有非线性的粘性Cahn-Hilliard方程，即

$\left(1-\nu \right)u_t+g\left(u\right)=\Delta \left(-\Delta u-f\left(u\right)+\nu u_t\right),u=u\left(t,x\right),\left(t,x\right)\in R\times \Omega$,

其中g是多项式函数。文献 [11] 研究了它的渐进形态，本文研究它的解的存在情况。

2. 预备知识

考虑Banach空间X中的抽象Cauchy问题：

$\{\begin{array}{l}\frac{\text{d}u}{\text{d}t}+Au=F\left(u\right),t>0\\ u\left(0\right)=u_0\end{array}$ (6)

其中， $A:D\left(A\right)\subset X\to X$ 是扇形正算子，分数幂算子 $A^{-\alpha }:X\to X$ 定义为：

$A^{-\alpha }v=\frac{1}{\Gamma \left(\alpha \right)}{\displaystyle {\int }_0^{+\infty }{t}^{\alpha -1}}{\text{e}}^{-At}v\text{d}t$,

其中 $\alpha \in \left(0,+\infty \right)$。由 [10] 知道 $A^{-\alpha }\left(\alpha \in \left(0,+\infty \right)\right)$ 是有界线性算子，并且 $A^{-\alpha }$ 是可逆的。记 $A^{\alpha }={\left(A^{-\alpha }\right)}^{-1}$ 及 $X^{\alpha }:=D\left(A\right)$ ；假设 $F:X^{\alpha }\to X$ 在 $X^{\alpha }$ 的有界集上Lipschtz连续。

定义2.1 [10] (局部 $X^{\alpha }$ 解)：设X是一个Banach空间， $\alpha \in \left[0,1\right)$ 且 $u_0\in X^{\alpha }$。若存在 $\tau >0$ 和函数 $u\in \left(C\left(0,\tau \right),X^{\alpha }\right)$ 满足

1) $u\left(0\right)=u_0$ ；

2) $u\in C^1\left(\left(0,\tau \right),X\right)$ ；

3) $\forall t\in \left(0,\tau \right),u\left(t\right)\in D\left(A\right)$ ；

4) $\forall t\in \left(0,\tau \right)$，u满足方程(6)；

则u称为(2.1)的局部 $X^{\alpha }$ 解。

定义2.2 [10] (全局 $X^{\alpha }$ 解)：函数 $u=u\left(t\right)$ 称为全局 $X^{\alpha }$ 解，如果它满足定义2.1且 $\tau =+\infty$。

定理2.1 [10] (局部 $X^{\alpha }$ 解的存在性)：对每个 $u_0\in X^{\alpha }$，存在(6)的唯一 $X^{\alpha }$ 解 $u=u\left(t,u_0\right)$，它是定义在最大存在区间 $\left[0,{\tau }_{u_0}\right)$ 上的。即 ${\tau }_{u_0}=+\infty$ 或者如果 ${\tau }_{u_0}<+\infty$，则 $\underset{t\to {\tau }_{u_0}^{-}}{\lim }\sup {\Vert u\left(t,u_0\right)\Vert }_{X^{\alpha }}=+\infty$。

关于方程全局 $X^{\alpha }$ 解的存在性是非常重要的。文献 [10] 引入了如下的一个假设条件H：

1) 存在一个Banach空间Y， $D\left(A\right)\subset Y$ ；

2) 存在一个局部有界函数 $C:\left[0,+\infty \right)\to \left[0,+\infty \right)$ ；

3) 存在一个非减函数 $g:\left[0,+\infty \right)\to \left[0,+\infty \right)$ ；

4) 存在某个数 $\theta \in \left[0,1\right)$。

使得 $\forall u_0\in X^{\alpha }$，满足：

${\Vert u\left(t,u_0\right)\Vert }_Y\le C\left({\Vert u_0\Vert }_{X^{\alpha }}\right),t\in \left(0,{\tau }_{u_0}\right)$,

${\Vert F\left(u\left(t,u_0\right)\right)\Vert }_X\le g\left({\Vert u\left(t,u_0\right)\Vert }_Y\right)\left(1+{\Vert u\left(t,u_0\right)\Vert }_{X^{\alpha }}^{\theta }\right),t\in \left(0,{\tau }_{u_0}\right)$.

定理2.2 [10] (全局 $X^{\alpha }$ 解的存在性)：如果假设H成立，则(6)存在全局 $X^{\alpha }$ 解。

引理2.1 [12]：对 $\forall \eta >0$，

${\left\{{\left|\Delta u\right|}^2+\eta {\left|u\right|}^2\right\}}^{\frac{1}{2}},{\left\{{\left|\Delta u\right|}^2+\eta {\left({\displaystyle {\int }_{\Omega }^{}u}\left(x\right)\text{d}x\right)}^2\right\}}^{\frac{1}{2}}$,

是 $H^2$ 上的等价范数，同样地，

${\left\{{\left|{\Delta }^{2}u\right|}^2+\eta {\left|u\right|}^2\right\}}^{\frac{1}{2}},{\left\{{\left|{\Delta }^{2}u\right|}^2+\eta {\left({\displaystyle {\int }_{\Omega }^{}u}\left(x\right)\text{d}x\right)}^2\right\}}^{\frac{1}{2}}$,

是 $H^4$ 上的等价范数。

3. 主要结果

本节给出粘性Cahn-Hilliard方程局部解和全局解的存在性定理。令 $X=L^2\left(\Omega \right)$，内积记为 $\left(\cdot ,\cdot \right)$，范数记为 $\Vert \cdot \Vert$。更一般地，把Banach空间Z上的范数记为 ${\Vert \cdot \Vert }_Z$。

显然，由关于f的表达式(5)知，存在 ${\lambda }_0>0$，使得对任意 $v\in R$，

$\left|f^{\prime }\left(v\right)\right|<{\lambda }_0$. (7)

对 $u\in L^2\left(\Omega \right)$，均值定义为：

$\langle u\rangle =\frac{1}{\left|\Omega \right|}{\displaystyle {\int }_{\Omega }^{}u}\left(x\right)\text{d}x,x\in \Omega$,

其中 $\left|\Omega \right|$ 是 $\Omega$ 的测度。

对(1)作 $\Omega$ 上的积分，利用格林公式可得：

$\frac{\text{d}}{\text{d}t}{\displaystyle {\int }_{\Omega }^{}u}\left(t,x\right)\text{d}x=0$,

因此，

$\langle u\rangle =const.=\langle u_0\rangle$, (8)

故粘性Cahn-Hilliard方程是满足质量守恒的，这对后面范数估计起着至关重要的作用。

令算子 $A=\left(-\Delta \right)B_{\nu }+\rho I\left(\rho >0\right)$， $B_{\nu }=-\Delta {\left[\left(1-\nu \right)I-\nu \Delta \right]}^{-1}$，其定义域为：

$D\left(A\right)=\left\{\varphi \in H^4:\frac{\partial u}{\partial N}={\frac{\partial \left(\Delta u\right)}{\partial N}|}_{\partial \Omega }=0\right\}$,

首先讨论算子A的性质，有如下的命题：

命题 3.1当 $\nu \in \left(0,1\right)$ 时，算子 $B_{\nu }$ 是X到X上的有界算子，更进一步， $-\Delta B_{\nu }:H^2\left(\Omega \right)\to X$ 是一个扇形算子。

证明：算子 $B_{\nu }$ 还可写为

$B_{\nu }=\frac{1}{\nu }I-\frac{1-\nu }{\nu }{\left[\left(1-\nu \right)I-\nu \Delta \right]}^{-1}$,

由扇形算子定义可知： $\exists M_0>0$，使得

$\Vert {\left(\left(1-\nu \right)I-\nu \Delta \right)}^{-1}\Vert \le M_0$, (9)

故可证得 $B_{\nu }:L^2\left(\Omega \right)\to L^2\left(\Omega \right)$ 是一个有界算子。

注意到，算子 $-\Delta B_{\nu }$ 有以下形式：

$-\Delta B_{\nu }=\frac{1}{\nu }\left(-\Delta \right)-\frac{1-\nu }{{\nu }^2}I+\frac{{\left(1-\nu \right)}^2}{{\nu }^2}{\left[\left(1-\nu \right)I-\nu \Delta \right]}^{-1}$,

它是扇形算子 $\frac{1}{\nu }\left(-\Delta \right)$ 的一个有界扰动，因此 $-\Delta B_{\nu }$ 是一个扇形算子(参考 [10] )。

定理 3.1 当 $\alpha \in \left[\frac{1}{2},1\right)$， $\nu \in \left(0,1\right)$ 时，初边值问题(1)~(4)存在局部 $X^{\alpha }$ 解。

证明：由命题3.1可知，要证明局部 $X^{\alpha }$ 解的存在性，还需要验证非线性项

$B_{\nu }f:X^{\alpha }\left(\Omega \right)\to X$,

满足局部Lipschtiz连续。由(5)可知， $f\left(u\right)$ 关于 $u\in \Omega$ 局部Lipschitz连续。

更进一步，有如下的Sobolev空间嵌入关系：

$\{\begin{array}{ll}{H}^2\left(\Omega \right)\subset L^{\infty }\left(\Omega \right)\hfill & n\le 3\hfill \\ H^2\left(\Omega \right)\subset W^{1,4}\left(\Omega \right)\hfill & n\le 3\hfill \\ X^{\frac{1}{2}}\left(\Omega \right)\subset H^2\left(\Omega \right)\hfill & \hfill \end{array}$, (10)

令U是 $X^{\alpha }$ 上的有界子集，则 $B_{\nu }f:X^{\alpha }\to X$ 在有界集U上是Lipschitz连续的，即： $\varphi ,\psi \in U$

$\begin{array}{l}\Vert B_{\nu }\left(f\left(\varphi \right)\right)-B_{\nu }\left(f\left(\psi \right)\right)\Vert \\ \le {\Vert {\left(\left(1-\nu \right)I-\nu \Delta \right)}^{-1}\Vert }_{L\left(X,X\right)}\Vert \Delta f\left(\varphi \right)-\Delta f\left(\psi \right)\Vert \\ \le M_0\Vert \left[f^{\prime }\left(\varphi \right)\Delta \varphi -f^{\prime }\left(\psi \right)\Delta \psi \right]+\left[f^{″}\left(\varphi \right){\left|\nabla \varphi \right|}^2-f^{″}\left(\psi \right){\left|\nabla \psi \right|}^2\right]\Vert \\ \le C_U{\Vert \varphi -\psi \Vert }_{X^{\alpha }}\end{array}$,

其中 $C_U$ 是关于U的常数。因此初边值问题(1)~(4)的局部 $X^{\alpha }$ 解存在。

在局部 $X^{\alpha }$ 解存在的基础上进一步讨论全局解的存在性。

定理 3.2当 $\alpha \in \left[\frac{1}{2},1\right)$， $\nu \in \left(0,1\right)$ 时，在条件(5)和(7)成立的情况下，初边值问题(1)~(4)存在唯一的全局 $X^{\alpha }$ 解。

证明：用 $v=u_t+{ϵ}_{0}u$ 与(1)作内积有

$\frac{1}{2}\frac{\text{d}}{\text{d}t}{\Vert \Delta u\Vert }^2+{ϵ}_0{\Vert \Delta u\Vert }^2+\left(1-\nu \right){\Vert v\Vert }^2-\left(1-\nu \right){ϵ}_0\left(u,v\right)+\nu {ϵ}_0\left(\Delta u,v\right)+\nu \Vert \nabla v\Vert =\left(-\Delta f\left(u\right),v\right)$, (11)

由Poincare不等式得：

${\Vert u\Vert }^2\le \lambda {\Vert \nabla u\Vert }^2$, (12)

由(12)以及Hölder不等式和Young不等式可得

${\Vert \nabla u\Vert }^2=-{\displaystyle {\int }_{\Omega }^{}u}\cdot \Delta u\text{d}x\le \frac{1}{2}{\Vert \nabla u\Vert }^2+\frac{\lambda }{2}{\Vert \Delta u\Vert }^2$,

则

${\Vert \nabla u\Vert }^2\le \lambda {\Vert \Delta u\Vert }^2$, (13)

更进一步，由(12)和(13)得

${\Vert u\Vert }^2\le {\lambda }^2{\Vert \Delta u\Vert }^2$,

又由Hölder不等式和Young不等式可得

$-\left(1-\nu \right){ϵ}_0\left(u,v\right)\ge -\frac{\left(1-\nu \right){ϵ}_0{\lambda }^2}{2}{\Vert \Delta u\Vert }^2-\frac{\left(1-\nu \right){ϵ}_0}{2}{\Vert v\Vert }^2$, (14)

$\nu {ϵ}_0\left(\Delta u,v\right)\ge -\frac{{ϵ}_0^2\nu \lambda }{4}{\Vert \Delta u\Vert }^2-\nu {\Vert \nabla v\Vert }^2$, (15)

将(14)和(15)代入(11)可得

$\frac{1}{2}\frac{\text{d}}{\text{d}t}{\Vert \Delta u\Vert }^2+c_1{\Vert \Delta u\Vert }^2+c_2{\Vert v\Vert }^2\le \left(-\Delta f\left(u\right),v\right)$, (16)

其中 $c_1={ϵ}_0-\frac{\left(1-\nu \right){ϵ}_0{\lambda }^2}{2}-\frac{{ϵ}_0^2\nu \lambda }{4},c_2=\left(1-\nu \right)\left(1-\frac{{ϵ}_0}{2}\right)$。

最后由Young不等式可得

$\left(-\Delta f\left(u\right),v\right)=\left(\nabla f\left(u\right),\nabla v\right)\le \frac{{\lambda }_0^2}{4c_2}{\Vert \Delta u\Vert }^2+c_2{\Vert v\Vert }^2$, (17)

将(17)代入(16)得

$\frac{1}{2}\frac{\text{d}}{\text{d}t}{\Vert \Delta u\Vert }^2+c_3{\Vert \Delta u\Vert }^2\le 1$,

其中 $c_3=c_1-\frac{{\lambda }_0^2}{4c_2}$，取适当的 ${ϵ}_0$，使得 $c_3>0$。则由Gronwall引理得：

${\Vert \Delta u\Vert }^2\le M$,

其中M是一个大于0的常数。再由(8)得

${\Vert \Delta u\Vert }^2+{\left|\langle u\rangle \right|}^2\le M+{\left|\langle u_0\rangle \right|}^2$.

令 $Y=\left\{\varphi \in H^2\left(\Omega \right):\frac{\partial \varphi }{\partial N}={\frac{\partial \left(\Delta \varphi \right)}{\partial N}|}_{\partial \Omega }=0\right\}$，由引理2.1可知Y上的等价范数为 ${\left\{{\Vert \Delta u\Vert }^2+{\left|\langle u\rangle \right|}^2\right\}}^{\frac{1}{2}}$。为了利用定理2.2完善证明，还需近一步处理。

将(1)改写为：

$u_t=\left(B_{\nu }\Delta +\rho I\right)u-B_{\nu }f\left(u\right)-\rho u$,

其中 $\rho >0$ 且有

$0<\rho \le Re\sigma \left(B_{\nu }\Delta +\rho I\right)$,

由空间嵌入定理(10)，在Y空间上有下列先验估计：

$\begin{array}{c}\Vert -B_{\nu }f\left(u\left(t\right)\right)-\rho u\left(t\right)\Vert \le {\Vert B_{\nu }\Vert }_{L\left(X,X\right)}\Vert f\left(u\left(t\right)\right)\Vert +\rho \Vert u\left(t\right)\Vert \\ \le {\Vert B_{\nu }\Vert }_{L\left(X,X\right)}\underset{\left|s\right|\le c_4{\Vert u\left(t\right)\Vert }_{H^2\left(\Omega \right)}}{\sup }\left(\left|f\left(s\right)\right|+\rho \right)\left(1+{\Vert u\left(t\right)\Vert }_{H^2\left(\Omega \right)}\right)\\ =g\left({\Vert u\left(t\right)\Vert }_{H^2\left(\Omega \right)}\right)\end{array}$,

其中 $g:\left[0,\infty \right)\to \left[0,\infty \right)$ 是一个增函数，证毕。

以上的讨论过程是粘性Cahn-Hilliard方程的解的存在情况研究的新思路，拓展了粘性Cahn-Hilliard方程研究的方法，用新的方法证明了粘性Cahn-Hilliard方程局部解和全局解的存在性。

4. 推论

这一节我们考虑粘性Cach-Hilliard方程带有非线性的形式，即考虑下面的初边值问题：

$\left(1-\nu \right)u_t+g\left(u\right)=\Delta \mu \left(u\right),u=u\left(t,x\right),\left(t,x\right)\in R\times \Omega$, (18)

$\mu \left(u\right)=-\Delta u-f\left(u\right)+\nu u_t$, (19)

$u\left(t,x\right)=\Delta u\left(t,x\right)=0,x\in \partial \Omega$, (20)

$\frac{\partial u}{\partial N}=\frac{\partial \left(\Delta u\right)}{\partial N}=0,x\in \partial \Omega$, (21)

其中f的定义如前面的(5)而g的定义如下：

$g\left(u\right)={\displaystyle \underset{i=1}{\overset{2q-1}{\sum }}{b}_i}{u}^i,b_{2q-1}>0,q\in N,q\ge 2$, (22)

有不等式：

$g\left(s\right)s\ge q{b}_{2q-1}{s}^{2q}-c^{\prime },\forall s\in R$, (23)

由关于g的表达式(22)知

$\exists {\lambda }_1>0,\forall v\in R,\left|g^{\prime }\left(v\right)\right|<{\lambda }_1$, (24)

其中 ${\lambda }_1$ 是一个常数。显然该初边值问题不满足质量守恒，下面讨论该初边值问题的局部 $X^{\alpha }$ 解和全局 $X^{\alpha }$ 解。

根据上一节中局部解的讨论过程，(10)同样成立。很容易可以得到当 $\alpha \in \left[\frac{1}{2},1\right)$ 时该初边值问题的局部 $X^{\alpha }\left(\alpha \in \left[\frac{1}{2},1\right)\right)$ 解存在。令V是 $X^{\alpha }$ 空间上的有界集， $\varphi ,\psi \in V$，则该方程的非线性项 $B_{\nu }f-{\left(\left(1-\nu \right)I-\nu \Delta \right)}^{-1}g:X^{\alpha }\to L^2\left(\Omega \right)$ 满足Lipschitz连续，即

$\begin{array}{l}\Vert \left[B_{\nu }\left(f\left(\varphi \right)\right)-{\left(\left(1-\nu \right)I-\nu \Delta \right)}^{-1}g\left(\varphi \right)\right]-\left[B_{\nu }\left(f\left(\psi \right)\right)-{\left(\left(1-\nu \right)I-\nu \Delta \right)}^{-1}g\left(\psi \right)\right]\Vert \\ \le M_0\Vert \Delta f\left(\varphi \right)-\Delta f\left(\psi \right)\Vert +M_0\Vert g\left(\varphi \right)-g\left(\psi \right)\Vert \\ \le M_0\Vert \left[f^{\prime }\left(\varphi \right)\Delta \varphi -f^{\prime }\left(\psi \right)\Delta \psi \right]+\left[f^{″}\left(\varphi \right){\left|\nabla \varphi \right|}^2-f^{″}\left(\psi \right){\left|\nabla \psi \right|}^2\right]\Vert \\ +M_0\left({\Vert g\left(\varphi \right)\Vert }_{L^{\infty }\left(\Omega \right)}+{\Vert g\left(\psi \right)\Vert }_{L^{\infty }\left(\Omega \right)}\right)\\ \le C_V{\Vert \varphi -\psi \Vert }_{X^{\alpha }}\end{array}$,

其中 $C_V$ 是关于V的常数。故可以知道该初边值问题的局部 $X^{\alpha }\left(\alpha \in \left[\frac{1}{2},1\right)\right)$ 解存在。

定理4.1 当 $\alpha \in \left[\frac{1}{2},1\right)$， $\nu \in \left(0,1\right)$ 时，在条件(5)，(7)和(22)~(24)成立的情况下，初边值问题(18)~(21)存在唯一的全局 $X^{\alpha }$ 解。

证明：用 $w=u_t+{ϵ}_{1}u$ 与(18)作内积有u

$\frac{1}{2}\frac{\text{d}}{\text{d}t}{\Vert \Delta u\Vert }^2+{ϵ}_1{\Vert \Delta u\Vert }^2+\left(1-\nu \right){\Vert w\Vert }^2-\left(1-\nu \right){ϵ}_1\left(u,w\right)+\nu {ϵ}_1\left(\Delta u,w\right)+\nu \Vert ▽v\Vert +\left(g\left(u\right),w\right)=\left(-\Delta f\left(u\right),w\right)$

根据Hölder不等式和Young不等式可得

$-\left(1-\nu \right){ϵ}_1\left(u,w\right)\ge -\frac{\left(1-\nu \right){ϵ}_1{\lambda }^2}{2}{\Vert \Delta u\Vert }^2-\frac{\left(1-\nu \right){ϵ}_1}{2}{\Vert w\Vert }^2$, (25)

$\nu {ϵ}_1\left(\Delta u,w\right)\ge -\frac{{ϵ}_1^2\nu \lambda }{4}{\Vert \Delta u\Vert }^2-\nu {\Vert \nabla w\Vert }^2$, (26)

由(25)和(26)可得

$\frac{1}{2}\frac{\text{d}}{\text{d}t}{\Vert \Delta u\Vert }^2+c_5{\Vert \Delta u\Vert }^2+c_6{\Vert w\Vert }^2+\left(g\left(u\right),w\right)\le \left(-\Delta f\left(u\right),w\right)$,

其中 $c_5={ϵ}_1-\frac{\left(1-\nu \right){ϵ}_1{\lambda }^2}{2}-\frac{{ϵ}_1^2\nu \lambda }{4}$, $c_6=\left(1-\nu \right)\left(1-\frac{{ϵ}_1}{2}\right)$，

又由

$\left(-\Delta f\left(u\right),w\right)=\left(\nabla f\left(u\right),\nabla w\right)\le \frac{{\lambda }_0^2}{4c_6}{\Vert \Delta u\Vert }^2+c_6{\Vert w\Vert }^2$,

则

$\frac{1}{2}\frac{\text{d}}{\text{d}t}{\Vert \Delta u\Vert }^2+\left(c_5-\frac{{\lambda }_0^2}{4c_6}\right){\Vert \Delta u\Vert }^2+{ϵ}_1{\displaystyle {\int }_{\Omega }^{}g}\left(u\right)u\text{d}x\le -{\displaystyle {\int }_{\Omega }^{}g}\left(u\right)u_t\text{d}x$,

由(23)以及Young不等式和格林公式有

$\frac{1}{2}\frac{\text{d}}{\text{d}t}{\Vert \Delta u\Vert }^2+\left(c_5-\frac{{\lambda }_0^2}{4c_6}-\frac{{\lambda }_1^2{\lambda }^2}{2}\right){\Vert \Delta u\Vert }^2+{ϵ}_{1}q{b}_{2q-1}{\Vert u\Vert }_{L^{2q}\left(\Omega \right)}^{2q}\le c^{\prime }\left|\Omega \right|+\frac{1}{2}{\Vert u_t\Vert }^2$, (27)

再将 $u_t$ 与(18)作内积得

${\Vert u_t\Vert }^2+{\Vert \nabla u_t\Vert }^2+\frac{1}{2}\frac{\text{d}}{\text{d}t}{\Vert \Delta u\Vert }^2+{\displaystyle {\int }_{\Omega }^{}g}\left(u\right)u_t\text{d}x=\left(-\Delta f\left(u\right),u_t\right)$,

由(7)，(24)以及格林公式和Yong不等式得到

$\frac{1}{2}{\Vert u_t\Vert }^2\le -\frac{1}{2}\frac{\text{d}}{\text{d}t}{\Vert \Delta u\Vert }^2+\left(\frac{{\lambda }_0^2\lambda }{2}+\frac{{\lambda }_1^2{\lambda }^2}{2}\right){\Vert \Delta u\Vert }^2$, (28)

将(28)带入(27)，再由空间嵌入定理有

$\frac{\text{d}}{\text{d}t}{\Vert \Delta u\Vert }^2+c_7{\Vert \Delta u\Vert }^2+{ϵ}_{1}q{b}_{2q-1}{\Vert u\Vert }_{L^{2q}\left(\Omega \right)}^{2q}\le c^{\prime }\left|\Omega \right|$,

其中 $c_7=c_5-\frac{{\lambda }_0^2}{4c_6}-\frac{{\lambda }_0^2\lambda }{2}-{\lambda }_1^2{\lambda }^2$。取适当 ${ϵ}_1$，使得 $c_7>0$，则由Gronwall引理得： $\exists M_1>0$，

${\Vert \Delta u\Vert }^2\le M_1$,

则

${\Vert \Delta u\Vert }^2+{\Vert u\Vert }^2\le \left(1+{\lambda }^2\right)M_1$.

将(18)改写为：

$u_t=\left(B_{\nu }\Delta +\rho I\right)u-B_{\nu }f\left(u\right)-{\left(\left(1-\nu \right)I-\nu \Delta \right)}^{-1}g\left(u\right)-\rho u$,

由空间嵌入定理(10)，在Y空间上有下列先验估计：

$\begin{array}{l}\Vert -B_{\nu }f\left(u\left(t\right)\right)-{\left(\left(1-\nu \right)I-\nu \Delta \right)}^{-1}g\left(u\left(t\right)\right)-\rho u\left(t\right)\Vert \\ \le {\Vert B_{\nu }\Vert }_{L\left(X,X\right)}\Vert f\left(u\left(t\right)\right)\Vert +M_0\Vert g\left(u\left(t\right)\right)\Vert +\rho \Vert u\left(t\right)\Vert \\ \le \max \left({\Vert B_{\nu }\Vert }_{L\left(X,X\right)},M_0\right)\underset{\left|s\right|\le c_{\text{8}}{\Vert u\left(t\right)\Vert }_{H^2\left(\Omega \right)}}{\sup }\left(\left|f\left(s\right)\right|+\left|g\left(s\right)\right|+\rho \right)\left(1+{\Vert u\left(t\right)\Vert }_{H^2\left(\Omega \right)}\right)\\ =g\left({\Vert u\left(t\right)\Vert }_{H^2\left(\Omega \right)}\right)\end{array}$,

其中 $g:\left[0,\infty \right)\to \left[0,\infty \right)$ 是一个增函数，证毕。

以上的结果，拓展了粘性Cach-Hilliard方程的讨论范围，得出了在一定条件下带有非线性的粘性Cach-Hilliard方程局部解和全局解的存在性。当然，我们所作的假设条件还可以得到更一般的结论，这将是我们后面所要努力的。