Gorenstein (m, n)-投射模
Gorenstein (m, n)-Projective Modules
DOI: 10.12677/PM.2020.1010118, PDF, HTML, XML, 下载: 410  浏览: 3,550  国家自然科学基金支持
作者: 杨 强:西北师范大学,数学与统计学院,甘肃 兰州
关键词: (m n)-内射模Gorenstein (m n)-投射模强(m n)-凝聚环(m n)-Injective Module Gorenstein (m n)-Projective Module Strongly (m n)-Coherent Ring
摘要: 本文引入了Gorenstein (m, n)-投射模的概念。在强左(m, n)-凝聚环上研究了这类模的一些性质,并给出了Gorenstein (m, n)-投射模的一些等价刻画。
Abstract: In this article, the notion of Gorenstein (m, n)-projective modules is introduced. Some properties of such modules are investigated over strongly left (m, n)-coherent rings, and some equivalent characterizations of Gorenstein (m, n)-projective modules are given.
文章引用:杨强. Gorenstein (m, n)-投射模[J]. 理论数学, 2020, 10(10): 1002-1006. https://doi.org/10.12677/PM.2020.1010118

1. 引言

作为有限生成投射模的一种推广,Auslander和Bridger在文献 [1] 中研究了双边Noether环上Gorenstein维数为0的有限生成模。1995年,在文献 [2] 中Enochs和Jenda在一般环上引入Gorenstein投射模和Gorenstein内射模的概念。自此,以Gorenstein投射(内射)模为研究对象的Gorenstein同调代数受到了学者们的广泛关注 [1] - [6]。

2001年,作为n-内射模,P-内射模,FP-内射模的统一推广,Chen,Ding,Li和Zhou在文献 [7] 中引入了(m, n)-内射模的概念。2005年,Zhang等人在文献 [8] 中证明了在(m, n)-凝聚环上,(m, n)-内射左R-模的示性模是(m, n)-平坦的。同年,在文献 [9] 中,Mao和Ding在凝聚环上研究了模的FP-投射维数以及环的FP-投射整体维数。2006年,Mao和Ding在文献 [10] 中证明了 ( P m , n , I m , n ) 是完备的余挠理论,其中 P m , n 是(m, n)-投射模类, I m , n 是(m, n)-内射模类。2014年,曾月迪在文献 [11] 中引入强(m, n)-凝聚环的概念,并证明了在强(m, n)-凝聚环上, ( P m , n , I m , n ) 是完备遗传余挠对。2020年,杨强和赵仁育在文献 [12] 中研究了Gorenstein (m, n)-内射模,并在强(m, n)-凝聚环上利用Gorenstein (m, n)-内射模给出了左(m, n)-内射环的一些等价刻画。

受上述研究的启发,本文引入Gorenstein (m, n)-投射模的概念。证明了Gorenstein (m, n)-投射模关于直和封闭;在强左(m, n)-凝聚环和任意环上,给出了Gorenstein (m, n)-投射模的等价刻画。

2. 预备知识

mn是任取的两个正整数,R是具有单位元的结合环,所涉及的模均为左R-模。用 id R ( M ) 表示模M的内射维数,用 I ˜ 表示所有内射维数有限的左R-模类,对于左R-模M,用 M + = Hom Z ( M , Q / Z ) 表示M的示性模。

定义2.1 称左R-模M是(m, n)-表示的,如果存在左R-模的短正合序列 0 K R m M 0 ,其中Kn-生成的。

定义2.2 称左R-模M是(m, n)-内射的,如果对任意的(m, n)-表示左R-模P Ext R 1 ( P , M ) = 0

定义2.3 称左R-模N是(m, n)-投射的,如果对任意的(m, n)-内射左R-模M Ext R 1 ( N , M ) = 0

注记2.4 (1) (m, n)-表示模是(m, n)-投射模;

(2) (m, n)-投射模关于直和,直和项和扩张封闭。

定义2.5 称环R是左(m, n)-凝聚环,如果左R-模 R m 的每一个n-生成子模是有限表示的。

定义2.6 称环R是强左(m, n)-凝聚环,如果 R R m 的每一个n-生成子模是(m, n)-表示的。

3. Gorenstein (m, n)-投射模及其性质

定义3.1 称左R-模M是Gorenstein (m, n)-投射模,如果存在(m, n)-投射左R-模的正合序列

= P 1 P 0 P 1 P 2 ,

使得 M = Im ( P 0 P 1 ) ,并对任意的 E I ˜ I m , n Hom R ( , E ) 正合。

Gorenstein (m, n)-投射左R-模的类记为 G P m , n

注记3.2 (1) (m, n)-投射左R-模是Gorenstein (m, n)-投射左R-模;

(2) 若M是Gorenstein (m, n)-投射左R-模,则对任意 E I ˜ I m , n Ext R 1 ( M , E ) = 0

(3) 若 = P 1 P 0 P 1 P 2 是(m, n)-投射左R-模的正合序列,并对任意的 E I ˜ I m , n Hom R ( , E ) 正合,则每个箭头的像,核,余核都是Gorenstein (m, n)-投射左R-模;

(4) Gorenstein (m, n)-投射左R-模关于直积封闭。

命题3.3 Gorenstein (m, n)-投射左R-模关于直和封闭。

证明 设 ( M i ) i I 是一簇Gorenstein (m, n)-投射左R-模,令 M = i I M i 。对任意的 i I ,因为 M i 是Gorenstein (m, n)-投射左R-模,所以存在(m, n)-投射左R-模的正合序列

i = P 1 i P 0 i P 1 i P 2 i

使得 M i Im ( P 0 i P 1 i ) ,并对任意的 E I ˜ I m , n Hom R ( i , E ) 正合。于是有正合序列

i I i = i I P 1 i i I P 0 i i I P 1 i i I P 2 i

使得 M Im ( i I P 0 i i I P 1 i ) ,并对任意的 E I ˜ I m , n Hom R ( i I i , E ) Π i I ( i , E ) 正合。因此M是Gorenstein (m, n)-投射左R-模。

命题3.4 设R是强左(m, n)-凝聚环,M是左R-模,则以下成立:

(1) 若M是Gorenstein (m, n)-投射左R-模,则对任意的 E I ˜ I m , n ,任意的 i 1 Ext R 1 ( M , E ) = 0

(2) 对任意左R-模的正合序列 0 N G k 1 G 1 G 0 M 0 G i ( 0 i k 1 ) 是Gorenstein (m, n)-投射模,则对任意的 E I ˜ I m , n ,以及任意的 i > 0 Ext R i ( N , E ) Ext R k + i ( M , E )

证明 (1) 设M是Gorenstein (m, n)-投射左R-模,E是(m, n)-内射左R-模,且 id R ( E ) = k < ,考虑下列正合序列

0 M P 0 P 1 P k 1 P 0 N 0

其中 P j ( 0 i k 1 ) 是(m, n)-投射左R-模,因为R是强左(m, n)-凝聚环,由 [11] 定理2.2知 ( P m , n , I m , n ) 是完备遗传余挠对,所以 Ext R i 1 ( P j , E ) = 0 , 0 j k 1 。故对任意的 i 1 Ext R i ( N , E ) Ext R k + i ( M , E ) 。又因为 id R ( E ) = k < ,所以对任意的 i 1 Ext R i ( N , E ) Ext R k + i ( M , E ) = 0

(2) 的证明由(1)可得。

定理3.5 设R是强左(m, n)-凝聚环,M是左R-模,则M是Gorenstein (m, n)-投射左R-模当且仅当存在(m, n)-投射左R-模的正合序列

= P 1 P 0 P 1 P 2

使得 M = Im ( P 0 P 1 )

证明 Þ)显然。

• )设N是(m, n)-内射左R-模,且 id R ( N ) = k < 。下证 Hom R ( , N ) 正合,对k进行归纳总结。当 k = 0 时,结论显然成立。设 k 1 ,考虑短正合序列

0 N E L 0

其中E是内射模, id R ( L ) = k 1 。则有短正合序列

0 L + E + N + 0

因为R是强左(m, n)-凝聚环,由 [8] 定理5.7知, E + N + 是(m, n)-平坦模,故 L + 是(m, n)-平坦模,再由 [8] 定理5.7知,L是(m, n)-内射模。由归纳假设知 Hom R ( , L ) 正合。于是存在复形的短正合序列

0 Hom R ( , N ) Hom R ( , E ) Hom R ( , L ) 0

其中 Hom R ( , E ) Hom R ( , L ) 正合,从而由 [13] 定理6.3知, Hom R ( , N ) 正合。因此M是Gorenstein (m, n)-投射的。

推论3.6 设R是强左(m, n)-凝聚环,M是左R-模,则以下等价:

(1) M是Gorenstein (m, n)-投射模;

(2) 存在左R-模的正合序列 0 M P 1 P 2 ,其中每个 P i 是(m, n)-投射模;

(3) 存在左R-模的短正合序列 0 M P L 0 ,其中P是(m, n)-投射模,L是Gorenstein (m, n)-投射模。

证明 (1) Þ (3) Þ (2)显然。

(2) Þ (1)设 P 1 P 0 M 0 是(m, n)-投射分解。由(2)知,存在左R-模的正合序列

0 M P 1 P 2

其中 P 1 , P 2 , 是(m, n)-投射左R-模,于是有左R-模的正合序列

P 1 P 0 P 1 P 2

使得 M = Im ( P 0 P 1 ) 。故由定理3.5知M是Gorenstein (m, n)-投射模。

命题3.7 设R是强左(m, n)-凝聚环, 0 M 1 M 2 M 3 0 是左R-模的短正合序列。则以下成立:

(1) 若 M 1 是Gorenstein (m, n)-投射模, M 3 是(m, n)-投射模,则 M 2 是Gorenstein (m, n)-投射模;

(2) 若 M 3 是Gorenstein (m, n)-投射模, M 2 是(m, n)-投射模,则 M 1 是Gorenstein (m, n)-投射模。

证明 (1) 因为 M 1 是Gorenstein (m, n)-投射模,所以存在左R-模的短正合序列 0 M 1 P N 0 ,其中P是(m, n)-投射模,则N是Gorenstein (m, n)-投射模。考虑下列推出图1

Figure 1. Pushout diagram

图1. 推出图

在短正合序列 0 P Q M 3 0 中,P M 3 是(m, n)-投射模,由 [9] 注记2.8知,Q是(m, n)-投射模。在短正合序列中,因为N是Gorenstein (m, n)-投射模,所以由推论3.6知,是Gorenstein (m, n)-投射模。

(2) 类似地,由推论3.6可得。

定理 3.8 设R环,则以下等价:

(1) 每个左R-模是Gorenstein (m, n)-投射的;

(2) 环R满足以下两个条件:

(i) 每个内射左R-模是(m, n)-投射的;

(ii) 每个内射维数有限的(m, n)-内射左R-模是内射的。

证明 (1) Þ (2) 设M是内射左R-模。则有(1)知M是Gorenstein (m, n)-投射模。于是存在短正合序列

其中P是(m, n)-投射模,由于M是内射模,所以该正合序列可裂。因此MP的直和项,由注记2.4 (2)知,M是(m, n)-投射模。故(i)成立。设E是内射维数有限的(m, n)-内射左R-模,N是一个左R-模。由(1)知,N是Gorenstein (m, n)-投射模。于是由注记3.2 (2)知,,所以E是内射模,故(ii)成立。

(2) Þ (1) 设M是左R-模。M的一个(m, n)-投射分解,M的一个内射分解,由(i)知存在(m, n)-投射左R-模的正合序列

使得。设E内射维数有限的(m, n)-内射左R-模,由(ii)知,E是内射模,所以正合。因此M是Gorenstein (m, n)-投射模。

基金项目

国家自然科学基金资助项目(11861055)。

参考文献

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