Stolz定理是处理数列不定式极限的有力工具,一般用于*/∞型的极限(即分母趋于正无穷大的分式极限,分子趋不趋于无穷大无所谓)、0/0型极限(此时要求分子分母都以0为极限)。Stolz定理用于数列,它有函数形式的推广,这两个都可以认为是洛必达法则的离散版本。
定理1 (
型Stolz定理) 设
时,
。(严格单调下降趋于0),若
,则
(a为有限数,
或
) [1]。
定理2 (
型Stolz定理) 设
严格增加且
,
若
,则
(a为有限数,
或
),(
为任一数列)。
例1 设
,求
。
分析:
为
型未定式,处理此类问题常见的有三种方法:
1˚ 四则运算;2˚ 洛必达法则与归结原则;3˚ Stolz定理。
解法1:由洛必达法则
,由归结原则
。
解法2:由Stolz定理
由于
,所以
注:1、洛必达法则与Stolz定理的区别:洛必达法则解决连续型的未定式极限;Stolz定理解决离散型的未定式极限。
2、若只有分母严格增加(或减)且趋于
,但分子为一般的数列(不一定趋于
),在这种情况下必须用Stolz定理。
例2 设
,其中
,a为有限数,或
,求
[2]。
此题只能用Stolz定理。
设
则
由Stolz定理
,Stolz定理与洛必达法则及归结原则的结合。
例3设
,求
。
设
则
由Stolz定理
利用洛必达法则,
由归结原则
有时问题经过处理后,方能应用Stolz定理。
例4 设
,证
存在时,
。
分析:若证
,只须证,为了利用
,
令
,则
且
于是
例5 求
提示:设
应用Stolz定理,
,所以
。
另一方面,一定注意分母必须单调。首先,Stolz定理分母不单调的话确实是有反例的。取
。则易见
,
,同时
。然而
。其次,L’Hospital法则其实隐含了单调性的条件。因为其要求
在极限点的某邻域内不等于0,但导函数具有介值性(Darboux定理),因此
在极限点的某邻域内恒正或恒负,即得
单调。所以这两个定理在这方面仍然是一致的 [3]。