轨道减振器超弹性本构模型参数优化

Parameter Optimization of the Track Damper Superelastic Constitutive Model

摘要: 选用邵氏硬度为70和75的2组Mooney-Rivlin橡胶超弹性本构模型参数对剪切型轨道减振器垂向刚度进行仿真分析，得到2组参数的仿真结果与实测结果之间的误差分别为9.46%和14.43%，表明本构模型参数的选取对于仿真结果的精确度影响较大，需要进行参数优化。通过最小二乘法建立模型参数与橡胶硬度之间的函数关系，在橡胶硬度70~75之间取参数C10和C01各4个水平，设计2因子4水平的正交试验。通过正交试验法对轨道减振器垂向刚度进行仿真分析，得到了优化后的参数C10 = 0.707，C01 = 0.165。其仿真结果与实测结果之间的误差仅为1.01%，有效提高了仿真结果的精确度。

Abstract: A simulated analysis has been carried out on the vertical stiffness of the track damper by 2 groups of the parameters of the Mooney-Rivlin superelastic constitutive model, which are corresponding to the rubber hardness of 70 and 75. The relative errors between the stiffness values of the simulated analysis and the stiffness value of the actual measurement are 9.46% and 14.43% respectively, which shows that the parameters of the constitutive model have a significant influence on the precision of the simulated analysis and the parameter optimization is necessary. By the functional relation established by the least square method between the parameters of the constitutive model and the rubber hardness, 4 levels of C10 and C01 are selected respectively in the hardness range from 70 to 75 to design a 4 levels and 2 factors orthogonal test. By means of the simulated analysis of the vertical stiffness based on the orthogonal test, the optimized parameters are obtained, namely C10 = 0.707, C01 = 0.165. The relative error between the stiffness value of the simulated analysis and the stiffness value of the actual measurement is as low as 1.01%, which means that the precision of the simulated analysis is improved effectively.

1. 引言

随着我国城市轨道交通的迅速发展以及人们对于环境振动噪声问题的日益重视，城市轨道交通减振降噪问题显得愈发重要 [1]。现有的轨道减振降噪主要采用高弹性减振扣件、橡胶浮置板轨道、钢弹簧浮置板轨道、梯形轨道等技术 [2]。

其中，高弹性减振扣件中的轨道减振器已经在国内各大城市的轨道交通工程中的得到了广泛的应用，减振性能良好，减振效果约5~8 dB [3]。陈新华 [4] 采用ANSYS有限元分析软件与SIMPACK多体动力学软件联合仿真的方法，通过建立考虑了轨道减振器因素的车–线–桥耦合模型，分析了轨道减振器垂向刚度、横向刚度以及阻尼的变化对系统的影响。谷爱军、崔晓璐等 [5] [6] 对使用轨道减振器地段的钢轨波磨问题进行了研究，分析了轨道减振器扣件刚度与阻尼对于钢轨波磨现象的影响。

但是，现有的仿真研究普遍采用线弹性模型来表征轨道减振器橡胶圈的力学特性，忽略了橡胶材料的非线性特性。刘德宇 [7] 通过对比有限元建模与试验测试的结果，发现当橡胶结构在1 mm以下的微小变形工况时，线弹性模型与超弹性模型均能较好地表征橡胶结构的静态特征，而随着变形量的增加，线弹性模型的精度会小于超弹性模型。因此，为了更准确地描述轨道减振器橡胶圈的非线性力学特性，需要建立橡胶材料的超弹性本构模型。

橡胶本构模型及其参数的选取很大程度上决定了橡胶材料力学仿真的准确性和可靠性。现有的橡胶材料超弹性本构模型可以分为两大类：一类是基于橡胶是连续介质的唯象学描述方法，另一类是基于热力学统计的方法 [8]。唯象学方法通过建立弹性应变能密度函数W来描述橡胶特性，常用的本构模型有Mooney-Rivlin模型 [9]、Yeoh模型 [10] 以及Ogden模型 [11] 等。热力学统计方法是将宏观热力学量与橡胶分子链的长度、方向和结构的统计特征建立联系，常用的本构模型有James-Guth模型 [12] (3链模型)、Flory-Erma模型 [13] (4链模型)以及Arruda-Boyce模型 [14] (8链模型)等。

方建辉、晏红文等 [15] [16] 分析对比了几种橡胶本构模型的适用范围，其中，Mooney-Rivlin模型适用于橡胶中小变形载荷工况，且具有模型方程简单，参数获取方便的优点，在工程上已得到广泛的应用。

本文以轨道减振器作为研究对象，在缺少橡胶材料基础试验数据的情况下，基于正交试验法，研究准确获取轨道减振器橡胶圈Mooney-Rivlin超弹性本构模型参数的方法，为轨道减振器仿真计算提供可靠的模型参数。

2. 轨道减振器结构及工作特性

最早研制轨道减振器的国家是德国，从20世纪60年代开始首先应用于科隆地铁。如图1所示，由于减振器的外形为椭圆，从而也经常被称为科隆蛋扣件。该扣件采用金属和橡胶的复合结构，承轨板与底座之间用减振橡胶硫化粘贴在一起，利用橡胶圈的压剪变形获得较低竖向刚度，同时充分利用橡胶的剪切变形来耗散能量，扣件刚度阻尼可以根据实际要求进行配置。

注：1-承轨板 2-橡胶圈 3-底座。

Figure 1. Diagram of the track damper

图1. 轨道减振器结构示意

3. 轨道减振器垂向静刚度测试

本次试验采用美国MTS液压伺服试验机进行操作。如图2所示，将轨道减振器平置在试验机工装台上，利用计算机控制液压伺服系统进行加载，同时将传感器采集到的载荷和位移信号传输回计算机中。

Figure 2. Test equipment of the track damper vertical stiffness

图2. 轨道减振器垂向刚度试验工装

正式试验前，先对轨道减振器进行预压，以1 kN/s的速率垂向加载至70 kN，保持1 min后卸载，重复两次。正式试验时，以1 kN/s的速率对轨道减振器施加垂向载荷至40 kN，同时采集载荷和位移信号，采样频率100 Hz，记录载荷达到F₁ (5 kN)和F₂ (35 kN)时的位移D_N1和D_N2。如此重复试验3次，计算3次D_N1和D_N2的平均值D₁、D₂，并按式(1)计算轨道减振器垂向静刚度。

$K=\frac{F_2-F_1}{D_2-D_1}$ (1)

为了消除单个试件测试结果的偶然性，试验选用2个同规格的轨道减振器试件，分别编号为试件1和试件2。测试结果如表1所示，取平均值后得到轨道减振器垂向静刚度为9.873 kN/mm。

Table 1. Test results of the track damper vertical stiffness

表1. 轨道减振器垂向刚度试验结果

4. 轨道减振器垂向静刚度仿真计算

4.1. 橡胶Mooney-Rivlin本构模型

基于橡胶材料各向同性和不可压缩性的假设，唯象学描述方法通过应变能密度函数W来定义橡胶超弹性本构模型。为了描述应变能密度函数W，一些定义是必要的。

橡胶材料有3个主延伸率λ₁、λ₂、λ₃，其中λ₁、λ₂描述了平面内变形特征，λ₃描述了厚度变形特征。用主延伸率来表示3个应变不变量I₁、I₂、I₃，可得式(2)。

$\{\begin{array}{l}{I}_1={\lambda }_1{}^2+{\lambda }_2{}^2+{\lambda }_3{}^2\hfill \\ I_2={\lambda }_1{}^2{\lambda }_2{}^2+{\lambda }_2{}^2{\lambda }_3{}^2+{\lambda }_3{}^2{\lambda }_1{}^2\hfill \\ I_3={\lambda }_1{}^2{\lambda }_2{}^2{\lambda }_3{}^2\hfill \end{array}$ (2)

将3个应变不变量I₁、I₂、I₃用于定义应变能密度函数W，可得到式(3)。

$W=W\left(I_1,I_2,I_3\right)$ (3)

将应变能密度函数W分解为偏差项W_b和体积项W_d，可得式(4)。

$W=W_d\left(\overline{I_1},\overline{I_2}\right)+W_b\left(J\right)$ (4)

其中， $\overline{I_1}$ 、 $\overline{I_2}$ 为偏差不变量，J为体积比，用J代替I₃来定义W。J与 $\overline{I_1}$ 、 $\overline{I_2}$ 的关系如式(5)式(6)所示。

$J={\lambda }_1{\lambda }_2{\lambda }_3$ (5)

$\{\begin{array}{c}\overline{I_1}=J^{-2/3}{I}_1\\ \overline{I_2}=J^{-2/3}{I}_2\end{array}$ (6)

在ANSYS有限元分析软件中，将应变能密度函数W展开为多项式形式，式(7)为基于第1和第2应变不变量的多项式形式。

$W=\underset{i+j=1}{\overset{N}{{\displaystyle \sum }}}{C}_{ij}{\left(\overline{I_1}-3\right)}^i{\left(\overline{I_2}-3\right)}^j+\underset{i=1}{\overset{N}{{\displaystyle \sum }}}\frac{1}{D_i}{\left(J-1\right)}^{2i}$ (7)

若 $N=1$，则只有线性部分的应变能被保留下来，即Mooney-Rivlin模型。

$W=C_{10}\left(\overline{I_1}-3\right)+C_{01}\left(\overline{I_2}-3\right)+\frac{1}{D_1}\left(J-1\right)$ (8)

由于假设橡胶材料完全不可压缩，则有：

${\lambda }_3={\left({\lambda }_1{\lambda }_2\right)}^{-1}$ (9)

由式(5)可知J取值为1，此时Mooney-Rivlin模型的应变能密度函数为：

$W=C_{10}\left(\overline{I_1}-3\right)+C_{01}\left(\overline{I_2}-3\right)$ (10)

式中，C₁₀和C₀₁为Mooney-Rivlin模型的2个参数。

4.2. 垂向静刚度仿真计算

由于轨道减振器具有对称结构，经过一定的简化后，在ANSYS有限元分析软件中建立如图3所示的1/4三维有限元模型。模型全部采用六面体单元进行网格划分，且中间的橡胶圈部分网格划分较为细密。根据轨道减振器实际使用工况，在上部承轨板区域施加垂向均布载荷10 kN，即相当于对轨道减振器整体施加载荷40 kN。在两个对称面施加对称约束，并对底座下表面施加固定约束。

Figure 3. Finite element analysis model

图3. 有限元分析模型

承轨板和底座所使用的材料为球墨铸铁，密度7800 kN/m³，弹性模量1.62 × 10⁵ MPa，泊松比0.3。橡胶圈所使用的材料为天然橡胶，密度1100 kN/m³，根据轨道减振器橡胶圈硬度和已有的橡胶材料本构参数经验数据，分别选用邵氏硬度70和75的橡胶Mooney-Rivlin超弹性本构模型参数对橡胶圈赋予材料属性，本构模型参数如表2所示 [17]。

Table 2. Parameters of Mooney-Rivlin rubber constitutive model

表2. 橡胶材料Mooney-Rivlin本构模型参数

对建立好的有限元模型进行计算，得到输入载荷和承轨板上表面位移数据，按式(2)计算得到轨道减振器在5~35 kN载荷范围内的垂向静刚度，计算结果如表3所示。

Table 3. Simulation results of the track damper vertical stiffness

表3. 轨道减振器垂向静刚度仿真结果

由表3可知，选用邵氏硬度70和75的橡胶本构模型参数得到的垂向静刚度有限元仿真结果与试验测试结果9.873 kN/mm的相对误差分别为9.46%和14.43%。说明本构模型参数的选取对于轨道减振器垂向静刚度仿真结果影响较大。

在缺少橡胶材料基础试验的情况下，为了提高仿真结果的准确性和可靠性，本文将基于正交试验来探讨一种轨道减振器橡胶圈Mooney-Rivlin本构模型参数的优化方法。

5. 轨道减振器垂向静刚度仿真计算

本文通过正交试验的方法设计轨道减振器垂向静刚度仿真试验，用以优化轨道减振器橡胶圈本构模型参数。正交试验是使用正交表来安排试验并进行数据分析的一种方法，利用正交试验，能够用较少的试验次数，较快地找出使指标达到最佳的各因子水平的组合。

5.1. 确定正交试验的因子与水平

假设橡胶材料完全不可压缩，则Mooney-Rivlin模型的应变能密度函数如式(10)所示。式(10)中的2个参数C₁₀和C₀₁即为正交试验的2个影响因子。

为了选取2个因子各自适当的水平，本文针对表2中的数据，将参数C₁₀、C₀₁与橡胶硬度的关系分别应用最小二乘法进行曲线拟合，拟合曲线如图4、图5所示。

根据图4、图5中得到的C₁₀、C₀₁与橡胶硬度拟合曲线关系函数，确定了橡胶硬度在70~75之间的2个参数C₁₀和C₀₁各4个水平，表4为用以优化橡胶材料本构参数的正交试验因子水平表。

Figure 4. Curve of C₁₀-rubber hardness

图4. C₁₀-橡胶硬度关系曲线

Figure 5. Curve of C₀₁-rubber hardness

图5. C₀₁-橡胶硬度关系曲线

Table 4. Factors and levels of the orthogonal test

表4. 正交试验因子与水平

5.2. 正交试验

由表4可知，设计的正交试验为2因子4水平，故选用L₁₆(4⁵)正交表确定了16组试验。如表5所示，在轨道减振器垂向静刚度仿真试验中，橡胶圈本构模型参数分别使用这16组数据，然后将仿真结果与实测结果进行比较。

由表5的结果可知，第5组试验得到的垂向静刚度为9.973 kN/mm，与实测结果9.873 kN/mm之间的误差最小，误差仅为1.01%。故Mooney-Rivlin本构模型参数优化结果为C₁₀ = 0.707，C₀₁ = 0.165。

Table 5. Table of the vertical stiffness orthogonal test

表5. 垂向刚度正交试验表

6. 总结

1) 本文分别选取了橡胶邵氏硬度为70和75的Mooney-Rivlin橡胶超弹性本构模型参数来进行轨道减振器垂向静刚度有限元计算。但使用这2组本构模型参数所得的结果均与实测垂向静刚度之间存在较大误差，误差分别为9.46%和14.43%。表明Mooney-Rivlin橡胶本构模型参数的选取对于仿真结果的影响较大，需要对参数进行优化。

2) 利用最小二乘法对已有的Mooney-Rivlin橡胶本构模型的2个参数C₁₀、C₀₁与橡胶硬度的关系进行了曲线拟合，由得到的函数关系式设计了2因子4水平的正交试验。通过对比16组试验的轨道减振器垂向静刚度仿真结果与实测结果之间的误差，得到了优化后橡胶本构模型参数为C₁₀ = 0.707，C₀₁ = 0.165，其垂向静刚度仿真结果与实测误差仅为1.01%，表明本文提出的方法有效地提高了轨道减振器橡胶元件的有限元仿真精度。