关于分块矩阵相似性的探讨

On the Similarity of Block Matrix

摘要: 本文在已有文献的基础上，给出了当A₁、B₁为对合矩阵时，分块矩阵与相似的充分必要条件是A₁C+CB₁=0。当A₁、B₁为k-幂零矩阵时，上述两分块矩阵相似的充分条件是和A₁C+CB₁=0。最后对A₁、B₁为k-幂零矩阵进行了进一步讨论。

Abstract: This article, on the basis of the existing literature, applying Roth’s theory, proves that when the A₁ and B₁ are involutory matrix, the necessary and sufficient condition of similar partitioned of matrix and is A₁C+CB₁=0. When A₁ and B₁ are k-nilpotent matrix, the sufficient condition for the similarity of the two-block matrices is and A₁C+CB₁=0. At last, we further discuss that A₁ and B₁ are k-nilpotent matrix.

1. 引言

分块矩阵 $\left[\begin{array}{cc}A& 0\\ 0& B\end{array}\right]$ 与 $\left[\begin{array}{cc}A& C\\ 0& B\end{array}\right]$ 不仅具有相似的结构，而且具有许多相似的特征。Roth定理 [1] 给出上述两矩阵相似的充分必要条件是矩阵方程

$AX-XB=C$ (1)

有解，而文 [1] 中又进一步给出了当A、B分别为幂等矩阵和2-幂零矩阵时，上述两分块矩阵相似的充要条件 [1]。本文讨论并分析得出了当A、B都为对合矩阵时，上述两分块矩阵相似的充要条件，及当A、B都为k-幂零矩阵时，上述两分块矩阵相似的充分条件。文中r表示矩阵的秩， $R\left(A\right)$ 表示矩阵的列空间。

2. 预备知识

2.1. 对合矩阵的定义及性质

设n阶方阵A满足 $A^2=E$，则称方阵A为对合矩阵 [2]。

本文用到的对合矩阵的性质

1) 对合矩阵 $A^{-1}=A$ ；

2) 若方阵A为对合矩阵，则A的特征值为1或−1 [2]；

3) 对合矩阵的相似矩阵仍为对合矩阵；

4) 若n阶方阵A为对合矩阵，则A与对角矩阵 $\left[\begin{array}{cc}{E}_r& 0\\ 0& -E_{n-r}\end{array}\right]$ 相似，其中 $0\le r\le n$ 为A的特征值1的重数 [2]。

2.2. 幂零矩阵的定义及性质

设A为数域P上的n阶方阵，若存在正整数m，使得 $A^{m-1}\ne 0,A^m=0$，则称A是幂零指数为m的幂零矩阵，记为m-幂零矩阵 [3]。当m = 2, 3时，A为2-幂零矩阵和3-幂零矩阵 [3]。本文用到的幂零矩阵的性质

1) A是幂零矩阵，则A不可逆；

2) A为幂零矩阵的充要条件是A的特征值全为0 [3]；

3) 与幂零矩阵相似的矩阵仍为幂零矩阵，矩阵的幂零指数相同，并且相似于严格的上三角矩阵，进而幂零矩阵A都有以下分解形式：

$A=P^{-1}\left[\begin{array}{cc}0& A_1\\ 0& 0\end{array}\right]P$，其中 $A_1$ 是方阵；

4) 对k-幂零矩阵，若当标准型中幂零若当块的阶数小于等于k。

3. 主要结果

引理1 [1] (Roth定理)分块矩阵 $\left[\begin{array}{cc}A& 0\\ 0& B\end{array}\right]$ 与 $\left[\begin{array}{cc}A& C\\ 0& B\end{array}\right]$ 相似的一个充要条件是矩阵方程 $AX-XB=C$ 有解。

定理1 已知方阵 $A,B,C,D$，其中A与B相似，C与D相似，则 $\left[\begin{array}{cc}A& 0\\ 0& C\end{array}\right]$ 与 $\left[\begin{array}{cc}B& 0\\ 0& D\end{array}\right]$ 相似。

由相似定义即可证明。

引理2 [1] 设A和B都为幂等矩阵，则分块矩阵 $\left[\begin{array}{cc}A& 0\\ 0& B\end{array}\right]$ 与 $\left[\begin{array}{cc}A& C\\ 0& B\end{array}\right]$ 相似的充分必要条件是 $AC+CB=C$。

定理2 设 $A_1$ 和 $B_1$ 均为对合矩阵，则分块矩阵 $\left[\begin{array}{cc}{A}_1& 0\\ 0& B_1\end{array}\right]$ 与 $\left[\begin{array}{cc}{A}_1& C\\ 0& B_1\end{array}\right]$ 相似的充分必要条件为 $A_{1}C+C{B}_1=0$。

证明：必要性：因为 $A_1^2=E_m$， $B_1^2=E_n$，所以 $\left[\begin{array}{cc}{A}_1& 0\\ 0& B_1\end{array}\right]$ 为对合矩阵，又因为分块矩阵 $\left[\begin{array}{cc}{A}_1& 0\\ 0& B_1\end{array}\right]$ 与 $\left[\begin{array}{cc}{A}_1& C\\ 0& B_1\end{array}\right]$ 相似， $\left[\begin{array}{cc}{A}_1& C\\ 0& B_1\end{array}\right]$ 也为对合矩阵，

$\left[\begin{array}{cc}{A}_1& C\\ 0& B_1\end{array}\right]\left[\begin{array}{cc}{A}_1& C\\ 0& B_1\end{array}\right]=\left[\begin{array}{cc}{A}_1^2& A_{1}C+C{B}_1\\ 0& B_1^2\end{array}\right]$,

即

$A_{1}C+C{B}_1=0$.

充分性：因为 $A_{1}C+C{B}_1=0$，所以 $A_1^{2}C+A_{1}C{B}_1=0$， $A_1^2=E_m$，从而 $A_{1}C{B}_1=-C$，取 $X_0=\frac{1}{2}{A}_{1}C$，则 $X_0$ 为方程(1)的解。由Roth定理知分块矩阵 $\left[\begin{array}{cc}{A}_1& 0\\ 0& B_1\end{array}\right]$ 与 $\left[\begin{array}{cc}{A}_1& C\\ 0& B_1\end{array}\right]$ 相似。

引理3 [1] 设A和B是两个2-幂零矩阵，则分块矩阵 $\left[\begin{array}{cc}A& 0\\ 0& B\end{array}\right]$ 与 $\left[\begin{array}{cc}A& C\\ 0& B\end{array}\right]$ 相似的充分必要条件为 $r\left[\begin{array}{cc}A& C\\ 0& B\end{array}\right]=r\left(A\right)+r\left(B\right)$ 和 $AC+CB=0$。

现将此结论做以下推广。

定理3 设 $A_1$ 和 $B_1$ 均为k-幂零矩阵，若满足 $r\left[\begin{array}{cc}{A}_1& C\\ 0& B_1\end{array}\right]=r\left[\begin{array}{cc}{A}_1& 0\\ 0& B_1\end{array}\right]=r\left(A_1\right)+r\left(B_1\right)$，且 $A_{1}C+C{B}_1=0$，则分块矩阵 $\left[\begin{array}{cc}{A}_1& 0\\ 0& B_1\end{array}\right]$ 与 $\left[\begin{array}{cc}{A}_1& C\\ 0& B_1\end{array}\right]$ 相似。

证明：因为 $A_1$ 和 $B_1$ 均为k-幂零矩阵，由k-幂零矩阵的性质可得

$A_1=P^{-1}\left[\begin{array}{cc}0& A_{11}\\ 0& 0\end{array}\right]P$, $B_1=Q\left[\begin{array}{cc}0& B_{11}\\ 0& 0\end{array}\right]Q^{-1}$, (2)

其中 $A_{11}$ 和 $B_{11}$ 是方阵。

代入(1)式得

$P^{-1}\left[\begin{array}{cc}0& A_{11}\\ 0& 0\end{array}\right]PX-XQ\left[\begin{array}{cc}0& B_{11}\\ 0& 0\end{array}\right]Q^{-1}=C$, (3)

$\left[\begin{array}{cc}0& A_{11}\\ 0& 0\end{array}\right]PXQ-PXQ\left[\begin{array}{cc}0& B_{11}\\ 0& 0\end{array}\right]=PCQ$, (4)

此式是关于X的矩阵方程，下证明其有解。

设

$PXQ=\left[\begin{array}{cc}{Y}_1& Y_2\\ Y_3& Y_4\end{array}\right]$, $PCQ=\left[\begin{array}{cc}{M}_1& M_2\\ M_3& M_4\end{array}\right]$, (5)

展开(4)式得

$\left[\begin{array}{cc}{A}_{11}{Y}_3& A_{11}{Y}_4\\ 0& 0\end{array}\right]-\left[\begin{array}{cc}0& Y_1{B}_{11}\\ 0& Y_3{B}_{11}\end{array}\right]=\left[\begin{array}{cc}{A}_{11}{Y}_3& A_{11}{Y}_4-Y_1{B}_{11}\\ 0& -Y_3{B}_{11}\end{array}\right]=\left[\begin{array}{cc}{M}_1& M_2\\ M_3& M_4\end{array}\right]$, (6)

即

$A_{11}{Y}_3=M_1$, $Y_3{B}_{11}=-M_4$, $M_3=0$, $A_{11}{Y}_4-Y_1{B}_{11}=M_2$,(7)

又据文 [4] 中的结论，矩阵方程 $A_{11}{Y}_3=M_1$ 和 $Y_3{B}_{11}=-M_4$ 有一个公共解 $Y_3$ 的充分必要条件是

$R\left(M_1\right)\subseteq R\left(A_{11}\right)$, $R\left(M_4^{\text{T}}\right)\subseteq R\left(B_{11}^{\text{T}}\right)$, $A_{11}{M}_4+M_1{B}_{11}=0$, (8)

(即 $M_1$ 的列向量可由 $A_{11}$ 的列向量组线性表出， $M_4$ 的行向量可由 $B_{11}$ 的行向量组线性表出，且 $A_{11}{M}_4+M_1{B}_{11}=0$ ) [4]。而文 [5] 中给出了矩阵方程 $A_{11}{Y}_4-Y_1{B}_{11}=M_2$ 有解的充分必要条件为

$r\left[\begin{array}{cc}{A}_{11}& M_2\\ 0& B_{11}\end{array}\right]=r\left(A_{11}\right)+r\left(B_{11}\right)$ [5], (9)

因为 $M_3=0$，(8)式前两个包含关系和(9)式一起等价于矩阵秩的方程如下：

$r\left[\begin{array}{cccc}0& A_{11}& M_1& M_2\\ 0& 0& M_3& M_4\\ 0& 0& 0& B_{11}\\ 0& 0& 0& 0\end{array}\right]=r\left[\begin{array}{cc}0& A_{11}\\ 0& 0\end{array}\right]+r\left[\begin{array}{cc}0& B_{11}\\ 0& 0\end{array}\right]$, (10)

因 $M_1$ 的列向量可由 $A_{11}$ 的列向量组线性表出， $M_4$ 的行向量可由 $B_{11}$ 的行向量组线性表出，所以由矩阵的初等变换即可得(10)式。又对(10)做分块矩阵的初等变换，给其左乘分块矩阵 $\left[\begin{array}{cc}{P}^{-1}& 0\\ 0& Q\end{array}\right]$，右乘分块矩阵 $\left[\begin{array}{cc}P& 0\\ 0& Q^{-1}\end{array}\right]$，即化为 $\left[\begin{array}{cc}{A}_1& C\\ 0& B_1\end{array}\right]$，故(10)等价于

$r\left[\begin{array}{cc}{A}_1& C\\ 0& B_1\end{array}\right]=r\left(A_1\right)+r\left(B_1\right)$. (11)

另外， $A_{11}{M}_4+M_1{B}_{11}=0$ 等价于

$\left[\begin{array}{cc}0& A_{11}\\ 0& 0\end{array}\right]\left[\begin{array}{cc}{M}_1& M_2\\ M_3& M_4\end{array}\right]+\left[\begin{array}{cc}{M}_1& M_2\\ M_3& M_4\end{array}\right]\left[\begin{array}{cc}0& B_{11}\\ 0& 0\end{array}\right]=0$, (12)

由(2)、(4)及(5)得

$P^{-1}\left[\begin{array}{cc}0& A_{11}\\ 0& 0\end{array}\right]PC+CQ\left[\begin{array}{cc}0& B_{11}\\ 0& 0\end{array}\right]Q^{-1}=0$, (13)

即

$A_{1}C+C{B}_1=0$. (14)

综上所述在(11)和(14)的情况下，矩阵方程(4)有解，即矩阵方程(1)有解，故 $\left[\begin{array}{cc}{A}_1& 0\\ 0& B_1\end{array}\right]$ 与 $\left[\begin{array}{cc}{A}_1& C\\ 0& B_1\end{array}\right]$ 相似。

定理3仅给出了 $\left[\begin{array}{cc}{A}_1& 0\\ 0& B_1\end{array}\right]$ 与 $\left[\begin{array}{cc}{A}_1& C\\ 0& B_1\end{array}\right]$ 相似的充分条件，其逆命题并不成立。 若 $\left[\begin{array}{cc}{A}_1& 0\\ 0& B_1\end{array}\right]$ 与 $\left[\begin{array}{cc}{A}_1& C\\ 0& B_1\end{array}\right]$ 相似，因 $A_1$ 和 $B_1$ 均为k-幂零矩阵，故 $\left[\begin{array}{cc}{A}_1& 0\\ 0& B_1\end{array}\right]$ 也为k-幂零矩阵。

从而 $\left[\begin{array}{cc}{A}_1& C\\ 0& B_1\end{array}\right]$ 为k-幂零矩阵。所以

${\left[\begin{array}{cc}{A}_1& C\\ 0& B_1\end{array}\right]}^k=\left[\begin{array}{cc}{A}_1^k& {\displaystyle \underset{i=0}{\overset{k-1}{\sum }}{A}_1^{i}C{B}_1^{k-1-i}}\\ 0& B_1^k\end{array}\right]=0$,

又因为

$A_1^k=0$, $B_1^k=0$,

故

${\displaystyle \underset{i=0}{\overset{k-1}{\sum }}{A}_1^{i}C{B}_1^{k-1-i}}=0$.

当k为奇数时

$\begin{array}{l}C{B}_1^{k-1}+A_{1}C{B}_1^{k-2}+A_1^{2}C{B}_1^{k-3}+\cdots +A_1^{k-2}C{B}_1+A_1^{k-1}C\\ =C{B}_1^{k-1}+A_1\left(C{B}_1+A_{1}C\right)B_1^{k-3}+\cdots +A_1^{k-2}\left(C{B}_1+A_{1}C\right)=0\end{array}$ ;

当k为偶数时

$\begin{array}{l}C{B}_1^{k-1}+A_{1}C{B}_1^{k-2}+A_1^{2}C{B}_1^{k-3}+\cdots +A_1^{k-2}C{B}_1+A_1^{k-1}C\\ =\left(C{B}_1+A_{1}C\right)B_1^{k-2}+\cdots +A_1^{k-2}\left(C{B}_1+A_{1}C\right)=0\end{array}$.

由此可知， $A_{1}C+C{B}_1=0$ 不是必要条件。

基金项目

河北省教育厅高等学校科学技术研究项目(Z2015009)。