应用数学进展  >> Vol. 10 No. 4 (April 2021)

非奇异H-矩阵的一组细分迭代实用判定方法
A Set of Subdivision Iteration Practical Criteria for Nonsingular H-Matrix

DOI: 10.12677/AAM.2021.104138, PDF, HTML, XML, 下载: 10  浏览: 32  国家自然科学基金支持

作者: 吴 乐, 庹 清*, 石 慧:吉首大学数学与统计学院,湖南 吉首

关键词: 非奇异H-矩阵对角占优矩阵不可约非零元素链Nonsingular H-Matrices Diagonally Dominant Matrix Irreducible Nonzero Elements Chain

摘要: 非奇异H-矩阵广泛应用于计算数学、控制理论、弹性力学以及神经网络系统等研究领域,但对非奇异H-矩阵的判定十分困难。本文研究了非奇异H-矩阵判定条件,通过对矩阵指标集按要求细分和构造递进的正对角矩阵元素,得到了非奇异H-矩阵的一组细分迭代实用判定方法,并给出证明,运用数值算例表明新判定条件优于已知结果。
Abstract: Nonsingular H-matrices have been widely used in many fields, such as computational mathematics, control theory, elastic mechanics, neural network system, etc. But it is very difficult to judge nonsingular H-matrix. In this paper, the criteria for nonsingular H-matrices are studied. By subdividing the matrix index set according to the requirements and constructing progressive diagonal matrix elements, a set of new subdividing iterative criteria for nonsingular H-matrices are obtained and proved. Finally, numerical examples show that the new decision condition is superior to the known results.

文章引用: 吴乐, 庹清, 石慧. 非奇异H-矩阵的一组细分迭代实用判定方法[J]. 应用数学进展, 2021, 10(4): 1290-1300. https://doi.org/10.12677/AAM.2021.104138

1. 引言

非奇异H-矩阵作为特殊矩阵中的重要矩阵类,其数值判定方法一直是研究的热点问题,国内外学者从不同的角度进行了研究,给出了许多研究成果 [1] - [12]。其中,文献 [1] 利用不等式放缩技巧,改进放缩因子,得到一组一般的判定条件。文献 [2] 将判定不等式的放缩因子迭代,给出判定非奇异H-矩阵的迭代式新条件,文献 [3] 根据行和与对角元素的关系将非对角占优的集合进行m-级划分,从而得到判定非奇异H-矩阵更为高效的方法。文献 [4] 提出将细分指标集和迭代放缩因子结合,得到了非奇异H-矩阵的细分迭代判别条件。本文在上述基础上,对非对角占优行指标集m-级划分的同时,改进了判定条件中的递进迭代系数,构造新的正对角矩阵,推广和改进了已知的相关结果,并通过若干个数值算例对比分析,说明了新判定方法的优越性。

首先记 n 阶复(实)矩阵的集合, N = 1 , 2 , , n ,设 A = ( a i j ) M n ( C ) ,又记 Λ i ( A ) = j i | a i j | ,文中简记 Λ i ( A ) = Λ i 。对 i N ,如果 | a i i | Λ i ( A ) ,则称A为对角占优矩阵;对 i N ,如果 | a i i | > Λ i ( A ) ,则称A为严格对角占优矩阵,记为 A D ;若存在正对角阵X,使得 A X 为严格对角占优矩阵,则称A为非奇异H-矩阵,记为 A D ˜

定义1 [5] 设 A = ( a i j ) M n ( C ) 为不可约矩阵,若 | a i i | Λ i ( A ) ( i N ) ,且其中至少有一个严格不等式成立,则A为不可约对角占优矩阵。

定义2 [6] 设 A = ( a i j ) M n ( C ) ,若对满足 | a i i | Λ i ( A ) ( i N ) ,且其中至少有一个严格不等式成立,又对每个等式的下标i,都存在非零元素链 a i j 1 a j 1 j 2 a j k 1 j k 0 ,使得 | a j k j k | > Λ j k ( A ) ,则称A为具非零元素链对角占优矩阵。

引理1 [7] 设 A = ( a i j ) M n ( C ) 为不可约对角占优矩阵,则 A D ˜

引理2 [7] 设 A = ( a i j ) M n ( C ) 为具有非零元素链对角占优矩阵,则 A D ˜

记,

N 1 = { i N : 0 < | a i i | < Λ i } , N 2 = { i N : | a i i | = Λ i } , N 3 = { i N : | a i i | > Λ i ( A ) } , N = N 1 N 2 N 3 .

显然,如果 N 3 为空集,那么 A D ˜ ;如果 N 1 N 2 = ,则 A D 。因而我们假设集合 N 1 N 2 是非空的,集合 N 3 也是非空的。因为非奇异H-矩阵的主对角线上的元素都是非零的,所以本文中涉及的矩阵对角元均假设为非零。另外,在本文中总假定矩阵每行中的非主对角线上的元素模和为正。

N 1 进一步划分 N 1 = N 1 ( 1 ) N 1 ( 2 ) N 1 ( m ) ,其中m是任意正整数,取 k Z + k m ,且

N 1 ( 1 ) = { i N : 0 < | a i i | < 1 m Λ i ( A ) } ,

N 1 ( k ) = { i N : k 1 m Λ i ( A ) < | a i i | < k m Λ i ( A ) } ,

这里部分可能为空集。

2. 主要结果

为了叙述方便,引入以下符号:

x 1 i ( k ) = k m ( Λ i k k + 1 | a i i | ) Λ i ( i N 1 ( k ) , k = 1 , 2 , , m ) ,

δ 0 , i = Λ i ( A ) | a i i | ( i N 3 ) , δ l , i = P l , i | a i i | ( i N 3 , l Z + ) ,

P l , i ( A ) = k = 1 m ( t N 1 ( k ) | a i t | x 1 t ( k ) ) + t N 2 | a i t | + t N 3 , t i | a i t | δ l 1 , t ( i N 3 , l Z + ) ,

x 2 i = k = 1 m ( t N 1 ( k ) | a i t | x 1 t ( k ) ) + t N 2 , t i | a i t | + t N 3 | a i t | δ l , t | a i i | ( i N 2 , l Z + ) ,

Q l = max i N 3 ( k = 1 m ( t N 1 ( k ) | a i t | x 1 t ( k ) ) + t N 2 | a i t | x 2 t + t N 3 , t i | a i t | δ l , t P l , i ( A ) ) ( l Z + ) .

规定:在本文定理中,对 i N 3 l Z + k = 1 m ( t N 1 ( k ) | a i t | x 1 t ( k ) ) = 0 t N 3 , t i | a i t | δ l 1 , i = 0 不会同时存在。

2.1. 定理1

A M n ( C ) ,若存在 l Z + ,使得

| a i i | x 1 i ( k ) > k = 1 m ( t N 1 ( k ) , t i | a i t | x 1 t ( k ) ) + t N 2 | a i t | x 2 t + Q l t N 3 | a i t | δ l , t ( i N 1 ( k ) , k = 1 , 2 , , m ) , (1)

| a i i | x 2 i > k = 1 m ( t N 1 ( k ) | a i t | x 1 t ( k ) ) + t N 2 , t i | a i t | x 2 t + Q l t N 3 | a i t | δ l , t ( i N 2 ) , (2)

A D ˜

证明

根据 x 1 i ( k ) 的定义可知,

0 < x 1 i ( k ) < 1 ( i N 1 ( k ) , k = 1 , 2 , , m ) ,

又根据 P l , i ( A ) 的定义,对 i N 3

P 1 , i ( A ) = k = 1 m ( t N 1 ( k ) | a i t | x 1 t ( k ) ) + t N 2 | a i t | + t N 3 , t i | a i t | δ 0 , t < Λ i ( A ) ,

k = 1 m ( t N 1 ( k ) | a i t | x 1 t ( k ) ) + t N 2 | a i t | + t N 3 , t i | a i t | P 1 , t | a t t | < k = 1 m ( t N 1 ( k ) | a i t | x 1 t ( k ) ) + t N 2 | a i t | + t N 3 , t i | a i t | Λ t ( A ) | a t t | ,

P 2 , i ( A ) < P 1 , i ( A ) 。故对 i N 3 ,有 P 2 , i ( A ) < P 1 , i ( A ) < 1 ,假设当 l = n 1 时, P n , i < P n 1 , i ,则当 l = n 时,由

k = 1 m ( t N 1 ( k ) | a i t | x 1 t ( k ) ) + t N 2 | a i t | + t N 3 , t i | a i t | P n , t | a t t | < k = 1 m ( t N 1 ( k ) | a i t | x 1 t ( k ) ) + t N 2 | a i t | + t N 3 , t i | a i t | P n 1 , t | a t t | ,

可得 P n + i , i ( A ) < P n , i ( A ) ,故由数学归纳法知, P l , i < P l 1 , i < ... < P 2 , i ( A ) < P 1 , i ( A ) < Λ i ( A )

因为 δ l , i = P l , i | a i i | ( i N 3 , l Z + ) ,因此对 i N 3 l Z + ,有

0 < δ l , i < δ l 1 , i < < δ 1 , i < Λ i ( A ) | a i i | < 1 .

进而由 x 2 i 的定义,对 i N 2 ,有 0 < x 2 i < 1 。因此对 i N 3 l Z + ,有

k = 1 m ( t N 1 ( k ) | a i t | x 1 t ( k ) ) + t N 2 | a i t | x 2 t + t N 3 , t i | a i t | δ l , t P l , i ( A ) k = 1 m ( t N 1 ( k ) | a i t | x 1 t ( k ) ) + t N 2 | a i t | x 2 t + t N 3 , t i | a i t | δ l , t k = 1 m ( t N 1 ( k ) | a i t | x 1 t ( k ) ) + t N 2 | a i t | + t N 3 , t i | a i t | δ l 1 , t 1 .

故由 Q l 的定义,对 i N 3 l Z + ,有 0 < Q l 1

利用(1)式和(2)式,存在 l Z + ,可适当地选择充分小的 ε > 0 ,使 ε 同时满足

| a i i | x 1 i ( k ) > k = 1 m ( t N 1 ( k ) , t i | a i t | x 1 t ( k ) ) + t N 2 | a i t | x 2 t + t N 3 | a i t | ( Q l δ l , t + ε ) ( i N 1 ( k ) , k = 1 , 2 , , m ) , (3)

| a i i | x 2 i > k = 1 m ( t N 1 ( k ) | a i t | x 1 t ( k ) ) + t N 2 , t i | a i t | x 2 t + t N 3 | a i t | ( Q l δ l , t + ε ) ( i N 2 ) , (4)

构造正对角矩阵 D = d i a g ( d 1 , d 2 , , d n ) ,记 B = A D = ( b i j ) ,其中

d i = { x 1 i ( k ) , i N 1 ( k ) x 2 i , i N 2 Q l δ l , i + ε , i N 3

1) 对 i N 1 ( k ) ( k = 1 , 2 , , m ) ,由(3)式得

Λ i ( B ) = k = 1 m ( t N 1 ( k ) , t i | a i t | x 1 t ( k ) ) + t N 2 | a i t | x 2 t + t N 3 | a i t | ( Q l δ l , t + ε ) < | a i i | x 1 i ( k ) = | b i i |

2) 对 i N 2 ,由(4)式得

Λ i ( B ) = k = 1 m ( t N 1 ( k ) | a i t | x 1 t ( k ) ) + t N 2 , t i | a i t | x 2 t + t N 3 | a i t | ( Q l δ l , t + ε ) < | a i i | x 2 i = | b i i |

3) 对 i N 3 l Z + ,有 t N 3 , t i | a i t | < | a i i | ,由

Q l k = 1 m ( t N 1 ( k ) | a i t | x 1 t ( k ) ) + t N 2 | a i t | x 2 t + t N 3 , t i | a i t | δ l , t P l , i ( A ) ,

Q l P l , i ( A ) k = 1 m ( t N 1 ( k ) | a i t | x 1 t ( k ) ) + t N 2 | a i t | x 2 t + t N 3 , t i | a i t | δ l , t k = 1 m ( t N 1 ( k ) | a i t | x 1 t ( k ) ) + t N 2 | a i t | x 2 t + Q l t N 3 , t i | a i t | δ l , t (5)

Λ i ( B ) = k = 1 m ( t N 1 ( k ) | a i t | x 1 t ( k ) ) + t N 2 | a i t | x 2 t + t N 3 , t i | a i t | ( Q l δ l , t + ε ) = k = 1 m ( t N 1 ( k ) | a i t | x 1 t ( k ) ) + t N 2 | a i t | x 2 t + Q l t N 3 , t i | a i t | δ l , t + ε t N 3 , t i | a i t | Q l P l , i ( A ) + ε t N 3 , t i | a i t | < Q l δ l , i | a i i | + ε | a i i | = | b i i |

综上所述, | b i i | > Λ i ( B ) ( i N ) ,即 B D ,所以矩阵 A 是非奇异H-矩阵。证毕。

注1 由于 0 < k m ( Λ i ( A ) k k + 1 | a i i | ) Λ i ( A ) < 1 ( i N 1 ( k ) , k = 1 , 2 , , m ) 0 < x 2 i < 1 ( i N 2 ) ,则本文定理1在迭代判定时要比文 [1] 定理1的判定范围更宽,后面的数值算例可以详细说明。

在定理1中取 m = 1 ,则 x 1 i = Λ i ( A ) 1 2 | a i i | Λ i ( A ) ( i N 1 ) ,即得推论1。

2.1.1. 推论1

A M n ( C ) ,若存在 l Z + ,使得

| a i i | Λ i ( A ) 1 2 | a i i | Λ i ( A ) > t N 1 , t i | a i t | Λ t ( A ) 1 2 | a t t | Λ t ( A ) + t N 2 | a i t | x 2 t + Q l t N 3 | a i t | δ l , t ( i N 1 ) ,

| a i i | x 2 i > t N 1 | a i t | Λ t ( A ) 1 2 | a t t | Λ t ( A ) + t N 2 , t i | a i t | x 2 t + Q l t N 3 | a i t | δ l , t ( i N 2 ) ,

A D ˜

注2 因为 0 < Λ i ( A ) | a i i | Λ i ( A ) < Λ i ( A ) 1 2 | a i i | Λ i ( A ) < 1 ( i N 1 ) 0 < x 2 i < 1 ( i N 2 ) ,对 i N 3 l Z + ,有 0 < Q l 1 0 < δ l , i < Λ i ( A ) | a i i | < 1 ,此时本文推论1的迭代因子比文 [2] 和文 [4] 中定理1的迭代因子小。所以本文推论1的判定条件比文 [2] 定理1和文 [4] 定理1的条件弱,判定的矩阵范围更广。故本文推论1推广了文 [2] 的定理1和文 [4] 的定理1,后面的数值算例可以说明。

在定理1中取 m = 2 ,则

N 1 ( 1 ) = { i N : 0 < | a i i | < 1 2 Λ i ( A ) } , N 1 ( 2 ) = { i N : 1 2 Λ i ( A ) < | a i i | < Λ i ( A ) } ,

即得推论2。

2.1.2. 推论2

A M n ( C ) ,若存在 l Z + ,使得

| a i i | 1 2 ( Λ i 1 2 | a i i | ) Λ i > t N 1 ( 1 ) , t i | a i t | 1 2 ( Λ t ( A ) 1 2 | a i i | ) Λ t ( A ) + t N 1 ( 2 ) | a i t | Λ t ( A ) 2 3 | a i i | Λ t ( A ) + t N 2 | a i t | x 2 t + Q l t N 3 | a i t | δ l , t ( i N 1 ( 1 ) )

| a i i | Λ i ( A ) 2 3 | a i i | Λ i ( A ) > t N 1 ( 1 ) | a i t | 1 2 ( Λ t ( A ) 1 2 | a i i | ) Λ t ( A ) + t N 1 ( 2 ) , t i | a i t | Λ t ( A ) 2 3 | a i i | Λ t ( A ) + t N 2 | a i t | x 2 t + Q l t N 3 | a i t | δ l , t ( i N 1 ( 2 ) )

| a i i | x 2 i > t N 1 ( 1 ) | a i t | 1 2 ( Λ t ( A ) 1 2 | a i i | ) Λ t ( A ) + t N 1 ( 2 ) | a i t | Λ t ( A ) 2 3 | a i i | Λ t ( A ) + t N 2 , t i | a i t | x 2 t + Q l t N 3 | a i t | δ l , t ( i N 2 )

A D ˜

注3 因为 0 < Λ i ( A ) | a i i | Λ i ( A ) < Λ i ( A ) 2 3 | a i i | Λ i ( A ) ( i N 1 ( 2 ) ) 0 < x 2 i < 1 ( i N 2 ) ,又对 i N 3 l Z + 0 < Q l δ l , i 1 ,并且随着每次迭代 Q l δ l , i 的取值会逐渐变小,所以本文推论2改进了文 [3] 定理1的判定条件,后面的数值算例可以说明。

2.2. 定理2

A M n ( C ) A 不可约,若存在 l Z + ,使得

| a i i | x 1 i ( k ) k = 1 m ( t N 1 ( k ) , t i | a i t | x 1 t ( k ) ) + t N 2 | a i t | x 2 t + Q l t N 3 | a i t | δ l , t ( i N 1 ( k ) , k = 1 , 2 , , m ) ,(6)

| a i i | x 2 i k = 1 m ( t N 1 ( k ) | a i t | x 1 t ( k ) ) + t N 2 , t i | a i t | x 2 t + Q l t N 3 | a i t | δ l , t ( i N 2 ) , (7)

且上式中至少有一个严格不等式成立,则 A D ˜

证明

因为A是不可约的,所以存在任一非空集, K N i K j N / K ,有 | a i j | 不全为0。

构造正对角矩阵 D 1 = d i a g ( d 1 , d 2 , , d n ) ,记 B = A D 1 = ( b i j ) ,其中

d i = { x 1 i ( k ) , i N 1 ( k ) x 2 i , i N 2 Q l δ l , i , i N 3

1) 对 i N 1 ( k ) ( k = 1 , 2 , , m ) ,由(6)式得

Λ i ( B ) = k = 1 m ( t N 1 ( k ) , t i | a i t | x 1 t ( k ) ) + t N 2 | a i t | x 2 t + Q l t N 3 | a i t | δ l , t | a i i | x 1 i ( k ) = | b i i | ;

2) 对 i N 2 ,由(7)式得

Λ i ( B ) = k = 1 m ( t N 1 ( k ) | a i t | x 1 t ( k ) ) + t N 2 , t i | a i t | x 2 t + Q l t N 3 | a i t | δ l , t | a i i | x 2 i = | b i i | ;

3) 对 i N 3 l Z + ,由(5)式得

Λ i ( B ) = k = 1 m ( t N 1 ( k ) | a i t | x 1 t ( k ) ) + t N 2 | a i t | x 2 t + Q l t N 3 , t i | a i t | δ l , t Q l δ l , i | a i i | = | b i i | .

综上所述, | b i i | > Λ i ( B ) ( i N ) ,且至少有一个严格不等式成立。由矩阵A不可约的性质可知矩阵 B = A D 1 不可约,所以B是不可约对角占优矩阵。所以由引理1可知 B D ˜ ,即存在正对角阵D2使得 B D 2 D ,则 A ( D 1 D 2 ) = B D 2 为严格对角占优矩阵。由于 D 1 D 2 是正对角阵,所以A是非奇异H-矩阵。

2.3. 定理3

J 1 = U k = 1 m J 1 ( k ) ,其中

J 1 ( k ) = { i N 1 ( k ) : | a i i | x 1 i ( k ) > k = 1 m ( t N 1 ( k ) , t i | a i t | x 1 t ( k ) ) + t N 2 | a i t | x 2 t + Q l t N 3 | a i t | δ l , t } ( k = 1 , 2 , , m ) ,

J 2 = { i N 2 : | a i i | x 2 i > k = 1 m ( t N 1 ( k ) | a i t | x 1 t ( k ) ) + t N 2 , t i | a i t | x 2 t + Q l t N 3 | a i t | δ l , t } ,

J 3 = { i N 3 : Q l | a i i | δ l , i > k = 1 m ( t N 1 ( k ) | a i t | x 1 t ( k ) ) + t N 2 | a i t | x 2 t + Q l t N 3 , t i | a i t | δ l , t } .

定理3 设 A M n ( C ) ,A不可约,若存在 l Z + ,使得

| a i i | x 1 i ( k ) k = 1 m ( t N 1 ( k ) , t i | a i t | x 1 t ( k ) ) + t N 2 | a i t | x 2 t + Q l t N 3 | a i t | δ l , t ( i N 1 ( k ) , k = 1 , 2 , , m ) , (8)

| a i i | x 2 i k = 1 m ( t N 1 ( k ) | a i t | x 1 t ( k ) ) + t N 2 , t i | a i t | x 2 t + Q l t N 3 | a i t | δ l , t ( i N 2 ) , (9)

且上式中至少有一个严格不等式成立,即 J 1 J 2 。如果 i U i = 1 3 [ N i J i ] 都有非零元素链 a i r 1 , a r 1 r 2 , , a r k 1 k 使得 k U i = 1 3 J i ,则 A D ˜

3. 数值实例

例1 设矩阵

A = ( 4 1 1 0 0 2 2.5 5.5 0 1 2 0 1.5 0 3 1.5 0 2 1 0 1 3 0 5 1 1 0 2 25 6 0 0 0.5 0 4.5 15 )

则在判定矩阵A是否为非奇异H-矩阵时,文 [1],文 [2],文 [3] 及文 [4] 的定理条件都无法判定,而用本文的判定定理可以判定。(以下计算结果均保留六位小数。)

事实上,对文 [1],有

| a 33 | x 3 = 1.2 < 2.357144 + ( max i N 3 M i ) | a 36 | x 6 ;

现取 m = 1 l = 2

对文 [2],有

| a 33 | x 3 = 1.2 < 2.357144 + | a 36 | δ l , 6 ;

对文 [3],有

| a 33 | Λ 3 | a 33 | Λ 3 = 1.2 < 2.357144 + h P 6 | a 66 | | a 36 | ;

对文 [4],有

| a 33 | x 13 = 1.2 < 2.357144 + | a 36 | δ 2 , 6 ;

而对本文定理1,当 m = 1 时,即为推论1,则

| a 11 | x 21 = 1.880381 > 1.51488 = | a 12 | x 22 + | a 13 | x 13 + Q 2 | a 16 | δ 2 , 6 ,

| a 22 | x 22 = 3.640229 > 2.261694 = | a 21 | x 21 + | a 24 | x 14 + Q 2 | a 25 | δ 2 , 5 ,

| a 33 | x 13 = 2.1 > 2.036735 = | a 31 | x 21 + | a 34 | x 14 + Q 2 | a 36 | δ 2 , 6 ,

| a 44 | x 14 = 2.357143 > 1.552647 = | a 41 | x 2 , 2 + | a 43 | x 13 + Q 2 | a 46 | δ 2 , 6 ;

显然满足本文推论1的判定条件,取正对角矩阵

X = d i a g ( 0.470095 , 0.661859 , 0.7 , 0.785714 , 0.150371 , 0.076511 ) ,

A X D ,则矩阵A是非奇异H-矩阵。

例2 设矩阵

A = ( 5 2 1 1 0 1 1 4 1 0 2 0 0.5 0 2 1.5 1 1 0 0.5 0 2.5 0 5 1 1 0 2 25 5 1 0 1 0 6 20 )

则在判定矩阵A是否为非奇异H-矩阵时,文 [1],文 [2],文 [3] 及文 [4] 的定理条件都无法判定,而用本文的判定定理可以判定。(以下计算结果均保留六位小数。)

事实上,对文 [1],有

| a 33 | x 3 = 1 < 1.318182 + ( max i N 3 M i ) ( | a 35 | x 5 + | a 36 | x 6 )

现取 m = 2 l = 1

对文 [2],有

| a 33 | x 3 = 1 < 1.318182 + | a 35 | δ l , 5 + | a 36 | δ l , 6 ;

对文 [3],有

| a 33 | Λ 3 | a 33 | Λ 3 = 1 < 1.181818 + h P 5 | a 55 | | a 35 | + h P 6 | a 66 | | a 36 | ;

对文 [4],有

| a 44 | x 14 = 0.113638 < 0.25 + | a 46 | δ 2 , 6 ;

而对本文定理1,当 m = 2 时,即为推论2,则

| a 11 | x 21 = 3.244364 > 2.200322 = | a 12 | x 22 + | a 13 | x 13 + | a 14 | x 14 + Q 1 | a 16 | δ 1 , 6 ,

| a 22 | x 22 = 2.048485 > 1.561094 = | a 21 | x 21 + | a 23 | x 13 + Q 1 | a 25 | δ 1 , 5 ,

| a 33 | x 13 = 1.333333 > 1.149808 = | a 31 | x 21 + | a 34 | x 14 + Q 1 | a 35 | δ 1 , 5 + Q 1 | a 36 | δ 1 , 6 ,

| a 44 | x 14 = 0.965909 > 0.871309 = | a 42 | x 21 + Q 1 | a 46 | δ 1 , 6 ;

显然满足本文推论2的判定条件,取正对角矩阵

X = d i a g ( 0.648873 , 0.512121 , 0.666667 , 0.386364 , 0.122777 , 0.123049 ) ,

A X D ,则矩阵A是非奇异H-矩阵。

例3 设矩阵

A = ( 5 1 0.5 0 1 1.5 1 1 6 0 1 1 1 2 1 2 10 3.5 4.4 1 1.5 0.5 1.5 3 9 2 2 2.5 1 2 0 1 9 4 2 1 1 0 2 2 24 2 1 0 1 1 5 4 25 )

则在判定A是否为非奇异H-矩阵时,文 [1],文 [2],文 [3] 及文 [4] 的定理条件都无法判定,而用本文的判定定理可以判定。(以下计算结果均保留六位小数。)

事实上,对文 [1],有

| a 55 | x 5 = 0.9 < 3.217391 + ( max i N 3 M i ) ( | a 56 | x 6 + | a 57 | x 7 ) ;

现取 m = 3 l = 2

对文 [2],有

| a 55 | x 5 = 0.9 < 3.217391 + | a 56 | δ l , 6 + | a 57 | δ l , 7 ;

对文 [3],有

| a 33 | Λ 3 | a 33 | Λ 3 = 2.53731 < 4.200869 + h P 6 | a 66 | | a 36 | + h P 7 | a 77 | | a 37 | ;

对文 [4],有

| a 55 | x 15 = 0.9 < 1.217391 + | a 56 | δ 2 , 6 + | a 57 | δ 2 , 7 ;

而对本文定理1,当 m = 3 时,有

| a 11 | x 21 = 1.95517 > 1.259377 = | a 12 | x 22 + | a 13 | x 13 + | a 15 | x 15 + Q 2 | a 16 | δ 2 , 6 + Q 2 | a 17 | δ 2 , 7 ,

| a 22 | x 22 = 2.236338 > 1.5441 = | a 21 | x 22 + | a 24 | x 14 + | a 25 | x 15 + Q 2 | a 26 | δ 2 , 6 + Q 2 | a 27 | δ 2 , 7 ,

| a 33 | x 13 = 4.402985 > 4.356896 = | a 31 | x 21 + | a 32 | x 22 + | a 34 | x 14 + | a 35 | x 15 + Q 2 | a 36 | δ 2 , 6 + Q 2 | a 37 | δ 2 , 7 ,

| a 44 | x 14 = 3.717391 > 3.34477 = | a 41 | x 21 + | a 42 | x 22 + | a 43 | x 13 + | a 45 | x 15 + Q 2 | a 46 | δ 2 , 6 + Q 2 | a 47 | δ 2 , 7 ,

| a 55 | x 15 = 2.925 > 2.366521 = | a 51 | x 21 + | a 52 | x 22 + | a 54 | x 14 + Q 2 | a 56 | δ 2 , 6 + Q 2 | a 57 | δ 2 , 7 ;

显然满足本文定理1的条件,取正对角矩阵

X = d i a g ( 0.391034 , 0.372722 , 0.440299 , 0.413043 , 0.325 , 0.133992 , 0.140515 ) ,

A X D ,则矩阵A是非奇异H-矩阵。

4. 结论

1) 通过例1表明,本文的迭代判定方法比文献 [1] 定理1和文献 [3] 定理1的非迭代的判定方法好,且迭代次数少于文献 [2] 和文献 [4] 定理中的迭代判定定理。

2) 通过例2表明,本文推论2和文献 [3] 定理1将非占优行指标集分为两个区间时,本文推论2的判定方法要优于文献 [3] 的定理1,且迭代一次就能判定,而文献 [2] 和文献 [4] 迭代一次时不能判定。

3) 通过例3表明,本文细分非占优行指标集区间后判定范围比文献 [3] 定理的判定范围更广,并且在m相同的情况下,本文定理1的迭代次数要少于文献 [2] 和文献 [4] 的判定定理。

因此,本文给出的非奇异H-矩阵细分迭代实用判定方法,不仅扩宽矩阵的判定范围,而且判定更高效。

致谢

感谢庹清老师对本项目的悉心指导和帮助。

基金项目

国家自然科学基金(11461027)和吉首大学校级科研项目资助(Jdy20056)。

NOTES

*通讯作者。

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