1. 引言
假设
是上临界的连续时间Markov过程,其分支速率为
,即系统中每个粒子的寿命均服从均值为
的指数分布,并且以
的概率产生k个后代。定义该过程相应的Q-矩阵,
,其中
(1.1)
其中
满足
,
。
的转移概率函数为
,
若初始状态
,其概率母函数可以表示为
,并且母函数
满足如下的泛函方程:
(1.2)
和基本分支性
, (1.3)
简单起见,总是记
。
本文总是假设
,
,这一假设表明该Markov过程是上临界的。对于这样一个过程,存在正则化序列
满足
使得
,
, (1.4)
其中W为非退化的随机变量。在某种意义上,正则函数
描述了
的平均增长速度。并且可以取
,当且仅当
-矩条件成立。对于上临界的Markov分支过程,在非爆炸的条件下,当
时,系统的粒子数目
总是会趋于无穷,而总粒子数目的调和矩
(其中
)都将趋于零。而本文试图在
-矩条件假设下,借助正则函数
,研究
的衰退速率。
在分支过程中心极限定理以及大偏差的研究中,调和矩扮演着重要角色。此前对调和矩的研究主要集中在离散时间的分支过程。Heyde和Brown [1] 得到了
的收敛速度;Nagaev [2] 证明了
。之后Pakes [3] 详细阐述了
时,
的渐近行为。Ney和Vidyashanka [4] 展示了
完整的收敛过程,并且指出在收敛过程存在着相变,该相变取决于
,
和
。Sun和Zhang [5] 将Ney和Vidyashankar [4] 的结论推广到带移民的Galton-Waston过程。此外,文献 [6], [7], [8] 给出了大偏差的与局部极限理论的相关研究。
本文将Ney和Vidyashankar [4] 的结果推广到连续时间情形,主要研究
的渐近行为,结论见定理3.1。假设
,
,
,本文详细刻画了
的收敛速度,
,
或
的不同条件导致收敛过程存在相变,这一结果与 [4] 中一致。本文主要定理的证明将
分解为三个部分并分析每个部分的渐近行为,见引理4.2,4.3和4.4。与离散时间不同的是,我们提出了一种新的区间划分方法得到相关结论,同时概率母函数
的有趣性质为分析提供了有力的帮助。此外,我们还将定理3.1应用于大偏差
的讨论,并给出了相关的结论。
本文的其余部分结构如下:文章第二节介绍了一些预备知识和引理;第三节阐述了主要定理;最后一节提供了主要定理的详细证明。
2. 预备知识
除了上一节中提到的内容外,还需要更多地讨论非退化随机变量W。根据Athreya和Ney [9],当且仅当
-矩条件成立时,
。如果
,W存在连续密度函数
,
在
上有定义。因此,下述全局极限定理成立
,
. (2.1)
定义
的拉普拉斯变换
,则
满足泛函方程
. (2.2)
为了便于讨论,我们给出了本文开头提到的分支速率函数
的初步结果,这在后续的讨论具有重要意义。将
的概率母函数记为
。
命题2.1 对任意
,极限
存在且
。此外,若
,
,
,
满足如下的泛函方程
,
, (2.3)
且
有如下的幂级数展开式
,
。
3. 主要结果
为了便于后续分析,我们首先分析调和矩函数
。对于任意非负随机变量Y,均有下式成立
,
其中
表示伽马函数。由假设知,
,因此,令
,等号左右两边同时取期望,根据Tonelli定理,可得
下面是本文的主要定理。
定理3.1 定义
,记
则
(3.1)
其中
和Q的定义如(2.2)式和(2.3)式。
运用定理3.1,进一步得到了
的大偏差速率。
定理3.2 对于任意的
,定义
, (3.2)
其中
,
为独立同分布的随机变量。若存在
且
使得对一切
,有
成立,则
, (3.3)
其中
为正常数。此外,对任意
,若
,则
, (3.4)
其中
为正常数。
推论3.3 若存在某个
,
,使得
,则(3.3)式仍成立。根据Sun和Zhang [5],可得
.
由马尔可夫不等式,
,
再由定理3.2,结论得证。
4. 证明
为了方便分析,证明首先将
分解为以下三部分,
,
其中
,当
时,
。
引理4.1 对任意
,
。
证明 作变量替换
,上式等价于
。
由(2.3),
。因此,当
时,存在常数C使得
。令
,可得
.
引理4.2 (
的渐近行为) (a). 若
,则
。
(b). 若
,则
,
证明 作变量替换
,再令
,我们得到
,
其中
为
的拉普拉斯变换。当
时,
对于
,
(b). 当
,
,由(4.1)式知结论显然成立。
引理4.3 (
的渐近行为)
证明 基于Athreya和Ney [9] 的研究,我们知道在一定的条件下
等价于Galton-Waston过程,即对任意
,令
,过程
实际上是Galton-Waston过程。因此我们有
,
对上式进行换元
,可得
.
对于
,我们有
. (4.2)
考虑Q和
的性质,上式中被积部分的分式可以简写为
,
那么立即得到
(4.3)
. (4.4)
根据Ney et al. [4],对
,不难发现,存在常数b使得
.
又因对任意固定的h,
收敛,故(4.2)式有界。
现在对做u变量逆变换
,利用
,类似于Athreya和Ney [9] 的方法,(4.4)式可以表示为
因
的假设,我们有
。考虑到Q和
的性质,因此有
,
,
且
成立。
对于
,
,
结合引理4.1,立即得上式右端有界。再分析
的情况,先给出以下记号,
由(4.3)和(4.3)式,可以发现
.
接下来处理
。根据(4.2)式,可以写出
,
对分子部分做恒等变换,
,
利用引理4.1中的结论,易得上式的第一项收敛到0,根据控制收敛定理,立即证得
我们使用同样的方法处理当
时的
。写出
的表达式,令
,
.
作变量替换
后,上式等价于
当
时,最后一步成立.再利用 [10] 中的泛函方程
,
我们得到
,
其中
。最后,通过取
可以得到
。由利用夹逼定理,当
时,结论得证。
引理4.4 (
的渐近行为) (a)若
,则
。
(b) 若
,则
。
证明 (a)当
,由Q性质
.
(b) 当
,
。
当
,
,
.
结合引理4.2~4.4,定理3.1得证。
现在证明定理3.2.根据条件概率公式,可把(3.3)式的目标概率分解为
应用定理3.1的结论,(3.3)式得证,同理可得(3.4)式。
基金项目
这项工作得到国家自然科学基金(1191392)的大力支持。
NOTES
*通讯作者。