带有输出时滞的线性系统的观测器设计

Observer Design for a Linear System with Output Delay

摘要: 本文研究输出带有时滞的线性系统的观测器设计问题。通过将输出时滞写成传播方程的形式，带有输出时滞的观测器设计问题就变成了ODE和传播方程组成的级联系统的观测问题。通过引入新的变换，输出时滞得以有效地补偿。本文给出了观测器的设计过程，并且在观测器的适定性证明中摆脱了Lyapunov函数的构造。最后给出数值仿真说明了观测器的有效性。

Abstract: In this paper, we study the observer design for a linear system with output delay. By writing the time delay as a transport equation, the observer design with output delay can be regarded as the observation problem of a cascade system that consists of an ODE and a transport equation. The output delay can be compensated by introducing a new transformation. The whole process of the observer design is proposed in this paper. Moreover, the construction of Lyapunov function can be avoided in the proof of the well-posedness. Finally, some numerical simulations are given to validate the effectiveness of the observer.

1. 引言

由于传感器不可避免地有滞后效应，输出时滞问题在实际控制问题中几乎无处不在。目前有很多方法处理输出时滞补偿问题。例如： [1] [2] [3] 和 [4] 等。时滞本质上是一个由一阶传播方程决定的无穷维动态系统。文献 [5] 将时滞转化为一阶双曲系统，使得偏微分方程的数学工具在时滞处理中有了用武之地。时滞的无穷维动态表示可以将带有输出时滞的观测器设计问题变成ODE和传播方程组成的级联系统的观测问题。

令 $A\in {ℝ}^{n\times n}$， $B\in {ℝ}^n$ 且 $C\in {ℝ}^{1\times n}$。考虑如下系统的观测问题：

$\stackrel{\dot{}}{z}\left(t\right)=Az\left(t\right)+Bu\left(t\right),y\left(t\right)=Cz\left(t-\tau \right),\tau >0,$ (1)

其中u是控制，y是输出， $\tau$ 是时滞。文献 [4] 曾经给出了系统(1)的观测器，并且证明了其适定性。然而 [4] 并没有给出观测器的设计过程，并且在观测器适定性证明中采用了Lyapunov函数的方法。本文将引入新的变换，给出系统(1)的观测器设计步骤，使得观测器变得简单易懂。此外，本文在观测器的适定性证明中摆脱了Lyapunov函数的构造，使得证明过程更加简单，更易于推广到其他ODE-PDE级联系统的观测问题。如果令

$\psi \left(x,t\right)=Cz\left(t-x\right),x\in \left[0,\tau \right],t\ge \tau ,$ (2)

则系统(1)可以写成

$\{\begin{array}{l}\stackrel{\dot{}}{z}\left(t\right)=Az\left(t\right)+Bu\left(t\right),\\ {\psi }_t\left(x,t\right)+{\psi }_x\left(x,t\right)=0,x\in \left[0,\tau \right],\\ \psi \left(0,t\right)=Cz\left(t\right),\\ y\left(t\right)=\psi \left(\tau ,t\right)\text{.}\end{array}$ (3)

我们在状态空间 $Z_{\tau }={ℝ}^n\times L^2\left(0,\tau \right)$ 中考虑系统(3)，其内积定义为：

$\langle \left(v_1,f_1\right),\left(v_2,f_2\right)\rangle z_{\tau }={\langle v_1,v_2\rangle }_{{ℝ}^n}+{\displaystyle {\int }_0^{\tau }{f}_1}\left(x\right)\overline{f_2\left(x\right)}\text{d}x,\left(v_i,f_i\right)\in Z_{\tau },i=1,2.$ (4)

2. 观测器设计及其适定性

首先考虑如下Luenberger型观测器：

$\{\begin{array}{l}\stackrel{\dot{}}{\hat{z}}\left(t\right)=A\hat{z}\left(t\right)-F_1\left[y\left(t\right)-\hat{\psi }\left(\tau ,t\right)\right]+Bu\left(t\right),\\ {\hat{\psi }}_t\left(x,t\right)+{\hat{\psi }}_x\left(x,t\right)=F_2\left(x\right)\left[y\left(t\right)-\hat{\psi }\left(\tau ,t\right)\right],\\ \hat{\psi }\left(0,t\right)=C\hat{z}\left(t\right),\end{array}$ (5)

其中 $F_1\in {ℝ}^n,F_2\in L^2\left[0,\tau \right]$ 是待定的观测器增益。定义观测误差

$\tilde{z}\left(t\right)=z\left(t\right)-\hat{z}\left(t\right),\tilde{\psi }\left(\cdot ,t\right)=\psi \left(\cdot ,t\right)-\hat{\psi }\left(\cdot ,t\right).$ (6)

直接计算可得:

$\{\begin{array}{l}\stackrel{\dot{}}{\tilde{z}}\left(t\right)=A\tilde{z}\left(t\right)-F_1\tilde{\psi }\left(\tau ,t\right),\\ {\tilde{\psi }}_t\left(x,t\right)+{\tilde{\psi }}_x\left(x,t\right)=-F_2\left(x\right)\tilde{\psi }\left(\tau ,t\right),\\ \tilde{\psi }\left(0,t\right)=C\tilde{z}\left(t\right)\end{array}$ (7)

只需选择 $F_1$ 和 $F_2$ 使得系统(7)稳定即可。为此我们引入如下变换

$\stackrel{⌣}{\psi }\left(x,t\right)=\tilde{\psi }\left(x,t\right)+{\langle \tilde{z}\left(t\right),G\left(x\right)\rangle }_{{ℝ}^n},t\ge 0,$ (8)

其中 $G=\left(g_1\left(x\right),g_2\left(x\right),\cdots ,g_n\left(x\right)\right):\left[0,\tau \right]\to {ℝ}^n$ 是待定的向量值函数， $g_i\in L^2\left[0,\tau \right]$， $i=1,2,\cdots ,n$。简单计算可得，

$\begin{array}{c}{\stackrel{⌣}{\psi }}_t\left(x,t\right)=-{\tilde{\psi }}_x\left(x,t\right)-F_2\left(x\right)\tilde{\psi }\left(\tau ,t\right)+{\langle A\tilde{z}\left(t\right)+F_1\tilde{\psi }\left(\tau ,t\right),G\left(x\right)\rangle }_{{ℝ}^n}\\ =-{\tilde{\psi }}_x\left(x,t\right)-F_2\left(x\right)\tilde{\psi }\left(\tau ,t\right)+{\langle A\tilde{z}\left(t\right),G\left(x\right)\rangle }_{{ℝ}^n}+\tilde{\psi }\left(\tau ,t\right){\langle F_1,G\left(x\right)\rangle }_{{ℝ}^n}\\ =-{\stackrel{⌣}{\psi }}_x\left(x,t\right)+{\langle \tilde{z}\left(t\right),A^{\text{T}}G\left(x\right)+G^{\prime }\left(x\right)\rangle }_{{ℝ}^n}+\left[{\langle F_1,G\left(x\right)\rangle }_{R^n}-F_2\left(x\right)\right]\tilde{\psi }\left(\tau ,t\right)\end{array}$ (9)

且

$\stackrel{⌣}{\psi }\left(0,t\right)=\tilde{\psi }\left(0,t\right)+{\langle \tilde{z}\left(t\right),G\left(0\right)\rangle }_{{ℝ}^n}=C\tilde{z}\left(t\right)+{\langle \tilde{z}\left(t\right),G\left(0\right)\rangle }_{{ℝ}^n}.$ (10)

如果选择G和 $F_2$ 使得

$\{\begin{array}{l}{G}^{\prime }\left(x\right)=-A^{\text{T}}G\left(x\right),\\ G\left(0\right)=-C^{\text{T}},\end{array}$ 且 $F_2\left(x\right)={\langle F_1,G\left(x\right)\rangle }_{{ℝ}^n},$ (11)

则(9)和(10)简化为

$\{\begin{array}{l}{\stackrel{⌣}{\psi }}_t\left(x,t\right)+{\stackrel{⌣}{\psi }}_x\left(x,t\right)=0,\\ \stackrel{⌣}{\psi }\left(0,t\right)=0.\end{array}$ (12)

解(11)中的向量值函数可得

$G\left(x\right)=-{\text{e}}^{-A^{\text{T}}x}{C}^{\text{T}}$ 从而 $F_2\left(x\right)=-F_1^{\text{T}}{\text{e}}^{-A^{\text{T}}x}{C}^{\text{T}}=-C{\text{e}}^{-Ax}{F}_1,$ (13)

综合(7)，(8)和(13)可得

$\begin{array}{c}\stackrel{\dot{}}{\tilde{z}}\left(t\right)=A\tilde{z}\left(t\right)-F_1{\langle \tilde{z}\left(t\right),G\left(\tau \right)\rangle }_{{ℝ}^n}+F_1\stackrel{⌣}{\psi }\left(\tau ,t\right)\\ =\left[A-F_{1}G{\left(\tau \right)}^{\text{T}}\right]\tilde{z}\left(t\right)+F_1\stackrel{⌣}{\psi }\left(\tau ,t\right)\\ =\left(A+F_{1}C{\text{e}}^{-A\tau }\right)\tilde{z}\left(t\right)+F_1\stackrel{⌣}{\psi }\left(\tau ,t\right)\end{array}$ (14)

于是综合(12)和(14)可得

$\{\begin{array}{l}\stackrel{\dot{}}{\tilde{z}}\left(t\right)=\left(A+F_{1}C{\text{e}}^{-A\tau }\right)\tilde{z}\left(t\right)+F_1\stackrel{⌣}{\psi }\left(\tau ,t\right),\\ {\stackrel{⌣}{\psi }}_t\left(x,t\right)+{\stackrel{⌣}{\psi }}_x\left(x,t\right)=0,\\ \stackrel{⌣}{\psi }\left(0,t\right)=0.\end{array}$ (15)

如果选择 $F_1$ 使得 $A+F_{1}C{\text{e}}^{-A\tau }$ 是Hurwitz阵，则系统(15)是由两个指数稳定系统构成的串联系统，从而也是稳定的。

定理2.1. 令 $A\in {ℝ}^{n\times n},B\in {ℝ}^n$ 且 $C\in {ℝ}^{1\times n}$。若系统 $\left(A,C\right)$ 可观，则存在 $F_1\in {ℝ}^n$ 和 $F_2\in L^2\left[0,\tau \right]$ 使得系统(3)的观测器(5)是适定的，即：对任意的 $\left(z\left(0\right),\psi \left(\cdot ,0\right)\right)\in Z_{\tau }$， $\left(\hat{z}\left(0\right),\hat{\psi }\left(\cdot ,0\right)\right)\in Z_{\tau }$ 和 $u\in L_{loc}^2\left[0,\infty \right)$，观测器(5)存在唯一解 $\left(\hat{z}\left(\cdot ,t\right),\hat{\psi }\left(\cdot ,t\right)\right)\in C\left(\left[0,\infty \right);Z_{\tau }\right)$ 满足

${\text{e}}^{\omega t}{\Vert \left(z\left(t\right)-\hat{z}\left(t\right),\psi \left(\cdot ,t\right)-\hat{\psi }\left(\cdot ,t\right)\right)\Vert }_{Z_{\tau }}\to 0$ 当 $t\to \infty$ (16)

其中 $\omega >0$ 是与时间t无关的常数。此外，调节参数 $F_1$ 和 $F_2$ 可以按照如下规则选取：

· 选择 $F_1\in {ℝ}^n$ 使得 $A+F_{1}C{\text{e}}^{-A\tau }$ 是Hurwitz阵；

· 令 $F_2\left(x\right)=-C{\text{e}}^{-Ax}{F}_1$。

证明. 由于系统 $\left(A,C\right)$ 可观且 ${\text{e}}^{-A\tau }$ 可逆，因此系统 $\left(A,C{\text{e}}^{-A\tau }\right)$ 也是可观的。于是存在 $F_1\in {ℝ}^n$ 使得 $A+F_{1}C{\text{e}}^{-A\tau }$ 是Hurwitz阵。令 $F_2\left(x\right)=-C{\text{e}}^{-Ax}{F}_1$，则观测器(5)变为：

$\{\begin{array}{l}\stackrel{\dot{}}{\hat{z}}\left(t\right)=A\hat{z}\left(t\right)-F_1\left[y\left(t\right)-\hat{\psi }\left(\tau ,t\right)\right]+Bu\left(t\right),\\ {\hat{\psi }}_t\left(x,t\right)+{\hat{\psi }}_x\left(x,t\right)=-C{\text{e}}^{-Ax}{F}_1\left[y\left(t\right)-\hat{\psi }\left(\tau ,t\right)\right],\\ \hat{\psi }\left(0,t\right)=C\hat{z}\left(t\right)\end{array}$ (17)

考虑误差系统

$\{\begin{array}{l}\stackrel{\dot{}}{\tilde{z}}\left(t\right)=A\tilde{z}\left(t\right)+F_1\tilde{\psi }\left(\tau ,t\right),\\ {\tilde{\psi }}_t\left(x,t\right)+{\tilde{\psi }}_x\left(x,t\right)=C{\text{e}}^{-Ax}{F}_1\tilde{\psi }\left(\tau ,t\right),\\ \tilde{\psi }\left(0,t\right)=C\tilde{z}\left(t\right)\text{.}\end{array}$ (18)

注意到(8)和(13)，变换

$\stackrel{⌣}{\psi }\left(x,t\right)=\tilde{\psi }\left(x,t\right)-C{\text{e}}^{-Ax}\tilde{z}\left(t\right),t\ge 0$ (19)

可以将误差系统(18)化为(15)。对任意的 $\left(\tilde{z}\left(0\right),\stackrel{⌣}{\psi }\left(\cdot ,0\right)\right)\in Z_{\tau }$，系统(15)存在唯一解 $\left(\tilde{z}\left(t\right),\stackrel{⌣}{\psi }\left(\cdot ,t\right)\right)\in C\left(\left[0,\infty \right);Z_{\tau }\right)$ 满足

$\{\begin{array}{l}\tilde{z}\left(t\right)={\text{e}}^{\left(A+F_{1}C{\text{e}}^{-A\tau }\right)t}\tilde{z}\left(0\right)+{\displaystyle {\int }_0^t{\text{e}}^{\left(A+F_{1}C{\text{e}}^{-A\tau }\right)\left(t-s\right)}{F}_1\stackrel{⌣}{\psi }\left(s\right)\text{d}s},\\ \stackrel{⌣}{\psi }\left(t\right)=\{\begin{array}{l}0,t\ge x,\\ \stackrel{⌣}{\psi }\left(x-t,0\right),t<x\end{array}\end{array}$ (20)

由于 $A+F_{1}C{\text{e}}^{-A\tau }$ 是Hurwitz阵，存在 $\alpha >0$ 使得系统(15)的解(20)满足

${\text{e}}^{\alpha t}{\Vert \left(\tilde{z}\left(t\right),\stackrel{⌣}{\psi }\left(\cdot ,t\right)\right)\Vert }_{Z_{\tau }}\to 0$ 当 $t\to \infty$ (21)

注意到变换(19)可逆，

$\tilde{\psi }\left(x,t\right)=\stackrel{⌣}{\psi }\left(x,t\right)+C{\text{e}}^{-Ax}\tilde{z}\left(t\right),t\ge 0,$ (22)

综合可逆变换(19)，(21)以及系统(18)和系统(15)之间的等价性可知:对任意的 $\left(\tilde{z}\left(0\right),\tilde{\psi }\left(\cdot ,0\right)\right)\in Z_{\tau }$，系统(18)存在唯一解 $\left(\tilde{z}\left(t\right),\tilde{\psi }\left(\cdot ,t\right)\right)\in C\left(\left[0,\infty \right);Z_{\tau }\right)$ 使得

${\text{e}}^{\omega t}{\Vert \left(\tilde{z}\left(t\right),\tilde{\psi }\left(\cdot ,t\right)\right)\Vert }_{Z_{\tau }}\to 0$ 当 $t\to \infty$, (23)

其中 $\omega >0$ 是与时间无关的常数。

对任意的 $\left(z\left(0\right),\psi \left(\cdot ,0\right)\right)\in Z_{\tau }$ 和 $\left(\hat{z}\left(0\right),\hat{\psi }\left(\cdot ,0\right)\right)\in Z_{\tau }$，设 $\left(\tilde{z}\left(t\right),\tilde{\psi }\left(\cdot ,t\right)\right)$ 是系统(18)关于初值

$\left(\tilde{z}\left(0\right),\tilde{\psi }\left(\cdot ,0\right)\right)=\left(z\left(0\right)-\hat{z}\left(0\right),\psi \left(\cdot ,0\right)-\hat{\psi }\left(\cdot ,0\right)\right)$ (24)

的解。另一方面，对任意的 $\left(z\left(0\right),\psi \left(\cdot ,0\right)\right)\in Z_{\tau }$ 和 $u\in L_{loc}^2\left[0,\infty \right)$，系统(3)存在唯一解 $\left(z\left(t\right),\psi \left(\cdot ,t\right)\right)\in C\left(\left[0,\infty \right);Z_{\tau }\right)$。若令

$\hat{z}\left(t\right)=z\left(t\right)-\tilde{z}\left(t\right),\hat{\psi }\left(\cdot ,t\right)=\psi \left(\cdot ,t\right)-\tilde{\psi }\left(\cdot ,t\right),$ (25)

则直接计算可得(25)定义的 $\left(\hat{z}\left(\cdot ,t\right),\hat{\psi }\left(\cdot ,t\right)\right)\in C\left(\left[0,\infty \right);Z_{\tau }\right)$ 是观测器(5)的解且满足(16)。由于观测器以及系统(3)的线性性质，观测器(5)的解是唯一的。

注记2.1. 设 $F\in {ℝ}^n$ 使得 $A+FC$ 是Hurwitz阵，若令 $F_1={\text{e}}^{A\tau }F$，则

$A+F_{1}C{\text{e}}^{-A\tau }=A+{\text{e}}^{A\tau }FC{\text{e}}^{-A\tau }={\text{e}}^{A\tau }\left(A+FC\right){\text{e}}^{-A\tau }$

也是Hurwitz阵。令 $F_2\left(x\right)=-C{\text{e}}^{-Ax}{F}_1=-C{\text{e}}^{A\left(\tau -x\right)}F$。此时，观测器(5)变为

$\{\begin{array}{l}\stackrel{\dot{}}{\hat{z}}\left(t\right)=A\hat{z}\left(t\right)-{\text{e}}^{A\tau }F\left[y\left(t\right)-\hat{\psi }\left(\tau ,t\right)\right]+Bu\left(t\right),\\ {\hat{\psi }}_t\left(x,t\right)+{\hat{\psi }}_x\left(x,t\right)=-C{\text{e}}^{A\left(\tau -x\right)}F\left[y\left(t\right)-\hat{\psi }\left(\tau ,t\right)\right],\\ \hat{\psi }\left(0,t\right)=C\hat{z}\left(t\right)\end{array}$ (26)

其中 $F\in {ℝ}^n$ 使得 $A+FC$ 是Hurwitz阵。观测器(26)和文献 [4] 中的观测器类似。

3. 数值模拟

为了更直观的说明理论结果，我们对系统(3)的观测器(17)进行了数值模拟。我们采用有限差分的方法离散系统。时间、空间离散步长分别为0.001和0.01。观测系统(3)对应的矩阵为：

$A=\left[\begin{array}{cc}0& 1\\ 2& 0\end{array}\right],B=\left[\begin{array}{c}0\\ 0\end{array}\right],C=\left[\begin{array}{cc}1& 0\end{array}\right].$

观测器增益为 $F_1={\text{e}}^{A\tau }F$，其中 $F={\left[\begin{array}{cc}-20& -102\end{array}\right]}^{\text{T}}$，简单计算可知 $\sigma \left(A+F_{1}C\right)=\left\{-10\right\}$。时滞参数选为 $\tau =0.5$。系统(3)的初值选为 $\psi \left(x,0\right)=0$ 和 $z\left(0\right)={\left(0,2\right)}^{\text{T}}$。观测器(17)的初值选为 $\hat{\psi }\left(x,0\right)=0$ 和 $\hat{z}\left(0\right)={\left(0,0\right)}^{\text{T}}$。观测误差的仿真结果见图1和图2。从仿真结果可以看出时滞动态 $\psi \left(x,t\right)$ 和系统状态 $z\left(t\right)={\left(z_1\left(t\right),z_2\left(t\right)\right)}^{\text{T}}$ 都得到了有效的估计，这说明我们的观测器是有效的。

Figure 1. Time delay dynamic error

图1. 时滞动态误差

Figure 2. State error

图2. 状态误差

4. 总结

本文考虑带有输出时滞的线性系统的观测问题，给出了完整的观测器设计过程，得到了新的观测器。通过引入新的变换，观测器的设计过程变得自然易行，并且使得观测器的适定性证明摆脱了Lyapunov函数的构造。本文证明了观测器的适定性，并通过数值模拟验证了所得的理论结果。

基金项目

山西省基础研究计划(自由探索类)青年项目(20210302124688)；山西省高等学校科技创新项目(2021L416)。